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文档简介
第23讲重难点拓展:二次函数综合之三种面积最值问题
到自唾j超
题型01三角形面积最值问题题型02四边形面积最值问题
题型03面积和差最值问题
回AKKH里
二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法:
1)当所求图形的面积没有办法直接求出时,通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积,如下:
一般步骤为:①设出要求的点的坐标;
②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差;
③列出关系式求解;
④检验是否每个坐标都符合题意.
2)用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式:三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.
3)利用平行线间的距离处处相等,根据同底等高,将所求图形的面积转移到另一个图形中,如图所示:
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CD
图1
直线“〃直线n
=
S/\ABCSAABD=$△ABE
一般步骤为:①设出直线解析式,两条平行直线k值相等;
②通过已知点的坐标,求出直线解析式;
③求出题意中要求点的坐标;
④检验是否每个坐标都符合题意.
,题型归纳
题型01三角形面积最值问题
【例1】(23-24九年级下•辽宁沈阳•阶段练习)“3C中,ZBAC^90°,AB=2,/C=4,点尸从点C
出发,沿射线◎方向运动,速度为每秒1个单位长度,同时点0以相同的速度从点B出发,沿射线以方
向运动.设运动时间为x(xw2且xw4)秒,△4P。的面积为S.
⑴当0<尤<2时,如图①,求S与x的函数关系式;
⑵当2<x<4时,如图②,求S的最大值;
(3)若在运动过程中,存在两个时刻4,4,对应的点尸和点。分别记为6,5和2,2,对应的4/片。
和的面积分别记为岳和邑,且当cq=V2时,工=邑,请求出项的值.
【答案](1)S=5n2—3x+4
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⑵5
⑶:
【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在几何动点中的应用,弄清动点的运动过程是解题的关键.
(1)由已知条件得/P=4-x,AQ=X-2,由三角形面积公式得S=即可求解;
(2)由已知条件得AP=4-尤,AQ=2-X,由三角形面积公式得S=(/尸即可求解;
(3)由已知条件得=80]=x,CP2=x2,可求岸由C<=4£可求%=2再,由三角形面积
公式得S2=^AQ2-AP2,由H=邑得一元二次方程,解方程,即可求解.
【详解】(1)解:由题意得
AP=AC-PC
=4-x,
AQ=BQ-AB
=x—2j
:.S=^AP-AQ
=|(4-x)(x-2)
12c*
——x—3x+4,
2
故$与》的函数关系式为5=1无2一3尤+4;
2
(2)解:由题意得
AP=AC-PC
=4-x,
AQ=AB-BQ
=2-x,
:.S=^AP-AQ
=;(4r)(2-x)
———x2+3x-4
2
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•.当x=3时,S最大=—;
(3)解:如图,
/.P[P?=x2-x1,
4Qi=2-再,
AQ2=X2—2,
4P2=4—X?,
APX=4—xl,
AP2=4—x2,
CPX=P1P2,
/.x2=2项,
/.48—4—2再,
AQ2-2再-2,
:.SX=^AQX-APX
=g(2-xj(4-xj
S2=^AQ2-AP2
=;(2X「2)(4-2XJ,
•••Si,
.1;(2-xJ(4-xJ=;(2X[-2)(4-2xJ,
整理得:-18^+16=0,
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o
解得:西=丁%=2(舍去),
故毛的值为
【变式1-1](2024•宁夏银川•一模)如图,二次函数y=-x2+6x的图象与x轴的正半轴交于点/,经过点
/的直线与该函数图象交于点8(1,5),与y轴交于点C.
备用图
(1)求直线48的函数表达式及点C的坐标;
(2)点尸是二次函数图象上的一个动点,且在直线月3上方,过点尸作直线尸轴于点E,与直线48交于
点D,设点P的横坐标为我.
①当尸D=;OC时,求机的值;
②设AP/5的面积为S,求S关于%的函数表达式,并求出S的最大值.
【答案】⑴直线解析式为了=-尤+6,C(0,6)
(2)①加=上巫或加=&!;©5=--L--Y+—,最大值为百
222^2)88
【分析】本题主要考查了二次函数综合,一次函数与几何综合:
(1)先求出点/的坐标,进而利用待定系数法求出直线的解析式,最后求出点C的坐标即可;
(2)①根据题意可得P(加,-/+6加),D(m,-m+6),贝!|2。=一/+7〃2一6,根据尸。=:。。,得到
_病+7m_6=3,解方程即可得到答案;②根据S=$染仍+S^DA列出S关于m的关系式,再利用二次
函数的性质求出其最大值即可.
【详解】(1)解:在夕=一工2+6%中,当y=-/+6%=0时,解得工=6或x=0,
・・・4(6,0),
设直线AB解析式为y=kx+b,
.J6k+6=0
9[k+b=5,
・•.L,
[6=6
/.直线AB解析式为y=-x+6,
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在》=-%+6中,当%=0时,y=6f
・・・C(0,6);
(2)解:①由题意得,尸(加,-加之+6加),
・・・PE_Lx轴,
:.D(m,-m+6),
PD=-m2+6m-[-m+6)=-m2+7m-6,
VC(0,6),
:.OC=6,
•:PD=-OC,
2
-m2+7加-6=3,
解得加=an或%=211;
22
②•S^PAB=SWDB+SWDA,
•,S=QPD♦(xp—xB)+3PD.3一工尸)
5(2r,
=-\-m+7冽-6
2、
57
m——
22
2
125
最大值为多
O
【变式1-2](2024•浙江宁波•模拟预测)如图,一次函数y=令x+道的图象与坐标轴交于点A、B,抛
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物线y=-Ylx2+6x+c的图象经过A、8两点.
3
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点P为抛物线上一动点,在直线上方是否存在点尸使的面积最大?若存在,请求出AP/B面
积的最大值及点P的坐标,请说明理由.
【答案】(l)j^=-^-x2-—V3x+^3;
33
(2)当加=-:时,APNB面积的最大值为28,点尸的坐标是挛.
2824
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质,根据数形结合的思想解题时
关键.
(1)根据一次函数解析式求出点A、8的坐标,然后运用待定系数求二次函数解析式即可;
-|V3m+V3,贝,列出S关于相的二次函数,
(2)设的面积为S,Pm,--nr
3JI,?
利用二次函数的性质即可得解。
【详解】⑴解:在y=[x+百中,令x=0得y=G,令y=0得x=-3
^(-3,0),8(0,百),
••・二次函数yu-gd+bx+c的图象过A、B两点,
'-30-3b+c=0
b=——A/3
解得3
二二次函数的表达式为了=-1/一+G
(2)解:过点尸作尸。,x轴交N3于点。,
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<21(Ji
设△尸的面积为S,Pm,--—m2-yV3m+V3,则。m,—m+VJ
(62、、^-m2-s[3m,
APQ=----m一冽+JJ-4■冽+JJ=一
3333
V77
:/(-3,0),8(0,6),
、
V3m+|
——m2-VJmx|0+3|
32
7i+学
当加=-1■时,△尸48面积的最大值为2叵
一,--V3m+V3=—
28334
•・•点尸的坐标是岑
I24J
【变式1-3](2024•甘肃陇南•一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线>=-》-3与X轴交于点4
与y轴交于点C,过4C两点的抛物线/二^^+服+^:与工轴交于另一点夕。,。),抛物线对称轴为直线/.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M为直线/C下方抛物线上一点,当AM4c的面积最大时,求点”的坐标;
(3)点尸是抛物线上一点,过点尸作/的垂线,垂足为D,E是/上一点.要使得以尸,D,£为顶点的三角
形与MOC全等,请直接写出点尸的坐标.
【答案]⑴…2+纵_3
⑵•
(3)尸点坐标为(-4,5)或(2,5)或(-2,-3)或(0,-3)
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【分析】
(1)先求出4c的坐标,进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可;
(2)过点M作板垂直于x轴交NC于点尸,设M(x,,+2x-3),尸(无,-x-3),贝!]
MF=(-x—3)—(尤2+lx—3)=—3x,由S4AMe=—MFx|xc—xj即可求解;
(3)抛物线对称轴为直线x=-l.ZPDE=N8OC,08=1,OC=3.设P(阳/+2x-3),贝。(一1,f+2x-3),
分两种情况当尸。=OC,时,APDEqACOB,此时|-1-R=3,当PD=0B,DE=OC时,
△EDP义△COB,此时卜=求解即可.
【详解】(1)解:把尤=0代入>=一工一3得y=-3;
把'=0代入V=-》-3得x=-3.
力(-3,0),C(0,-3).
抛物线y-ax2+bx+c经过A,C,B三点,
9a-3b+c=0
「.<a+b+c=0,
c=-3
a—\
解得卜=2.
c=-3
抛物线的解析式为y=/+2x-3;
(2)过点M作物垂直于x轴交/C于点尸,设W(x,/+2x-3),则尸(龙,-x-3),
贝1JMF=(-x-3)-M+2x-3)=-x2-3x,
x2
S.AMC=—A/Fx|xc-xA\=~(~-3x)x3=++-^~,
315
.,.当x=—;时,S4.c最大,止匕时y=/+2x—3=.
24
.•.当W坐标为一时,取得最大值.
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(3)Vy=x2+2x-3=(x+l)2-4,
•••抛物线对称轴为直线尤=-1.
•.•过点P作/的垂线,垂足为。,
NPDE=NBOC=90。,
VC(0,-3),/(-3,0),5(1,0),
.•.08=1,OC=3.
设尸(无,/+2x-3),贝1]。(-1,/+2工一3)
当PD=OC,DE=08时,XPDEW/\COB,
此时卜lr|=3,
解得x=-4或x=2.
•••P点坐标为(Y⑸或(2,5),
当PD=OB,DE=OC时,XEDPW/\COB,
此时卜1-x卜1,
解得尤=-2或x=0.
尸点坐标为(-2,-3)或(0,-3),
综上:(-4,5)或(2,5)或(-2,-3)或(0,-3).
【点睛】本题考查了二次函数求解析式,二次函数的性质,三角形全等的性质,最值问题等,熟练掌握各
知识点,能准确作出辅助线,并结合图形列出相应关系式是解题的关键.
题型02四边形面积最值问题
【例2】(2024•安徽阜阳•一模)如图,抛物线1=Q2+法+3与x轴交于/(-1,0),3(3,0)两点,与V轴交
于点C.
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(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点尸,使△R4C的周长最小,求的周长的最小值及此时点尸的坐标;
(3)若M为抛物线在第一象限内的一动点,求出四边形OCW的面积的最大值及此时点M的坐标.
【答案】(1)卜=-,+2工+3;
(2)的周长的最小值为厢+3亚,点P的坐标为。,2);
63315
(3)S四边形oc的最大值为—,此时〃
O2'T
【分析】
题目主要考查二次函数的综合问题,包括待定系数法确定函数解析式,最短周长及最大面积问题,理解题
意,熟练掌握二次函数的应用是解题关键.
(1)利用待定系数法求解即可;
(2)连接3c交对称轴于点P,此时的周长最小,利用勾股定理以及待定系数法求得直线BC的解
析式,据此求解即可;
(3)连接OM,设利+3),根据S四边形OCMB+列得二次函数的解析式,利用
二次函数的性质求解即可.
a-b+3=0
【详解】(1)解:由题意得
9。+36+3=0'
a=-l
解得
b=2
二抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;
(2)解:VJ=-(X-1)2+4,
...抛物线的对称轴为直线x=l,
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连接8c交对称轴于点P,此时,PN+PC取得最小值,最小值为尸3的长,
令x=0,贝!Jy=3,
C(0,3),
一1,0),5(3,0),
•>-AC=^+32=V10-5C=A/32+32=372-
二△R4C的周长的最小值为/C+P/+PC=/C+BC=JiU+3j^,
设直线BC的解析式为y=kx+3,
贝!|0=3左+3,
解得左=-1,
・,・直线BC的解析式为y=f+3,
当x=l时,y=—1+3=2,
・•・点尸的坐标为(1,2);
(3)解:连接,设M(加,一/+2加+3),
3/2c3
=--m+2m+3+—m
2、72
=--(m2-3m-3
2V
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当a=|■时,S四边形0cMi有最大值,最大值为孚,此时/
28
【变式2-1](2024•山东临沂•一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线龙+c与x轴交于点
4
4-2,0)和点B,与夕轴交于点C(0,4),点尸是直线8C上方的抛物线上一点(点P不与点3,C重合),过
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求线段PD长的最大值;
(3)连接CP,BP,请直接写出四边形A8PC的面积最大值为.
1Q
[答案]⑴yu-a'+'X+d
(2)4
(3)36
【分析】此题分别考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求解析式及抛物线上点的坐标特点,二次函数中
套用二次函数,综合性比较强.
(1)利用待定系数法确定函数的解析式;
(2)设点尸的坐标为则点O的坐标为口,-;x+j,然后利用坐标表示线段PO长即
可求解.
(3)根据当PO取最大值时,四边形/BPC的面积最大即可求解;
【详解】(1)解:依题意将点4-2,0)和点C(0,4)代入>=-!/+乐+,,
4
,0=——x4-26+c
得4,
4=c
2,
c=4
第13页共41页
134
..y——x2H—x+4;
42
13
(2)当y=0时,v=——X2+-X+4=0,
-42
..——2,%2=8,
・・・点5坐标(8,0),
设直线的解析式为歹=履+6,
.jSk+b=0
F=4'
k=--
.,J2,
6=4
故直线BC的解析式为y=-+4,
设点P的坐标为+—x+4^j,
D——x+4^,
/.PD=--x2+—x+4-|x+4|=-—x2+2x=-—(x-4)2+4,
42I2J44
Q--<0,
4
「•当x=4时,线段尸。有最大值,最大值为4.
四边形ABPC的面积=5丫ABC+SvCPD+S\BPD
=-ABCO+-PDOB
22
=—x10x4+—xPDx8
22
=20+4PD,
故当尸。取最大值时,四边形48PC的面积最大,
故四边形/初。的面积的最大值=20+400=20+4x4=36.
第14页共41页
【变式2-2](2024•山东济南•一模)如图,直线y=-;x+3交》轴于点A,交x轴于点C,抛物线
(1)求抛物线的解析式;
(2)在直线ZC上方的抛物线上有一点“,求四边形面积的最大值及此时点W的坐标;
(3)将线段0/绕无轴上的动点尸(外。)顺时针旋转90°得到线段O'A',若线段ON与抛物线只有一个公共点,
请结合函数图象,求加的取值范围.
【答案】⑴y=-32+x+3
⑶当-3-2&《机V-2、门或-3+2痛V%V26时,线段。'©与抛物线只有一个公共点
【分析】(1)令x=0,由了=一;工+3=3,得A点坐标,令y=0,由y=-;x+3,得C点坐标,将A、C
的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式,进而由二次函数解析式;
(2)连接。M,设+;0+21,求出8(-2,0),得到S四边物BCM=+S”。“+'”、时,再根据二
次函数的性质求得最大值,便可得M点的坐标;
(3)根据旋转性质,求得。'点和H点的坐标,令。'点和H点在抛物线上时,求出机的最大和最小值便可.
【详解】(1)解:令x=0,得^=-卜+3=3,
令、=0,得y=-gx+3=0,解得,x=6,
:.C(6,0),
把A、C两点代入y=-'/+及:+。得,
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c=3,(b=i
1,解得《,
—x36+66+3=0c=3
、4i
,•抛物线的解析式为y=+x+3;
4
(2)连接OM,如图,
设Af卜,—+%+3j,
令V=°,y=-—x2+x+3=0,
4
解得:x=—2f或x=6,
・・・5(-2,0);
则S四边形48cH=S"BO+S"0M+S.OCM
1,11/12八
=—x3x2+—x3x+一义6——x+x+3
222I4)
39-
=—XH—x+122,
42
...当x=-?=3时,四边形/3CM面积最大,其最大值为:,
此时"的坐标为(3,?);
(3)•.•将线段04绕x轴上的动点尸(外。)顺时针旋转90。得到线段。'H,如图,
,/'(加+3,加),
当H(m+3,加)在抛物线上时,有一:(冽+3『+(加+3)+3=冽,
第16页共41页
解得,m--3+2>/6,
当点。(九加)在抛物线上时,有-;优2+%+3=加,
解得,m=+2y/31
.••当-3-2&V加V-273或-3+276V加W26时,线段ON与抛物线只有一个公共点.
【点睛】本题是一个二次函数的综合题,主要考查了二次函数的图象与性质,旋转的性质,待定系数法,
求函数图象与坐标轴的交点,求函数的最大值,三角形的面积公式,第(3)关键是确定。',H点的坐标与
位置.
【变式2-3](2024•安徽宿州•二模)如图1,抛物线>=32+笈-3(0方是常数且。>0)与》轴交于点/(-1,0)
和点2(点3在点/的右侧),点。是抛物线的顶点,是抛物线的对称轴且交x轴于点C(LO).
2木了杪
图1图2图3
(1)求0,6的值;
(2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间.
(i)如图2,连接4P,DP,BD,求四边形4BDP面积的最大值;
(zz)如图3,连接/P并延长交延长线于点。,连接8尸交CD于点E,求CE+CQ的值.
【答案Ml"一
(2)(z)9;(zz)8
【分析】此题考查了二次函数综合题,还考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式,数形
结合是解题的关键.
a-b-3=0
(1)根据题意得到b,,解方程组即可得到答案;
------=1
、2a
(2)(i)求出点3的坐标是(3,0),则/8=3-(-1)=4,过点尸作尸轴,交线段于点°,求出点
的。的坐标是(1,-4),得到CD=4,可得5捻⑷=8,求出直线/。的解析式为>=-2工-2,设点尸的坐
标为则点。的坐标为-2”2),则尸。=一»+1,得到LOLJ+I,得到四边形尸面
第17页共41页
积=—"+9,由-即可得答案;
5)设点尸的坐标为(加,加二2%-3)(-1<冽<1),求出直线2P的解析式为>=(冽-3)工+加-3,求出
2(l,2m-6),则C0=|2机一6卜6-2加,求出直线3尸的解析式为歹=(加+1人一3加一3,则点E的坐标是
(1,—2m—2),求出CE=卜2加—21=2+2切,即可求出定值.
【详解】(1)解:把点4(-1,0)代入歹=〃/+及一3得到0=。一6-3,①
•:CD是抛物线的对称轴且交x轴于点C(1,O).
a-b-3=0
联立①②得,b,
------=1
、2a
\a=\
解得
(2)(/)由(1)可得,y=x2-2x-3,
当x=0时,y=--2x-3=-3,
当y=0时,X2-2x-3=0,解得再=3,X?=-1,
...点2的坐标是(3,0),
^5=3-(-1)=4,
过点尸作尸0〃>轴,交线段于点0,
:y=x2_2x_3=(尤_])2—4
.••点的。的坐标是(1,-4),
CD=4
第18页共41页
・
••dV△ABD^-AB-CD^-x4x4=8,
22
设直线AD的解析式为y=mx+n,
-m+〃=0
则
加+〃=-4'
m=-2
解得
n=-2
••直线AD的解析式为y=-2x-2,
设点P的坐标为(而-2/3),则点Q的坐标为&-2-2),
•.PQ=-2t-2-[t2-2t-3]=-t2+\,
22
■.S^DP=^PQ\xD-xA)=^(-t+l)x2=-t+1,
2
,•四边形45DP面积=SAADP+SAABD=—t+1+8=-L+9,
••点P是抛物线上一点且位于点/和点。之间.
♦.当t=0时,-/+9有最大值,最大值为9;
(z7)设点P的坐标为(九加2一2加一3)(-1<加<1),
设设直线/P的解析式为V=小+s,
rm+s=m2-2m-3
则
-r+5=0
r=m-3
解得
s=加一3'
直线/P的解析式为了=(加-3)x+加-3,
0(1,2m-6)
CQ=\2m-6\—6—2m,
设2P的解析式为y="x+v,
3〃+v=0
则
mu+v=m2—2m—3?
u=m+l
解得
v=-3m-3'
二直线8P的解析式为y=(加+1)X-3m-3,
当x=]时,^=(7n+l)-3/n-3=-2m-2,
.•.点£的坐标是(1,一2机-2),
第19页共41页
CE=|-2m—2|=2+2m,
CE+CQ=2+2m+6-2m=8
题型03面积差最值问题
【例3】(2024•安徽合肥•一模)如图1,在平面直角坐标系xQy中,抛物线了=/+乐+。的对称轴为直线x=2,
且与V轴相交于点C(0,5).
(1)求抛物线y=/+6x+c的表达式;
(2)如图2,点48在x轴上(B在A的右侧),且CM=*0<f<3),/3=l,过点A,8分别作x轴的垂线交
抛物线于点连接CD,CE,DE,并延长交CE于点尸.
①求。尸的长(用含,的代数式表示);
②若ACD尸的面积记作产的面积记作风,记邑-岳=5,则S是否有最大值,若有请求出,若没有,
请说明理由.
【答案】(1)尸必一以+5
(2)①。尸=/;②S有最大值,最大值为:
O
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质,求二次函数的解析式:
(1)利用待定系数法解答,即可求解;
(2)①先求出点。(苧2-泣+5),点E(f+l,»-2f+2),再直线CE的解析式,可得点尸(/,〃-3/+5),即可
求解;②分别过点E,C^ME1.DF,CN±DF,垂足分别为则CN=t,ME=1,可得S=邑一h='一;』,
再根据二次函数的性质,即可求解.
【详解】(1)解:•••抛物线>=/+阮+。的对称轴为直线x=2,且与了轴相交于点C(0,5).
,b
-----Z
:.<2,
c=5
第20页共41页
b=-4
c=5
・・.抛物线的解析式为y=f一+5;
(2)解:®VOA=t(0<t<3),AB=lf
OB=/+1,
.•.点/(t,0),3(f+l,0),
当工=,时,»=/一期+5,
**•点D(t,尸_今+5),
当x=/+l时,y=«+l)2—4«+1)+5=/一2,+2,
*,•点石«+1,*—2,+2),
设直线CE的解析式为y=幻+乙,
.尢(%+1)+6]=%?—2t+2
4:5
k、=t—3
解得:
=5
...直线CE的解析式为y=«-3)X+5,
当x=(时,y=(f—3)1+5=「—3t+5,
・二点尸—3/+5),
DF—_3/+5)—(J_4,+5)=/;
②S有最大值,最大值为:,
O
如图,分别过点E,C作腔,。尸,CN,。尸,垂足分别为“,N,则CN=f,〃E=l,
・•.S=-DFxME=-tS=-DFxCN=-t2,
2222129}2
第21页共41页
.••当/=:时,S取得最大值,最大值为:.
【变式3-1](2024•安徽合肥•一模)已知抛物线>(awO)与x轴交于48两点(点/在
点3的左侧),与y轴交于点C,直线>=ax+b经过点/.
(1)求/、2两点的坐标;
(2)若直线y=ax+b与抛物线y=aV-2a2x-3/的对称轴交于点E.
①若点£为抛物线的顶点,求。的值;
②若点£在第四象限并且在抛物线的上方,记的面积为H,记ANBE的面积为S2,S=S2-St,求S
与x的函数表达式,并求出S的最大值.
【答案】⑴/(TO),8(3,0)
;®S=-3225
(2)®-1a+的最大值为
~1+n;s1r
【分析】本题考查了二次函数的综合题,数形结合,灵活运用分类讨论的思想是正确解答此类题的关键.
⑴令片0,解方程a?1一2a解一3a2=0,即可求解;
(2)①先求得直线解析式为:y=ax+a,顶点坐标为根据直线了=办+。过点,列式计
算即可求解;
②根据题意画出示意图,禾U用三角形面积公式列式得到E=。+3/,S2=-4a,再求得s=-31a+,]+^|,
据此求解即可.
【详解】(1)解:令”0,则有:
_2Q2%—3a2—0,
即X2-2X-3=0,
再=3,=-],
力(-1,0),8(3,0);
(2)解:・直线V=+b经过/(一1,0),
—Q+6=0,
1.a=b,
・二直线解析式为:y=ax+a,
抛物线y=a2x2-2ax2一3/配方得y=a2(x-1)2-4a2,
其顶点坐标为(1,-41);
第22页共41页
①当E为顶点时:即7="+。过(1,-4/),
2。——442,
%=-5,2=o(舍去),
设直线歹=办+〃交歹轴于R交抛物线对称轴于E点,且点£在第四象限并且在抛物线的上方,
则尸(0,〃),£(1,2。),~^<a<0,
又・・・。(0,—34),
CF=yF-yc=ci+3Q2,
二.S]=5x2x(4+342)=〃+3Q2,
*S*2——x4x(—2〃)-—4。.
S=S?—S[-—44-(a+3/)
——3/_5Q
J5丫25
I6J12
-3<0,
.・・当。=—g5,S的最大值为?三5.
612
【变式3-2](2024•安徽淮北•模拟预测)已知抛物线了=a(x+2)(x-4)(。为常数,且"0)与x轴交于4,B
两点(点A在点3的右侧),与y轴交于点C,经过点B的直线y=+b与抛物线的另一交点为点。,与V
轴的交点为点£.
第23页共41页
(1)如图1,若点。的横坐标为3,试求抛物线的函数表达式;
(2)如图2,若DE=BE,试确定。的值;
(3)如图3,在(1)的情形下,连接/C,BC,点尸为抛物线在第一象限内的点,连接5P交/C于点。,当
S&APQ-S丛BCQ取最大值时,试求点尸的坐标.
【答案】⑴^=-512+'+4
(3)p点的坐标为m
【分析】⑴令y=0,则a(x+2)(x-4)=o,求出“(4,0),8(—2,0),将8(-2,0)代入一次函数求出6=1,
从而得出点。的坐标,再将。的坐标代入二次函数即可得解;
(2)由(1)得:5(-2,0),j=1x+l,设点。的坐标为("/),由。E=2E得出点。的横坐标为2,代
入一次函数解析式得出点。的坐标,再将。的坐标代入二次函数即可得解;
(3)由(1)知:y=-^x2+x+4,/(4,0),5(-2,0),得出48=6,求出点C的坐标得出OC=4,根据
S“p0-S—CQ—PQ+ABQABCQ^ABQ)=^ABP~S^BC,得出关系式,根据二次函数的性质即可得出答
案.
【详解】⑴解:在y=a(x+2)(x-4)中,令"0,则。(x+2)(x-4)=0,
解得:X]=-2,x2=4,
.•./(4,0),5(-2,0),
将8(—2,0)代入y=+b得:1x(-2)+&=0,
解得:6=1,
11
••y—x+1,
2
•••点。的横坐标为3,
第24页共41页
・•・当x=3时,y=—x3+l=—
22
将。[3,£|代入抛物线解析式得:q(3+2)x(3-4)=|,
解得:〃=-!,
2
y——,(x+2)(x-4)=-+x+4;
(2)解:由(1)得:5(-2,0),y=1.x+l,
设点。的坐标为(加,力),
:BE=DE,
E为的中点,
在y轴上,
2
..in—2,
——x+1中,当x=2——x2+l—2,
将。(2,2)代入抛物线解析式得:a(2+2)x(2-4)=2,
解得:a=-;;
4
(3)解:由(1)知:»=一;%2+%+4,力(4,0),5(-2,0),
AB=4-(-2)=6f
在歹=一;%2+工+4中,当%=0时,y=49
/.C(0,4),
(9C=4,
"&P(P,-^p2+P+^](O<p<4),
•c_c
…U"PQQ4BCQ
二(S"P0+)—6Ase0+S“BQ
第25页共41页
=S4ABp-S&ABC
=-AB-y--ABOC
2尸p2
1乙(12八1乙/
=—x6xl--/?+J7+4I--x6x4
3o2
=--P+3p+n-n
=一|~/+3p
=-|(7?2-2p)
・・・当P=I时,S公APQ-S4BCQ的值最大,此时尸
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题、二次函数综合一面积问题,熟练掌握以上知识点并
灵活运用是解此题的关键.
【变式3-3](2024•广东广州•一模)综合应用
如图,抛物线>=-/+瓜+。与x轴交于点45(1,0),与V轴交于点C(0,3).
备用图
(1)求抛物线的解析式;
(2)直线>=-x与抛物线在第二象限交于点w,若动点N在OM上运动,线段CN绕点N顺时针旋转,点C
首次落在x轴上时记为点。,在点N运动过程中,判断/。⑦的大小是否发生变化?并说明理由.
(3)在(2)的条件下,连接C。,记△CND的外接圆的最小面积为E,记△CND的外接圆的最大面积为邑,
试求邑的值(结果保留万).
【答案】⑴y=-x?-2x+3;
(2)NCW大小不变,理由见解析;
9
⑶「
第26页共41页
【分析】(1)利用待定系数法即可求解;
(2)NOW大小不变.过点N作轴于F,过点C作CELNF交月V的延长线于点E,设N(〃,-〃),
可得CE=NF,即可证明RtACEN丝RtANFD(HL),得到NCNE=NNDF,得至!JNCNE+/F/VD=90。,进而
得到NCNE>=90。,即可求证;
(3)连接C。,结合由(2)可得为等腰直角三角形,故得△CND的外接圆是以CD为直径的圆,
设圆的半径为厂,则CD=2r,得CN=也1-,根据圆的面积公式可知,CN最小时,圆的面积为S—CN最
大时,圆的面积为邑,由CNLOM时,CN最小,此时,。与。重合,及当点N与点。重合时,CN最大,
分别求出半径厂,得出
可邑的值即可求解.
【详解】⑴解:把巩1,0)、C(0,3)代入得,
J-l+b+c=0
[c=3'
(b=-2
解得2,
[c=3
二抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;
(2)解:NCA©大小不变,理由如下:
过点N作NF,x轴于尸,过点、C作CEINF交FN的延长线于点E,
•点N在直线V=f上,
.,.设,
CE=—n,NF=-n,
:.CE=NF,
又由旋转可得,CN=ND,
在'Rt/XCEN和RIANFD中,
[CE=NF
[CN=ND,
RtACW^RtATVFD(HL),
第27页共41页
ACNE=ZNDF,
ZNDF+ZFND=9Q°,
:.ZCNE+ZFND=90°,
:.ZC2VD=180o-90o=90°,
NGVD大小不变,为90。;
(3)解:连接CD,
CN=ND,
ACND为等腰直角三角形,
△CND的外接圆是以CD为直径的圆,
设圆的半径为厂,则。=2厂,
•*-CN=5,
,圆的面积S=nr1,
CN最小时,圆的面积为耳,CN最大时,圆的面积为邑,
当CNLOM时,CN最小,此时,。与O重合,
当点N与点。重合时,CN最大,最大CN=CO=3,
._CD_CN_3_3后
2收收2
•・S、-S,=-7171=-71.
21244
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用,待定系数法求二次函数的解析式,旋转的性质,全等三角形的
判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,解直角三角形,三角形的外接圆,最值问题,正确作出辅助
线是解题的关键.
第28页共41页
,过关检测
1.(2024・四川广元•二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线必=-/+6x+c与x轴交于点B,4(-3,0),
与y轴交于点C(0,3).
(1)求直线ZC和抛物线的解析式.
(2)若点M是抛物线对称轴上的一点,是否存在点M,使得以M,A,C三点为顶点的三角形是以/C为
底的等腰三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点,求△HC面积的最大值.
2
【答案】⑴直线NC的解析式为V=x+3;抛物线的解析式为y=-x-2x+3;
(2)存在,
【分析】本题考查待定系数法求二次函数与一次函数解析式,二次函数动点围城等腰三角形及最大面积问
题:
(1)将点代入解析式求解即可得到答案;
(2)设存在,设出点的坐标根据等腰列式求解即可得到答案;
(3)设点尸坐标,表示出面积,结合新函数性质求解即可得到答案;
【详解】(1)解:设直线/C的解析式为:y=kx+t,将点/(一3,0),<7(0,3)代入〉=履+/,弘=-/+6尤+。
得,
J-3左+t=019-36+c=0
1=3,jc=3
直线/C的解析式为片X+3;抛物线的解析式为y=T=2x+3;
(2)解:存在M(-1,1),理由如下,
抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为:&=-=T,
2x(-1)
第29页共41页
设点M(T,加),
•:M,A,。三点为顶点的三角形是以ZC为底的等腰三角形,
:.MA=MC,
・・・/(—3,0),C(0,3),
J(—1+3>+(加一0)2=J(—1—08+(加—3)2,
解得:m=\,
AM(-1,1);
(3)解:设尸(凡―川―2〃+3),且—3<〃<0,连接。尸,
,,S4PAe=S△为0+S4Poe-S“oc
111
=—x3x(-7?29-2w+3)+—X3x(-7?)-£^3x3
3
:—<0,—3<〃<0,
2
327
・,•当〃=-不时,SjAC最大为—.
2o
2.(2024•安徽安庆•一模)如图,抛物线>=西+区+3与x轴交于点”(1,0)、3(3,0)两点,与y轴交于点
C.
第30页共41页
(1)求此抛物线对应的函数表达式;
(2)点E为直线8C上的任意一点,过点£作x轴的垂线与此抛物线交于点F.
①若点£在第一象限,连接CF、BF,求ACFB面积的最大值;
②此抛物线对称轴与直线3C交于点。,连接。尸,若ADE尸为直角三角形,请直接写出£点坐标.
【答案】⑴y=d-4x+3
(2)①g;②E(l,2)或(4,-1)或E(2-61+旬或£(2+仓1-旬
【分析】本题考查二次函数的综合应用,正确的求出函数解析式,利用数形结合和分类讨论的思想进行求
解是解题的关键.
(1)待定系数法求出函数解析式即可;
(2)①先求出8C的解析式,设-机+3),将三角形的面积转化为二次函数求最值,即可;
②分点。为直角顶点,点E为直角顶点,两种情况进行讨论求解即可.
【详解】⑴解:把点”(1,0)、8(3,0)代入解析式,得:
fa+6+3=0[a=\
《Q2入2八,解得:\;
[9Q+36+3=0[b=-4
y=d-4x+3;
(2)①:y=d-4x+3,
・•・当x=0时,y=3,
・・・C(0,3),
设3C的解析式为>="+3,把8(3,0)代入,得
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