圆锥曲线与四心二十一大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题43圆锥曲线与四心二十一大题型汇总

题型1圆锥曲线重心与离心率........................................................1

题型2圆锥曲线重心与直线...........................................................3

题型3圆锥曲线重心与面积...........................................................4

题型4圆锥曲线重心与坐标...........................................................5

题型5圆锥曲线重心与轨迹方程......................................................6

题型6圆锥曲线外心与离心率........................................................8

题型1圆锥曲线外心与坐标...........................................................9

题型8圆锥曲线外心与轨迹方程.....................................................10

题型9圆锥曲线外心与求值..........................................................12

题型10圆锥曲线内心与离心率......................................................13

题型11圆锥曲线内心与内切圆半径..................................................15

题型12圆锥曲线内心与直线（曲线）................................................16

题型13圆锥曲线内心与面积........................................................17

题型14圆锥曲线内心与轨迹方程....................................................18

题型15圆锥曲线内心与求值........................................................20

题型16圆锥曲线垂心与离心率......................................................21

题型17圆锥曲线垂心与直线（曲线）...............................................23

题型18圆锥曲线垂心与面积........................................................25

题型19圆锥曲线垂心与坐标........................................................25

题型20圆锥曲线垂心与轨迹方程....................................................27

题型21四心综合....................................................................29

题型1圆锥曲线重心与离心率

中F期重点

一、三角形重心的定义

三角形的重心：三角形三条边上的中线交于一点，这一点就是三角形的重心.

二、三角形重心常见结论

（1）G是"8C的重心og5+或+元=6;重心坐标：6（心+；+/+;+为

（2）G为"BC的重心，P为平面上任意点，则而=上同+而+定）；

（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1;

（4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3

条边的长成反比.、

【例题1】（2019上•江苏•高三校联考阶段练习）设4,尸分别为椭圆。《+看=1（a〉b>0）

的右顶点和右焦点，Bi,&为椭圆C短轴的两个端点，若点F恰为44当&的重心，则椭圆C

的离心率的值为

【变式1-111.（2020下•浙江•高三校联考阶段练习）已知％、?2为椭圆《+看=l（a>6>0）

的左、右焦点，P的椭圆上一点（左右顶点除外），G为为重心.若NFiG&w|兀恒成

立，则椭圆的离心率的取值范围是（）

A.（O,1]B.（O,|]C.[|,1]D.[1,I）

【变式1-112.（2018•贵州贵阳•高三阶段练习）在双曲线C：g-g=l（a>0,b>0）的右

支上存在点力，使得点4与双曲线的左、右焦点％,92形成的三角形的内切圆P的半径为。，

若ZMFF2的重心G满足PG〃F/2,则双曲线C的离心率为

A.V2B.V3C.2D.V5

【变式1-1]3.（2022•全国•高三专题练习）已知椭圆l（a>b>0为勺左右焦点为

F1、F2,点P为椭圆上一点,的重心、内心分别为G、I,若花=2（1,0）0力0）,

则椭圆的离心率e等于（）

A△.12BD-返2CJ工45D遮2t

【变式1-114.（2022•全国•高三专题练习）设双曲线。f|=l（a>0,b>0）在左右焦点

分别为％,出,若在曲线C的右支上存在点P,使得△「？】七的内切圆半径a,圆心记为M,

又△「％出的重心为G,满足"G平行于x轴，则双曲线C的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【变式1-1】5.（2020•湖北•高三校联考阶段练习）已知椭圆C:§+g=1（a>b>0）

的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I,G分别为

△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率

为

题型2圆锥曲线重心与直线

【例题2】（2020下•河北石家庄•高三统考阶段练习）已知抛物线=8%的焦点为F,P1（

肛打）岛02，丫2）岛03/3）为抛物线。1的三个动点其中久1<%2<乂3且>2<。，若F为△P/2

P3的重心，记△P1P3P3三边P1P2Plp3产2P3的中点到抛物线C的准线的距离分别为心扉2,距,

且满足di+d3=2d2,则P1P3所在直线的斜率为（）

A.1B.|C.2D.3

【变式2-1】1.（2019•全国•高三校联考阶段练习）已知抛物线=4x上有三个不同的

点4BC直线力B,BC,4C的斜率分别为膜B，/CBC，膜c若满足：kAB+kAC=。.且44BC的重心在直

线y=-1上.则=（）

A.-2B.C.-|D.-|

【变式2-1】2.（2022•全国•高三专题练习）在直角坐标系xOy中，已知椭圆C:f+y2=l

FI

的左右焦点分别为Fi,F2I过且斜率不为0的直线1与椭圆C交于A,B两点，若△ABF?

的重心为G,且|OG|=,则直线/的方程为

【变式2-1】3.（2020•浙江•校联考三模）已知椭圆。9+3=1的右焦点为F（l,0）,上顶

点为B,则B的坐标为，直线MN与椭圆C交于M,N两点，且△BMN的重心

恰为点尸，则直线MN斜率为

【变式2-1】4.（2020・上海•高三专题练习）已知直线L交椭圆"+卷=1于M、N两点，

椭圆与y轴的正半轴交于点B,若4BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点F上，则直线L的方程

是

【变式2-1】5.（2022・全国•高三专题练习）在直角坐标系xOy中，已知椭圆C:f+y2=l

的左右焦点分别为％,F2,过6且斜率不为0的直线1与椭圆C交于4,B两点，若△ABF?

的重心为G,且|OG|=],则直线/的方程为

题型3圆锥曲线重心与面积

【例题3】（2020•吉林・统考三模）设点P为椭圆C：||+f|=l上一点，Fi、尸2分别是椭圆C的

左、右焦点，目4PFF2的重心为点G,如果|PFJ|PF2l=2：3,那么/GPFi的面积为（）

A.苧B.2V2C.竽D.3V2

【变式3-1】1.（2020下•重庆九龙坡•高三重庆市育才中学校考开学考试）设点P为椭圆：

总+刍=1上一点，Fi，尸2分别是椭圆的左右焦点，G为4PFF2的重心，且PF1IPF2,那

么4GPF2的面积为

【变式3-1]2.（2019上•上海浦东新•高三上海市建平中学校考期末）已知抛物线产=8%

的焦点是F,点A、B、C在抛物线上,0为坐标原点，若点F为AABC的重心,AOF4、"FB、^OFC

面积分别记为Si、S2、S3,则S/+S22+S32的值为

A.16B.48C.96D.192

【变式3-1】3.（2022・四川资阳统考二模）设F为抛物线产=4%的焦点，4SC为抛物线

上不同的三点，点F是AABC的重心，。为坐标原点，△。凡4、AOFB、=FC的面积分别为

Si、52、S3,则望+S,+S,=

A.9B.6C.3D.2

【变式3-1】4.（2020上•浙江•高三校联考阶段练习）已知％（—1,0）,尸2（1，0）,M是第一

象限内的点，且满足|MFi|+|MF2l=4,若/是△MF1F2的内心，G是△MF1出的重心,记

△/FF2与△GFi”的面积分别为S-S2,则（）

A.Si>S2B.Si=52C.Si<S2D.Si与S2大小不确定

题型4圆锥曲线重心与坐标

【例题4】(2019•甘肃校联考一模)已知人B分别是双曲线C：久2—9=1的左、右顶点，P

为C上一点，且P在第一象限.记直线24,PB的斜率分别为七，k2l当2的+6取得最小值

时，△P4B的重心坐标为()

A.(U)B.(1肌(Q)D.(捐)

【变式4-1]1.(2019•河北衡水・统考一模)已知抛物线产=4x上有三点4B,C,AB,BC,CA

的斜率分别为3,6,-2,则2MBe的重心坐标为

A.(5,1)B.40)C.点0)D.募1)

【变式4-1]2.(2020下•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考期中)抛物线。产=2PMp>0)

的焦点为F,48是抛物线C上两点，且|AF|+|BF|=10,。为坐标原点，若404B的重心为

P,贝如=()

A.1B.2C.3D.4

【变式4-1】3.(2018•福建莆田•统考一模)已知。为坐标原点，F为抛物线=8%的焦

点，过F作直线与C交于4B两点.若|4B|=10,则40AB重心的横坐标为

A.IB.2C.ID.3

【变式4-1】4.(2020•陕西•统考二模)已知抛物线「：步=2「久(p>0),从点M(4,a)

(a>0)发出，平行于久轴的光线与r交于点4经r反射后过厂的焦点N,交抛物线于点B,

若反射光线的倾斜角为g,MN|=2,则的重心坐标为()

A.(2,-V3)B.(|,0)C.(3,—9D.(2,—学

【变式4-1】5.(2022•全国•高三专题练习)已知SBC是椭圆?+\=l(3>b>0)的内接

三角形，F是椭圆的上焦点，且原点。是AABC的重心.求A,B,C三点到F距离之和

为

【变式4-1]6.（2016上•湖南•高三阶段练习）设直线Z：x—2y—m=0与椭圆C：9+必=1

相交于4B两点，M为椭圆C的左顶点，若/48M的重心在y轴右侧，则小的取值范围

是.

【变式4-1】7.（2020•吉林长春•高三校联考阶段练习）抛物线。炉=轨的焦点为F,点P、

Q、R在C上，目4PQR的重心为F,则|PF|+|QF|的取值范围为

A.（3.1）ug,5]B.[4.1）ug,5]C.（3,4）u（4,乡D.[3,5]

题型5圆锥曲线重心与轨迹方程

焦点三角形重心轨迹方程：

22

①设点G为椭圆/+底=l（a〉b>0）的焦点三角形PF/2的重心,则点G的轨迹方程为m+

证明：如图1,设PQo,yo）,则有yo力0（否则不能成为三角形），椭圆左、右焦点坐标为

%（—c,0）,F2（c,0）,APF1&由重心为G（x,y）,由三角形重心坐标公式，有％=血虫产=

==即"0=3久,yo=3y,代入椭圆方程，可得管+誓=1,化简可得

工2y2汽2y2

甘+甘=1,又•.•见大0,.•.yKO,于是其重心的轨迹方程为甘+窗=l（yK0）,即以

原椭圆的长轴长的《为长轴，以原椭圆的短轴长的g为短轴的椭圆（顶点除外）.

图1图2

②设点G为双曲图—居=l（a>0,6>0）的焦点三角形PF#2的重心，则点G的轨迹方程为

证明：如图2,设P（x0,yo）,则有加力0（否则不能成为三角形），双曲线左、右焦点坐标:

+（；）+c

为尸1（—c,0）,F2（C,0）,APF#2由重心为GO,y），由重心坐标公式,有久=久。=詈,y=

”^=生即孙=3久,y°=3y,代入双曲线方程，可得誓一誓=1,化简可得自一百

_,............一x2y2__...

=1,又yo。。，・•・y。0,于是其重心的轨迹方程为可—m=l（y。0）,即以原双曲线

的实轴长的内为实轴，以原双曲线的虚轴长的内为虚轴的双曲线（顶点除外）.

【例题5】（2018上•重庆•高三重庆一中校考期中）已知P是以％尸2为焦点的双曲线看-看

=1上的动点，贝必尸/2P的重心G的轨迹方程为（）

A.誓-y2=l（y40）B.誓-％2=l（y力0）

C.誓+y2=i（y大o）D.誓+/=l（y40）

【变式5-1]1,（2022上•福建福州•高三校考期中）在平面直角坐标系xOy中，设点p（-|,o）,

Q（|,。），点G与P,Q两点的距离之和为2,N为一动点，且G为△PQN的重心

⑴求点N的轨迹方程C；

（2）设C与x轴交于点A,B（A在B的左侧），点M为C上一动点（且不与4,B重合）.设直线

AM,久轴与直线％=汾别交于点R,S,取仅2,0）,连接ER,证明：ER为NMES的角平分线.

【变式5-1】2.（2022上•广东揭阳•高三揭东二中校考阶段练习）已知用、尸2是椭圆C：9+

9=1的左、右焦点，点P（m,n）5力0）是椭圆上的动点.

（1）求△PF1&的重心G的轨迹方程；

（2）设点Q（s,t）是△PF1出的内切圆圆心，求证：m=2s.

【变式5-1】3.（2022•全国•高三专题练习）点Ng,%），B（X2,yi）是抛物线=2y上的

不同两点，过4B分别作抛物线。的切线，两条切线交于点P（&,yo）.

(1)求证：“0是X1与X2的等差中项；

(2)若直线XB过定点M(0,l),求证：原点。是△P4B的垂心；

(3)在(2)的条件下，求△P4B的重心G的轨迹方程.

【变式5-1]4.(2020・浙江•统考模拟预测)已知O是坐标系的原点，F是抛物线C:久2=4y

的焦点，过点F的直线交抛物线于A,B两点，弦AB的中点为M,△04B的重心为G.

(1)求动点G的轨迹方程；

(2)设(1)中的轨迹与y轴的交点为D,当直线AB与x轴相交时，令交点为E,求四边

形DEMG的面积最小时直线AB的方程.

题型6圆锥曲线外心与离心率

!:均＞占

f.壬•、、、

一、三角形外心的定义

三角形的外心：三角形外接圆的圆心，称为外心，三角形三条边的垂直平分线的交点，就是

三角形的外心.

二、三角形外心重要结论

(1)。是△力BC的外心=|就|=|砺|=|觉|(或就2=而2=反2)；

(2)若点。是△4BC的外心，贝+诂)•通=二（砺+玩）•前=画+反）•AC=0.

(3)若。是△48C的外心，则sin22•Dl+sin2B,OB+sin2C•。。=6;

⑷斜三角形外心坐标：。(钙尸祟铲,y/sin2A+yBsin2B+ycsin2C、.

\sm2i44-sin2B+sin2Csin2i4+sin2B+sin2C）'

（5）多心组合：△ABC的外心0、重心G、垂心，共线，即加II而；

【例题6】（河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考数学（理）试题）已知坐标平面久Oy

中，点尸1,七分别为双曲线C核—产=1（a>0）的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，

MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D,且。为MF?的中点，点/为△。〃尸2的外心，若。、人

。三点共线，则双曲线C的离心率为（）

A.V2B.3C.V5D.5

【变式6-1】1.（2020・湖北宜昌•统考一模）设F（c,0）为双曲线E：/—3=1似>0力>0）的

右焦点,以F为圆心,。为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P,线段FP的中点为。,/POF

的外心为/,且满足加=4万（％力0）,则双曲线E的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【变式6-1]2.（2018上•湖南长沙•高三宁乡一中阶段练习）匕尸2分别为双曲皖—看=1

（a,6>0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足布•丽=0,若4PFF2的内切圆半径与

外接圆半径之比为亨，则该双曲线的离心率为

【变式6-1】3.（2020•山东泰安统考模拟预测）已知点乙,&分别为双曲线。：§-g=l

（a>0,6〉0）的左、右焦点，点A,B在C的右支上，且点尸2恰好为△F〃B的外心，若（方

+/）•4%=。，则C的离心率为

题型7圆锥曲线外心与坐标

【例题7】（2022•全国•高三专题练习）在直角坐标系xOy中直线y=x+4与抛物线C:/

=4y交于A,B两点.若D为直线y=x+4外一点，且△2BD的外心M在C上，则M的

坐标为

【变式7-1】1.（2019•浙江•统考模拟预测）已知椭圆卷+?=1的下顶点为4若直线

%=以+4与椭圆交于不同的两点M、N,贝！]当七=时，4ZMN外心的横坐标最大.

【变式7-1】2.（2022•全国•高三专题练习）如图，椭圆G：J+y2=i,抛物线C2：久2

=2py（p>0）,设3、C2相交于人B两点，。为坐标原点.若△AB。的外心在椭圆上，则

实数P的值；

【变式7-1]3.（2022全国高三专题练习）设椭圆C，+9=1的右焦点为F,过尸的直线/

••4-D

与c相交于48两点.设过点小乍X轴的垂线交C于另一点P,若M是△P4B的外心，则湍的

值为

【变式7-1】4.（2022全国高三专题练习）已知椭圆C:9+9=1的左、右焦点分别为

••4-D

Fi,F2,过F2的直线1交椭圆C于4B两点，过4作x轴的垂线交椭圆C与另一点Q（Q不与4B

重合）.设△力BQ的外心为G,则搭的值为

【变式7-1】5.（2022•全国•高三专题练习）在平面直角坐标系“Oy中，已知椭圆C的方程

为9+必=1,设经过点P（2,0）的直线1交椭圆C于4,B两点，点Q（m,0）.设点F为椭圆C的左

焦点，若点Q为的外则实数小的值

题型8圆锥曲线外心与轨迹方程

(6)焦点三角形外心轨迹方程:

①动点P为椭圆a+f?=l(a>6>0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，％,&为椭圆的左、

右焦点，设焦点三角形PF1&的外心为心则外心E的轨迹方程为x=0(yN联或yW

争

②动点P为双曲线》一起=l(Gt>0,b>0)上异于双曲线顶点(士a,0)的一点，Pi,&为双曲

线的左、右焦点，设焦点三角形PF1&的外心为民则外心E的轨迹方程为x=0.

证明：只证双曲线情形.如图1,设点P坐标为PQo，yo),则有火中。，.•点E在//2的垂直

平分线上，.•・可设伏0,月).“生的垂直平分线的方程为y—芋=一发气―警)，而点E

在其上，因此为=誓+岸"在双曲线上，襦―*=1,»=薨—枭由于y°e

(-oo,0)u(0,+co),yiG/?,因此点E的轨迹方程为X=0.同理可证椭圆情形.

图1

【例题8】(2022•全国•高三专题练习)已知点4(2,0),5c在y轴上，且|BC|=4,则△•?

外心的轨迹S的方程；

【变式8-1】1.(2022•全国•高三专题练习)设点M、N分别是不等边△力BC的重心与外

心，已知4(0,1)、5(0,-1),SMN=^AB.则动点C的轨迹E；

【变式8-1】2.(2022•全国•高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，点4在圆。：x2+y2

=5上，直线久=2与圆。交于E,尸两点(E点在久轴上方)，点P(E)(0(根<3是抛物线

、2=2%上的动点，点。为4「石尸的外心，则线段。Q长度的最大值为，当线段。Q长度最

大时，则△PEF外接圆的标准方程为

【变式8-1】3.(2021•河北石家庄•统考一模)已知坐标原点为。，双曲线C：《—3=1

(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离为伍离心率为四

(I)求双曲线的方程；

(n)设过双曲线上动点P(%o，yo)的直线久ox-等=1分别交双曲线的两条渐近线于4B两

点，求△40B的外心M的轨迹方程.

【变式8-1]4.(2021•全国•模拟预测)在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A,B的

坐标分别为(-1,0),(1,0),平面内两点G,M同时满足以下3个条件：①G是AABC三条

边中线的交点：②M是AABC的外心；③GM〃AB

(1)求AABC的顶点C的轨迹方程；

(2)若点P(2,0)与(1)中轨迹上的点E,F三点共线,求|PE|♦|PF|的取值范围

题型9圆锥曲线外心与求值

【例题9】(2022•全国•校联考模拟预测)已知椭圆r：9+9=1,过其左焦点Fi作直线I交

4-D

椭圆r于p,A两点，取P点关于X轴的对称点B.若G点为APAB的外'则措=()

A.2B.3C.4D.以上者B不对

【变式9-1】1.(2023下•广东清远•高三校联考阶段练习)已知双曲线C*-左=1

9>0力>0)的右焦点为尸(2,0),过点F的直线/与双曲线C的右支相交于M,N两点，点M关

于V轴对称的点为P.当丽-MP=。时，|MN|=竽.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若△MNP的外心为Q,求居1的取值范围.

【变式9-1]2.(2020下•福建•高三统考阶段练习)设椭圆+?=1的右焦点为F,过F

的直线1与c相交于4B两点.

(1)若丽=2而，求珀勺方程;

(2)设过点a作X轴的垂线交c于另一点P,若M是△PA8的外心，证明:揣为定值.

【变式9-1】3.(2021•四川眉山•仁寿一中校考模拟预测)已知椭圆C：，+，=l(a>6>0)

的左右焦点分别是Fi，F2,P是椭圆上一动点(与左右顶点不重合)，已知△PFF2的内切圆半

径的最大值是看椭圆的离心率悬.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过"(4,0)作斜率不为0的直线1交椭圆于4B两点，过B作垂直于x轴的直线交椭圆于另

一点Q,连接4Q,设△ABQ的外心为G,求证：搭为定值.

题型10圆锥曲线内心与离心率

B,已知。为坐标原点，若/。48的内切圆的半径为铝a,则双曲线C的离心率为()

A.竽B.V3+1C.竽D.竽或2

22

【变式10-1]1.（2020・浙江绍兴•统考二模）双曲线C1表—左=l（a>0,b>0）的渐近线与

抛物线。2：久2=2「3/3>0）交于点4。方，若抛物线。2的焦点恰为440B的内心，则双曲线的

的离心率为（）

A.IB.gC.华D.空

【变式10-112.（2022•全国•高三专题练习）设尸是双曲线嗒—着=1（a>。力〉0）的右

焦点，。为坐标原点，过尸作C的一条渐近线的垂线，垂足为“，若△F。”的内切圆与x轴切

于点B,且而=2赤，则C的离心率为（）

A3+V17g4+V17^3+3VI7口3+3V17

・4,4,84

27

【变式10-113.（2021•辽宁•统考二模）已知双曲线a―左=1的左右焦点为鼻/2,。为它

的中心，P为双曲线右支上的一点，4PFF2的内切圆圆心为/,且圆/与X轴相切于4点，过92

作直线P/的垂线，垂足为B,若双曲线的离心率为e,则

A.\OB\=\OA\B.\OB\=e\OA\C.\OA\=e\OB\D.|OB|与|0"关系不确定

【变式10-1]4.（2019下•福建南平•高三统考期末）已知点P为双曲线'

=l（a>0力>0）右支上一点，点F1,F2分别为双曲线的左右焦点，点I是APF1F2的内心

（三角形内切圆的圆心），若恒有—SAIPFZ>争A/FFz成立，则双曲线的离心率取值

范围是（）

A.（1,V2）B.（1,2V2）

C.（1,2V2]D.（1,V2]

【变式10-1】5.（2019上河北•高三校联考阶段练习）过双曲稣—\=1（（1>6>0）右焦

点F的直线交两渐近线于4B两点，若西•而=0,。为坐标原点，且△04B内切圆半径为

与匕，则该双曲线的离心率为

A.竽B.gC.竽D.V3+1

题型11圆锥曲线内心与内切圆半径

、L：

戋"重占

f.丰•、、、<

三角形内切圆的半径求法：

①任意三角形：「=争(其中品为△ABC的周长，SA为△48C的面积)；

^-石，通但中卜力吉隹、力力钟力)

②直角二角形：7=二—(其中a,b为直角边，c为斜边)；

【例题11】(2022•全国•高三专题练习)已知双曲线■—着=1(a>0,b>0)的两条渐

近线与抛物线产=20比(p>0)的准线分别交于A,B两点，。为坐标原点，若双曲线C的离

心率为2,4408的面积为遥，则4408的内切圆半径为()

A.—1B.+1C.2->j3—3D.2V+3

【变式11-111.(2017•江西抚州•统考一模)点Fi、电分别是双曲线了—9=1的左、右

焦点，点P在双曲线上，贝必的内切圆半径「的取值范围是

A.(0,V3)B.(0,2)C.(0,V2)D.(0,1)

【变式11-1]2.(2023•全国•模拟预测)如图,已知双曲线谓一1=l(a>0,b>0)的左、

右焦点分别为为双曲线右支上一点，且F2P的延长线交y轴于点4,且Fm-F2P=0,

△4PF1的内切圆半径为4,△PF1&的面积为9,贝山1&1仍/2|=()

A.18B.32C.50D.14

【变式11-113.（2021•云南昆明•昆明一中校考模拟预测）已知椭圆C:琶+着=1的左、

右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆C上，当AMF1F2的面积最大时，AMF1F2内切圆半

径为（）

A.3B.2C.|D.

29

【变式11-1】4.（2023•湖南邵阳•邵阳市第二中学校考模拟预测）设椭圆也+标=1

（a>6>0）的左右焦点分别为％和&,离心率为手，过左焦点Fi且倾斜角为60。的直线与椭

圆交于4B两点，且线段力B=5,则△ABF2的内切圆半径等于

【变式11-1】5.（2023上•广东广州•高三广东广雅中学校考阶段练习）已知椭圆。蚤+3

=l（a>b>0）的右顶点为4,上顶点为B,。为坐标原点,且直线力B的方程为gx+2y-2V3

=0.

⑴求椭圆C的方程；

（2）f为椭圆C的左焦点，直线及椭圆C于M,N（不与点4重合）两点记直线AM,AN,1的

斜率分别为七，电，k,满足：的+七=一★记△FMN的内切圆半径为r,求r的取值范围.

题型12圆锥曲线内心与直线（曲线）

【例题12]（2018•河北石家庄•统考一模）已知F1,F2分别为双曲稣—1（«>06>0）

的左焦点和右焦点，过F2的直线I与双曲线的右支交于A,B两点，AAF1F2的内切圆半径

为r1,ABF1F2的内切圆半径为r2,若r1=2r2,则直线I的斜率为（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【变式12-1】1.（2016•福建漳州•统考二模）已知双曲线C:5-g=l（a>0,b>0）的左、

右焦点为％,F2,P为双曲线C右支上异于顶点的一点，△PF/2的内切圆与工轴切于点

（1.0）,且P与点Fi关于直线>=-与对称，则双曲线方程为

【变式12-1】2.（2022•全国•高三专题练习）点P是双曲线C：卷—著=1的上支上的一点,

F1,F2分别为双曲线的上、下焦点，则APF1F2的内切圆圆心M的坐标一定适合的方程是

()

A.y=-3B.y=3C.x2+y2=5D.y=3x2-2

【变式12-1】3.（2020・山西・统考三模）已知椭圆喏+餐=1（。>6>0）的左、右焦点分

别为Fi,F2,P为C上一点，若/为△PFF2的内心，S.SAPF1F2=3SAIF1F2,则C的方程可能

是

A.1+y2=iB.9+y2=i

c比+比=1Dg+比=1

3243

【变式12-1】4.（2015•浙江杭州•统考一模）已知椭圆C:§+g=l（a>/）>0）,F1,F2

为左右焦点，点P（2,g）在椭圆C上，aFiPF2的重心为G,内心为/,且有历=4瓦瓦（A

为实数），则椭圆方程为（）

A.餐+/=1B.[+4=1

86164

c比+比=1D正+比=1

927105

题型13圆锥曲线内心与面积

【例题13】（2019・安徽•高三校联考阶段练习）如图所示，点P为椭圆4?+?J=1上任一点,

c

F1,&为其左右两焦点，△0％七的内心为I,则就之二（）

【变式13-1】1.（2020上•贵州贵阳高三贵阳一中校考阶段练习）双曲%-普=1的左、

右焦点分别为Fl,F2,p为双曲线右支上一点，1是4PF1F2的内心，且以/PF2=S〃P%—4

S4/F/2,则"=（）

A.B.—C.|D.

【变式13-1】2.（2020上•浙江•高三校联考阶段练习）已知％（—1,0）,F2（1，0）,“是第

一象限内的点，且满足|MFi|+|MF2l=4,若/是△MF1F2的内心，G是△MF*?的重心，

记△/FiFz与AGFiM的面积分别为Si,S2,则（）

A.Si>S2B.Si=S2C.Si<S2D.Si与S2大小不确定

【变式13-1]3.（2012•浙江•校联考一模）已知点P为双曲舞一餐=l（a>0,b>0）右支

上一点，％,尸2分别为双曲线的左右焦点，且仍1尸2|=会为三角形PFF2的内心，若S〃PF]=

S4/PF2+4S〃F/2成立，则加勺值为

A.2V3-1C.V2+1D.V2-1

【变式13-1】4.（2019下•河南洛阳•高三统考期末）已知双曲线—9=1的左，右焦

点F1,F2,点P在双曲线上左支上动点则三角形PF1F2的内切圆的圆心为G,若AGPF]

与△GF/2的面积分别为SS,则翔值范围是

题型14圆锥曲线内心与轨迹方程

IWbI

那卜堂重点

（6）焦点三角形内心轨迹方程：

①设点M为椭圆今+餐=l（a>6〉0）的焦点三角形吗尸2的内心，则点M的轨迹方程为：f

+（±）2=l（y士0）,其中。=7蟆—b?.1

证明：如图1,设M（%,y）,P（%o，yo），连结PM交直线于点。（打，0）,由三角形内角平

aEXi

分线定性质知盟=制=嵩H2又■■■\PFi\=+V'\FiD\=x1+c,

~c^'

又由|MP|=?|M0|,得%o=上,y（）=延/，嚏+*=1,4+建1=l（y力0）

图1图2

②设点/为双曲稣—l(a>0,6>0)的焦点三角形PF/2的内心，则有：

(1)当P在双曲线右支上时，点/的轨迹方程为x=a(|y|<6,yK0)；

(2)当P在双曲线左支上时，点/的轨迹方程为x=—a(|y|<b,yA0).

证明：(1)当P在双曲线右支上时，如图2,设圆/与P%,PF2,F#2分别相切于点4,B,C,

则有四*=|FiC|,\PA\=\PB\,\F2B\=\F2C\.•.?在双曲线右支上，；.|PFi|-\PF2\12a,

即吗如—M2BI=2©又|FiC|—|F2c|=2a,设C(/,0),则有/—(—c)—(c—/)=2a,

化简，有才=a.从而知总圆/与无轴相切于点C(a,0),又久轴，故点/的轨迹方程为

x=a.

设/的纵坐标为y,NPF/2=a,则有a=tan^<干=彳，；•|y|<b且y*0.

C

综上所述，点/的轨迹为％=a(|y|<b,yH0).

(2)仿照(1)的证明可证得：当P在双曲线左支上时，圆/总与x轴相切于点C(-a,0),点

/的轨迹为％=-a(|y|<b,y00).

【例题14】(2018上•浙江金华•高三校联考期末)已知%尸2为椭圆C：9+?=l的左、右焦

点，点P在椭圆C上移动时，/PF/2的内心/的轨迹方程为

【变式14-1】1.(2019上四I成都高三成都七中校考期中)点M为椭圆着+9=1上一

点，F1，尸2为椭圆的两个焦点，则△F1MF2的内心轨迹方程为

【变式14-1】2.（2022上•全国•高三阶段练习）若双曲线C:9—9=1,F-F2分别为左、

右焦点，设点P是在双曲线上且在第一象限的动点，点/为APFF2的内心，4（0,4）,则下列

说法正确的是（）

A.双曲线C的渐近线方程为；±（=0

B.点/的运动轨迹为双曲线的一部分

—>>*o

C.^\PF1\=2\PF2\,PI=xPFr+yPF2,则y—x=§

D.不存在点P,使得|P*+|PFi|取得最小值

【变式14-1】3.（2022•全国•高三专题练习）已知椭圆5+\=1（口>。>0）左、右焦点分

别为％,F2，P为椭圆上异于长轴端点的动点，aPFFz的内心为/,求点/的轨迹方程.

题型15圆锥曲线内心与求值

【例题⑸（2018上河北石家庄•高三辛集中学阶段练习）已知“是椭圆+藉=1上一点，

Zblo

Fi,尸2是椭圆的左，右焦点，点/是4MF/2的内心，延长M/交线段于M则制的值为

（）

A.|B.|C.|D.1

【变式15-1】1.（2017・湖北襄阳•襄阳四中校考一模）椭圆/+5=1（£1>6>0）的两焦点

是、为椭圆上与鼻、不共线的任意一点，/为的内心，延长交线段

FiF2IM/2△MF*?M/

尸1尸2于点N,则旧勺值等于（）

.aa_bfC

A•石B.7C.-D.-

【变式15-1】2.（2016上•湖南衡阳•高三统考期中）已知点M在椭圆：，+，=l（a>6>0）

上，%、F2为左、右焦点，点T是内心，连接MT并延长交线段于N,则黑的

值为

22baDz

A.y/a—bB.7d-b2

-b-Va2—b2c.yJa2—b2•a

【变式15-1】3.（2022・全国•高三专题练习）设椭圆9+必=1的左、右焦点分别为F1，

F2,M是椭圆上异于长轴端点的一点，^F1MF2=26,△MF1F2的内心为I,则|M/|cose=

（）

A.2-V3B.IC.孝D.三

【变式15-1]4.（2019上•云南昆明・高三云南师大附中校考阶段练习）设FI,F2为椭圆C:9

+必=1的两个焦点.M为C上点，4M%F2的内心।的纵坐标为2—8，贝此尸1“92的余弦

值为

题型16圆锥曲线垂心与离心率

【例题16]（2017•云南红河•高三阶段练习）已知%,&分别是双曲图—看=1Q>0,b>0）

的左、右焦点，过点Fi且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于4B两点，若

坐标原点。恰为△ABF?的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（）

A.亨B.鱼C.V3D.3

【变式16-1】1.（2019•四川广元统考二模）平面直角坐标系xOy中，双曲线g:

=l（a>0,b>0）的两条渐近线与抛物线C：x2=2py（p>0）交于O,A,B三点，若AOAB

的垂心为C2的焦点，则Ci的离心率为（）

A.V2B.|C.2D.|

【变式16-1】2.（2020•全国•高三专题练习）已知双曲线J:§-g=l（a>0,b>0）的

渐近线与抛物线C2：/=2py（p>0）交于点0、4B,若404B的垂心为抛物线C2的焦点，

则双曲线Ci的离心率为（）

A.|B.平C.乎D.2V3

zZZ

22

【变式16-1]3.（2017•河北衡水•校考一模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C点—方=1

（a>0,6>0）的渐近线与抛物线。2：7=2px（p>0）交于点。、A、B,若△04B的垂心为

的焦点，则Ci的离心率为（）

A.|B.而C.竽D.当

【变式16-1】4.（2022•全国•高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1:§-

，=1（a>0,b>0）的渐近线与抛物线C2:x2=2py（p>0）交于点。，A,B,若&OAB的垂

心为C2的焦点，则C1的离心率为（）

A.|B.C,1D.2

【变式16-1】5.（2023•河北衡水彳箕水市第二中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，

椭圆E以两坐标轴为对称轴，左，右顶点分别为A,B,点P为第一象限内椭圆上的一点,

P关于x轴的对称点为Q,过P作椭圆的切线。若Z14P,且的垂心恰好为坐标原

点0,记椭圆E的离心率为e,贝监2的值为

题型17圆锥曲线垂心与直线（曲线）