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文档简介
第2讲相似三角形6大证明技巧
模块一相似三角形证明方法
相似三角形的判定方法总结:
1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
2.三边成比例的两个三角形相似.(SSS)
3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)
4.两角分别相等的两个三角形相似.(AA)
5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)
相似三角形的模型方法总结:
“反A”型与“反X”型.
示意图结论
1反A型:
£/\如图,已知△48C,NADE=NC,则
△ACB(AA),:.AE-AC=AD-AB.
cB若连C£>、3£,进而能证明△4CDSA48E(SAS)
反X型:
如图,已知角/R4O=/CDO,则
()(AA),:.OAOC=ODOB.若连BC,进而能
ZJK—0。证明△NODS/XBOC
“类射影”与射影模型
示意图结论
A
类射影:
\如图,已知△48C,ZABD=ZC,则△48£1s
△NC8(AA),;.AB2=ADAC.
(
射影定理
如图,已知//C5=90。,CHLAB于H,贝U
AC2=AH-AB,BC2=BH-BA,HC2=HA-HB
13
“旋转相似”与“一线三等角”
示意图结论
.1旋转相似:
4RAr)
如图,已知则一=一,
ACAE
D/BAC=/DAE,:・/BAD=/CAE,
*:•△BADsACAE(SAS)
D
r\1一线三等角:
如图,已知N4=NC=/D3£,则
(AA)
ABC
巩固练习
反A型与反X型
已知AABC中,ZAEF=ZACB,求证:(1)AE-AB=AF-AC(2)ZBEO=ZCFO,Z
EBO=ZFCO(3)ZOEF=ZOBC,ZOFE=ZOCB
类射影
BDAB
如图,已知/B2=/C./。,求证:
~BC~^C
射影定理
已知△NBC,ZACB=90°,CHLAB于H,求证:AC2=AH-AB,BC2=BH-BA,
HC~=HAHB
14
模块二比例式的证明方法
通过前面的学习,我们知道,比例线段的证明,离不开“平行线模型"(A型,X型,线束型),
也离不开上述的6种“相似模型”.但是,王老师认为,“模型”只是工具,怎样选择工具,
怎样使用工具,怎样用好工具,取决于我们如何思考问题.合理的思维方法,能让模型成为
解题的利刃,让复杂的问题变简单。
在本模块中,我们将学比例式的证明中,会经常用到的思维技巧.
技巧一:三点定型法
技巧二:等线段代换
技巧三:等比代换
技巧四:等积代换
技巧五:证等量先证等比
技巧六:几何计算
技巧一:三点定型
【例1】如图,平行四边形/3CD中,E是延长线上的一点,DE交BC于F,求证:
DCCF■
【例2】如图,△ABC中,ZBAC=9Q°,M为8c的中点,DMLBC交CA的延长线于。,
交48于E.求证:AM?=MD-ME
【例3】如图,在RtZ\4BC中,是斜边8c上的高,N/3C的平分线BE交NC于£,
BFAB
交于尸.求证:
15
[技巧二:等线段代换
悄悄地替换比例式中的某条线段…
【例4】如图,在△ABC,AD平分NBAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于
F,求证:FD2=FBFC
【例5】如图,四边形/BCD是平行四边形,点E在边8/的延长线上,CE交AD于F,
NECA=ND•求证:ACBE=CE-AD-
【例6】如图,ZXACB为等腰直角三角形,AB=AC,ZBAC=90°,NDAE=45°,求证:
AB2=BECD
【例7】如图,△4BC中,AB=AC,4D是中线,尸是/。上一点,过C作C尸〃48,
延长3尸交NC于E,交CF于F.求证:BP?=PE.PF.
16
技巧三:等比代换
【例8】如图,平行四边形43。中,过2作直线/C、4D于O,E、交CD的延长线
于尸,求证:OB2=OEOF.
【例9】如图,在△/BC中,已知乙4=90。时,4D_LBC于D,E为直角边/C的中点,
过。、£作直线交N8的延长线于厂.求证:ABAF=AC-DF.
【例10]如图,在△NBC中(4B>AC)的边N3上取一点D,在边NC上取一点£,使
AD=AE,直线DE和8c的延长线交于点P.求证:BPCE=CPBD
17
技巧四:等积代换
【例11]如图,△/BC中,BD、CE是高,EHLBC于H、交.BD于G、交C4的延长
线于求证:HE2=HG-MH.
4
\D
@
B2
H
【例12]如图,在中,,O_L8C于。,DE于E,_L/C于尸,连EF,
求证:ZAEF=ZC
【例13]如图,在△48C中,ABAC=90°,。为/C中点,AE±BD,£为垂足,求证:
ZCBD=NECD.
【例14】在RtA48C中,AD1BC,P为/£>中点,MNLBC,求证MN?=AN-NC
18
技巧五:证等量先证等比
【例15]已知,平行四边形ABCD中,E、尸分别在直线ND、CD上,EF//AC,BE、BF
分别交NC于M、N.,求证:AM=CN.
【例16]已知如图BD//AC,ABIICE,过/点的直线分别交AD、CE于D、E.求
证:AM=NC,MN//DE.
【例17]如图,ZX/BC为等腰直角三角形,点P为上任意一点,PFLBC,PELAC,
AF交PE于N,BE交PF于M.,求证:PM=PN,MN//AB.
19
【例18]如图,正方形8FDE内接于△45C,CE与DF交于点、N,AF交ED于点、M,CE
与//交于点P.求证:(1)MN//AC;(2)EM=DN.
A
\.M、.D
BFC
【例19](;※)设£、厂分别为NC、AB的中点,。为8C上一点,尸在59上,DP//CF,
。在C£上,DQ//BE,PQ交BE于R,交CF于S,求证:RS=^PQ
A
F/x
/—~^D~^C
20
【例
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