圆锥曲线综合问题（定义、焦点三角形、离心率、渐近线、中点弦）（9类题型全归纳）-2025年北京高考数学复习热点题型专练（原卷版）

热点题型•选填题攻略

专题10圆锥曲线综合问题（定义+焦点三角形+离心率+渐近线

+中点弦）

*>----------题型归纳•定方向-----------*

目录

题型01根据定义求圆锥曲线方程.................................................................1

题型02椭圆（双曲线）上的点到焦点与定点距离和差最值..........................................3

题型03椭圆（双曲线）焦点三角形问题...........................................................3

题型04椭圆（双曲线）离心率问题..............................................................4

题型05双曲线渐近线问题.......................................................................6

题型06根据曲线表示椭圆（双曲线）求参数......................................................7

题型07抛物线定义的应用.......................................................................7

题型08抛物线焦点弦问题.......................................................................8

题型09圆锥曲线中点弦问题.....................................................................9

o------------题型探析・明规律------------♦>

题型01根据定义求圆锥曲线方程

【解题规律•提分快招】

PF

1、椭圆定义：平面内一个动点P到两个定点工、B的距离之和等于常数（归片\+\21=2a>\FlF2\）,

这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点（耳，心）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（1481）叫作椭圆的焦

距.

椭圆定义定义的集合语言表述

集合0=俨阀+怛玛=2。>寓用}.

2、双曲线的定义：一般地，我们把平面内与两个定点《，工的距离的差的绝对值等于非零常数（小于I48I）

的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

双曲线定义集合语言表达式

双曲线就是下列点的集合：尸={MIIII-1MF21|=2a,0<2a<|FXF21}.

3抛物线的定义：平面内与一个定点产和一条定直线/（其中定点产不在定直线/上）的距离相等的点的轨

迹叫做抛物线，定点尸叫做抛物线的焦点，定直线/叫做抛物线的准线.

抛物线的数学表达式：{M||MF|=d}（d为点M到准线l的距离）

【典例1-1]（24-25高二上•北京丰台•期末）已知圆C:（x+iy+y2=16及点A（1,O）,在圆C上任取一点P,

连接CP,将点尸折叠到点4记CP与折痕/的交点为/（如图）.当点尸在圆C上运动时，点M的轨迹方

【典例1-2]（24-25高三上•北京顺义•期末）已知点加卜石,0）,N（6,0）,若直线y=履上存在点尸满足

|PM|-|P^|=2,则实数上的取值范围是（）

C.（―co,—2）<J（2,+8）D.（—2,2）

【变式1-1K24-25高二上•北京•阶段练习）平的内动点尸（％y）满足方程J（尤+D2+V+J（无一l>+y2=273,

则动点P的轨迹方程为（）

x2,y21nX24y210卡9]v2A-2

A.----1------=iD.-------1------=1C.---------=1un.----------=1

32233232

【变式1-2]（23-24高二上•北京延庆•期末）到定点尸（1,。）的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴

的负半轴的轨迹方程是（）

A.y2=8xB.y1=4xC.y2=2xD.y2=x

【变式1-3]（2024・陕西西安・一模）平面上动点M到定点尸（3,0）的距离比M到,轴的距离大3,则动点M

满足的方程为.

题型02椭圆（双曲线）上的点到焦点与定点距离和差最值

【解题规律•提分快招】

利用椭圆（双曲线）定义求距离和差的最值的两种方法：

（1）抓住I「玛I与IPF?I之和（差）为定值，可联系到利用基本不等式求IPF}\-\PF2\的最值；

（2）利用定义（忸片|+|"|=2a|）或|忸片|-忸鸟11=2a\转化或变形，借助三角形性质求最值

22

【典例1-1］（24-25高一上•广东•阶段练习）P是双曲线土-匕=1的右支上一点，M、N分别是圆

916

（X+5）2+/=4和（了-5）2+/=1上的点，则1PM—|PN|的最大值为（）

A.6B.7C.8D.9

【典例1-2］（22-23高二上•北京海淀•阶段练习）已知双曲线/-9=4,点耳、尸2为其两个焦点，点P为

双曲线上一点，若咫，尸匕则怛用+|尸闾的值为.

【变式1-1］（24-25高二上•湖北•阶段练习）已知/是椭圆C:j+V=l的左焦点，尸为椭圆C上任意一点，

点。（4,4）,则|PQ|+|PF|的最大值为（）

A.5+2&B.5-2&C.3+2后D.3-272

【变式1-2］（24-25高二上•江苏南通・阶段练习）已知点M在椭圆;+：=1上，点则

的最大值为（）

1121

A.—B.4C.—D.5

44

【变式1-3］（24-25高二上•北京•期中）已知椭圆C：：+《=l的左、右焦点分别为片、F2,M为椭圆C上

任意一点，N为圆E:（x-5）2+（y-4）2=l上任意一点，则的最小值为.

题型03椭圆（双曲线）焦点三角形问题

【解题规律•提分快招】

常用技巧

（1）椭圆（双曲线）定义

（2）余弦定理（勾股定理）

（3）三角形面积、周长公式

（4）基本不等式（对勾函数）

【典例1一1】（2023•北京•模拟预测）已知一个离心率为长轴长为4的椭圆，其两个焦点为K，F2,在

椭圆上存在一个点P,使得/£尸旦=60。，设片「工的内切圆半径为r,则r的值为（）

A.@B.立C.也D.立

6323

【典例1-2］（24-25高二上•北京•阶段练习）已知点尸是曲线"2+⑺2=1（其中%为常数）上一点，设

M,N是直线y=x上任意两个不同的点，且|MZV|=f.给出下列三个结论：

①当曲>0时，方程加+力2=］表示椭圆：

②当。=占，T，且/=4时，使得&1的？是等腰直角三角形的点P有6个：

24o

③当a=（,b=g,且0</<4时，使得△WP是等腰直角三角形的点P有8个.

则所有正确结论的序号是.

2

【变式1-1］（23-24高二上•北京朝阳•期末）在平面直角坐标系无Qy中，设片，鸟是双曲线C:/-乙=1的

一2

两个焦点，点M在C上，S.MF^MF^O,则△K&M的面积为（）

A.73B.2C.75D.4

【变式1-2］（2023•北京西城•二模）已知两点耳（T0）,弓（1,0）.点尸（cos］si"）满足|国|_|尸刃=0,则Pg

的面积是;。的一个取值为__.

22

【变式1-3］（24-25高二上•北京•期中）已知点f；,F?是椭圆C：土+匕=1的两个焦点，点M在椭圆C

259

上，则△邛的周长为.

题型04椭圆（双曲线）离心率问题

【解题规律•提分快招】

常用技巧

（1）椭圆（双曲线）定义

（2）余弦定理（勾股定理）

（3）齐次不等式

【典例1-1】（2024•山东淄博•一模）已知K，F?是椭圆和双曲线的公共焦点，P,。是它们的两个公共点,

双曲线的离心率为4,则工+高的最

且P，。关于原点对称，/尸耳。=可，若椭圆的离心率为，

小值是（）

2+1+2y/3

rD考

A•---------------D.---------------•----------

333

22

【典例1-2］（24-25高二上・北京•阶段练习）已知椭圆£言+%=1（。>。>0）与圆C2：Y+y2=b2,若加上

存在点P,过户可作a的两条切线丛和PB,且=则G的离心率的取值范围是（）

22

【变式1-1］（24-25高二上・北京•阶段练习）已知椭圆加：?+斗=1（。>6>0）,双曲线

":=-与=1（m>0,">0）.设椭圆M的两个焦点分别为斗鸟，椭圆加的离心率为,，双曲线N的离心

mn

率为e?,记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为尸，若尸打,尸乃且闺鸟|=2|尸耳则且的值为（）

e2

A.B.C.6-1D.V3+1

22

2222

【变式1-2］（24-25高二上•北京丰台•期末）设椭圆二+谷=l（a>b>0）与双曲线=1的离心率分别

abab

为4，e2）若双曲线渐近线的斜率均小于与，则4-的取值范围是（）

3131

A.（―,1）B.（―,1）C.（0,—）D.（0,—）

22

【变式1-3］（24-25高二上•北京•阶段练习）已知焦点在x轴上的椭圆C：=+2=l（a>b>0）的左、右焦

ab

AE3

点分别为片、尸2,直线/过尸2,且和椭圆c交于A,B两点，—L=~,工与4A34耳的面积之比为3:1,

BF15

则椭圆c的离心率为.

题型05双曲线渐近线问题

【解题规律•提分快招】

22221

1、若双曲线方程为3—3=1（。〉0力〉0）n渐近线方程：三―2=0=y=±’x

2、若双曲线方程为（。>0,b>o）n渐近线方程：士__/=0y=±lx

22

3、若渐近线方程为y=±2x,则双曲线方程可设为二-与=4（4/0）,

mmn

2222

4、若双曲线与4=1有公共渐近线，则双曲线的方程可设为二―二=九（九〉0,焦点在x轴上，

a"b2a2b2

x<o,焦点在y轴上）

【典例1-1】（2024•北京三模）若双曲线G：=4=1与C,：W•-W=1具有相同的渐近线，则G的离心率

42ab

为（）

A.gB.&C.73D.76

【典例1-2]（2024•北京平谷•模拟预测）已知双曲线C：£+二=1的左、右焦点分别为片，F2,并且经过

m

加卜2,后）点，则1m|-|吟|=；双曲线C的渐近线方程为

22

【变式1-1]（2024•北京朝阳•一模）已知双曲线C：二-七=1（。>0,6>0）的右焦点为凡过点厂作垂直

ab

于X轴的直线/,M,N分别是/与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若〃是线段尸N的中点，则C

的渐近线方程为（）

万

A.y=±xB.y=±——x

2

「一上n_^5

C.y=±xD.y=+±x

35

【变式1-2]（2024•北京海淀•三模）已知双曲线C的焦点为£（-2,0）,8（2,0）,实轴长为2,则双曲线C的

离心率为,渐近线方程为.

2

【变式1-3]（2024•北京西城•一模）双曲线加：1-±=1的渐近线方程为________；若〃与圆

3

O：/+y2=产（厂>0）交于A民四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，贝"=.

题型06根据曲线表示椭圆（双曲线）求参数

【解题规律•提分快招】

22

【典例1-1］（23-24高二上•北京延庆・期末）"1（加<2"是"方程」一+工=1表示椭圆”的（）

2-mm-1

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

22

【典例1-2］（24-25高二上•北京朝阳・期末）已知曲线C:-^+3^=l（meZ且加力±2）.若C为双曲线，

m+22-m

则机的一个取值为;若C为椭圆，则m的所有可能取值为.

22

【变式1-1］（23-24高二上•北京朝阳・期末）若方程「--匕=1表示椭圆，则实数机的取值范围是（）

4-mm

A.（0,4）B.C.（4,+oo）D.（-<x>,0）（0,4）

22

【变式1-2］（23-24高二上・北京丰台・期末）已知椭圆—一+^^=1的焦点在x轴上，则优的取值范围是

m-37-m

（）

A.3<m<7B.3<m<5C.5<m<7D.m>3

22

【变式1-3］（24-25高二上•山东枣庄）已知双曲线W:「-----匚=1,则下列选项中正确的是（）

2+mm+1

A.me（-2,-1）

B.若W的顶点坐标为（0,土垃），则〃?=1

C.W的焦点坐标为（±1,0）

D.若。,则卬的渐近线方程为彳±也/=0

题型07抛物线定义的应用

【解题规律•提分快招】

{M||MF|=d}（Q为点M到准线I的距离，F为焦点）.

【典例1-1】（2024•北京顺义,三模）设M是抛物线y2=4x上的一点，尸是抛物线的焦点，。足坐标原点,

若/OfM=120。，贝"产"|=()

A.5B.4C.3D.2

【典例1-2】（2023•四川凉山•二模）已知抛物线y2=4x的焦点为R点A（3,2）,点尸为该抛物线上一动点，

则周长的最小值是（）

A.3+20B.3C.4+20D.2+2应+2石

【变式1-1］（2024•北京平谷・模拟预测）已知抛物线C：V=8尤的焦点为F,。是坐标原点，点M在C上.若

\MF\=4,则|。间=（）

A.275B.底C.4夜D.4

【变式1-2］（2023•北京房山•二模）己知圆C的圆心在抛物线V=4x上，且此圆C过定点（1，0）,则圆C与

直线x+l=0的位置关系为（）

A.相切B.相交C.相离D.不能确定

【变式1-3］（2023•北京•模拟预测）已知抛物线V=4y上一点尸（根,1）,则抛物线的准线方程为；

点尸到焦点的距离为.

题型08抛物线焦点弦问题

【解题规律•提分快招】

抛物线的焦半径公式如下：。为焦准距）

（1）焦点厂在X轴正半轴，抛物线上任意一点P（M，%）,则阳=%+个

（2）焦点/在x轴负半轴，抛物线上任意一点尸（如为）,则川=-毛+个

⑶焦点F在y轴正半轴，抛物线上任意一点尸（%,%）,则|P刊=%+与；

（4）焦点F在y轴负半轴，抛物线上任意一点尸（5,%）,则|尸目=-%+£

【典例1-1］（23-24高二上•北京东城•期中）直线/过抛物线y2=2x的焦点尸，且/与该抛物线交于不同的

两点4（%,%）、3（%,%），若玉+无2=3,则弦的长是（）

A.2B.3C.4D.5

【典例1-2】（2023•北京•三模）己知抛物线/=2px（p>0）的焦点为尸，过点尸的直线与该抛物线交于A,

8两点，|AB|=10,A8的中点横坐标为4,贝1］。=.

【变式1-1］（2023•北京•模拟预测）过抛物线丁=©的焦点/的直线交该抛物线于点A,B,线段的中

点M的横坐标为4,则A3长为（）

A.10B.8C.5D.4

【变式1-2］（2022・江苏•模拟预测）已知抛物线C:/=2p无（0>0）与直线2x-y-4=。交于A,8两点，且

|=3行.若抛物线C的焦点为尸，贝”AFI+IB尸|=（）

A.775B.7C.6D.5

【变式1-3］（2024・北京•三模）过抛物线>=!/的焦点厂的直线交抛物线于A,8两点，若弦A8中点纵坐

4

标为2,贝|AB|=.

题型09圆锥曲线中点弦问题

【解题规律•提分快招】

（1）若椭圆与直线/交于AS两点，时为回中点，且左科与心“斜率存在时，则的B・K0M=---；（焦

a

2

2

点在X轴上时），当焦点在y轴上时，kAB-KOM=-^=e-l

b?

若AB过椭圆的中心，P为椭圆上异于AB任意一点，kPA-K=---（焦点在x轴上时），当焦点在V轴

PBa

上时，kPA-K=-

PBbe-1

22

（2）若MO。,九）为双曲线二—二=1弦AB（AB不平行V轴）的中点，贝U

ab

b22

KABKOM==二£一1

*a

22

若用（%,光）为双曲线二=1弦不平行y轴）的中点，贝U

ab

kK1

（3）若为抛物线V=2px弦ABQAB不平行V轴）的中点，则左角=3

%

若M（x0,y0）为抛物线炉=2外弦AB（AB不平行V轴）的中点，则断=风

22

【典例1-1］（24-25高二上•北京•阶段练习）设直线/：y=x+〃2与椭圆E:工+匕=1相交于A、3两点，当

43

机变化时，线段的中点所在的直线方程为（）

34

A.y=­xB.y=­x

43

34

C.y=——xD.y=——x

43

【典例1-2］（23-24高三上•北京东城•阶段练习）已知A,2是抛物线C：V=4x上的两点，线段的中点

为M（2,2）,则直线AB的方程为.

【变式1-1］（23-24高二上・北京•期末）已知抛物线;/=6x,过点尸（2,3）引抛物线的一条弦，使它恰在点

尸处被平分，则这条弦所在的直线/的方程为（）

A.x+y-5=0B.x-y+1=0C.2x+y-7=0D.x-2y+4=0

【变式1-2］（2023•北京大兴•三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为尸（1,0）,过F作直线/交抛物线于A、

B两点，若线段48的中点横坐标为2,则线段的长为

22

【变式1-3］（24-25高二上•北京•阶段练习）过点P（-U）作直线与椭圆亍+'=1交于两点，若线段AB

的中点为尸，则直线AB的斜率是.

♦>----------题型通关•冲高考-----------♦>

一、单选题

1.（2024•北京西城,三模）若双曲线5-丁=1（”>0）的离心率为后，则”=（）

a

A.2B.J2C.1D.—

2

2.（2024•北京•三模）已知双曲线E:3m^一优寸=3的一个焦点坐标是（0,2）,则机的值及E的离心率分别

为（）

A.-1,—B.-1,2C.1,2D.-,5/10

32

3.（2024•北京海淀•二模）已知抛物线x2=4y的焦点为尸，点A在抛物线上，|AF|=6,则线段AF的中点

的纵坐标为（）

57

A.—B.—C.3D.4

22

22

4.（2024・北京朝阳•二模）已知双曲线C:j-当=1（。>0,匕>0）的右焦点为F,c是双曲线C的半焦距,

ab

点A是圆/+俨=02上一点，线段FA与双曲线c的右支交于点A若|E4|=a,E4=2EB,则双曲线C的离

心率为（）

AS'R3相

22

D,亚

C.不

2

5.（2024•北京西城・二模）已知双曲线C：机/+和2=1的焦点在》轴上，且。的离心率为2,则（）

A.3m-n=QB.m-3n=QC.3m+n=0D.m+3n=0

22

6.（2023•北京东城•二模）已知椭圆工+工=1的一个焦点的坐标是（-2,0）,则实数机的值为（）

3mm

A.1B.72C.2D.4

22

7.（2023•北京通州•三模）已知6，F?分别为双曲线：与一==1（。>0,6>0）的