中考数学专项复习：动点与分段函数解析式题型讲义

动点与分段函数解析式

一、典例解析

例1.【2020•辽宁本溪】如图，在Rt/VIBC中，ZACB=90°，AC=BC=2五,CD_LAB于点D点尸从

点A出发，沿A-O-C的路径运动，运动到点C停止，过点尸作PELAC于点E,作PPLBC于点?设

点P运动的路程为x,四边形CE/步的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的图象是（）

【解析】解：当点P在AD上运动时，0WxW2时,

y=PE•CE=1x•(2垃一与x)=2x-

-x2,

2

当点P在DC上运动时，2<xW4时,

S-PE•CE=—(4-x)•—(4-x)-（X-4）2,结合函数解析式判断选项A符合要求.

222

故答案为：A.

例2.[2020•山东淄博】如图1,点P从4ABC的顶点B出发，沿8-C-A匀速运动到点A,图2是点P

运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）

【答案】D.

【解析】解：由图2知，AB=BC=10,

当BP_LAC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP=8）,

当y=8时，PC=<BC2-BP2=V102-82=6,

11

△ABC的面积=xACXBP-x8X12=48,

故答案为：D.

例3.【2020•辽阳】如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC=20,CQ_LAB于点。.点尸从点A

出发，沿A-O-C的路径运动，运动到点C停止，过点尸作PELAC于点E,作PFLBC于点足设点产

运动的路程为无，四边形CEPF的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的图象是（）

【解析】解：：在Rtz\A2C中，ZACB=90°,AC=BC=2心

：.AB=4,ZA=45°,

VCDLAB于点D,

：.AD=BD=29

u：PELAC,PFLBC,

・•・四边形CEP尸是矩形，

:・CE=PF,PE=CF,

•・,点P运动的路程为x,

.\AP=x,

/o

则AEnPEnjrsiWb。=gx,

CE^AC-AE=242-节x,

"/四边形CEPF的面积为y,

...当点尸从点A出发，沿A-D路径运动时，

即0cx<2时，

y=PE'CE

=5x（2企—孝人）

=-2（尤-2）2+2,

...当0<x<2时，抛物线开口向下；

当点尸沿O-C路径运动时，

即2Wx<4时，

是/AC8的平分线，

:.PE=PF,

...四边形CEPP是正方形，

"：AD=2,PD=x-2,

：.CP=4-x,

y=1（4-x）2=|（尤-4）2.

...当2Wx<4时，抛物线开口向上，

综上所述：能反映y与龙之间函数关系的图象是：A.

故答案为：A.

例4.12020•上海】小明从家步行到学校需走的路程为1800米，图中的折线反映了小明从家步行到学校所

走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分

【解析】解：由题意知：线段AB的解析式为：S=70t+400(8<t<20)

当t=15时，S=1450,还需要步行1800-1450=350米.

故答案为：350.

例5.12020•重庆A卷】A,B两地相距240km,甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地

后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程y

(km)与甲货车出发时间x(h)之间的函数关系如图.中的折线CD-DE-EF所示.其中点C的坐标是(0,240),

点D的坐标是(2.4,0),则点E的坐标是

【答案】(4,160).

【解析】解：由题意知，乙车的速度为：240+2.4-40=60km/h,

乙车从B到A需要的时间为：240+60=4h,

当乙车到达A地时，甲车行驶的路程为：40X4=160km,

点E坐标为(4,160)

故答案为(4,160).

例6.12020•北京】有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm现向容器内注水，并同时

开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的.水面高

度与对应的注水时间满足的函数关系是()

-L

水面

高度

A.正比例函数关系B.一次函数关系

C.二次函数关系D.反比例函数关系

【答案】B.

【解析】解：设容器内的水面高度为无，注水时间为f,根据题意得:

h—0.2t+10,

,容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系.

故答案为：B.

二、刻意练习

1.12020・湖北恩施州】甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻r的

对应关系如图所示，则下列结论错误的是（）

A.甲车的平均速度为.60口〃〃B.乙车的平均速度为Wbn/h

C.乙车比甲车先到8城D.乙车比甲车先出发球

【答案】D.

【解析】解：由图象知：

A.甲车的平均速度为2空=60血//?,故A选项不合题意；

10-5

B.乙车的平均速度为理=100班g，故2选项不合题意；

9-6

C.甲10时到达2城，乙9时到达8城，所以乙比甲先到2城，故C选项不合题意;

D.甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1/7,故此选项错误,

故答案为：D.

2.12020•湖北武汉】一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数.从某时刻开始4加w

内只进水不出水，从第4加”到第24?w沅内既进水又出水，从第24:“沅开始只出水不进水，容器内水量y(单

位：L)与时间x(单位：根加)之间的关系如图所示，则图中。的值是()

A.32B.34C.36D.38

【答案】C.

【解析】解：由图象可知，进水的速度为：20+4=5(Limin),

出水的速度为：5-(35-20)4-(16-4)=3.75^Limin'),

第24分钟时的水量为：20+(5-3.75)x(24-4)=45(£),

4=24+45+3.75=36.

故答案为：C.

3.12020•江苏连云港】快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀

速行驶.图中折线表示快、慢两车之间的路程y(初0与它们的行驶时间式用之间的函数关系.小欣同学结合

图象得出如下结论:

①快车途中停留了Q5/7；②快车速度比慢车速度多20Am/〃；③图中a=340;④快车先到达目的地.

C.②④D.①④

【答案】B.

【解析】解：根据题意可知，两车的速度和为：360+2=180(初2/力),

相遇后慢车停留了0.5人快车停留了1.6人此时两车距离为88而，故①结论错误;

慢车的速度为：88+（3.6-2.5）=80（物?/力，则快车的速度为100Am/〃,

所以快车速度比慢车速度多20初〃。；故②结论正确;

88+180x(5-3.6)=340(Am),

所以图中a=340,故③结论正确;

(360-2x80)-80=2.5(h)，5-2,5=2.5(//),

所以慢车先到达目的地，故④结论错误.

所以正确的是②③.

故答案为：B.

412020•重庆B】周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往2地进行骑行训练，

甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟.乙骑行25分钟后，甲以原速的:继续骑行，经

过一段时间，甲先到达8地，乙一直保持原速前往8地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）

与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚分钟到达8地.

【解析】解：由题意乙的速度为1500+5=300（米/分），设甲的速度为x米/分.

贝I］有：7500-20x=2500,

解得x=250,

25分钟后甲的速度为250X?=400（米/分）.

由题意总里程=250><20+61X400=29400（米）,

86分钟乙的路程为86X300=25800（米）,

29400-25800

=12（分钟）.

300

故答案为：12.

5.12020•浙江台州】如图1,小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中,

小球的运动速度v(m/s)与运动时间t(s)的函数图象如图2,则该小球的运动路程y(m)与运动时间t

O

CD

【答案】C.

【解析】解：由图2知，小球的是先匀加速再匀减速运动,

选项C符合题意.

6.12020.贵州铜仁】如图，在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D,

设点P运动的路程为X,△ADP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是()

A.

C.D.

【答案】D.

【解析】解：

由题意，当0人4时，y-|xADxAB^|x3x4=6,

当4cx<7时，|xPDxAD^|x（7-尤）x4=14-2x.

故答案为：D.

7.【2020•安徽】如图，AABC和4DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC,EF在同一条直线1上,

点C,E重合，现将aABC沿着直线1向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点C移

动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积为y,则y随x变化的函数图象大致为（)

【答案】A.

【解析】解：当0WxW2时,重叠部分为边长为x的等边三角形,

丫=手1,为一段开口朝上的抛物线，最大值为6，

当2<xW4时，重叠部分为边长为（4-x）的等边三角形，

y=^（4-尤『，为一段开口朝上的抛物线，最大值为百,

故答案为：A.

8.12020•甘肃金昌】如图①，正方形ABC。中，AC,8。相交于点O,E是。。的中点.动点P从点E出

发，沿着E-OTBTA的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A,在此过程中线段AP的长度y随着运

动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（

图①

A.4V2B.

【答案】A.

【解析】解：如图，连接AE.

•.,四边形ABC。是正方形,

：.AC±BD,OA=OC=OD=OB,

由题意£)E=O£,设。E=OE=x,则。4=O£)=2x,

,:AE=2后

；./+⑵)2=(2V5)2,

解得x=2或-2（不合题意舍弃）,

；.OA=OD=4,

.".AB=AD=4y/2,

故答案为：A.

9.12020•黑龙江大兴安岭】李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山

的速度小于下山的速度.在登山过程中，他行走的路程S随时间f的变化规律的大致图象是（）

s,

【答案】B.

【解析】解：因为登山过程可知：

先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度.

所以在登山过程中，他行走的路程S随时间/的变化规律的大致图象是8.

故答案为：B.

10.【2020•湖北黄冈】2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量

与产量持平.自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一

度脱销，下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间X天）之间函数关系的大致图象是（）

【答案】D.

【解析】解：根据题意：时间/与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0.

故答案为：D.

H.[2020•湖北随州】小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离

C.D.

【答案】B.

【解析】解：①从家出发步行至学校时，为一次函数图象，是一条从原点开始的线段;

②停留一段时间时，离家的距离不变,

③乘车返回时，离家的距离减小至零,

纵观各选项，只有8选项符合.

故答案为：B.

12.12020•湖北孝感】如图，在四边形A8CD中，AD//BC,ZZ)=90°,AB=4,BC=6,ZBAD=30°.动

点P沿路径A-BfC-D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动.过点P作PH1AD,垂足

为H.设点尸运动的时间为x（单位：s）,的面积为y,则y关于x的函数图象大致是（）

【答案】D.

【解析】解：①当点P在上运动时，

y=|AHXPH=IxAPsinAXAPcosA=1x/x5=^x2,图象为二次函数；

②当点尸在2c上运动时，如下图.，

BPr

A1rHD

由①知，BH'=ABsinA=4x>2,同理W=2后

11

则尸方xA77XPH=/2W+x-4)X2=2百一4+x,为一次函数；

③当点尸在。上运动时，

同理可得：y=1x(2V3+6)X(4+6+2-x)=(3+V3)(12-%),为一次函数；

故答案为：D.

13.12020•湖南衡阳】如图1,在平面直角坐标系中，团A3。在第一象限，且BC〃x轴.直线y=x从原

点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被团ABC。截得的线段长度”与直线在x轴上平移的距离

机的函数图象如图2所示.那么四边形ABCD的面积为()

2

~~~"7H\R

o467m

图2

C.6D.6V2

【答案】B.

【解析】解：过2作于点M,分别过2,D作直线y=x的平行线，交A£)于£,

AE=6-4=2,DE=7-6=1,BE=2,

.•.48=2+1=3,

,/直线BE平行直线y=x,

:.BM=EM=五，.

平行四边形ABC。的面积是：AD・BM=3x五=3五.

故答案为：B.

14.【2020•内蒙古通辽】如图①，在△ABC中，AB=AC,NA4C=120°,点E是边AB的中点，点尸是

边BC上一动点，设PC=x,PA+PE=y.图②是y关于尤的函数图象，其中〃是图象上的最低点.那么。+6

的值为.

①②

【答案】7.

【解析】解：将AABC沿BC折叠得到BC,则四边形ABA'C为菱形，菱形的对角线交于点O,

由图②知，当点P与点B重合时，

y=PA+PE=AB+BE=AB+^AB=3y/3,解得：AB=2同即：菱形的边长为2代

_V3

则该菱形的高为三48=3,

点A关于BC的对称点为点A',连接A'E交BC于点P,此时y最小，

"：AB=AC,/BAC=120°,

则/W=60°,故A4'2为等边三角形,

是48的中点，故A'ELAB,

^AB//A'C