重庆市秀山某中学2024-2025学年高二年级上册适应性考试数学试题（含答案解析）

重庆市秀山高级中学高2024-2025学年高二上学期适应性考试

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知等差数列｛%｝的前〃项和为若出=9,S4=40,则数列｛。"｝的公差"=（）

3

A.3B.2C.-D.4

2

2.已知圆Q：(%-1)2+3+2)2=9,圆。2：/+/+4x+2y-11=0,则这两个圆的位置关

系为（）.

A.外离B.外切C.相交D.内含

2222

3.已知椭圆二+匕=1的左焦点是双曲线二_y_-=1的左顶点，则双曲线的渐近线为（）

259a9

4(3

A.y=±—xB.y=±—x

55

4

C.y=±-%D.j/=±-x

3/4

4.在正方体/BCD-44GA中，点州是棱的中点，则异面直线8M与/C所成角的正

弦值为（）

AV10口3碗八而n而

510510

5.已知aeR,直线4：。尤+y-12=0的方向向量与直线乙：（a+3）x+4y+16=0的方向向量

共线，则这两条直线之间的距离为（）

A.4B.8A/2C.4VID.2行

6.某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线,

在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处

（如图②所示）.已知接收天线的口径（直径）为2.4,深度为0.4,则该抛物线的焦点到

顶点的距离为（）

试卷第1页，共4页

①②

A.0.9B.1.8C.1.2D.1.05

22

7.直线/:x-2y+百=0经过椭圆1r+方=1（。>6>°）的左焦点尸，且与椭圆交于两

点，若M为线段AB中点，|九值|=|。饮|,则椭圆的离心率为（）

A.—B.yC.—D.^1^.

2222

8.已知数列包｝满足%+。用=2、（-1）",〃€犷，且。2=5,记数歹“一^的前”项和为5",

贝!J849=（）

二、多选题

9.已知数列｛%｝是首项为1,公比为3的等比数列，则（）

A.［牛］是等差数列B.｛“向-％｝是等差数列

C.｛1吗%｝是等比数列D.｛%。,用｝是等比数列

10.下列说法正确的是（）

A.若向量乙瓦工共面，则它们所在的直线共面

B.若G是四面体O48C的底面VN8C的重心，贝1J加=；（刀+砺+区）

C.^OG=--OA+^OB+jOC,则48,C,G四点共面

D.若向量力=欣+城+丘，则称（根,",左）为力在基底｛京几罚下的坐标，已知力在单位

试卷第2页，共4页

正交基底3下的坐标为（1,2,3）,则/在基底｛6-瓦1+瓦寸下的坐标为,;,|,31

22

11.已知双曲线C：亍-%=1,>0力>0）,过左焦点用作一条渐近线的垂线，垂足为尸，过

右焦点6作一条直线交双曲线的右支于43两点，AG/2的内切圆与耳/相切于点。，则

下列选项正确的是（）

A.线段的最小值为打

a

B.的内切圆与直线4S相切于点耳

C.当归周=|。周时，双曲线的离心率为世

D.当点片关于点尸的对称点在另一条渐近线上时，双曲线的渐近线方程为其±y=0

三、填空题

12.在空间直角坐标系O-平中，已知向量征=（1,0,3）,贝壮在x轴上的投影向量

为.

13.在等比数列｛0”｝中，+。2=3,。5+。6=6,则。9+。10=.

14.已知抛物线C:R=2PMP>0）的焦点为尸，过点M（2,o）的直线交抛物线c于4方两

点，若=九"|水司=5,贝次=.

四、解答题

15.已知三点。（。⑼,4（T-1）,8（2,0）,记V/08的外接圆为。C.

（1）求OC的方程；

⑵若直线/：》-了-1=0与。（7交于〃,"两点，求ACAW的面积.

22.

16.已知梢圆C：=+二=1（。>6>0）经过点/（一2,0）,离心率为:

（1）求椭圆。的方程；

⑵直线1尸与椭圆c交于点p（异于顶点）与y轴交于点〃，点尸为椭圆的右焦点，。为坐

标原点，MFVOP,求直线4P的方程.

17.已知数列｛4｝的首项为=1,设S“为数列｛4｝的前〃项和，且有2S"=（〃+1）%.

试卷第3页，共4页

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)令g=aj2",求数列｛q｝的前〃项和

18.在四棱锥尸-48C。中，尸/_L底面/BCD,/。工48,ABHDC,AD=DC=AP=2,AB=1,

点E为棱尸C中点.

⑴证明：8E〃平面P/D；

(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

(3)若尸为棱尸C上一点，满足求平面E4B与平面4Ap夹角的余弦值.

22

19.如图，已知椭圆「：土+匕=1的两个焦点为耳，工，且耳耳为双曲线的的顶点，双曲

84

线心的离心率0=亚，设尸为该双曲线「2上异于顶点的任意一点，直线尸片,尸片的斜率分

别为匕，&，且直线PK和PF?与椭圆4的交点分别为4B和c,，

(1)求双曲线「2的标准方程；

(2)证明：直线尸耳尸耳的斜率之积勺•七为定值;

⑶求胃\AB的\取值范围.

试卷第4页，共4页

《重庆市秀山高级中学高2024-2025学年高二上学期适应性考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BCDCBACAADBD

题号11

答案BCD

1.B

【分析】根据等差数列通项公式和求和公式直接计算求解.

%+d=9_7

【详解】由出=9,$4=40=L14s

I2

故选：B

2.C

【分析】求得两个圆的圆心和半径，求得圆心距，由此确定正确选项.

【详解】圆a：(x-l)2+3+2)2=9的圆心为(1,-2),半径为q=3,

圆&方程f+/+4x+2y-ll=0可化为(x+2)z+(_y+l)2=42,

圆。2的圆心为(一2,-1),半径为々=4,圆心距==而，

因为马_4=1,々+4=7,1<A/IU<7,

所以两个圆的位置关系是相交.

故选：C.

3.D

【分析】由椭圆的标准方程可得其焦点坐标，从而得到双曲线的左顶点坐标，再由其渐近线

方程，即可得到结果.

【详解】设椭圆焦距为2c(c>0),

22

则,2=25-9=16,则c=4,所以椭圆1+三=1的左焦点为(一4,0),

22

所以双曲线1r5=1的左顶点为(-4,0),

所以。=4,所以i=16,

所以双曲线二-片=1的渐近线为了=£尤.

1694

故选：D

4.C

答案第1页，共14页

【分析】通过平行关系将异面直线夹角转化为相交直线夹角，结合等腰三角形性质求解正弦

值即可.

【详解】如图所示，取。。中点N,连接AN,CN,AC,MN,取NC中点O,连接ON,

则MN//CD//AB,MN=CD=AB,

/'：」

O

所以四边形是平行四边形，所以3/〃/N,

所以/AC4c或其补角是异面直线3W与NC所成角,

设正方体棱长为2,贝!|/乂=。'=不,/。=2应,

在等腰AZNC中，。是/C中点，所以ONL/C,

AN2-

即异面直线BM与AC所成角的正弦值为叵.

故选：C

5.B

【分析】根据两直线平行可得。的值，再根据平行线之间的距离公式求解即可.

【详解】由题意可得〃4,所以lx(a+3)=ax4,解得a=l,

故两直线方程分另U为x+y-12=0,x+y+4=0,

故这两条平行线之间的距离为d=।陋=8行.

故选：B.

6.A

【分析】根据题意建立平面直角坐标系求出抛物线方程即可得到答案.

【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点(即

抛物线的顶点)与原点重合，焦点在x轴上，

答案第2页，共14页

y,

设抛物线方程为V=2Px(p>0),代入N(0.4,L2),

所以1.2xl.2=2px0.4,解得p=L8,所以抛物线方程为『=3.6x,

则该抛物线的焦点到顶点的距离为£=0.9.

2

故选：A

7.C

【分析】由=得到自.=-!，结合点差法计算得进而求出离心率.

2a4

【详解】直线/:x-2y+/=0的斜率如图，

由\MF\=\OM\,得ZMFO=ZMOF,则直线OM的斜率kOM=-1,

4K

=12_22_2

设4（再,必）,8（孙必）,•（/,%）,,两式相减得五三红+好区=0,

a2b2

1/〃=1

于是上%+x?y-y1

=}2而出』1M+%=A

aM+力玉一》2再—x22再+工2%02

因此-?《-2)=」，解得(=!，

a22a24

所以椭圆的离心率e=吗=/

a\a22

答案第3页，共14页

故选：c

8.A

【分析】按〃为奇数和偶数讨论得到巴。向的通项公式，利用裂项相消法求数列］」一］的

前”项和.

［详解］-％=-7,当〃=2左一1（左EN*）时，an+an+x=-2,an+l+an+2=2,

两式相减得，。〃+2一为=4,

所以｛2｝的奇数项是以-7为首项，4为公差的等差数列，a„=-7+4x^-lj=2»-9,

当〃=2左（左EN）时，an+an+x=2,an+1+an+2=-2,两式相减得,an+2-an=-A,

所以｛0｝的偶数项是以5为首项，-4为公差的等差数列，«„=5-4x^-l^=9-2n；

w+1

综上可知:an=（-l）（2n-9）,nGN*,

所以+i=（T严（2〃一9）.（-I）%（2〃—7）=—（2〃—9）（2〃—7）,

贝।“~~（2n-9）（2n-7）~~2\2n-92n-7

=_L（L__1二几

2（72n-7）14〃-49

491

贝1」邑9=--------------=一.

4914x49-4913

故选：A

9.AD

【分析】由题意得数列｛%｝的通项公式，然后写出每个选项中对应的数列的通项公式，再判

断是等差数列还是等比数列.

【详解】对于A,由题意得&a=3,所以数列也是常数列，A正确;

IanJ

对于B,数列的｛g｝通项公式为4=3"T,贝必用-%=3"-=2X3",

所以数列是公比为3的等比数列，B错误;

答案第4页，共14页

对于C,bg3%=1吗3"7=〃-1,所以数列｛1幅。“｝是公差为1的等差数列，C错误;

l2n1

对于D,a„a„+l=3"--y=3-,所以数列｛%。用｝是公比为9的等比数列，D正确，

故选：AD.

10.BD

【分析】根据共面向量的定义即可判断A；对于B：设出48,C点的坐标，根据重心坐标公

式分析判断；对于C：变形后，得到B不能由沅线性表示，故48,C,G四点不共面,

C错误；；对于D：设力在｛1-3,方+3同基底下的坐标为表达出

p=^x+y）a+｛-x+y）b+zc,结合题目条件得到方程组，求出力在基底｛1-'4+木？｝下的

坐标为m

【详解】对于A：根据共面向量的定义可得它们所在的直线不一定在同一个平面上，故A

错误；

对于B：设。（0,0,0）,4（再,必/1）,5（X2，%/2）,。（%3，%,23）,

则。1=(X］,%,zJ,08=区,y2/2),OC=也，为/3),

又因为G是底面V/3C的重心，则6「+1+三，乂+彳+%，”t

所以标=；（厉+无+区）成立，故B正确;

___2___§____

对于C：OG=——OA+-OB+-OC,

555

则海一》」》一利卜［WO叼一刎,

3--■2—2—1——2—2—1—

即一2G=—NC+—GC——OC,i^BG=-AC+-GC——OC,

5555333

即旃不能由衣，元线性表示，故4RC,G四点不共面，C错误;

对于D：设力在｛@-3,@+在同基底下的坐标为(x,y,z),

贝！］/=%仅-+y仅+7)+zm=(x+y)d+(-x+y)B+zc,

答案第5页，共14页

1

X=——

x+y=l2

3

因为力在基底B词下的坐标为（1,2,3）,所以-x+y=2,解得.y=—

2

z=3

z=3

所以力在基底忖-碗+时下的坐标为即D正确.

故选：BD.

11.BCD

【分析】设出直线NB方程，联立双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式可判断A,根据双

曲线的定义和内切圆性质可判断B,由题可得b=2a进而可判断C,根据条件可得渐近线与

X轴的夹角为1可判断D.

22

【详解】设双曲线方=1的右焦点为巴（。,0）,4（久”1）,8。22），

，则朋=也,

当直线48斜率不存在时，直线的方程为x=c

a

当直线48斜率存在时，设直线48的方程为了=左@-°）,

y=k[x-c^

联立「J

消去y,得92-612k2b2+2a2ck2x-a2c2k2-a2b?=0,

2a2ck2a2c2k2+a2b2

X,+x=——z------Z—=-------------z------Z—:-

12b2-a2k212b2-a2k2

A=(2a2ck2)2—4(b2-a2k2)(^a2c2k2-a2b2)>0

22

2ack八,解得上＞或左＜

彳2-2,

由＜再+%2=-------72------9~2〉0

b-akaa

612c2k2+a2b2.

网“一bi>°

2ac2E

所以|48卜“1+12)[4+/)2_4守[=Uji；]2a

612k2—b?

lac2.2c2c2b1

---------2a>-------2a=------

2baa

.下

所以当直线与x轴垂直时，|/到的长最小，即最小值为"，故A错误;

a

设△片的内切圆与三角形三边的切点分别是0,及N,由切线长性质，可得

答案第6页，共14页

\AF^-\BF^=\AQ\-\BE\=\AN\-\BN\,

因为|/|T典卜2a=|班卜忸阊,所以|/耳卜忸凰=|4闾一忸闾，所以6与N重合,

即△片N2的内切圆与直线N3相切于点月，故B正确;

则冏:

由题可知双曲线的渐近线为6x±ay=0,%c,0),=b,

由上可知由=阊=2%所以6=2°,所以e=£=Jl+"=6,故C正确；

a\a

若《关于尸点的对称点在另一条渐近线上时，则渐近线与X轴的夹角为三，则其渐近线方

程为J§x±y=O,故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点睛：本题A选项的关键是采用设线法联立双曲线方程，利用弦长公式证明

出双曲线焦点弦中通径最短的结论.

12.(1,0,0)

【分析】根据向量坐标运算及投影的定义得解.

【详解】因为向量2=0,0,3),设x轴上的一个单位向量为碗=(1,0,0),

所以£在》轴上的投影向量为(屋可-帚=[(1,0,3＞。,0,0)1。,0,0)=(1,0,0).

故答案为：(1,0,0)

13.12

【分析】根据等比数列的通项公式可得结果.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为％%+&=/(囚+%)=3/=6,所以/=2,

所以+40=/（%+。6）=2X6=12,

答案第7页，共14页

故答案为：12.

14.2

【分析】根据题意计算得到A点坐标，再代入抛物线方程求解答案即可.

【详解】由题意得，直线N3斜率不为0,设其方程为工=冲+2,401，乃)，8(久2，乃)，

x=my+2-，"

当A=422/+16〃>0时，乂%=-42，

因为=所以必=-2%,代入上式解得乂=廊，

因为|/户|=5,所以西=5-5,

代入抛物线方程，得(廊『=2p(5-1J,

化简得，。(°-2)=0,又因为p>0,所以。=2.

故答案为：2

15.(l)(x-l)2+(y+2)2=5

⑵C

【分析】(1)设出圆的一般式方程，代入点的坐标计算，即可得到圆的一般式方程，再化为

标准式即可；

(2)由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得|九亚|,再由三

角形的面积公式代入计算，即可得到结果.

【详解】(1)设OC的方程为/+/+m+切+厂=0,

F=0D=-2

由题意可得4+2。+b=0,解得<E=4,

l+l-D-£+F=0F=0

答案第8页，共14页

所以OC的方程为*+/一2x+4y=0,

化为标准方程可得(x-1)?+(y+2f=5.

（2）由（1）可得圆心C（l,-2）,半径―石，

所以圆心C到直线/：x-y-l=0的距离为"=上卷』=行，

2

且巾=2,2一/=4同-（码2=2/3,

因此ACW的面积为5=右x亚=&.

22

16.⑴土+匕=1

43

（2）y=±日（x+2）

【分析】（1）根据椭圆离心率以及经过的点即可求解“，瓦

-蝴+612k

（2）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可得点P,进而根据向量垂

3+4左2'3+4左2

直满足的坐标关系求解.

c1_____

【详解】（1）由题意可得e=—=不a=2,所以

a2

22

所以椭圆方程为土+匕=1;

43

（2）由题意可得直线/尸的斜率存在，故设直线/尸的方程为了=左（》+2）,M（0,2左）,

工+匕=1

<43=>(3+4^2)x2+16k2x+\6k2-12=0

y=4(x+2)

16〃-12-8r+6

所以-2x=所以马=

p3+4公3+4/

-8r+612k

故尸F(1,0),

3+4左2'3+4/

-8r+612k

所以砺=（1,-2左），赤=

3+4左2'3+4左2

-8r+612k3）=景+4=。，

所以•。尸=

3+4/'3+4〃

答案第9页，共14页

所以解得—%

17.(l)a„=«

⑵(〃-1)23+2

【分析】(1)根据2S,,=(〃+1)%得至[]2sM=加M，两式相减构造常数列即可求出数列

｛凡｝的通项公式；

(2)利用错位相减法求和方法进行求和即可

【详解】(1)由2邑=(〃+1)%，

当及22时，2s“_i=nan_x,

两式相减，得2%=(〃+1)%—加/，BPnan_x=(n-\)an,

即41=%对“W2恒成立，所以是常数列，

n-1n1〃J

所以2=?=1,所以

n1

(2)由(1)知，c“=nW；,

^1^7；,=1X2+2X22+3X23+...+W2",

所以27；=0+lx22+2x23+...+(n-l)-2,,+«-2"+1,

9_9Dn

两式相减，得-1=2+22+23+…+2"-"-2"*=—&一2,

所以7；-1)2角+2

18.(1)证明见解析；

⑵*

答案第10页，共14页

【分析】(1)由线面垂直得到线线垂直，然后建立空间直角坐标系，写出点的坐标，然后得

到线的方向向量砺，求出面P/D的法向量证明砺，点，即可得证；

(2)由(1)可知线的方向向量就，求出面的法向量瓦,利用空间向量求得线面角的

正弦值;

(3)设丽=力正，然后得到点尸坐标，分别求出平面E42和平面尸48的法向量W和后，

由空间向量求出面面角的余弦值.

【详解】(1)VPAV^ABCD,NOu底面4BCD,/2u底面/8C。，

PA1AB,PAYAD,又,：ADJ.AB,

...以A为原点，为x轴，48为y轴，NP为z轴建立如图所示空间直角坐标系,

8(0,1,0),C(-2,2,0),£>(-2,0,0),尸(0,0,2),£(-1,1,1),

/.=(-1,0,1),平面尸4Du平面xOz,二平面P/O的一个法向量点=(0,1,0),

*.*BE•〃[=(),BE_Lnx,

故B£〃平面尸AD.

(2)由(1)知前=(-1,0,1),

丽=(0,-1,2),前=(-2,-1,0),

设平面PBD的一个法向量为元=(X],y,,4),

玉=一]

BPn=一%+%=0

则2，令Z]=1,贝lj,乂=2,即用=(-1,2,1),

BDn——y=0

21W=1

答案第11页，共14页

设直线3E与平面尸2。所成角为。0,jj,

•sin"Icos13ED-\BE'A__1____叵

一।%卜网可ax而3,

(3)由(1)矢口正=(-2,2,-2),设丽=2元=(-2九2九-24),

则厂(-22,242-22),贝U丽=(-2/1,22-1,2-22),AC=(-2,2,0)

1

,/BF1AC,：.BF-AC=4A+4A-2=Q，

4

/8=(0,1,0),/尸=(一Lg)，

AB,%=%=°

设平面E42的一个法向量为%=(%，%*2)，贝1b―►一113，

/尸.4=-产+-y2+-z2=0

x2=3

令Z2=1,贝卜y2=o,即卮=(3,0,1),

Z2=1

:平面P48u平面了。2,...平面尸N3的一个法向量%=(1，0,0)，

设平面FAB与平面ABP夹角为a,

cosa=cos几3,n

4尸丽=而"iT

19.⑴5=1

44

(2)证明见解析

⑶］』U(1,2)

【分析】(1)根据椭圆和双曲线的标准方程求解即可;

(2)设点尸(%,%),由斜率的定义可知左七=^^三，再将尸(%,%)代入双曲线方程

X。I-L“01

即可求解;

(3)利用(2)中结论设直线”的方程为＞=Mx+2),c。的方程为了=?(尤一2),分别代