中考数学专项复习：相似三角形 六大证明技巧（含答案及解析）

第2讲相似三角形6大证明技巧

模块一相似三角形证明方法

相似三角形的判定方法总结:

1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

2.三边成比例的两个三角形相似.（SSS）

3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.（SAS）

4.两角分别相等的两个三角形相似.（AA）

5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似（HL）

相似三角形的模型方法总结：

“反A”型与“反X”型.

示意图结论

1反A型：

£/\如图，已知△48C,NADE=NC,则

△ACB(AA),：.AE-AC=AD-AB.

cB若连C£＞、3£,进而能证明△4CDSA48E(SAS)

反X型：

如图，已知角/R4O=/CDO,则

（）（AA）,：.OAOC=ODOB.若连BC,进而能

ZJK—0。证明△NODS/XBOC

“类射影”与射影模型

示意图结论

A

类射影：

\如图，已知△48C,ZABD=ZC,则△48£1s

△NC8(AA),；.AB2=ADAC.

（

射影定理

如图，已知//C5=90。，CHLAB于H,贝U

AC2=AH-AB,BC2=BH-BA,HC2=HA-HB

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“旋转相似”与“一线三等角”

示意图结论

.1旋转相似：

4RAr)

如图，已知则一=一，

ACAE

D/BAC=/DAE,:・/BAD=/CAE,

*:•△BADsACAE(SAS)

D

r\1一线三等角：

如图，已知N4=NC=/D3£,则

(AA)

ABC

巩固练习

反A型与反X型

已知AABC中，ZAEF=ZACB,求证：(1)AE-AB=AF-AC(2)ZBEO=ZCFO,Z

EBO=ZFCO(3)ZOEF=ZOBC,ZOFE=ZOCB

类射影

BDAB

如图，已知/B2=/C./。，求证:

~BC~^C

射影定理

已知△NBC,ZACB=90°,CHLAB于H,求证：AC2=AH-AB,BC2=BH-BA,

HC~=HAHB

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模块二比例式的证明方法

通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型"（A型，X型，线束型）,

也离不开上述的6种“相似模型”.但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具,

怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题.合理的思维方法，能让模型成为

解题的利刃，让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧.

技巧一：三点定型法

技巧二：等线段代换

技巧三：等比代换

技巧四：等积代换

技巧五：证等量先证等比

技巧六：几何计算

技巧一：三点定型

【例1】如图，平行四边形/3CD中，E是延长线上的一点，DE交BC于F,求证:

DCCF■

【例2】如图，△ABC中，ZBAC=9Q°,M为8c的中点，DMLBC交CA的延长线于。,

交48于E.求证：AM?=MD-ME

【例3】如图，在RtZ\4BC中，是斜边8c上的高，N/3C的平分线BE交NC于£,

BFAB

交于尸.求证:

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［技巧二：等线段代换

悄悄地替换比例式中的某条线段…

【例4】如图，在△ABC,AD平分NBAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于

F,求证：FD2=FBFC

【例5】如图，四边形/BCD是平行四边形，点E在边8/的延长线上，CE交AD于F,

NECA=ND•求证：ACBE=CE-AD-

【例6】如图，ZXACB为等腰直角三角形，AB=AC,ZBAC=90°,NDAE=45°,求证:

AB2=BECD

【例7】如图，△4BC中，AB=AC,4D是中线，尸是/。上一点，过C作C尸〃48,

延长3尸交NC于E,交CF于F.求证：BP?=PE.PF.

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技巧三：等比代换

【例8】如图，平行四边形43。中，过2作直线/C、4D于O,E、交CD的延长线

于尸，求证：OB2=OEOF.

【例9】如图,在△/BC中，已知乙4=90。时，4D_LBC于D,E为直角边/C的中点,

过。、£作直线交N8的延长线于厂.求证：ABAF=AC-DF.

【例10］如图,在△NBC中(4B>AC)的边N3上取一点D,在边NC上取一点£,使

AD=AE,直线DE和8c的延长线交于点P.求证：BPCE=CPBD

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技巧四：等积代换

【例11］如图，△/BC中，BD、CE是高，EHLBC于H、交.BD于G、交C4的延长

线于求证：HE2=HG-MH.

4

\D

@

B2

H

【例12］如图，在中，，O_L8C于。，DE于E,_L/C于尸，连EF,

求证：ZAEF=ZC

【例13］如图，在△48C中，ABAC=90°,。为/C中点，AE±BD,£为垂足，求证:

ZCBD=NECD.

【例14】在RtA48C中，AD1BC,P为/£>中点，MNLBC,求证MN?=AN-NC

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技巧五：证等量先证等比

【例15］已知，平行四边形ABCD中，E、尸分别在直线ND、CD上，EF//AC,BE、BF

分别交NC于M、N.,求证：AM=CN.

【例16］已知如图BD//AC,ABIICE,过/点的直线分别交AD、CE于D、E.求

证：AM=NC,MN//DE.

【例17］如图，ZX/BC为等腰直角三角形，点P为上任意一点，PFLBC,PELAC,

AF交PE于N,BE交PF于M.,求证：PM=PN,MN//AB.

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【例18]如图，正方形8FDE内接于△45C,CE与DF交于点、N,AF交ED于点、M,CE

与//交于点P.求证：（1）MN//AC；（2）EM=DN.

A

\.M、.D

BFC

【例19]（;※）设£、厂分别为NC、AB的中点，。为8C上一点，尸在59上，DP//CF,

。在C£上，DQ//BE,PQ交BE于R,交CF于S,求证：RS=^PQ

A

F/x

/—~^D~^C

20

【例