重难点拓展：二次函数综合之三种面积最值问题（解析版）

第23讲重难点拓展：二次函数综合之三种面积最值问题

到自唾j超

题型01三角形面积最值问题题型02四边形面积最值问题

题型03面积和差最值问题

回AKKH里

二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：

1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下:

一般步骤为：①设出要求的点的坐标；

②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；

③列出关系式求解；

④检验是否每个坐标都符合题意.

2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.

3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示:

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CD

图1

直线“〃直线n

=

S/\ABCSAABD=$△ABE

一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等;

②通过已知点的坐标，求出直线解析式；

③求出题意中要求点的坐标；

④检验是否每个坐标都符合题意.

，题型归纳

题型01三角形面积最值问题

【例1】（23-24九年级下•辽宁沈阳•阶段练习）“3C中，ZBAC^90°,AB=2,/C=4,点尸从点C

出发，沿射线◎方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点0以相同的速度从点B出发，沿射线以方

向运动.设运动时间为x（xw2且xw4）秒，△4P。的面积为S.

⑴当0＜尤＜2时，如图①，求S与x的函数关系式;

⑵当2<x<4时,如图②，求S的最大值;

（3）若在运动过程中，存在两个时刻4，4，对应的点尸和点。分别记为6，5和2，2，对应的4/片。

和的面积分别记为岳和邑，且当cq=V2时，工=邑，请求出项的值.

【答案］（1）S=5n2—3x+4

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⑵5

⑶:

【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在几何动点中的应用，弄清动点的运动过程是解题的关键.

(1)由已知条件得/P=4-x,AQ=X-2,由三角形面积公式得S=即可求解；

(2)由已知条件得AP=4-尤，AQ=2-X,由三角形面积公式得S=(/尸即可求解；

(3)由已知条件得=80]=x,CP2=x2,可求岸由C<=4£可求%=2再，由三角形面积

公式得S2=^AQ2-AP2,由H=邑得一元二次方程，解方程，即可求解.

【详解】(1)解：由题意得

AP=AC-PC

=4-x,

AQ=BQ-AB

=x—2j

:.S=^AP-AQ

=|(4-x)(x-2)

12c*

——x—3x+4,

2

故$与》的函数关系式为5=1无2一3尤+4；

2

(2)解：由题意得

AP=AC-PC

=4-x,

AQ=AB-BQ

=2-x,

:.S=^AP-AQ

=；(4r)(2-x)

———x2+3x-4

2

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•.当x=3时，S最大=—；

(3)解：如图，

/.P[P?=x2-x1,

4Qi=2-再，

AQ2=X2—2,

4P2=4—X?,

APX=4—xl,

AP2=4—x2,

CPX=P1P2,

/.x2=2项,

/.48—4—2再，

AQ2-2再-2,

:.SX=^AQX-APX

=g（2-xj（4-xj

S2=^AQ2-AP2

=；（2X「2）（4-2XJ，

•••Si，

.1；（2-xJ（4-xJ=；（2X[-2）（4-2xJ,

整理得：-18^+16=0,

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o

解得：西=丁%=2（舍去），

故毛的值为

【变式1-1]（2024•宁夏银川•一模）如图，二次函数y=-x2+6x的图象与x轴的正半轴交于点/,经过点

/的直线与该函数图象交于点8（1,5）,与y轴交于点C.

备用图

（1）求直线48的函数表达式及点C的坐标；

（2）点尸是二次函数图象上的一个动点，且在直线月3上方，过点尸作直线尸轴于点E,与直线48交于

点D,设点P的横坐标为我.

①当尸D=；OC时，求机的值；

②设AP/5的面积为S,求S关于％的函数表达式，并求出S的最大值.

【答案】⑴直线解析式为了=-尤+6,C（0,6）

（2）①加=上巫或加=&!；©5=--L--Y+—,最大值为百

222^2）88

【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合：

（1）先求出点/的坐标，进而利用待定系数法求出直线的解析式，最后求出点C的坐标即可；

（2）①根据题意可得P（加,-/+6加），D（m,-m+6）,贝!|2。=一/+7〃2一6,根据尸。=：。。，得到

_病+7m_6=3,解方程即可得到答案；②根据S=$染仍+S^DA列出S关于m的关系式，再利用二次

函数的性质求出其最大值即可.

【详解】（1）解：在夕=一工2+6%中，当y=-/+6%=0时，解得工=6或x=0,

・・・4（6,0）,

设直线AB解析式为y=kx+b,

.J6k+6=0

9[k+b=5，

・•.L，

[6=6

/.直线AB解析式为y=-x+6,

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在》=-％+6中，当％=0时，y=6f

・・・C（0,6）；

（2）解:①由题意得，尸（加，-加之+6加）,

・・・PE_Lx轴，

:.D（m,-m+6）,

PD=-m2+6m-[-m+6）=-m2+7m-6,

VC（0,6）,

：.OC=6,

•：PD=-OC,

2

-m2+7加-6=3,

解得加=an或%=211；

22

②•S^PAB=SWDB+SWDA，

•,S=QPD♦（xp—xB）+3PD.3一工尸）

5（2r，

=-\-m+7冽-6

2、

57

m——

22

2

125

最大值为多

O

【变式1-2]（2024•浙江宁波•模拟预测）如图，一次函数y=令x+道的图象与坐标轴交于点A、B,抛

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物线y=-Ylx2+6x+c的图象经过A、8两点.

3

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点P为抛物线上一动点，在直线上方是否存在点尸使的面积最大？若存在，请求出AP/B面

积的最大值及点P的坐标，请说明理由.

【答案】(l)j^=-^-x2-—V3x+^3;

33

(2)当加=-：时，APNB面积的最大值为28,点尸的坐标是挛.

2824

【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，根据数形结合的思想解题时

关键.

(1)根据一次函数解析式求出点A、8的坐标，然后运用待定系数求二次函数解析式即可；

-|V3m+V3,贝,列出S关于相的二次函数,

(2)设的面积为S,Pm,--nr

3JI，?

利用二次函数的性质即可得解。

【详解】⑴解：在y=[x+百中，令x=0得y=G，令y=0得x=-3

^(-3,0),8(0,百),

••・二次函数yu-gd+bx+c的图象过A、B两点,

'-30-3b+c=0

b=——A/3

解得3

二二次函数的表达式为了=-1/一+G

(2)解：过点尸作尸。，x轴交N3于点。,

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<21(Ji

设△尸的面积为S,Pm,--—m2-yV3m+V3,则。m,—m+VJ

(62、、^-m2-s[3m，

APQ=----m一冽+JJ-4■冽+JJ=一

3333

V77

：/(-3,0),8(0,6)，

、

V3m+|

——m2-VJmx|0+3|

32

7i+学

当加=-1■时，△尸48面积的最大值为2叵

一，--V3m+V3=—

28334

•・•点尸的坐标是岑

I24J

【变式1-3](2024•甘肃陇南•一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线>=-》-3与X轴交于点4

与y轴交于点C,过4C两点的抛物线/二^^+服+^:与工轴交于另一点夕。,。)，抛物线对称轴为直线/.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M为直线/C下方抛物线上一点，当AM4c的面积最大时，求点”的坐标；

(3)点尸是抛物线上一点，过点尸作/的垂线，垂足为D,E是/上一点.要使得以尸，D,£为顶点的三角

形与MOC全等，请直接写出点尸的坐标.

【答案]⑴…2+纵_3

⑵•

(3)尸点坐标为(-4,5)或(2,5)或(-2,-3)或(0,-3)

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【分析】

(1)先求出4c的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

(2)过点M作板垂直于x轴交NC于点尸，设M(x,，+2x-3),尸(无,-x-3),贝！］

MF=(-x—3)—(尤2+lx—3)=—3x,由S4AMe=—MFx|xc—xj即可求解；

(3)抛物线对称轴为直线x=-l.ZPDE=N8OC,08=1,OC=3.设P(阳/+2x-3),贝。(一1,f+2x-3),

分两种情况当尸。=OC,时，APDEqACOB,此时|-1-R=3,当PD=0B,DE=OC时，

△EDP义△COB,此时卜=求解即可.

【详解】(1)解：把尤=0代入>=一工一3得y=-3；

把'=0代入V=-》-3得x=-3.

力(-3,0),C(0,-3).

抛物线y-ax2+bx+c经过A,C,B三点,

9a-3b+c=0

「.<a+b+c=0,

c=-3

a—\

解得卜=2.

c=-3

抛物线的解析式为y=/+2x-3；

(2)过点M作物垂直于x轴交/C于点尸，设W(x,/+2x-3),则尸(龙,-x-3),

贝1JMF=(-x-3)-M+2x-3)=-x2-3x,

x2

S.AMC=—A/Fx|xc-xA\=~(~-3x)x3=++-^~,

315

.,.当x=—；时，S4.c最大，止匕时y=/+2x—3=.

24

.•.当W坐标为一时，取得最大值.

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(3)Vy=x2+2x-3=(x+l)2-4,

•••抛物线对称轴为直线尤=-1.

•.•过点P作/的垂线，垂足为。，

NPDE=NBOC=90。,

VC(0,-3),/(-3,0),5(1,0),

.•.08=1,OC=3.

设尸(无,/+2x-3),贝1］。(-1,/+2工一3)

当PD=OC,DE=08时，XPDEW/\COB,

此时卜lr|=3,

解得x=-4或x=2.

•••P点坐标为(Y⑸或(2,5),

当PD=OB,DE=OC时，XEDPW/\COB,

此时卜1-x卜1,

解得尤=-2或x=0.

尸点坐标为(-2,-3)或(0,-3),

综上：(-4,5)或(2,5)或(-2,-3)或(0,-3).

【点睛】本题考查了二次函数求解析式，二次函数的性质，三角形全等的性质，最值问题等，熟练掌握各

知识点，能准确作出辅助线，并结合图形列出相应关系式是解题的关键.

题型02四边形面积最值问题

【例2】(2024•安徽阜阳•一模)如图,抛物线1=Q2+法+3与x轴交于/(-1，0),3(3,0)两点,与V轴交

于点C.

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(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上找一点尸，使△R4C的周长最小，求的周长的最小值及此时点尸的坐标;

(3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形OCW的面积的最大值及此时点M的坐标.

【答案】(1)卜=-，+2工+3；

(2)的周长的最小值为厢+3亚，点P的坐标为。，2)；

63315

(3)S四边形oc的最大值为—,此时〃

O2'T

【分析】

题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题

意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键.

(1)利用待定系数法求解即可；

(2)连接3c交对称轴于点P,此时的周长最小，利用勾股定理以及待定系数法求得直线BC的解

析式，据此求解即可；

(3)连接OM,设利+3),根据S四边形OCMB+列得二次函数的解析式，利用

二次函数的性质求解即可.

a-b+3=0

【详解】(1)解：由题意得

9。+36+3=0'

a=-l

解得

b=2

二抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

(2)解：VJ=-(X-1)2+4,

...抛物线的对称轴为直线x=l,

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连接8c交对称轴于点P,此时，PN+PC取得最小值，最小值为尸3的长,

令x=0,贝！Jy=3,

C(0,3),

一1,0),5(3,0),

•>-AC=^+32=V10-5C=A/32+32=372-

二△R4C的周长的最小值为/C+P/+PC=/C+BC=JiU+3j^,

设直线BC的解析式为y=kx+3,

贝!|0=3左+3,

解得左=-1,

・,・直线BC的解析式为y=f+3,

当x=l时，y=—1+3=2,

・•・点尸的坐标为(1,2)；

(3)解：连接,设M(加,一/+2加+3),

3/2c3

=--m+2m+3+—m

2、72

=--(m2-3m-3

2V

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当a=|■时，S四边形0cMi有最大值，最大值为孚，此时/

28

【变式2-1］(2024•山东临沂•一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线龙+c与x轴交于点

4

4-2,0)和点B,与夕轴交于点C(0,4),点尸是直线8C上方的抛物线上一点(点P不与点3,C重合)，过

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求线段PD长的最大值；

(3)连接CP,BP,请直接写出四边形A8PC的面积最大值为.

1Q

［答案］⑴yu-a'+'X+d

(2)4

(3)36

【分析】此题分别考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求解析式及抛物线上点的坐标特点，二次函数中

套用二次函数，综合性比较强.

(1)利用待定系数法确定函数的解析式；

(2)设点尸的坐标为则点O的坐标为口，-;x+j,然后利用坐标表示线段PO长即

可求解.

(3)根据当PO取最大值时，四边形/BPC的面积最大即可求解；

【详解】(1)解：依题意将点4-2,0)和点C(0,4)代入＞=-！/+乐+，，

4

,0=——x4-26+c

得4,

4=c

2,

c=4

第13页共41页

134

..y——x2H—x+4；

42

13

(2)当y=0时，v=——X2+-X+4=0,

-42

..——2,%2=8,

・・・点5坐标(8,0),

设直线的解析式为歹=履+6,

.jSk+b=0

F=4'

k=--

.,J2,

6=4

故直线BC的解析式为y=-+4,

设点P的坐标为+—x+4^j,

D——x+4^,

/.PD=--x2+—x+4-|x+4|=-—x2+2x=-—(x-4)2+4,

42I2J44

Q--<0,

4

「•当x=4时，线段尸。有最大值，最大值为4.

四边形ABPC的面积=5丫ABC+SvCPD+S\BPD

=-ABCO+-PDOB

22

=—x10x4+—xPDx8

22

=20+4PD,

故当尸。取最大值时，四边形48PC的面积最大，

故四边形/初。的面积的最大值=20+400=20+4x4=36.

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【变式2-2］（2024•山东济南•一模）如图，直线y=-；x+3交》轴于点A,交x轴于点C,抛物线

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线ZC上方的抛物线上有一点“，求四边形面积的最大值及此时点W的坐标；

（3）将线段0/绕无轴上的动点尸（外。）顺时针旋转90°得到线段O'A',若线段ON与抛物线只有一个公共点,

请结合函数图象，求加的取值范围.

【答案】⑴y=-32+x+3

⑶当-3-2&《机V-2、门或-3+2痛V%V26时，线段。'©与抛物线只有一个公共点

【分析】（1）令x=0,由了=一；工+3=3,得A点坐标，令y=0,由y=-；x+3,得C点坐标，将A、C

的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式；

（2）连接。M,设+；0+21,求出8（-2,0）,得到S四边物BCM=+S”。“+'”、时，再根据二

次函数的性质求得最大值，便可得M点的坐标；

（3）根据旋转性质，求得。'点和H点的坐标，令。'点和H点在抛物线上时，求出机的最大和最小值便可.

【详解】（1）解：令x=0,得^=-卜+3=3,

令、=0,得y=-gx+3=0,解得，x=6,

：.C（6,0）,

把A、C两点代入y=-'/+及：+。得，

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c=3,(b=i

1，解得《，

—x36+66+3=0c=3

、4i

,•抛物线的解析式为y=+x+3；

4

(2)连接OM,如图，

设Af卜,—+%+3j,

令V=°,y=-—x2+x+3=0,

4

解得：x=—2f或x=6,

・・・5(-2,0)；

则S四边形48cH=S"BO+S"0M+S.OCM

1,11/12八

=—x3x2+—x3x+一义6——x+x+3

222I4)

39-

=—XH—x+122,

42

...当x=-?=3时，四边形/3CM面积最大，其最大值为:，

此时"的坐标为(3,?)；

(3)•.•将线段04绕x轴上的动点尸(外。)顺时针旋转90。得到线段。'H,如图,

,/'（加+3,加）,

当H（m+3,加）在抛物线上时，有一:（冽+3『+（加+3）+3=冽，

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解得，m--3+2>/6，

当点。(九加)在抛物线上时，有-；优2+%+3=加，

解得，m=+2y/31

.••当-3-2&V加V-273或-3+276V加W26时，线段ON与抛物线只有一个公共点.

【点睛】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，

求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第(3)关键是确定。'，H点的坐标与

位置.

【变式2-3](2024•安徽宿州•二模)如图1,抛物线＞=32+笈-3(0方是常数且。＞0)与》轴交于点/(-1,0)

和点2(点3在点/的右侧)，点。是抛物线的顶点，是抛物线的对称轴且交x轴于点C(LO).

2木了杪

图1图2图3

(1)求0,6的值；

(2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间.

(i)如图2,连接4P,DP,BD,求四边形4BDP面积的最大值；

(zz)如图3,连接/P并延长交延长线于点。，连接8尸交CD于点E,求CE+CQ的值.

【答案Ml"一

(2)(z)9；(zz)8

【分析】此题考查了二次函数综合题，还考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，数形

结合是解题的关键.

a-b-3=0

(1)根据题意得到b,,解方程组即可得到答案；

------=1

、2a

(2)(i)求出点3的坐标是(3,0),则/8=3-(-1)=4,过点尸作尸轴，交线段于点°,求出点

的。的坐标是(1,-4),得到CD=4,可得5捻⑷=8,求出直线/。的解析式为＞=-2工-2,设点尸的坐

标为则点。的坐标为-2”2),则尸。=一»+1,得到LOLJ+I,得到四边形尸面

第17页共41页

积=—"+9，由-即可得答案；

5）设点尸的坐标为（加，加二2%-3）（-1＜冽＜1）,求出直线2P的解析式为＞=（冽-3）工+加-3,求出

2（l,2m-6）,则C0=|2机一6卜6-2加，求出直线3尸的解析式为歹=（加+1人一3加一3,则点E的坐标是

（1,—2m—2）,求出CE=卜2加—21=2+2切，即可求出定值.

【详解】（1）解：把点4（-1,0）代入歹=〃/+及一3得到0=。一6-3,①

•:CD是抛物线的对称轴且交x轴于点C（1,O）.

a-b-3=0

联立①②得，b,

------=1

、2a

\a=\

解得

(2)(/)由(1)可得，y=x2-2x-3,

当x=0时，y=--2x-3=-3,

当y=0时，X2-2x-3=0，解得再=3,X?=-1,

...点2的坐标是(3,0),

^5=3-(-1)=4,

过点尸作尸0〃＞轴，交线段于点0,

：y=x2_2x_3=(尤_])2—4

.••点的。的坐标是(1,-4),

CD=4

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・

••dV△ABD^-AB-CD^-x4x4=8,

22

设直线AD的解析式为y=mx+n,

-m+〃=0

则

加+〃=-4'

m=-2

解得

n=-2

••直线AD的解析式为y=-2x-2,

设点P的坐标为（而-2/3）,则点Q的坐标为&-2-2）,

•.PQ=-2t-2-[t2-2t-3]=-t2+\,

22

■.S^DP=^PQ\xD-xA)=^(-t+l)x2=-t+1,

2

,•四边形45DP面积=SAADP+SAABD=—t+1+8=-L+9,

••点P是抛物线上一点且位于点/和点。之间.

♦.当t=0时,-/+9有最大值，最大值为9；

（z7）设点P的坐标为（九加2一2加一3）（-1＜加＜1）,

设设直线/P的解析式为V=小+s,

rm+s=m2-2m-3

则

-r+5=0

r=m-3

解得

s=加一3'

直线/P的解析式为了=（加-3）x+加-3,

0(1,2m-6)

CQ=\2m-6\—6—2m,

设2P的解析式为y="x+v,

3〃+v=0

则

mu+v=m2—2m—3?

u=m+l

解得

v=-3m-3'

二直线8P的解析式为y=（加+1）X-3m-3,

当x=]时，^=(7n+l)-3/n-3=-2m-2,

.•.点£的坐标是（1,一2机-2）,

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CE=|-2m—2|=2+2m,

CE+CQ=2+2m+6-2m=8

题型03面积差最值问题

【例3】（2024•安徽合肥•一模）如图1,在平面直角坐标系xQy中，抛物线了=/+乐+。的对称轴为直线x=2,

且与V轴相交于点C（0,5）.

（1）求抛物线y=/+6x+c的表达式;

（2）如图2,点48在x轴上（B在A的右侧），且CM=*0<f<3）,/3=l,过点A,8分别作x轴的垂线交

抛物线于点连接CD,CE,DE,并延长交CE于点尸.

①求。尸的长（用含，的代数式表示）；

②若ACD尸的面积记作产的面积记作风，记邑-岳=5,则S是否有最大值，若有请求出，若没有,

请说明理由.

【答案】（1）尸必一以+5

（2）①。尸=/；②S有最大值，最大值为:

O

【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数的解析式：

（1）利用待定系数法解答，即可求解；

（2）①先求出点。（苧2-泣+5）,点E（f+l,»-2f+2）,再直线CE的解析式，可得点尸（/,〃-3/+5）,即可

求解;②分别过点E,C^ME1.DF,CN±DF，垂足分别为则CN=t,ME=1,可得S=邑一h='一；』，

再根据二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）解：•••抛物线>=/+阮+。的对称轴为直线x=2,且与了轴相交于点C（0,5）.

,b

-----Z

：.<2,

c=5

第20页共41页

b=-4

c=5

・・.抛物线的解析式为y=f一+5；

(2)解：®VOA=t(0<t<3),AB=lf

OB=/+1,

.•.点/(t,0),3(f+l,0),

当工=，时，»=/一期+5,

**•点D(t,尸_今+5),

当x=/+l时，y=«+l)2—4«+1)+5=/一2，+2,

*,•点石«+1,*—2,+2),

设直线CE的解析式为y=幻+乙，

.尢(%+1)+6]=%?—2t+2

4:5

k、=t—3

解得:

=5

...直线CE的解析式为y=«-3)X+5,

当x=(时，y=(f—3)1+5=「—3t+5,

・二点尸—3/+5),

DF—_3/+5)—(J_4,+5)=/；

②S有最大值，最大值为:，

O

如图，分别过点E,C作腔,。尸,CN，。尸，垂足分别为“，N,则CN=f,〃E=l,

・•.S=-DFxME=-tS=-DFxCN=-t2,

2222129}2

第21页共41页

.••当/=:时，S取得最大值，最大值为:.

【变式3-1](2024•安徽合肥•一模)已知抛物线>(awO)与x轴交于48两点(点/在

点3的左侧)，与y轴交于点C,直线>=ax+b经过点/.

(1)求/、2两点的坐标；

(2)若直线y=ax+b与抛物线y=aV-2a2x-3/的对称轴交于点E.

①若点£为抛物线的顶点，求。的值；

②若点£在第四象限并且在抛物线的上方，记的面积为H，记ANBE的面积为S2,S=S2-St,求S

与x的函数表达式，并求出S的最大值.

【答案】⑴/(TO),8(3,0)

；®S=-3225

(2)®-1a+的最大值为

~1+n;s1r

【分析】本题考查了二次函数的综合题，数形结合，灵活运用分类讨论的思想是正确解答此类题的关键.

⑴令片0,解方程a?1一2a解一3a2=0,即可求解;

(2)①先求得直线解析式为：y=ax+a,顶点坐标为根据直线了=办+。过点,列式计

算即可求解；

②根据题意画出示意图，禾U用三角形面积公式列式得到E=。+3/,S2=-4a,再求得s=-31a+，]+^|,

据此求解即可.

【详解】(1)解：令”0,则有：

_2Q2%—3a2—0,

即X2-2X-3=0,

再=3,=-],

力(-1,0),8(3,0)；

(2)解：・直线V=+b经过/(一1,0),

—Q+6=0,

1.a=b,

・二直线解析式为：y=ax+a,

抛物线y=a2x2-2ax2一3/配方得y=a2(x-1)2-4a2,

其顶点坐标为(1,-41)；

第22页共41页

①当E为顶点时：即7="+。过(1,-4/),

2。——442,

%=-5,2=o(舍去),

设直线歹=办+〃交歹轴于R交抛物线对称轴于E点，且点£在第四象限并且在抛物线的上方，

则尸（0,〃），£（1,2。），~^<a<0,

又・・・。（0,—34），

CF=yF-yc=ci+3Q2,

二.S]=5x2x（4+342）=〃+3Q2,

*S*2——x4x（—2〃）-—4。.

S=S?—S[-—44-（a+3/）

——3/_5Q

J5丫25

I6J12

-3<0,

.・・当。=—g5,S的最大值为?三5.

612

【变式3-2]（2024•安徽淮北•模拟预测）已知抛物线了=a（x+2）（x-4）（。为常数，且"0）与x轴交于4,B

两点（点A在点3的右侧），与y轴交于点C,经过点B的直线y=+b与抛物线的另一交点为点。，与V

轴的交点为点£.

第23页共41页

(1)如图1,若点。的横坐标为3,试求抛物线的函数表达式；

(2)如图2,若DE=BE,试确定。的值；

(3)如图3,在(1)的情形下，连接/C,BC,点尸为抛物线在第一象限内的点，连接5P交/C于点。，当

S&APQ-S丛BCQ取最大值时，试求点尸的坐标.

【答案】⑴^=-512+'+4

(3)p点的坐标为m

【分析】⑴令y=0,则a(x+2)(x-4)=o,求出“(4,0),8(—2,0),将8(-2,0)代入一次函数求出6=1,

从而得出点。的坐标，再将。的坐标代入二次函数即可得解；

(2)由(1)得：5(-2,0),j=1x+l,设点。的坐标为("/),由。E=2E得出点。的横坐标为2,代

入一次函数解析式得出点。的坐标，再将。的坐标代入二次函数即可得解；

(3)由(1)知：y=-^x2+x+4,/(4,0),5(-2,0),得出48=6,求出点C的坐标得出OC=4,根据

S“p0-S—CQ—PQ+ABQABCQ^ABQ)=^ABP~S^BC,得出关系式，根据二次函数的性质即可得出答

案.

【详解】⑴解：在y=a(x+2)(x-4)中，令"0,则。(x+2)(x-4)=0,

解得：X]=-2,x2=4,

.•./(4,0),5(-2,0),

将8(—2,0)代入y=+b得：1x(-2)+&=0,

解得：6=1,

11

••y—x+1,

2

•••点。的横坐标为3,

第24页共41页

・•・当x=3时，y=—x3+l=—

22

将。［3,£|代入抛物线解析式得：q（3+2）x（3-4）=|,

解得：〃=-！，

2

y——,（x+2）（x-4）=-+x+4；

（2）解：由（1）得：5（-2,0）,y=1.x+l,

设点。的坐标为（加,力），

:BE=DE,

E为的中点，

在y轴上,

2

..in—2,

——x+1中，当x=2——x2+l—2,

将。（2,2）代入抛物线解析式得：a（2+2）x（2-4）=2,

解得：a=-；;

4

（3）解：由（1）知：»=一；％2+%+4,力（4,0）,5（-2,0）,

AB=4-（-2）=6f

在歹=一；％2+工+4中，当％=0时，y=49

/.C（0,4）,

(9C=4,

"&P(P,-^p2+P+^](O<p<4),

•c_c

…U"PQQ4BCQ

二(S"P0+)—6Ase0+S“BQ

第25页共41页

=S4ABp-S&ABC

=-AB-y--ABOC

2尸p2

1乙(12八1乙/

=—x6xl--/?+J7+4I--x6x4

3o2

=--P+3p+n-n

=一|~/+3p

=-|(7?2-2p)

・・・当P=I时，S公APQ-S4BCQ的值最大，此时尸

【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题、二次函数综合一面积问题，熟练掌握以上知识点并

灵活运用是解此题的关键.

【变式3-3](2024•广东广州•一模)综合应用

如图，抛物线＞=-/+瓜+。与x轴交于点45(1,0),与V轴交于点C(0,3).

备用图

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线＞=-x与抛物线在第二象限交于点w,若动点N在OM上运动，线段CN绕点N顺时针旋转，点C

首次落在x轴上时记为点。，在点N运动过程中，判断/。⑦的大小是否发生变化？并说明理由.

(3)在(2)的条件下，连接C。，记△CND的外接圆的最小面积为E，记△CND的外接圆的最大面积为邑，

试求邑的值(结果保留万).

【答案】⑴y=-x?-2x+3；

(2)NCW大小不变，理由见解析；

9

⑶「

第26页共41页

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；

（2）NOW大小不变.过点N作轴于F，过点C作CELNF交月V的延长线于点E,设N（〃,-〃），

可得CE=NF,即可证明RtACEN丝RtANFD（HL）,得到NCNE=NNDF,得至！JNCNE+/F/VD=90。，进而

得到NCNE>=90。，即可求证；

（3）连接C。，结合由（2）可得为等腰直角三角形，故得△CND的外接圆是以CD为直径的圆，

设圆的半径为厂，则CD=2r,得CN=也1-，根据圆的面积公式可知，CN最小时，圆的面积为S—CN最

大时，圆的面积为邑，由CNLOM时，CN最小，此时，。与。重合，及当点N与点。重合时，CN最大,

分别求出半径厂，得出

可邑的值即可求解.

【详解】⑴解：把巩1,0）、C（0,3）代入得,

J-l+b+c=0

[c=3'

（b=-2

解得2，

[c=3

二抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；

（2）解：NCA©大小不变，理由如下：

过点N作NF，x轴于尸，过点、C作CEINF交FN的延长线于点E,

•点N在直线V=f上，

.,.设,

CE=—n,NF=-n,

：.CE=NF,

又由旋转可得，CN=ND,

在'Rt/XCEN和RIANFD中,

[CE=NF

[CN=ND，

RtACW^RtATVFD(HL),

第27页共41页

ACNE=ZNDF,

ZNDF+ZFND=9Q°,

：.ZCNE+ZFND=90°,

：.ZC2VD=180o-90o=90°,

NGVD大小不变，为90。；

(3)解：连接CD,

CN=ND,

ACND为等腰直角三角形，

△CND的外接圆是以CD为直径的圆,

设圆的半径为厂，则。=2厂，

•*-CN=5，

,圆的面积S=nr1，

CN最小时，圆的面积为耳，CN最大时，圆的面积为邑,

当CNLOM时，CN最小,此时，。与O重合，

当点N与点。重合时，CN最大,最大CN=CO=3,

._CD_CN_3_3后

2收收2

•・S、-S,=-7171=-71.

21244

【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，待定系数法求二次函数的解析式，旋转的性质，全等三角形的

判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的外接圆，最值问题，正确作出辅助

线是解题的关键.

第28页共41页

，过关检测

1.(2024・四川广元•二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线必=-/+6x+c与x轴交于点B,4(-3,0),

与y轴交于点C(0,3).

(1)求直线ZC和抛物线的解析式.

(2)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M,使得以M,A,C三点为顶点的三角形是以/C为

底的等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，求△HC面积的最大值.

2

【答案】⑴直线NC的解析式为V=x+3；抛物线的解析式为y=-x-2x+3；

(2)存在，

【分析】本题考查待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数动点围城等腰三角形及最大面积问

题：

(1)将点代入解析式求解即可得到答案；

(2)设存在，设出点的坐标根据等腰列式求解即可得到答案；

(3)设点尸坐标，表示出面积，结合新函数性质求解即可得到答案；

【详解】(1)解：设直线/C的解析式为：y=kx+t,将点/(一3,0),<7(0,3)代入〉=履+/,弘=-/+6尤+。

得，

J-3左+t=019-36+c=0

1=3，jc=3

直线/C的解析式为片X+3；抛物线的解析式为y=T=2x+3；

(2)解：存在M(-1,1),理由如下，

抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为：&=-=T,

2x(-1)

第29页共41页

设点M(T,加)，

•:M,A,。三点为顶点的三角形是以ZC为底的等腰三角形,

：.MA=MC,

・・・/(—3,0),C(0,3),

J(—1+3>+(加一0)2=J(—1—08+(加—3)2,

解得：m=\,

AM(-1,1)；

(3)解：设尸(凡―川―2〃+3),且—3<〃<0,连接。尸，

,,S4PAe=S△为0+S4Poe-S“oc

111

=—x3x(-7?29-2w+3)+—X3x(-7?)-£^3x3

3

:—<0,—3<〃<0,

2

327

・,•当〃=-不时，SjAC最大为—.

2o

2.(2024•安徽安庆•一模)如图，抛物线>=西+区+3与x轴交于点”(1,0)、3(3,0)两点，与y轴交于点

C.

第30页共41页

(1)求此抛物线对应的函数表达式；

(2)点E为直线8C上的任意一点，过点£作x轴的垂线与此抛物线交于点F.

①若点£在第一象限，连接CF、BF,求ACFB面积的最大值；

②此抛物线对称轴与直线3C交于点。，连接。尸，若ADE尸为直角三角形，请直接写出£点坐标.

【答案】⑴y=d-4x+3

(2)①g；②E(l,2)或(4,-1)或E(2-61+旬或£(2+仓1-旬

【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求

解是解题的关键.

(1)待定系数法求出函数解析式即可；

(2)①先求出8C的解析式，设-机+3),将三角形的面积转化为二次函数求最值，即可；

②分点。为直角顶点，点E为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可.

【详解】⑴解：把点”(1,0)、8(3,0)代入解析式，得：

fa+6+3=0[a=\

《Q2入2八，解得：\；

[9Q+36+3=0[b=-4

y=d-4x+3；

(2)①:y=d-4x+3,

・•・当x=0时，y=3,

・・・C(0,3),

设3C的解析式为＞="+3,把8(3,0)代入，得