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文档简介

第2讲相似三角形6大证明技巧

模块一相似三角形证明方法

相似三角形的判定方法总结:

1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.

2.三边成比例的两个三角形相似.(SSS)

3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)

4.两角分别相等的两个三角形相似.(AA)

5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)

相似三角形的模型方法总结:

“反A”型与“反X”型.

示意图结论

1反A型:

£/\如图,已知△48C,NADE=NC,则

△ACB(AA),:.AE-AC=AD-AB.

cB若连C£>、3£,进而能证明△4CDSA48E(SAS)

反X型:

如图,已知角/R4O=/CDO,则

()(AA),:.OAOC=ODOB.若连BC,进而能

ZJK—0。证明△NODS/XBOC

“类射影”与射影模型

示意图结论

A

类射影:

\如图,已知△48C,ZABD=ZC,则△48£1s

△NC8(AA),;.AB2=ADAC.

射影定理

如图,已知//C5=90。,CHLAB于H,贝U

AC2=AH-AB,BC2=BH-BA,HC2=HA-HB

13

“旋转相似”与“一线三等角”

示意图结论

.1旋转相似:

4RAr)

如图,已知则一=一,

ACAE

D/BAC=/DAE,:・/BAD=/CAE,

*:•△BADsACAE(SAS)

D

r\1一线三等角:

如图,已知N4=NC=/D3£,则

(AA)

ABC

巩固练习

反A型与反X型

已知AABC中,ZAEF=ZACB,求证:(1)AE-AB=AF-AC(2)ZBEO=ZCFO,Z

EBO=ZFCO(3)ZOEF=ZOBC,ZOFE=ZOCB

类射影

BDAB

如图,已知/B2=/C./。,求证:

~BC~^C

射影定理

已知△NBC,ZACB=90°,CHLAB于H,求证:AC2=AH-AB,BC2=BH-BA,

HC~=HAHB

14

模块二比例式的证明方法

通过前面的学习,我们知道,比例线段的证明,离不开“平行线模型"(A型,X型,线束型),

也离不开上述的6种“相似模型”.但是,王老师认为,“模型”只是工具,怎样选择工具,

怎样使用工具,怎样用好工具,取决于我们如何思考问题.合理的思维方法,能让模型成为

解题的利刃,让复杂的问题变简单。

在本模块中,我们将学比例式的证明中,会经常用到的思维技巧.

技巧一:三点定型法

技巧二:等线段代换

技巧三:等比代换

技巧四:等积代换

技巧五:证等量先证等比

技巧六:几何计算

技巧一:三点定型

【例1】如图,平行四边形/3CD中,E是延长线上的一点,DE交BC于F,求证:

DCCF■

【例2】如图,△ABC中,ZBAC=9Q°,M为8c的中点,DMLBC交CA的延长线于。,

交48于E.求证:AM?=MD-ME

【例3】如图,在RtZ\4BC中,是斜边8c上的高,N/3C的平分线BE交NC于£,

BFAB

交于尸.求证:

15

[技巧二:等线段代换

悄悄地替换比例式中的某条线段…

【例4】如图,在△ABC,AD平分NBAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于

F,求证:FD2=FBFC

【例5】如图,四边形/BCD是平行四边形,点E在边8/的延长线上,CE交AD于F,

NECA=ND•求证:ACBE=CE-AD-

【例6】如图,ZXACB为等腰直角三角形,AB=AC,ZBAC=90°,NDAE=45°,求证:

AB2=BECD

【例7】如图,△4BC中,AB=AC,4D是中线,尸是/。上一点,过C作C尸〃48,

延长3尸交NC于E,交CF于F.求证:BP?=PE.PF.

16

技巧三:等比代换

【例8】如图,平行四边形43。中,过2作直线/C、4D于O,E、交CD的延长线

于尸,求证:OB2=OEOF.

【例9】如图,在△/BC中,已知乙4=90。时,4D_LBC于D,E为直角边/C的中点,

过。、£作直线交N8的延长线于厂.求证:ABAF=AC-DF.

【例10]如图,在△NBC中(4B>AC)的边N3上取一点D,在边NC上取一点£,使

AD=AE,直线DE和8c的延长线交于点P.求证:BPCE=CPBD

17

技巧四:等积代换

【例11]如图,△/BC中,BD、CE是高,EHLBC于H、交.BD于G、交C4的延长

线于求证:HE2=HG-MH.

4

\D

@

B2

H

【例12]如图,在中,,O_L8C于。,DE于E,_L/C于尸,连EF,

求证:ZAEF=ZC

【例13]如图,在△48C中,ABAC=90°,。为/C中点,AE±BD,£为垂足,求证:

ZCBD=NECD.

【例14】在RtA48C中,AD1BC,P为/£>中点,MNLBC,求证MN?=AN-NC

18

技巧五:证等量先证等比

【例15]已知,平行四边形ABCD中,E、尸分别在直线ND、CD上,EF//AC,BE、BF

分别交NC于M、N.,求证:AM=CN.

【例16]已知如图BD//AC,ABIICE,过/点的直线分别交AD、CE于D、E.求

证:AM=NC,MN//DE.

【例17]如图,ZX/BC为等腰直角三角形,点P为上任意一点,PFLBC,PELAC,

AF交PE于N,BE交PF于M.,求证:PM=PN,MN//AB.

19

【例18]如图,正方形8FDE内接于△45C,CE与DF交于点、N,AF交ED于点、M,CE

与//交于点P.求证:(1)MN//AC;(2)EM=DN.

A

\.M、.D

BFC

【例19](;※)设£、厂分别为NC、AB的中点,。为8C上一点,尸在59上,DP//CF,

。在C£上,DQ//BE,PQ交BE于R,交CF于S,求证:RS=^PQ

A

F/x

/—~^D~^C

20

【例

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