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文档简介
重庆市秀山高级中学高2024-2025学年高二上学期适应性考试
数学试题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.已知等差数列{%}的前〃项和为若出=9,S4=40,则数列{。"}的公差"=()
3
A.3B.2C.-D.4
2
2.已知圆Q:(%-1)2+3+2)2=9,圆。2:/+/+4x+2y-11=0,则这两个圆的位置关
系为().
A.外离B.外切C.相交D.内含
2222
3.已知椭圆二+匕=1的左焦点是双曲线二_y_-=1的左顶点,则双曲线的渐近线为()
259a9
4(3
A.y=±—xB.y=±—x
55
4
C.y=±-%D.j/=±-x
3/4
4.在正方体/BCD-44GA中,点州是棱的中点,则异面直线8M与/C所成角的正
弦值为()
AV10口3碗八而n而
510510
5.已知aeR,直线4:。尤+y-12=0的方向向量与直线乙:(a+3)x+4y+16=0的方向向量
共线,则这两条直线之间的距离为()
A.4B.8A/2C.4VID.2行
6.某学习小组研究一种卫星接收天线(如图①所示),发现其曲面与轴截面的交线为抛物线,
在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚焦到焦点处
(如图②所示).已知接收天线的口径(直径)为2.4,深度为0.4,则该抛物线的焦点到
顶点的距离为()
试卷第1页,共4页
①②
A.0.9B.1.8C.1.2D.1.05
22
7.直线/:x-2y+百=0经过椭圆1r+方=1(。>6>°)的左焦点尸,且与椭圆交于两
点,若M为线段AB中点,|九值|=|。饮|,则椭圆的离心率为()
A.—B.yC.—D.^1^.
2222
8.已知数列包}满足%+。用=2、(-1)",〃€犷,且。2=5,记数歹“一^的前”项和为5",
贝!J849=()
二、多选题
9.已知数列{%}是首项为1,公比为3的等比数列,则()
A.[牛]是等差数列B.{“向-%}是等差数列
C.{1吗%}是等比数列D.{%。,用}是等比数列
10.下列说法正确的是()
A.若向量乙瓦工共面,则它们所在的直线共面
B.若G是四面体O48C的底面VN8C的重心,贝1J加=;(刀+砺+区)
C.^OG=--OA+^OB+jOC,则48,C,G四点共面
D.若向量力=欣+城+丘,则称(根,",左)为力在基底{京几罚下的坐标,已知力在单位
试卷第2页,共4页
正交基底3下的坐标为(1,2,3),则/在基底{6-瓦1+瓦寸下的坐标为,;,|,31
22
11.已知双曲线C:亍-%=1,>0力>0),过左焦点用作一条渐近线的垂线,垂足为尸,过
右焦点6作一条直线交双曲线的右支于43两点,AG/2的内切圆与耳/相切于点。,则
下列选项正确的是()
A.线段的最小值为打
a
B.的内切圆与直线4S相切于点耳
C.当归周=|。周时,双曲线的离心率为世
D.当点片关于点尸的对称点在另一条渐近线上时,双曲线的渐近线方程为其±y=0
三、填空题
12.在空间直角坐标系O-平中,已知向量征=(1,0,3),贝壮在x轴上的投影向量
为.
13.在等比数列{0”}中,+。2=3,。5+。6=6,则。9+。10=.
14.已知抛物线C:R=2PMP>0)的焦点为尸,过点M(2,o)的直线交抛物线c于4方两
点,若=九"|水司=5,贝次=.
四、解答题
15.已知三点。(。⑼,4(T-1),8(2,0),记V/08的外接圆为。C.
(1)求OC的方程;
⑵若直线/:》-了-1=0与。(7交于〃,"两点,求ACAW的面积.
22.
16.已知梢圆C:=+二=1(。>6>0)经过点/(一2,0),离心率为:
(1)求椭圆。的方程;
⑵直线1尸与椭圆c交于点p(异于顶点)与y轴交于点〃,点尸为椭圆的右焦点,。为坐
标原点,MFVOP,求直线4P的方程.
17.已知数列{4}的首项为=1,设S“为数列{4}的前〃项和,且有2S"=(〃+1)%.
试卷第3页,共4页
(1)求数列{%}的通项公式;
(2)令g=aj2",求数列{q}的前〃项和
18.在四棱锥尸-48C。中,尸/_L底面/BCD,/。工48,ABHDC,AD=DC=AP=2,AB=1,
点E为棱尸C中点.
⑴证明:8E〃平面P/D;
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(3)若尸为棱尸C上一点,满足求平面E4B与平面4Ap夹角的余弦值.
22
19.如图,已知椭圆「:土+匕=1的两个焦点为耳,工,且耳耳为双曲线的的顶点,双曲
84
线心的离心率0=亚,设尸为该双曲线「2上异于顶点的任意一点,直线尸片,尸片的斜率分
别为匕,&,且直线PK和PF?与椭圆4的交点分别为4B和c,,
(1)求双曲线「2的标准方程;
(2)证明:直线尸耳尸耳的斜率之积勺•七为定值;
⑶求胃\AB的\取值范围.
试卷第4页,共4页
《重庆市秀山高级中学高2024-2025学年高二上学期适应性考试数学试题》参考答案
题号12345678910
答案BCDCBACAADBD
题号11
答案BCD
1.B
【分析】根据等差数列通项公式和求和公式直接计算求解.
%+d=9_7
【详解】由出=9,$4=40=L14s
I2
故选:B
2.C
【分析】求得两个圆的圆心和半径,求得圆心距,由此确定正确选项.
【详解】圆a:(x-l)2+3+2)2=9的圆心为(1,-2),半径为q=3,
圆&方程f+/+4x+2y-ll=0可化为(x+2)z+(_y+l)2=42,
圆。2的圆心为(一2,-1),半径为々=4,圆心距==而,
因为马_4=1,々+4=7,1<A/IU<7,
所以两个圆的位置关系是相交.
故选:C.
3.D
【分析】由椭圆的标准方程可得其焦点坐标,从而得到双曲线的左顶点坐标,再由其渐近线
方程,即可得到结果.
【详解】设椭圆焦距为2c(c>0),
22
则,2=25-9=16,则c=4,所以椭圆1+三=1的左焦点为(一4,0),
22
所以双曲线1r5=1的左顶点为(-4,0),
所以。=4,所以i=16,
所以双曲线二-片=1的渐近线为了=£尤.
1694
故选:D
4.C
答案第1页,共14页
【分析】通过平行关系将异面直线夹角转化为相交直线夹角,结合等腰三角形性质求解正弦
值即可.
【详解】如图所示,取。。中点N,连接AN,CN,AC,MN,取NC中点O,连接ON,
则MN//CD//AB,MN=CD=AB,
/':」
O
所以四边形是平行四边形,所以3/〃/N,
所以/AC4c或其补角是异面直线3W与NC所成角,
设正方体棱长为2,贝!|/乂=。'=不,/。=2应,
在等腰AZNC中,。是/C中点,所以ONL/C,
AN2-
即异面直线BM与AC所成角的正弦值为叵.
故选:C
5.B
【分析】根据两直线平行可得。的值,再根据平行线之间的距离公式求解即可.
【详解】由题意可得〃4,所以lx(a+3)=ax4,解得a=l,
故两直线方程分另U为x+y-12=0,x+y+4=0,
故这两条平行线之间的距离为d=।陋=8行.
故选:B.
6.A
【分析】根据题意建立平面直角坐标系求出抛物线方程即可得到答案.
【详解】如图所示,在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系,使接收天线的顶点(即
抛物线的顶点)与原点重合,焦点在x轴上,
答案第2页,共14页
y,
设抛物线方程为V=2Px(p>0),代入N(0.4,L2),
所以1.2xl.2=2px0.4,解得p=L8,所以抛物线方程为『=3.6x,
则该抛物线的焦点到顶点的距离为£=0.9.
2
故选:A
7.C
【分析】由=得到自.=-!,结合点差法计算得进而求出离心率.
2a4
【详解】直线/:x-2y+/=0的斜率如图,
由\MF\=\OM\,得ZMFO=ZMOF,则直线OM的斜率kOM=-1,
4K
=12_22_2
设4(再,必),8(孙必),•(/,%),,两式相减得五三红+好区=0,
a2b2
1/〃=1
于是上%+x?y-y1
=}2而出』1M+%=A
aM+力玉一》2再—x22再+工2%02
因此-?《-2)=」,解得(=!,
a22a24
所以椭圆的离心率e=吗=/
a\a22
答案第3页,共14页
故选:c
8.A
【分析】按〃为奇数和偶数讨论得到巴。向的通项公式,利用裂项相消法求数列]」一]的
前”项和.
[详解]-%=-7,当〃=2左一1(左EN*)时,an+an+x=-2,an+l+an+2=2,
两式相减得,。〃+2一为=4,
所以{2}的奇数项是以-7为首项,4为公差的等差数列,a„=-7+4x^-lj=2»-9,
当〃=2左(左EN)时,an+an+x=2,an+1+an+2=-2,两式相减得,an+2-an=-A,
所以{0}的偶数项是以5为首项,-4为公差的等差数列,«„=5-4x^-l^=9-2n;
w+1
综上可知:an=(-l)(2n-9),nGN*,
所以+i=(T严(2〃一9).(-I)%(2〃—7)=—(2〃—9)(2〃—7),
贝।“~~(2n-9)(2n-7)~~2\2n-92n-7
=_L(L__1二几
2(72n-7)14〃-49
491
贝1」邑9=--------------=一.
4914x49-4913
故选:A
9.AD
【分析】由题意得数列{%}的通项公式,然后写出每个选项中对应的数列的通项公式,再判
断是等差数列还是等比数列.
【详解】对于A,由题意得&a=3,所以数列也是常数列,A正确;
IanJ
对于B,数列的{g}通项公式为4=3"T,贝必用-%=3"-=2X3",
所以数列是公比为3的等比数列,B错误;
答案第4页,共14页
对于C,bg3%=1吗3"7=〃-1,所以数列{1幅。“}是公差为1的等差数列,C错误;
l2n1
对于D,a„a„+l=3"--y=3-,所以数列{%。用}是公比为9的等比数列,D正确,
故选:AD.
10.BD
【分析】根据共面向量的定义即可判断A;对于B:设出48,C点的坐标,根据重心坐标公
式分析判断;对于C:变形后,得到B不能由沅线性表示,故48,C,G四点不共面,
C错误;;对于D:设力在{1-3,方+3同基底下的坐标为表达出
p=^x+y)a+{-x+y)b+zc,结合题目条件得到方程组,求出力在基底{1-'4+木?}下的
坐标为m
【详解】对于A:根据共面向量的定义可得它们所在的直线不一定在同一个平面上,故A
错误;
对于B:设。(0,0,0),4(再,必/1),5(X2,%/2),。(%3,%,23),
则。1=(X],%,zJ,08=区,y2/2),OC=也,为/3),
又因为G是底面V/3C的重心,则6「+1+三,乂+彳+%,”t
所以标=;(厉+无+区)成立,故B正确;
___2___§____
对于C:OG=——OA+-OB+-OC,
555
则海一》」》一利卜[WO叼一刎,
3--■2—2—1——2—2—1—
即一2G=—NC+—GC——OC,i^BG=-AC+-GC——OC,
5555333
即旃不能由衣,元线性表示,故4RC,G四点不共面,C错误;
对于D:设力在{@-3,@+在同基底下的坐标为(x,y,z),
贝!]/=%仅-+y仅+7)+zm=(x+y)d+(-x+y)B+zc,
答案第5页,共14页
1
X=——
x+y=l2
3
因为力在基底B词下的坐标为(1,2,3),所以-x+y=2,解得.y=—
2
z=3
z=3
所以力在基底忖-碗+时下的坐标为即D正确.
故选:BD.
11.BCD
【分析】设出直线NB方程,联立双曲线方程,利用韦达定理及弦长公式可判断A,根据双
曲线的定义和内切圆性质可判断B,由题可得b=2a进而可判断C,根据条件可得渐近线与
X轴的夹角为1可判断D.
22
【详解】设双曲线方=1的右焦点为巴(。,0),4(久”1),8。22),
,则朋=也,
当直线48斜率不存在时,直线的方程为x=c
a
当直线48斜率存在时,设直线48的方程为了=左@-°),
y=k[x-c^
联立「J
消去y,得92-612k2b2+2a2ck2x-a2c2k2-a2b?=0,
2a2ck2a2c2k2+a2b2
X,+x=——z------Z—=-------------z------Z—:-
12b2-a2k212b2-a2k2
A=(2a2ck2)2—4(b2-a2k2)(^a2c2k2-a2b2)>0
22
2ack八,解得上>或左<
彳2-2,
由<再+%2=-------72------9~2〉0
b-akaa
612c2k2+a2b2.
网“一bi>°
2ac2E
所以|48卜“1+12)[4+/)2_4守[=Uji;]2a
612k2—b?
lac2.2c2c2b1
---------2a>-------2a=------
2baa
.下
所以当直线与x轴垂直时,|/到的长最小,即最小值为",故A错误;
a
设△片的内切圆与三角形三边的切点分别是0,及N,由切线长性质,可得
答案第6页,共14页
\AF^-\BF^=\AQ\-\BE\=\AN\-\BN\,
因为|/|T典卜2a=|班卜忸阊,所以|/耳卜忸凰=|4闾一忸闾,所以6与N重合,
即△片N2的内切圆与直线N3相切于点月,故B正确;
则冏:
由题可知双曲线的渐近线为6x±ay=0,%c,0),=b,
由上可知由=阊=2%所以6=2°,所以e=£=Jl+"=6,故C正确;
a\a
若《关于尸点的对称点在另一条渐近线上时,则渐近线与X轴的夹角为三,则其渐近线方
程为J§x±y=O,故D正确.
故选:BCD.
【点睛】关键点睛:本题A选项的关键是采用设线法联立双曲线方程,利用弦长公式证明
出双曲线焦点弦中通径最短的结论.
12.(1,0,0)
【分析】根据向量坐标运算及投影的定义得解.
【详解】因为向量2=0,0,3),设x轴上的一个单位向量为碗=(1,0,0),
所以£在》轴上的投影向量为(屋可-帚=[(1,0,3>。,0,0)1。,0,0)=(1,0,0).
故答案为:(1,0,0)
13.12
【分析】根据等比数列的通项公式可得结果.
【详解】设等比数列{%}的公比为%%+&=/(囚+%)=3/=6,所以/=2,
所以+40=/(%+。6)=2X6=12,
答案第7页,共14页
故答案为:12.
14.2
【分析】根据题意计算得到A点坐标,再代入抛物线方程求解答案即可.
【详解】由题意得,直线N3斜率不为0,设其方程为工=冲+2,401,乃),8(久2,乃),
x=my+2-,"
当A=422/+16〃>0时,乂%=-42,
因为=所以必=-2%,代入上式解得乂=廊,
因为|/户|=5,所以西=5-5,
代入抛物线方程,得(廊『=2p(5-1J,
化简得,。(°-2)=0,又因为p>0,所以。=2.
故答案为:2
15.(l)(x-l)2+(y+2)2=5
⑵C
【分析】(1)设出圆的一般式方程,代入点的坐标计算,即可得到圆的一般式方程,再化为
标准式即可;
(2)由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离,再由圆的弦长公式可得|九亚|,再由三
角形的面积公式代入计算,即可得到结果.
【详解】(1)设OC的方程为/+/+m+切+厂=0,
F=0D=-2
由题意可得4+2。+b=0,解得<E=4,
l+l-D-£+F=0F=0
答案第8页,共14页
所以OC的方程为*+/一2x+4y=0,
化为标准方程可得(x-1)?+(y+2f=5.
(2)由(1)可得圆心C(l,-2),半径―石,
所以圆心C到直线/:x-y-l=0的距离为"=上卷』=行,
2
且巾=2,2一/=4同-(码2=2/3,
因此ACW的面积为5=右x亚=&.
22
16.⑴土+匕=1
43
(2)y=±日(x+2)
【分析】(1)根据椭圆离心率以及经过的点即可求解“,瓦
-蝴+612k
(2)联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理可得点P,进而根据向量垂
3+4左2'3+4左2
直满足的坐标关系求解.
c1_____
【详解】(1)由题意可得e=—=不a=2,所以
a2
22
所以椭圆方程为土+匕=1;
43
(2)由题意可得直线/尸的斜率存在,故设直线/尸的方程为了=左(》+2),M(0,2左),
工+匕=1
<43=>(3+4^2)x2+16k2x+\6k2-12=0
y=4(x+2)
16〃-12-8r+6
所以-2x=所以马=
p3+4公3+4/
-8r+612k
故尸F(1,0),
3+4左2'3+4/
-8r+612k
所以砺=(1,-2左),赤=
3+4左2'3+4左2
-8r+612k3)=景+4=。,
所以•。尸=
3+4/'3+4〃
答案第9页,共14页
所以解得—%
17.(l)a„=«
⑵(〃-1)23+2
【分析】(1)根据2S,,=(〃+1)%得至[]2sM=加M,两式相减构造常数列即可求出数列
{凡}的通项公式;
(2)利用错位相减法求和方法进行求和即可
【详解】(1)由2邑=(〃+1)%,
当及22时,2s“_i=nan_x,
两式相减,得2%=(〃+1)%—加/,BPnan_x=(n-\)an,
即41=%对“W2恒成立,所以是常数列,
n-1n1〃J
所以2=?=1,所以
n1
(2)由(1)知,c“=nW;,
^1^7;,=1X2+2X22+3X23+...+W2",
所以27;=0+lx22+2x23+...+(n-l)-2,,+«-2"+1,
9_9Dn
两式相减,得-1=2+22+23+…+2"-"-2"*=—&一2,
所以7;-1)2角+2
18.(1)证明见解析;
⑵*
答案第10页,共14页
【分析】(1)由线面垂直得到线线垂直,然后建立空间直角坐标系,写出点的坐标,然后得
到线的方向向量砺,求出面P/D的法向量证明砺,点,即可得证;
(2)由(1)可知线的方向向量就,求出面的法向量瓦,利用空间向量求得线面角的
正弦值;
(3)设丽=力正,然后得到点尸坐标,分别求出平面E42和平面尸48的法向量W和后,
由空间向量求出面面角的余弦值.
【详解】(1)VPAV^ABCD,NOu底面4BCD,/2u底面/8C。,
PA1AB,PAYAD,又,:ADJ.AB,
...以A为原点,为x轴,48为y轴,NP为z轴建立如图所示空间直角坐标系,
8(0,1,0),C(-2,2,0),£>(-2,0,0),尸(0,0,2),£(-1,1,1),
/.=(-1,0,1),平面尸4Du平面xOz,二平面P/O的一个法向量点=(0,1,0),
*.*BE•〃[=(),BE_Lnx,
故B£〃平面尸AD.
(2)由(1)知前=(-1,0,1),
丽=(0,-1,2),前=(-2,-1,0),
设平面PBD的一个法向量为元=(X],y,,4),
玉=一]
BPn=一%+%=0
则2,令Z]=1,贝lj,乂=2,即用=(-1,2,1),
BDn——y=0
21W=1
答案第11页,共14页
设直线3E与平面尸2。所成角为。0,jj,
•sin"Icos13ED-\BE'A__1____叵
一।%卜网可ax而3,
(3)由(1)矢口正=(-2,2,-2),设丽=2元=(-2九2九-24),
则厂(-22,242-22),贝U丽=(-2/1,22-1,2-22),AC=(-2,2,0)
1
,/BF1AC,:.BF-AC=4A+4A-2=Q,
4
/8=(0,1,0),/尸=(一Lg),
AB,%=%=°
设平面E42的一个法向量为%=(%,%*2),贝1b―►一113,
/尸.4=-产+-y2+-z2=0
x2=3
令Z2=1,贝卜y2=o,即卮=(3,0,1),
Z2=1
:平面P48u平面了。2,...平面尸N3的一个法向量%=(1,0,0),
设平面FAB与平面ABP夹角为a,
cosa=cos几3,n
4尸丽=而"iT
19.⑴5=1
44
(2)证明见解析
⑶]』U(1,2)
【分析】(1)根据椭圆和双曲线的标准方程求解即可;
(2)设点尸(%,%),由斜率的定义可知左七=^^三,再将尸(%,%)代入双曲线方程
X。I-L“01
即可求解;
(3)利用(2)中结论设直线”的方程为>=Mx+2),c。的方程为了=?(尤一2),分别代
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