圆锥曲线综合问题(定义、焦点三角形、离心率、渐近线、中点弦)(9类题型全归纳)-2025年北京高考数学复习热点题型专练(原卷版)_第1页
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文档简介

热点题型•选填题攻略

专题10圆锥曲线综合问题(定义+焦点三角形+离心率+渐近线

+中点弦)

*>----------题型归纳•定方向-----------*

目录

题型01根据定义求圆锥曲线方程.................................................................1

题型02椭圆(双曲线)上的点到焦点与定点距离和差最值..........................................3

题型03椭圆(双曲线)焦点三角形问题...........................................................3

题型04椭圆(双曲线)离心率问题..............................................................4

题型05双曲线渐近线问题.......................................................................6

题型06根据曲线表示椭圆(双曲线)求参数......................................................7

题型07抛物线定义的应用.......................................................................7

题型08抛物线焦点弦问题.......................................................................8

题型09圆锥曲线中点弦问题.....................................................................9

o------------题型探析・明规律------------♦>

题型01根据定义求圆锥曲线方程

【解题规律•提分快招】

PF

1、椭圆定义:平面内一个动点P到两个定点工、B的距离之和等于常数(归片\+\21=2a>\FlF2\),

这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点(耳,心)叫椭圆的焦点,两焦点的距离(1481)叫作椭圆的焦

距.

椭圆定义定义的集合语言表述

集合0=俨阀+怛玛=2。>寓用}.

2、双曲线的定义:一般地,我们把平面内与两个定点《,工的距离的差的绝对值等于非零常数(小于I48I)

的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

双曲线定义集合语言表达式

双曲线就是下列点的集合:尸={MIIII-1MF21|=2a,0<2a<|FXF21}.

3抛物线的定义:平面内与一个定点产和一条定直线/(其中定点产不在定直线/上)的距离相等的点的轨

迹叫做抛物线,定点尸叫做抛物线的焦点,定直线/叫做抛物线的准线.

抛物线的数学表达式:{M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离)

【典例1-1](24-25高二上•北京丰台•期末)已知圆C:(x+iy+y2=16及点A(1,O),在圆C上任取一点P,

连接CP,将点尸折叠到点4记CP与折痕/的交点为/(如图).当点尸在圆C上运动时,点M的轨迹方

【典例1-2](24-25高三上•北京顺义•期末)已知点加卜石,0),N(6,0),若直线y=履上存在点尸满足

|PM|-|P^|=2,则实数上的取值范围是()

C.(―co,—2)<J(2,+8)D.(—2,2)

【变式1-1K24-25高二上•北京•阶段练习)平的内动点尸(%y)满足方程J(尤+D2+V+J(无一l>+y2=273,

则动点P的轨迹方程为()

x2,y21nX24y210卡9]v2A-2

A.----1------=iD.-------1------=1C.---------=1un.----------=1

32233232

【变式1-2](23-24高二上•北京延庆•期末)到定点尸(1,。)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴

的负半轴的轨迹方程是()

A.y2=8xB.y1=4xC.y2=2xD.y2=x

【变式1-3](2024・陕西西安・一模)平面上动点M到定点尸(3,0)的距离比M到,轴的距离大3,则动点M

满足的方程为.

题型02椭圆(双曲线)上的点到焦点与定点距离和差最值

【解题规律•提分快招】

利用椭圆(双曲线)定义求距离和差的最值的两种方法:

(1)抓住I「玛I与IPF?I之和(差)为定值,可联系到利用基本不等式求IPF}\-\PF2\的最值;

(2)利用定义(忸片|+|"|=2a|)或|忸片|-忸鸟11=2a\转化或变形,借助三角形性质求最值

22

【典例1-1](24-25高一上•广东•阶段练习)P是双曲线土-匕=1的右支上一点,M、N分别是圆

916

(X+5)2+/=4和(了-5)2+/=1上的点,则1PM—|PN|的最大值为()

A.6B.7C.8D.9

【典例1-2](22-23高二上•北京海淀•阶段练习)已知双曲线/-9=4,点耳、尸2为其两个焦点,点P为

双曲线上一点,若咫,尸匕则怛用+|尸闾的值为.

【变式1-1](24-25高二上•湖北•阶段练习)已知/是椭圆C:j+V=l的左焦点,尸为椭圆C上任意一点,

点。(4,4),则|PQ|+|PF|的最大值为()

A.5+2&B.5-2&C.3+2后D.3-272

【变式1-2](24-25高二上•江苏南通・阶段练习)已知点M在椭圆;+:=1上,点则

的最大值为()

1121

A.—B.4C.—D.5

44

【变式1-3](24-25高二上•北京•期中)已知椭圆C::+《=l的左、右焦点分别为片、F2,M为椭圆C上

任意一点,N为圆E:(x-5)2+(y-4)2=l上任意一点,则的最小值为.

题型03椭圆(双曲线)焦点三角形问题

【解题规律•提分快招】

常用技巧

(1)椭圆(双曲线)定义

(2)余弦定理(勾股定理)

(3)三角形面积、周长公式

(4)基本不等式(对勾函数)

【典例1一1】(2023•北京•模拟预测)已知一个离心率为长轴长为4的椭圆,其两个焦点为K,F2,在

椭圆上存在一个点P,使得/£尸旦=60。,设片「工的内切圆半径为r,则r的值为()

A.@B.立C.也D.立

6323

【典例1-2](24-25高二上•北京•阶段练习)已知点尸是曲线"2+⑺2=1(其中%为常数)上一点,设

M,N是直线y=x上任意两个不同的点,且|MZV|=f.给出下列三个结论:

①当曲>0时,方程加+力2=]表示椭圆:

②当。=占,T,且/=4时,使得&1的?是等腰直角三角形的点P有6个:

24o

③当a=(,b=g,且0</<4时,使得△WP是等腰直角三角形的点P有8个.

则所有正确结论的序号是.

2

【变式1-1](23-24高二上•北京朝阳•期末)在平面直角坐标系无Qy中,设片,鸟是双曲线C:/-乙=1的

一2

两个焦点,点M在C上,S.MF^MF^O,则△K&M的面积为()

A.73B.2C.75D.4

【变式1-2](2023•北京西城•二模)已知两点耳(T0),弓(1,0).点尸(cos]si")满足|国|_|尸刃=0,则Pg

的面积是;。的一个取值为__.

22

【变式1-3](24-25高二上•北京•期中)已知点f;,F?是椭圆C:土+匕=1的两个焦点,点M在椭圆C

259

上,则△邛的周长为.

题型04椭圆(双曲线)离心率问题

【解题规律•提分快招】

常用技巧

(1)椭圆(双曲线)定义

(2)余弦定理(勾股定理)

(3)齐次不等式

【典例1-1】(2024•山东淄博•一模)已知K,F?是椭圆和双曲线的公共焦点,P,。是它们的两个公共点,

双曲线的离心率为4,则工+高的最

且P,。关于原点对称,/尸耳。=可,若椭圆的离心率为,

小值是()

2+1+2y/3

rD考

A•---------------D.---------------•----------

333

22

【典例1-2](24-25高二上・北京•阶段练习)已知椭圆£言+%=1(。>。>0)与圆C2:Y+y2=b2,若加上

存在点P,过户可作a的两条切线丛和PB,且=则G的离心率的取值范围是()

22

【变式1-1](24-25高二上・北京•阶段练习)已知椭圆加:?+斗=1(。>6>0),双曲线

":=-与=1(m>0,">0).设椭圆M的两个焦点分别为斗鸟,椭圆加的离心率为,,双曲线N的离心

mn

率为e?,记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为尸,若尸打,尸乃且闺鸟|=2|尸耳则且的值为()

e2

A.B.C.6-1D.V3+1

22

2222

【变式1-2](24-25高二上•北京丰台•期末)设椭圆二+谷=l(a>b>0)与双曲线=1的离心率分别

abab

为4,e2)若双曲线渐近线的斜率均小于与,则4-的取值范围是()

3131

A.(―,1)B.(―,1)C.(0,—)D.(0,—)

22

【变式1-3](24-25高二上•北京•阶段练习)已知焦点在x轴上的椭圆C:=+2=l(a>b>0)的左、右焦

ab

AE3

点分别为片、尸2,直线/过尸2,且和椭圆c交于A,B两点,—L=~,工与4A34耳的面积之比为3:1,

BF15

则椭圆c的离心率为.

题型05双曲线渐近线问题

【解题规律•提分快招】

22221

1、若双曲线方程为3—3=1(。〉0力〉0)n渐近线方程:三―2=0=y=±’x

2、若双曲线方程为(。>0,b>o)n渐近线方程:士__/=0y=±lx

22

3、若渐近线方程为y=±2x,则双曲线方程可设为二-与=4(4/0),

mmn

2222

4、若双曲线与4=1有公共渐近线,则双曲线的方程可设为二―二=九(九〉0,焦点在x轴上,

a"b2a2b2

x<o,焦点在y轴上)

【典例1-1】(2024•北京三模)若双曲线G:=4=1与C,:W•-W=1具有相同的渐近线,则G的离心率

42ab

为()

A.gB.&C.73D.76

【典例1-2](2024•北京平谷•模拟预测)已知双曲线C:£+二=1的左、右焦点分别为片,F2,并且经过

m

加卜2,后)点,则1m|-|吟|=;双曲线C的渐近线方程为

22

【变式1-1](2024•北京朝阳•一模)已知双曲线C:二-七=1(。>0,6>0)的右焦点为凡过点厂作垂直

ab

于X轴的直线/,M,N分别是/与双曲线C及其渐近线在第一象限内的交点.若〃是线段尸N的中点,则C

的渐近线方程为()

A.y=±xB.y=±——x

2

「一上n_^5

C.y=±xD.y=+±x

35

【变式1-2](2024•北京海淀•三模)已知双曲线C的焦点为£(-2,0),8(2,0),实轴长为2,则双曲线C的

离心率为,渐近线方程为.

2

【变式1-3](2024•北京西城•一模)双曲线加:1-±=1的渐近线方程为________;若〃与圆

3

O:/+y2=产(厂>0)交于A民四点,且这四个点恰为正方形的四个顶点,贝"=.

题型06根据曲线表示椭圆(双曲线)求参数

【解题规律•提分快招】

22

【典例1-1](23-24高二上•北京延庆・期末)"1(加<2"是"方程」一+工=1表示椭圆”的()

2-mm-1

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

22

【典例1-2](24-25高二上•北京朝阳・期末)已知曲线C:-^+3^=l(meZ且加力±2).若C为双曲线,

m+22-m

则机的一个取值为;若C为椭圆,则m的所有可能取值为.

22

【变式1-1](23-24高二上•北京朝阳・期末)若方程「--匕=1表示椭圆,则实数机的取值范围是()

4-mm

A.(0,4)B.C.(4,+oo)D.(-<x>,0)(0,4)

22

【变式1-2](23-24高二上・北京丰台・期末)已知椭圆—一+^^=1的焦点在x轴上,则优的取值范围是

m-37-m

()

A.3<m<7B.3<m<5C.5<m<7D.m>3

22

【变式1-3](24-25高二上•山东枣庄)已知双曲线W:「-----匚=1,则下列选项中正确的是()

2+mm+1

A.me(-2,-1)

B.若W的顶点坐标为(0,土垃),则〃?=1

C.W的焦点坐标为(±1,0)

D.若。,则卬的渐近线方程为彳±也/=0

题型07抛物线定义的应用

【解题规律•提分快招】

{M||MF|=d}(Q为点M到准线I的距离,F为焦点).

【典例1-1】(2024•北京顺义,三模)设M是抛物线y2=4x上的一点,尸是抛物线的焦点,。足坐标原点,

若/OfM=120。,贝"产"|=()

A.5B.4C.3D.2

【典例1-2】(2023•四川凉山•二模)已知抛物线y2=4x的焦点为R点A(3,2),点尸为该抛物线上一动点,

则周长的最小值是()

A.3+20B.3C.4+20D.2+2应+2石

【变式1-1](2024•北京平谷・模拟预测)已知抛物线C:V=8尤的焦点为F,。是坐标原点,点M在C上.若

\MF\=4,则|。间=()

A.275B.底C.4夜D.4

【变式1-2](2023•北京房山•二模)己知圆C的圆心在抛物线V=4x上,且此圆C过定点(1,0),则圆C与

直线x+l=0的位置关系为()

A.相切B.相交C.相离D.不能确定

【变式1-3](2023•北京•模拟预测)已知抛物线V=4y上一点尸(根,1),则抛物线的准线方程为;

点尸到焦点的距离为.

题型08抛物线焦点弦问题

【解题规律•提分快招】

抛物线的焦半径公式如下:。为焦准距)

(1)焦点厂在X轴正半轴,抛物线上任意一点P(M,%),则阳=%+个

(2)焦点/在x轴负半轴,抛物线上任意一点尸(如为),则川=-毛+个

⑶焦点F在y轴正半轴,抛物线上任意一点尸(%,%),则|P刊=%+与;

(4)焦点F在y轴负半轴,抛物线上任意一点尸(5,%),则|尸目=-%+£

【典例1-1](23-24高二上•北京东城•期中)直线/过抛物线y2=2x的焦点尸,且/与该抛物线交于不同的

两点4(%,%)、3(%,%),若玉+无2=3,则弦的长是()

A.2B.3C.4D.5

【典例1-2】(2023•北京•三模)己知抛物线/=2px(p>0)的焦点为尸,过点尸的直线与该抛物线交于A,

8两点,|AB|=10,A8的中点横坐标为4,贝1]。=.

【变式1-1](2023•北京•模拟预测)过抛物线丁=©的焦点/的直线交该抛物线于点A,B,线段的中

点M的横坐标为4,则A3长为()

A.10B.8C.5D.4

【变式1-2](2022・江苏•模拟预测)已知抛物线C:/=2p无(0>0)与直线2x-y-4=。交于A,8两点,且

|=3行.若抛物线C的焦点为尸,贝”AFI+IB尸|=()

A.775B.7C.6D.5

【变式1-3](2024・北京•三模)过抛物线>=!/的焦点厂的直线交抛物线于A,8两点,若弦A8中点纵坐

4

标为2,贝|AB|=.

题型09圆锥曲线中点弦问题

【解题规律•提分快招】

(1)若椭圆与直线/交于AS两点,时为回中点,且左科与心“斜率存在时,则的B・K0M=---;(焦

a

2

2

点在X轴上时),当焦点在y轴上时,kAB-KOM=-^=e-l

b?

若AB过椭圆的中心,P为椭圆上异于AB任意一点,kPA-K=---(焦点在x轴上时),当焦点在V轴

PBa

上时,kPA-K=-

PBbe-1

22

(2)若MO。,九)为双曲线二—二=1弦AB(AB不平行V轴)的中点,贝U

ab

b22

KABKOM==二£一1

*a

22

若用(%,光)为双曲线二=1弦不平行y轴)的中点,贝U

ab

kK1

(3)若为抛物线V=2px弦ABQAB不平行V轴)的中点,则左角=3

%

若M(x0,y0)为抛物线炉=2外弦AB(AB不平行V轴)的中点,则断=风

22

【典例1-1](24-25高二上•北京•阶段练习)设直线/:y=x+〃2与椭圆E:工+匕=1相交于A、3两点,当

43

机变化时,线段的中点所在的直线方程为()

34

A.y=­xB.y=­x

43

34

C.y=——xD.y=——x

43

【典例1-2](23-24高三上•北京东城•阶段练习)已知A,2是抛物线C:V=4x上的两点,线段的中点

为M(2,2),则直线AB的方程为.

【变式1-1](23-24高二上・北京•期末)已知抛物线;/=6x,过点尸(2,3)引抛物线的一条弦,使它恰在点

尸处被平分,则这条弦所在的直线/的方程为()

A.x+y-5=0B.x-y+1=0C.2x+y-7=0D.x-2y+4=0

【变式1-2](2023•北京大兴•三模)已知抛物线顶点在原点,焦点为尸(1,0),过F作直线/交抛物线于A、

B两点,若线段48的中点横坐标为2,则线段的长为

22

【变式1-3](24-25高二上•北京•阶段练习)过点P(-U)作直线与椭圆亍+'=1交于两点,若线段AB

的中点为尸,则直线AB的斜率是.

♦>----------题型通关•冲高考-----------♦>

一、单选题

1.(2024•北京西城,三模)若双曲线5-丁=1(”>0)的离心率为后,则”=()

a

A.2B.J2C.1D.—

2

2.(2024•北京•三模)已知双曲线E:3m^一优寸=3的一个焦点坐标是(0,2),则机的值及E的离心率分别

为()

A.-1,—B.-1,2C.1,2D.-,5/10

32

3.(2024•北京海淀•二模)已知抛物线x2=4y的焦点为尸,点A在抛物线上,|AF|=6,则线段AF的中点

的纵坐标为()

57

A.—B.—C.3D.4

22

22

4.(2024・北京朝阳•二模)已知双曲线C:j-当=1(。>0,匕>0)的右焦点为F,c是双曲线C的半焦距,

ab

点A是圆/+俨=02上一点,线段FA与双曲线c的右支交于点A若|E4|=a,E4=2EB,则双曲线C的离

心率为()

AS'R3相

22

D,亚

C.不

2

5.(2024•北京西城・二模)已知双曲线C:机/+和2=1的焦点在》轴上,且。的离心率为2,则()

A.3m-n=QB.m-3n=QC.3m+n=0D.m+3n=0

22

6.(2023•北京东城•二模)已知椭圆工+工=1的一个焦点的坐标是(-2,0),则实数机的值为()

3mm

A.1B.72C.2D.4

22

7.(2023•北京通州•三模)已知6,F?分别为双曲线:与一==1(。>0,6>0)的

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