浙江专用2024年高考数学一轮复习讲练测专题5.3平面向量的数量积及应用讲含解析

PAGEPAGE1第03讲平面对量的数量积及应用讲1.理解平面对量数量积的概念及其意义，了解平面对量的数量积与向量投影的关系.2.驾驭平面对量数量积的坐标运算，驾驭数量积与两个向量的夹角之间的关系.3.会用坐标表示平面对量的平行与垂直.4.高考预料：（1）以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；（2）同三角函数、解析几何等学问相结合，以工具的形式出现．5.备考重点：（1）理解数量积的概念是基础，驾驭数量积的两种运算的方法是关键；（2）解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，留意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.学问点1．平面对量的数量积一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直假如向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.二、平面对量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．三、数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．安排律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．【典例1】（2024·天津高考真题（文））在如图的平面图形中，已知,则的值为A．B．C．D．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.【总结提升】计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可干脆运用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．【变式1】（2024·山西省静乐县第一中学高三月考）在中,则在方向上的投影为（）．A．4 B．3 C．-4 D．5【答案】C【解析】对等式两边平方得，，整理得，，则，，设向量与的夹角为，所以，在方向上的投影为，故选：C.学问点2．平面对量的数量积的性质及运算一、向量数量积的性质1．假如e是单位向量，则a·e＝e·a.2．a⊥ba·b＝0.3．a·a＝|a|2，.4．cosθ＝.(θ为a与b的夹角)5．|a·b|≤|a||b|.二、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：1．a·b＝a1b1＋a2b2.2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.3．|a|＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)).4．cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角)【典例2】（2024·浙江高考真题）已知a，b，e是平面对量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满意b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（）A．B．C．2D．【答案】A【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【思路点拨】先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再依据直线与圆的位置关系求最小值.【变式2】（2024·浙江高三期末）若向量满意，且，则的最小值是__.【答案】【解析】设，，，由可知，所以点C在以AB为直径的圆上；设,，则，而表示点O到以AB为直径的圆上任一点的距离，所以最大值即是点O到圆心E的距离加半径，即，所以，即最小值为2.故答案为2.考点1平面对量数量积的运算【典例3】（2024·全国高考真题（理））已知向量，满意，，则（）A．4B．3C．2D．0【答案】B【解析】因为所以选B.【总结提升】①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；②对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．【变式3】已知向量，则在方向上的投影为（）A、B、C、D、【答案】D【解析】因为，所以，则，则在方向上的投影既是在方向上的投影为.考点2平面对量数量积的坐标运算【典例4】(2024·成都模拟)已知菱形ABCD边长为2，∠B＝eq\f(π,3)，点P满意eq\o(AP,\s\up15(→))＝λeq\o(AB,\s\up15(→))，λ∈R，若eq\o(BD,\s\up15(→))·eq\o(CP,\s\up15(→))＝－3，则λ的值为()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)【答案】A【解析】法一：由题意可得eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝2×2coseq\f(π,3)＝2，eq\o(BD,\s\up15(→))·eq\o(CP,\s\up15(→))＝(eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))·(eq\o(BP,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→)))＝(eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))·[(eq\o(AP,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))－eq\o(BC,\s\up15(→))]＝(eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))·[(λ－1)·eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→))]＝(1－λ)eq\o(BA,\s\up15(→))2－eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＋(1－λ)eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\o(BC,\s\up15(→))2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝eq\f(1,2)，故选A.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，eq\r(3))，D(－1，eq\r(3))．令P(x,0)，由eq\o(BD,\s\up15(→))·eq\o(CP,\s\up15(→))＝(－3，eq\r(3))·(x－1，－eq\r(3))＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.∵eq\o(AP,\s\up15(→))＝λeq\o(AB,\s\up15(→))，∴λ＝eq\f(1,2).故选A.【方法总结】1.已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解．设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.【变式4】（2024·天津高考模拟（理））如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，因此，因此，设所以当时，最小值为选B.考点3平面对量的夹角问题【典例5】（2024·全国高考真题（理））已知为单位向量，且=0，若，则___________.【答案】.【解析】因为，，所以，，所以，所以．【总结提升】向量夹角问题的解答方法：(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；(2)若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).提示：〈a，b〉∈[0，π]．【变式5】（2024·四川高考模拟（理））已知向量，满意，，若与的夹角为，则m的值为A．2B．C．1D．【答案】A【解析】，又，，，，，即，得或（舍去），故的值为2，故选A.考点4平面对量的模的问题【典例6】（2024·浙江高考模拟）已知平面对量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，，所以.易得，，当时，取得最小值，取得最大值，此时.故选C.【规律方法】平面对量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可干脆利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2).②若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．（3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决．【变式6】（2024·浙江高考模拟）已知向量，满意，，则的最小值是A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】因为，，由肯定值向量三角不等式得：===1，故选A.考点5平面对量垂直的条件【典例7】（2024年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若，则m=_________.【答案】【总结提升】平面对量垂直问题的类型及求解方法(1)推断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；其次，依据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．(2)已知两向量垂直求参数依据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．【变式7】（浙江省杭州市学军中学2024年5月高三模拟