中考数学专项复习：圆有关问题的压轴题之四大题型（含答案及解析）

与圆有关问题的压轴题之四大题型

题型导向

目录

【题型一与圆中线段相等及相似的有关问题】

【题型二与圆中证明直线是切线的有关问题】

【题型三与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】

【题型四与圆中实际应用的有关问题】

典型例题

【题型一与圆中线段相等及相似的有关问题】

网］1（2023•广东深圳•三模）如图，AB为。。的直径,。为。。上一点，AD与过点。的切线互相垂直，垂足

为点。，AD交。。于点E,连接CE,CB.

⑴求证：CE=CB；

⑵若人。="，CE=2,求CD的长.

•••

【变式训练】

题目刀（2023•广东深圳•三模）如图，4B是⑷。的直径，力。切。。于点4连接BC交。。于点。，点E是

⑰的中点，连接AE交于点F.

（1）求证：力。=。歹；

⑵若AB=4,47=3,求/BAE的正切值.

题目切（2023•广东深圳•一模）如图，已知是。。的直径，直线DC是。。的切线，切点为C,AE，

垂足为E.连接AC.

⑴求证：力。平分/历出；

（2）若AC=5,tan乙4cE=,,求。。的半径.

•••

建目⑶(2023广东深圳•模拟预测)如图所示,CD为60的直径，AD,AB,BO分别与0O相切于点D、

E、C(AD<BC).连接DE并延长与直线BC相交于点P,连接OB.

DA

(1)求证：BC=BP；

⑵若DE-OB=40,求的值；

⑶在⑵条件下，若DE-.PE=4:5,求四边形ABCD的面积.

题目回(2023•广东深圳•模拟预测)已知RtZXABC中，/C=90°,AB=10,且tan乙4=1■，”为线段AB的

中点，作。MLAB,点P在线段CB上，点Q在线段AC上，以PQ为直径的圆始终过点且PQ交线段

DM于点E.

(1)求线段ZW的长度；

⑵求tan/PQM的值；

(3)当是等腰三角形时，求出线段AQ的长.

•••

【题型二与圆中证明直线是切线的有关问题】

的］（2023•广东深圳•模拟预测）如图，△48。内接于。O,AB,CD是OO的直径，七是D4长线上一点,且

ACED=ACAB.

⑴求证：CE是。。的切线；

⑵若OE=3渥，tanB=/,求线段CE的长.

【变式训练】

题目R（2023•广东深圳•模拟预测）如图，是。。的直径，点C是0。上一点，AD和过点C的直线互相

垂直,垂足为。，AD交。。于点E,且AC平分/OAB.

（1）求证:直线CD是。。的切线；

⑵连接BC,若BC=4,力。=5,求AE的长.

•••

题目团（2023・广东深圳•模拟预测）如图，是。。的直径，点D是愈上一点,且2BDE=NCBE,BD

与AE交于点F.

（1）求证：BC是。。的切线；

⑵若平分/ABE,DE=2,求证DF•DB是定值.

题目⑶（2023•广东深圳•模拟预测）如图，内接于。O,延长直径AB到。，使乙BCD=/BAC,过圆

心。作BC的平行线交DC的延长线于点E.

⑴求证：CD是。。的切线；

⑵若CD=4,CE=6,求。。的半径及tan/ABO.

•••

题目@（2023・广东深圳•模拟预测）如图，直线MN交。。于43两点,AC是直径,AD平分ZCAM交0

。于D,过D作DE_LMN于E.

⑴求证：DE是。。的切线；

（2）若DE=6,AE=22，求。。的半径.

【题型三与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】

血_（2023•广东深圳•二模）如图，点P是。。的直径4B延长线上一点，AO=AP,点。旋转到点。，连接

CO交。。于点。，乙400=60°.

⑴求证：DP是。。的切线；

（2）若AB=2,求阴影部分的面积.

【变式训练】

题目①（2022.广东深圳.模拟预测）如图，在Rt/XABC中，AACB=90°,。O与BC,AC分别相切于点E,

F,BO平分AABC,连接OA.

（1）求证：4B是③。的切线；

（2）若BE=AC=6,。。的半径是2,求图中阴影部分的面积.

【题型四与圆中实际应用的有关问题】

的1（2023•广东深圳•模拟预测）已知：A、B、。三点不在同一直线上.

CCBM

图①图②图③

⑴若点A、B、C均在半径为7?的。。上，

⑴如图①，当/A=45°,R=1时，求ABOC的度数和的长；

（沉）如图②，当ZA为锐角时,求证：sinA=舞；

2rC

（2）若定长线段及7的两个端点分别在/M4N的两边AM、AN（B、。均与A不重合）滑动,如图③，当

4MAN=60°,BC=2时,分别作BP±AM,CP±4V,交点为P,试探索在整个滑动过程中，P、A两点

间的距离是否保持不变？请说明理由.

•••

【变式训练】

题目刀（2023•广东深圳•一模）如图1,平行四边形ABCD中，AD=26，4代，/O=60°,点河在BC

延长线上且CM=CD,EF为半圆。的直径且FE，,助=6,如图2,点E从点M处沿MB方向运

动，带动半圆。向左平移，每秒个单位长度，当点F与点。重合时停止平移，如图3,停止平移后半圆O

立即绕点E逆时针旋转，每秒转动5°,点F落在直线BC上时，停止运动，运动时间为1秒.

（1）如图1,BF=；

（2）如图2,当半圆。与。。边相切于点P,求硒■的长;

⑶如图3,当半圆。过点C,EF与。。边交于点Q,

①求EF平移和旋转过程中扫过的面积；

②求CQ的长；

⑷直接写出半圆O与平行四边形ABCD的边相切时力的值.（参考数据：sin35。=乎，tan35°=亨）

题目②（2023・广东深圳•一模）【问题发现】

船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如图1,A,B表示灯塔,暗礁分布在经

过4B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点。都是有触礁危险的临界点，/ACB就是“危险角”.

当船P位于安全区域时,它与两个灯塔的夹角/a与“危险角”有怎样的大小关系？

【解决问题】

（1）数学小组用已学知识判断/a与“危险角”的大小关系,步骤如下：

如图2,AP与。。相交于点。，连接,由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知NACB=NADB,

,:NADB是4BDP的外角，

NAPB/（填或“V”），

.•./a/ACB（填或“V”）；

【问题探究】

⑵如图3,已知线段4B与直线Z,在直线，上取一点P,过4B两点，作⑷。使其与直线Z相切,切点为P,

不妨在直线上另外任取一点Q,连接AQ、BQ,请你判断/APB与的数量关系,并说明理由；

【问题拓展】

（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4,他在点P处接到球后，沿PQ方向带球跑动，

球门AB=7米，DP=7.5米，=15.5米，ZADC=90°,tanZQPC=”.该球员在射门角度

（乙4MB）最大时射门,球员在PQ上的何处射门？（求出此时•的长度.）

与圆有关问题的压轴题之四大题型

题型导向

目录

【题型一与圆中线段相等及相似的有关问题】

【题型二与圆中证明直线是切线的有关问题】

【题型三与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】

【题型四与圆中实际应用的有关问题】

典型例踽

【题型一与圆中线段相等及相似的有关问题】

网］1（2023•广东深圳•三模）如图，AB为。。的直径，。为OO上一点，AD与过点。的切线互相垂直，垂足

为点。，AD交。。于点E,连接CE,CB.

⑴求证：CE=CB；

（2）若入。=g，C£=2,求CD的长.

【答案】（1）见解析

⑵竽

O

【分析】（1）连接O。、OE,根据切线的性质得到CD,根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到

NDAC=AOAC,根据圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；

⑵根据勾股定理求出AB,证明△DAC〜△CAB,根据相似三角形的性质列出比例式,代入计算得到答

案.

【详解】（1）解:证明：

连接OC、OE,

•••CD是（DO的切线,

OC±CD,

-.-AD±CD,

：.OCHAD,

：.ADAC=AOCA,

•：OA=OC,•••

・・・ZOAC=ZOCA,

：.ADAC^AOAC,

由圆周角定理得，乙BOC=2乙OAC,4EOC=2/DAC,

・・・/BOC=/EOC,

:,CE=CB;

⑵

由⑴不知，BC=CE=2,

•・・AB是。。的直径，

・・・乙4cB=90°,

・・.AB=VAC2+BC2=7(V5)2+22=3,

•・・ZDAC=ABAC,AADC=ZACB=90°,

•••△ZZ4C〜△C4B,

.DCAC即生=遁

•,BCAB923'

解得，。。=当显.

o

【点睛】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点

的半径是解题的关键.

【变式训练】

［题目Q（2023・广东深圳・三模）如图，AB是。。的直径，AC切。。于点A,连接交。。于点。，点H是

曲的中点，连接AE交于点F

（1）求证：力。=CF；

⑵若=4,4。=3,求/BAE的正切值.

【答案】（1）证明见解析

⑵,

【分析】（1）如图，连接BE,由C4是。O的切线，可得ZCAB=90°,由是直径，可得NAEB=90°,由

方汾=俞，可得NBAS=ZDBE,证明ZCAF=/CFA,进而可证=CF;

（2）由勾股定理得，3。=，48+4。2=5,由（1）可知,CF=AC=3,则BF=3C-CF=2.由

cosAABC用=*=4,可得BD=单，DF=BD—BF=§,由勾股定理得，AD=y/AB2-BD-二

ABBC555

卫■，由点E是曲的中点，可得ZBAE=Z.DAE，根据tanZBAS=tanADAE=

5

耳，计算求解即可.

【详解】（1）证明：如图，连接BE,

••♦CA是。。的切线，

.•./CAB=90°,

：AB是直径，

乙4EB=90°,

•.•点E是互力的中点，

：.DE—BE,

：.NBAE=NDBE,

•：/CAF=90°—NBAE,ACFA=NBFE=180°-ADBE-/AEB=90°-ZDBE,

：.ZCAF^ZCFA,

：.AC=CF-,

（2）解：由勾股定理得，BC=y/AB2+AC2=5,

由（1）可知，CF=AC=3,

：.BF=BC-CF=2.

AB是直径，

/ADB=90°,

../A”BDAB4

.cosZABC=—

RD=学,DF=BD-BF=±,

55

由勾股定理得,AD=-JAB2-BD2=孕,

5

・・,点E是互力的中点，

：.DE=BEf

：./BAE=/DAE,

DFi

ZBAE=tanZZ?AE=——=--,

AD2

/.tan/BAE=].

【点睛】本题考查了切线的性质、直径所对的圆周角为直角、等角对等边、同弧或等弧所对的圆周角相等、勾

股定理、三角函数等知识，解题的关键在于确定角度、线段之间的关系.

题目习（2023.广东深圳.一模）如图，已知是OO的直径，直线OC是©。的切线,切点为

垂足为E.连接AC.

⑴求证：AC平分NBAE；

⑵若47=5,tan乙4c8=■!■，求OO的半径.

【答案】（1）见解析

⑵得

【分析】（1）连接OC,由直线。。是。。的切线得到OC_LDC,又由AE_L得到OC〃AE,则AEAC

=乙4co，由OC=OA得到乙4CO=/OAC,则/94C=/OAC,即可证明结论；

（2）连接，由AB是。。的直径得到ZACB=90°,则AOAC+ZABC=90°,又由AE_L

3

AEAC+/ACE=90°,由(1)得/EAC=/OAC,则NABC=/ACE,在AtZVlBC中，tan/ABC=

tan/ACE=4,则条==；，得到BC=空，在Rt/XABC中，由勾股定理得到4B=孕，即可得到

4433

。。的半径.

【详解】(1)证明：连接OO,

・・,直线7X7是。O的切线，切点为C,

・・・OCrDC,

又•・・？!£；_LOC,垂足为E,

・•.OC//AE,

・•.ZEAC=AACO,

・・・OC=OA,

AACO^AOAC,

ZEAC=AOAC,

・•・AC平分/A4E;

(2)解:连接BC,

・・・AB是。O的直径，

・・.ZACB=90°,

・・.ZOAC+ZABC=90°,

义・・・AE_LDC,

・・.ZAEC=90°f

・•.ZEAC+ZACE=90°f

由(1)得：ZEAC=ZOACf

・・.ZABC=AACE,

在Rt/XABC中，tan/AB。=tanZACE=j,

.』。=5=3

**BC-BC

・・.8。=引

o

在Rt^ABC中，AB=VAC2+BC2=^52+(^-)2=-y-,

，OA=餐.

6

【点睛】此题考查了切线的性质定理、锐角三角函数、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质定

理、锐角三角函数、圆周角定理是解题的关键.

题目⑶(2023•广东深圳•模拟预测)如图所示，CD为。。的直径，AD.AB,BC分别与©O相切于点D、

E、C(AD<BC).连接DE并延长与直线B。相交于点P,连接OB.

(1)求证：BC=BP；

⑵若OE-OB=40,求AD-BC的值;

（3）在（2）条件下，若DE-.PE=4:5，求四边形ABCD的面积.

【答案】（1）见解析

（2）20

（3）1875

［分析］⑴由于点。是CD的中点，所以要证BC=BP,只要证明OB//DP即可；

（2）由。E♦03=40可以想到比例式，由题意可以证明△DEC〜AOCB，由此得DE•OB=OC•=40,

则OC=2V5,再证△ADO〜AOCB即可；

（3）易证△ADE〜/XBPE，根相似三角形的性质得慧=舞=金•，则BC=5,又四边形ABCD是梯形，

DrJrL!JO

按其面积公式即可求解.

【详解】⑴证明：连接OE,如图①，

•.•反7、48分别与00相切于点。、后，

ZOCB=AOEB=90°,

在.。作与.四中，移言源黑篱，等)

Rt^OCB笃Rt^OEB(HL)

：./COB=/EOB

•・・同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半，

・・・4cOB=1乙COE=LCDP,

J.DP//OB,

又点O是CD的中点，

・・・OB是△CEP的中位线，

・・.BC=BP.

⑵连接04OE、CS,如图②所示

・・・CD是。。的直径，

・・・ZDSC=90°,

又石。与。。相切于点C,

・・・/DEC=/OCB=9U°,

又N4=N6,

•••△£＞石。〜△OCB,

.DE=DC

"~OC~~OB9

・•・DE・OB=OC・DC=40,

・・.OC=2O。，

・•・OC2=20,OC=2V5,

・・・又Nl=/2,Z3=Z4,

.・.N1+N4=9O°,

又Nl+/5=90°,

・・.Z4=Z5,

・•・AADO-AOCB,

.AD=OP

"~OC~'BCf

・・・AD-BC=OC-OD=OC2=20,

即：AD・BC=20,

5

⑶・・・AD、分别与。。相切于点。、C,如图②所示,

:.CD_LAD,CDLPC,

・・・ADIIPB,

・•・4ADE〜/\BPE,

.AD=DE=4

**BP-PE--5",

,4。=AD=4

**BC-BP

即：AD=3BC=&BP,

55

又：AD-BC=20,

BC2=25,

即：BC=5,

=OC（AD+BP）

=2A/5•注C

5

r-Q

=2V5x=x5

5

=1875,

即：四边形ABCD的面积为18V5.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、相似的性质与判定等知识点，本题的难点是相似的判定与性质的应

用，这也是解（2）、（3）两个小题的关键.

［题目©（2023•广东深圳•模拟预测）已知RtZXAB。中，/C=90°,AB=10,且tan乙4=,,M为线段AB的

中点，作。MLAB,点P在线段CB上，点Q在线段AC上，以PQ为直径的圆始终过点且PQ交线段

DM于点、E.

（1）求线段ZW的长度；

⑵求tan/PQM的值；

（3）当ZWPE是等腰三角形时，求出线段AQ的长.

【答案】⑴?

⑵去

O

⑶学或5

O

［分析］⑴在RtAAMD中，AM=^AB=5,然后在RtAAMD中利用三角函数即可求解;

⑵证明AACM=ZA=乙QPM,然后根据等角的三角函数值相等即可求解；•••

（3）证明〜故当AMPE是等腰三角形时，则ZVlMQ为等腰三角形.然后分①当AM^

AQ=5时，②当AM=时，③当AQ=时三种情况求解.

【详解】⑴AB,

△ADA1为直角三角形，

•：M为线段AB的中点，AB=10,

AM=^AB=b,

在Rt/\AMD中，

则DM=AMtanA=5x3=学;

44

⑵连接CM,

在Rt/XABC中，：CM■是中线，

:.CM=BM=AM,

：.NMBC=AMCB,

•：MP—MP,,

ZMCB=APQM,

：.4MBe=4MCB=APQM,

在Rt/\ABC中，tanZA=岑="，则tan/4B。==--,

AC4BG3

4

tanZFQM=tan/ABC=--；

o

(3)・・・AQMA+AQMD=90°,APME+AQMD=90°,

・・・4QMA=4PME,

在此△ABC中，・・・CM■是中线，

：.CM=BM=AM,

・・・ZACM=ZA,

MQ=MQ,

：.ZACM=AQPM,

・・・ZACM=ZA=/QPM,

：.4AMQ〜^PME,

：.当4MPE是等腰三角形时，则为等腰三角形,

①当AM=4Q=5时，

此时_AQ=5;

②当时，

・•.ZA=ZAQM.

・・・AAQM>ZACM=ZA,

・・・此种情况不存在；

③当AQ=MQ时，

・・.ZA=ZAMQ.

・・•ZA+ZADM=90°,ZAMQ+ADMQ=90°,

・・・4DMQ=/ADM,

・•.DQ=MQ,

：.AQ=DQ,

AQ^^AD,•••

在Rt/\AMD中，AD=y/AM2+DM2=，5?+（号丫=苧,

则人。=孕；

O

综上，AQ=或5.

o

【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形相似、解直角三角

形等，其中（3）,要注意分类求解，避免遗漏.

【题型二与圆中证明直线是切线的有关问题】

题］（2023•广东深圳•模拟预测）如图,△ABC内接于QO,48、CD是。。的直径，七是D4长线上一点，且

ACED=ACAB.

⑴求证：。£是。。的切线；

（2）若OE=3，^,tanB=y,求线段CE的长.

【答案】（1）见解析

（2）3

【分析】（1）根据圆周角定理得出=90°,再由各角之间的等量代换得出NDCE=2ACB=90°,利用

切线的判定证明即可；

⑵根据⑴可知，CD_LCE,再由正切函数的定义得出CD=2CE,利用勾股定理求解即可.

【详解】（1）证明：:AB是。。的直径，

乙4cB=90°,

/./CAB+/B=90°,

AGED=2CAB,Z.B=Z.D,

：./CEE>+/D=90°,

NDCE=NACB=90°,

：.CD_LCE,

••♦CD是。O的直径，即OC是。O半径，

.•.CE是。。的切线；

(2)由⑴知，CD_LCE,

在RtAABC和Rt^DEC中，

Z.B=Z.D,tanB=,

tanZB=tanZZ)=，普=],

ID/

：.CD=2CE,

在Rt^CDE中，CD2+CE2=DE2,DE=3-75,

(2CE)2+CE2=(3/)2,

解得CE=3(负值舍去)，

即线段CE的长为3.

【点睛】题目主要考查切线的判定和性质，正切函数的定义，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这

些知识点是解题关键.

【变式训练】

题目Q（2023•广东深圳•模拟预测）如图，AB是。O的直径，点。是。。上一点，AD和过点C的直线互相

垂直,垂足为。，人。交。。于点E,且AC平分/D4B.

（1）求证:直线CD是。。的切线；

⑵连接若5。=4,47=5,求AE的长.

【答案】（1）证明见解析；

-41

【分析】（1）如图所示，连接根据南平分线的定义和等边对等角证明/LOCA=ACAD,则AD//OC,由

AD±CD,可证OC,CD,即可证明直线CD是。O的切线；

⑵先求出CE=BC=4,利用勾股定理求出48=何，证明△ABC〜△4CD求出。。=当"，利用勾

股定理求出。E=-^L,AD=*L,则AE=AD-DE=^^.

V41V4141

【详解】⑴证明：如图所示，连接OC,

••・AC平分/DAB,

：,ACAD=ACAB,

■：OA=OC,/\

A

AOAC=AOCA,rQ产

：.ZOCA=ACAD,\J

：.ADIIOC,

•：AD±CD,

OC^CD,

又：点C在。。上，

二.直线CD是©O的切线；

⑵解:如图所示，连接CE,OC,

由（1）得ACAD=ZCAB,月/^J^L

：.CE=BC,

.CE=BC=4,心/

4Q

•••AB是。。的直径，rQr

：.ZACB=90°\J

：.AB=yjAC2+BC2=V52+42=V41,'------------/

•/NACB=2ADC=90°,ACAD=ACAB,

：.ZXABC〜/\ACD,

.CD_AC

"BC~AB'

即92=工

4V41

DE=y/CE2-CD2=,AD=^AC2-CD2=,

：.AE^AD-DE^^^~.

41

【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾

股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键.

题目团（2023•广东深圳•模拟预测）如图，AB是。。的直径，点D是愈上一点,且ZBDE=NCBE,BD

与AE交于点F.

⑴求证是。。的切线；

（2）若平分/ABE,DE=2,求证DF•DB是定值.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）根据圆周角定理即可得出/EAB+/EBA=90°,再由已知得出乙4BE+/CBE=90°,则CB

_LAB,从而证得是。。的切线；

（2）通过证得APEF〜ADBE,得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论.

【详解】（1）证明：••,AB是。。的直径，

ZAEB=90°

：.AEAB+AABE^90°,

•：NBDE=NEAB,NBDE=NCBE,

：.NEAB=NCBE

：.AEBA+ACBE=^°,

：.CB±AB

AB是。。的直径，

••.BC是。O的切线

（2）证明：；BD平分/ABE,

：.NABD=ZDBE,

•：4ABD=4DBE,

：.AD=DE

：.NAED=ADBE,

•：NEDF=ABDE,

10

：.2EF-£\DBE

•DE=DF

••西一话’

DF-DB=DE?,故DF-BD是定值.

【点睛】本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质;要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连

接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.

题目,（2023•广东深圳•模拟预测）如图，A4BC内接于O。，延长直径到。，使乙8。。=/BAC,过圆

心。作BC的平行线交DC的延长线于点E.

⑴求证：。。是。。的切线；

⑵若CD=4,侬=6,求。。的半径及1211乙4及7.

【答案】（1）证明见解析

（2）。。的半径为3,tan/ABC=2

【分析】（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，/OCA=/DCB,由圆周角定理可得/ACB=90°,进而

得到AOCD=90°,即可得出结论；

⑵根据平行线分线段成比例定理得到黑=察=高，设8。=2c,则OB=OC=3a;,OD=OB+BD

Oi3CH3

二5/，在Rt/XOCD中，根据勾股定理求出力=1,即。O的半径为3,由平行线的性质得到40cB=

AEOC,在Rt^OCE中，可求得tan/EOC=2,即tan/ABC=tanZOCB=2.

【详解】（1）证明：・.・OA=OC,

・・.AOAC=ZOCA,

・・・4DCB=/OAC,

：.ZOCA=ZDCBf

・・・AB是。。的直径，

・・・ZACB=90°,

・・.ZOCA+ZOCB=90°,

・・.ZDCB+ZOCB=90°,

即/OCD=90°,

・・.OC.LDCf

・・・O。是。。的半径，

・・・C。是。O的切线；

（2）\-OE//BC,

.BD=CD

''~OB~~CE'

•・・CD=4,CE=6,

.BD=4=2

设BD=2%

11

则OB=OC=3c,OD=OB+BD=5c,

OC±DC,

：.△OCD是直角三角形，

在Rt/\OCD中，002+5=。。2,

.•.（302+42=（5x）2,

解得，2=1,

:.OC=3/=3,

即。O的半径为3,

•：BC//OE,

：.AOCB=ZEOC,

•：OB=OC,

：.AOCB=ZOBCf

在Rt^OCE中,tan/EOC=­；=号=2,

i_zOo

tan/ABC=tan/OCB=lanAEOC—2.

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，掌握圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切

线的判定与性质与平行线分线段成比例定理是解题的关键.

题目⑷（2023・广东深圳•模拟预测）如图，直线MN交。O于4B两点,AC是直径,AD平分4cAM交0

。于D,过D作DE_LMN于E.

ME4-------BN

⑴求证：DE是OO的切线；

（2）若。£=6,40=2皿,求。。的半径.

【答案】（1）证明见解析

⑵子

【分析】⑴连接。D,根据平行线的判定与性质可得NODE=/DEW=90°,且。在。。上，故。石是。O

的切线.

（2）由直角三角形的特殊性质,可得4。的长，又有△幺CD〜Z\ADE,根据相似三角形的性质列出比例式，

代入数据即可求得圆的半径.

【详解】（1）证明：连接OD

vOA=ODf/^/\

：.ZOAD=ZODA.（\

・・・

4D平分NC4MD个-——-JQ

：.ZOAD=ZDAEf\\/j

・・.AODA=ADAE.____J

DO//MN.MEABN

•・•DE_LMN,

ZODE=ZDEM=90°

12

即。D_LDE.

•.•。在。。上，。。为。O的半径，

.•.DE是OO的切线.

（2）VZAED=90°,DE=6,AE=22，

AD=y/DE2+AE2=V62+（2V2）2=2VTT.

连接CD.

•：AC是。。的直径，

ZADC=ZAED=90°.

•：ACAD=ADAE,

：.AACD-^ADE.

・ADAC

"~AE~'AD

.2V11_AC

"2V2-2vH'

则AC=11V2.

的半径是卫卢.

【点睛】本题考查圆的切线的判定、圆周角定理、勾股定理切割线定理、相似三角形的判定和性质等知识，在

圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键.

【题型三与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】

网］1（2023•广东深圳•二模）如图，点P是。。的直径4B延长线上一点，AO=AP,点。旋转到点C,连接

CO交。。于点。，乙400=60°.

⑴求证：DP是OO的切线；

（2）若2,求阴影部分的面积.

【答案】（1）见解析

⑵空一专

【分析】（1）连接AD,根据题意推出△40。是等边三角形，根据等边三角形的性质得到ADAO=AADO

=60°,AO^AD,根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出AADP=30°,则APDO=90°,根据切线

的判定定理即可得解；

⑵根据阴影部分的面积=SAODP—S扇彩04。求解即可.

【详解】（1）证明：如图，连接AD,

根据题意得，乙40。=60°,

AO=OD,

：.A4OD是等边三角形，

ZDAO=^ADO=60°,AO=AD,

•：AO=AP,

・・.AP=AD,

：.AAPD=AADPf

・・•ZDAO=AAPD+AADP,

・・.ZADF=30°,

・・.ZFDO=AADP+AADO=90°,

：.PD±ODf

•・・OD是。O的半径，

・・・OP是。O的切线；

(2)解：・・・4B=2,

・•.AO=DO=1,

・・.OP=24O=2,

DP=y/OP2-OD2=V22-l2=V3,

SAODP=与DP・OD=4^X1=,

阴影部分的面积=S^ODP—S能形OAD=~本

【点睛】此题考查了切线的判定与性质、扇形面积的计算，熟练切线的判定与性质、扇形面积的计算是解题

的关键.

【变式训练】

题目工（2022.广东深圳.模拟预测）如图,在人力ZVIB。中，ZACB=90°,◎O与BC,分别相切于点E,

F,BO平分AABC,连接OA.

⑴求证是。。的切线；

（2）若现;=4。=6,。0的半径是2,求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）证明见解析

（2）10-yTt

【分析】⑴连接OE,过点。作OGL48于点G,如图，由切线的性质得到BC,再由角平分线的性

质得到OE=OG,由此即可证明4B是OO的切线；

（2）连接OE,OF,过点。作OG，4B于点G,如图，先证明四边形OECF为正方形.得到EC=FC=

OE=OF=2.求出BC=8,即可求出48=10.证明40平分/B4C,进而推出/O4B+45°,

则AAOB=135°.即可得到S阴影=S/AB—S扇…=x10x2-叱产="_*=10,

【详解】⑴证明：连接OE,过点O作OG，AB于点G,如图，

・・・BC为。O的切线，

：.OE_LBC.

14

•.•BO平分/ABC,OGYAB,OE_LBC,A

：.OE=OG.

直线AB经过半径OG的外端G,且垂直于半径OG,

.♦.AB是OO的切线；

（2）解:连接OE,OF,过点、。作OG_LAB于点G,如图,

•：@O与BC,47分别相切于点E,F,

：.OE±BC,OF±AC,

■：/ACS=90°,

四边形OECF为矩形,

•：OE=OF,

四边形OECF为正方形.

EC=FC=OE=OF=2.

；BE=AC=6,

:.BC=&,

：.AB=y/AC2+BC2=10.

由（1）知：OG=OE=2,

：.OG=OF,

­：OG±AB,OFAC,

AO平分/BA。，

ZOAB=ABAC.

•••BO平分/ABC,

NOBA=AABC.

•：乙4cB=90°,

AABC+ABAC=9Q°,

：.AOAB+NOBC=y（ZABC+ABAC）=45°,

ZAOB=135°.

2

x1357tx23

S阴影=S^—OMN=­10x2—1in0一了兀10.

OAB360

【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质与判定，求不

规则图形面积得到，正确作出辅助线是解题的关键.

【题型四与圆中实际应用的有关问题】

血］1(2023•广东深圳・模拟预测)已知：A、B、。三点不在同一直线上.

(1)若点A、B、C均在半径为R的。。上,

（i）如图①，当/A=45°，五=1时，求/BOC的度数和BC的长；

（沉）如图②，当/A为锐角时,求证：sinA=祟；

2lx

⑵若定长线段BC的两个端点分别在/AMN的两边AM.AN（B、。均与A不重合）滑动,如图③，当

NMAN=60°,BC=2时,分别作BP±AM,CPA.AN,交点为P,试探索在整个滑动过程中，P、A两点

间的距离是否保持不变？请说明理由.

【答案】（1）⑴90°;BC=V2;（近）见解析

（2）见解析

【分析】⑴⑴根据圆周角定理得ZBOC=2=90°,再利用勾股定理即可求解；（助证法一：连接EB,

作直径CE,则/E=/A,CE=2凡利用sinA=sinE即可求解;证法二：连接OB、OC,作OH_LBC于

点H,NA=ABOH,BH=利用sinA=sin乙BOH即可求解.

⑵连接4P,取AP的中点K,连接BK、CK,首先证明点4、B、P、。都在©K上，再利用sin60°二鼠,

得出AP==早（定值），即可求解