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PAGEPAGE1第03讲平面对量的数量积及应用讲1.理解平面对量数量积的概念及其意义,了解平面对量的数量积与向量投影的关系.2.驾驭平面对量数量积的坐标运算,驾驭数量积与两个向量的夹角之间的关系.3.会用坐标表示平面对量的平行与垂直.4.高考预料:(1)以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主,基本稳定为选择题或填空题,难度中等以下;(2)同三角函数、解析几何等学问相结合,以工具的形式出现.5.备考重点:(1)理解数量积的概念是基础,驾驭数量积的两种运算的方法是关键;(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时,留意运用数形结合的数学思想,通过建立平面直角坐标系,利用坐标运算解题.学问点1.平面对量的数量积一、两个向量的夹角1.定义已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.2.范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时,夹角θ=0°;a与b反向时,夹角θ=180°.3.向量垂直假如向量a与b的夹角是90°,则a与b垂直,记作a⊥b.二、平面对量的数量积1.已知两个非零向量a与b,则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,其中θ是a与b的夹角.规定0·a=0.当a⊥b时,θ=90°,这时a·b=0.2.a·b的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.三、数量积的运算律1.交换律:a·b=b·a.2.安排律:(a+b)·c=a·c+b·c.3.对λ∈R,λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).【典例1】(2024·天津高考真题(文))在如图的平面图形中,已知,则的值为A.B.C.D.0【答案】C【解析】如图所示,连结MN,由可知点分别为线段上靠近点的三等分点,则,由题意可知:,,结合数量积的运算法则可得:.本题选择C选项.【总结提升】计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法:已知向量的模与夹角时,可干脆运用数量积的定义求解,即a·b=|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角).(2)基向量法(利用数量积的几何意义):计算由基底表示的向量的数量积时,应用相应运算律,最终转化为基向量的数量积,进而求解.(3)坐标法:若向量选择坐标形式,则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解.【变式1】(2024·山西省静乐县第一中学高三月考)在中,则在方向上的投影为().A.4 B.3 C.-4 D.5【答案】C【解析】对等式两边平方得,,整理得,,则,,设向量与的夹角为,所以,在方向上的投影为,故选:C.学问点2.平面对量的数量积的性质及运算一、向量数量积的性质1.假如e是单位向量,则a·e=e·a.2.a⊥ba·b=0.3.a·a=|a|2,.4.cosθ=.(θ为a与b的夹角)5.|a·b|≤|a||b|.二、数量积的坐标运算设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则:1.a·b=a1b1+a2b2.2.a⊥ba1b1+a2b2=0.3.|a|=eq\r(a\o\al(2,1)+a\o\al(2,2)).4.cosθ==.(θ为a与b的夹角)【典例2】(2024·浙江高考真题)已知a,b,e是平面对量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满意b2−4e·b+3=0,则|a−b|的最小值是()A.B.C.2D.【答案】A【解析】设,则由得,由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1,为选A.【思路点拨】先确定向量所表示的点的轨迹,一个为直线,一个为圆,再依据直线与圆的位置关系求最小值.【变式2】(2024·浙江高三期末)若向量满意,且,则的最小值是__.【答案】【解析】设,,,由可知,所以点C在以AB为直径的圆上;设,,则,而表示点O到以AB为直径的圆上任一点的距离,所以最大值即是点O到圆心E的距离加半径,即,所以,即最小值为2.故答案为2.考点1平面对量数量积的运算【典例3】(2024·全国高考真题(理))已知向量,满意,,则()A.4B.3C.2D.0【答案】B【解析】因为所以选B.【总结提升】①已知向量a,b的模及夹角θ,利用公式a·b=|a||b|cosθ求解;②对于向量数量积与线性运算的综合运算问题,可先利用数量积的运算律化简,再进行运算.【变式3】已知向量,则在方向上的投影为()A、B、C、D、【答案】D【解析】因为,所以,则,则在方向上的投影既是在方向上的投影为.考点2平面对量数量积的坐标运算【典例4】(2024·成都模拟)已知菱形ABCD边长为2,∠B=eq\f(π,3),点P满意eq\o(AP,\s\up15(→))=λeq\o(AB,\s\up15(→)),λ∈R,若eq\o(BD,\s\up15(→))·eq\o(CP,\s\up15(→))=-3,则λ的值为()A.eq\f(1,2)B.-eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.-eq\f(1,3)【答案】A【解析】法一:由题意可得eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))=2×2coseq\f(π,3)=2,eq\o(BD,\s\up15(→))·eq\o(CP,\s\up15(→))=(eq\o(BA,\s\up15(→))+eq\o(BC,\s\up15(→)))·(eq\o(BP,\s\up15(→))-eq\o(BC,\s\up15(→)))=(eq\o(BA,\s\up15(→))+eq\o(BC,\s\up15(→)))·[(eq\o(AP,\s\up15(→))-eq\o(AB,\s\up15(→)))-eq\o(BC,\s\up15(→))]=(eq\o(BA,\s\up15(→))+eq\o(BC,\s\up15(→)))·[(λ-1)·eq\o(AB,\s\up15(→))-eq\o(BC,\s\up15(→))]=(1-λ)eq\o(BA,\s\up15(→))2-eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))+(1-λ)eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))-eq\o(BC,\s\up15(→))2=(1-λ)·4-2+2(1-λ)-4=-6λ=-3,∴λ=eq\f(1,2),故选A.法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),C(1,eq\r(3)),D(-1,eq\r(3)).令P(x,0),由eq\o(BD,\s\up15(→))·eq\o(CP,\s\up15(→))=(-3,eq\r(3))·(x-1,-eq\r(3))=-3x+3-3=-3x=-3得x=1.∵eq\o(AP,\s\up15(→))=λeq\o(AB,\s\up15(→)),∴λ=eq\f(1,2).故选A.【方法总结】1.已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解.设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a·b=a1b1+a2b2.2.通过建立平面直角坐标系,利用数量积的坐标形式计算.【变式4】(2024·天津高考模拟(理))如图梯形,且,,在线段上,,则的最小值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】以为坐标原点,所在直线为轴,建立平面直角坐标系,设,因此,因此,设所以当时,最小值为选B.考点3平面对量的夹角问题【典例5】(2024·全国高考真题(理))已知为单位向量,且=0,若,则___________.【答案】.【解析】因为,,所以,,所以,所以.【总结提升】向量夹角问题的解答方法:(1)当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角θ,需求出a·b及|a|,|b|或得出它们之间的关系;(2)若已知a=(x1,y1)与b=(x2,y2),则cos〈a,b〉=eq\f(x1x2+y1y2,\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)+y\o\al(2,2))).提示:〈a,b〉∈[0,π].【变式5】(2024·四川高考模拟(理))已知向量,满意,,若与的夹角为,则m的值为A.2B.C.1D.【答案】A【解析】,又,,,,,即,得或(舍去),故的值为2,故选A.考点4平面对量的模的问题【典例6】(2024·浙江高考模拟)已知平面对量不共线,且,,记与的夹角是,则最大时,()A. B. C. D.【答案】C【解析】设,则,,所以.易得,,当时,取得最小值,取得最大值,此时.故选C.【规律方法】平面对量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐标形式出现的,求向量a的模可干脆利用公式|a|=eq\r(x2+y2).②若向量a,b是以非坐标形式出现的,求向量a的模可应用公式|a|2=a2=a·a,或|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2,先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解.(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法:把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解.②几何法(数形结合法):弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.(3)利用向量夹角公式、模公式,可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决.【变式6】(2024·浙江高考模拟)已知向量,满意,,则的最小值是A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】因为,,由肯定值向量三角不等式得:===1,故选A.考点5平面对量垂直的条件【典例7】(2024年文北京卷)设向量a=(1,0),b=(−1,m),若,则m=_________.【答案】【总结提升】平面对量垂直问题的类型及求解方法(1)推断两向量垂直第一,计算出这两个向量的坐标;其次,依据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.(2)已知两向量垂直求参数依据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.【变式7】(浙江省杭州市学军中学2024年5月高三模拟
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