二次函数与圆知识点总结

二次函数与圆知识点总结1初三数学二次函数和圆的知识点总结21.定义:一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.a,0)yy,ax，bx，c(a,b,cx22.二次函数的性质y,ax2(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.yy,ax2(2)函数的图像与的符号关系.y,axa?当时抛物线开口向上顶点为其最低点;,,a,0?当时抛物线开口向下顶点为其最高点.,,a,02(3)顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.yy,ax(a,0)23.二次函数的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.yy,ax，bx，c2b4acb,22hk4.二次函数用配方法可化成:的形式，其中.，，y,ax，bx，cy,ax,h，k,,，,2a4a2225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式:?;?;?;?，，y,axy,ax，ky,ax,h22;?.，，y,ax,h，ky,ax，bx，c6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.?的符号决定抛物线的开口方向:当时，开口向上;当时，开口向下;aa,0a,0相等，抛物线的开口大小、形状相同.a?平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.yyx,hx,07.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口a大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法222b4acbb4acb,,,,2yaxbxcax(1)公式法:，?顶点是，对称轴是直(，),,，，,，，,,2a4a2a4a,,b线x,,.2a2(2)配方法:运用配方的方法，将抛物线的解析式化为，，的形式，得到顶点为(,)，y,ax,h，khk对称轴是直线.x,h(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.29.抛物线中，的作用a,b,cy,ax，bx，c2(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.y,axaa2(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线y,ax，bx，cabbb，故:?时，对称轴为轴;?(即、同号)时，对称轴在轴左侧;x,,y,0yab,0b2aab?(即、异号)时，对称轴在轴右侧.,0yaba2(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.ycy,ax，bx，c2当时，，?抛物线与轴有且只有一个交点(0，):yy,cy,ax，bx，ccx,0?，抛物线经过原点;?,与轴交于正半轴;?,与轴交于负半轴.yyc,0c,0c,0b以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.y,0a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2(轴)yx,0(0,0)y,ax2(轴)yx,0(0,)ky,ax，k2(,0)x,hh，，y,ax,h当时a,0开口向上2(,)x,hhk，，y,ax,h，k当时a,0b22x,,y,ax，bx，cb4acb,()2a,，开口向下2a4a11.用待定系数法求二次函数的解析式2(1)一般式:.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.yy,ax，bx，cx2(2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.，，y,ax,h，k(3)交点式:已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式:，，，，.xxxy,ax,xx,x121212.直线与抛物线的交点2(1)轴与抛物线得交点为(0,).yy,ax，bx，cc22(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).yy,ax，bx，cx,hhah，bh，c(3)抛物线与轴的交点x2二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程xy,ax，bx，cxx122的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别xax，bx，c,0式判定:?有两个交点抛物线与轴相交;,,x,,0?有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;x,,x,,0?没有交点抛物线与轴相离.,,x,,0(4)平行于轴的直线与抛物线的交点x同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵2坐标为，则横坐标是的两个实数根.kax，bx，c,k2(5)一次函数，，的图像与二次函数的图像的交点，由方程y,kx，nk,0，，y,ax，bx，ca,0lGy,kx，n组的解的数目来确定:?方程组有两组不同的解时与有两个交点;?方,lG2y,ax，bx，c程组只有一组解时与只有一个交点;?方程组无解时与没有交点.,lG,lG2(6)抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为，，，，，xxy,ax，bx，cAx，0，Bx，0122由于、是方程的两个根，故xxax，bx，c,012bcx，x,,x,x,,1212aa22b4cb,4ac,,,22，，，，AB,x,x,x,x,x,x,4xx,,,,,,,12121212aaaa,,1.垂径定理及推论:几何表达式举例:如图:有五个元素，“知二可推三”;需记忆其中四个定理，?CD过圆心即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”.?CD?ABC平分优弧AE=BE?=ACBCO过圆心E垂直于弦=BDADAB平分弦平分劣弧D2.平行线夹弧定理:几何表达式举例:AB圆的两条平行弦所夹的弧相等.ABCD??OCD=?ACBD3.“角、弦、弧、距”定理:(同圆或等圆中)几何表达式举例:“等角对等弦”;“等弦对等角”;(1)??AOB=?CODB“等角对等弧”;“等弧对等角”;?AB=CDEA“等弧对等弦”;“等弦对等(优，劣)弧”;(2)?AB=CDO“等弦对等弦心距”;“等弦心距对等弦”.??AOB=?CODFCD4(圆周角定理及推论:几何表达式举例:(1)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半;1(1)??ACB=?AOB(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;(如图)2(3)“等弧对等角”“等角对等弧”;?„„„„„(4)“直径对直角”“直角对直径”;(如图)(2)?AB是直径(5)如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是??ACB=90?直角三角形.(如图)(3)??ACB=90?CAC?AB是直径(4)?CD=AD=BDDABOOB?ΔABC是RtΔBCA(1)(2)(3)(4)C5(圆内接四边形性质定理:几何表达式举例:B圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外?ABCD是圆内接四边形角都等于它的内对角.??CDE=?ABCADE?C+?A=180?6(切线的判定与性质定理:几何表达式举例:如图:有三个元素，“知二可推一”;(1)?OC是半径需记忆其中四个定理.?OC?ABO是半径B(1)经过半径的外端并且垂直于这条?AB是切线垂直C是切线半径的直线是圆的切线;(2)?OC是半径A(2)圆的切线垂直于经过切点的半径;?AB是切线※(3)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;?OC?AB※(4)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(3)„„„„„7(切线长定理:几何表达式举例:A从圆外一点引圆的两条切线，?PA、PB是切线它们的切线长相等;圆心和这一?PA=PBPO点的连线平分两条切线的夹角.?PO过圆心B??APO=?BPO8(弦切角定理及其推论:几何表达式举例:(1)弦切角等于它所夹的弧对的圆周角;(1)?BD是切线，BC是弦(2)如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等;??CBD=?CAB(3)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.(如图)D(2)A=EFAB??ED，BC是切线FECA??CBA=?DEFDBCB9(相交弦定理及其推论:几何表达式举例:(1)圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等;(1)?PA?PB=PC?PD(2)如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两?„„„条线段长的比例中项.(2)?AB是直径CD?PC?ABA2?PC=PA?PBPBAOPBC10(切割线定理及其推论:几何表达式举例:(1)从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交(1)?PC是切线，点的两条线段长的比例中项;PB是割线2(2)从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点?PC=PA?PB的两条线段长的积相等.(2)?PB、PD是割线BB?PA?PB=PC?PDAADPCPC11(关于两圆的性质定理:几何表达式举例:(1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦;(1)?O，O是圆心12(2)如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.?OO垂直平分AB12(2)??、?相切12A?O、A、O三点一12AO1O2O1O2线B(1)(2)12(正多边形的有关计算:公式举例:O(1)中心角,，半径R，边心距r，360:nNnD,nE=;(1),nRn边长a，内角,，边数n;nnnrn,n(2)有关计算在RtΔAOC中进行.180,:nCBA(2),an2n几何B级概念:(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题)一基本概念:圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内(外)公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角.二定理:1(不在一直线上的三个点确定一个圆.2(任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.O3(正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.BA三公式:n,R21.有关的计算:(1)圆的周长C=2πR;(2)弧长L=;(3)圆的面积S=πR.1802n,R1(4)扇形面积S=;(5)弓形面积S=扇形面积S?ΔAOB的面积.(如图),LR扇形弓形AOB36022.圆柱与圆锥的侧面展开图:(1)圆柱的侧面积:S=2πrh;(r:底面半径;h:圆柱高)圆柱侧1(2)圆锥的侧面积:S=.(L=2πr，R是圆锥母线长;r是底面半径)LR圆锥侧2四常识:1(圆是轴对称和中心对称图形.2(圆心角的度数等于它所对弧的度数.3(三角形的外心,两边中垂线的交点,三角形的外接圆的圆心;三角形的内心,两内角平分线的交点,三角形的内切圆的圆心.4(直线与圆的位置关系:(其中d表示圆心到直线的距离;其中r表示圆的半径)直线与圆相交,d,r;直线与圆相切,d=r;直线与圆相离,d,r.5(圆与圆的位置关系:(其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R?r)两圆外离,d,R+r;两圆外切,d=R+r;两圆相交,R-r,d,R+r;两圆内切,d=R-r;两圆内含,d,R-r.6(证直线与圆相切，常利用:“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.7(关于圆的常见辅助线:CCAOOBABOOBABAC已知弦构造RtΔ.已知直径构造直角.已知弦构造弦心距.已知切线连半径，出垂直.CADDAPPOBOADOCOBBBCPPACD圆外角转化为圆周圆内角转化为圆周角.构造垂径定理.构造相似形.角.MMMMBADAAAO1B02CO2O2NO102ND01E01CNNE两圆外切，构造内公两圆内切，构造外公切切线与平行.两圆内切，构造外公两圆外切，构造内公切线与垂直.线与平行.切线与垂直.AABAACCO02COO1EEPODBDBBC两圆相交构造公共弦，两圆同心，作弦心距，连结圆心构造中垂线.PA、PB是切线，构造相交弦出相似.可证得AC=DB.双垂图形和全等.ADBAAAEOOECBPOBFCDPCCPB规则图形折叠出一一切一割出相似,并两割出相似,并且构造圆双垂出相似,并且构造对全等，一对相似.且构造弦切角.直角.周角.AEDA