中考数学一轮复习重难点强化训练：二次根式（知识串讲+7大考点）原卷版

专题04二次根式

考点类型

。一

口知识一遍过

(-)二次根式的相关概念

(1)二次根式：式子m(a20)叫做二次根式.

(2)有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。即、5中，a>0

(二)最简二次根式与同类二次根式

(1)最简二次根式需满足两个条件：

①被开方数不含分数；分母不含根式;

②被开方数中不含开得尽方的因数或因式.

(2)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同,则把这几个二次根式叫做同

类二次根式.

(三)二次根式的性质

(1)/(a20)具有双重非负性,一是四，二是、艮20.

(2)(,)2—a(a^O).

(3)E=|a|={a(a20)

勺-a(a<0)

(四)二次根式的有理化

在进行二次根式计算时，最后的结果都要化简成最简二次根式。若被开方数中含有分母或分母中含有根号

时，对这一类二次根式的化简过程叫做分母有理化。

c[a_4a_4a-4b_4ob

n=ib=4bib=~r°

14a+4b4a+4b4a+4b

②

4a+4b(Va±VK)(Va+VK)(刈—(⑻a-b

（五）二次根式的运算

（1）二次根式的加减运算:

a4m±b4m=（a+b）4m（m>0）（类比同类项的加减运算）

（2）二次根式的乘除运算:

①乘法运算：4a-4b=4ab{a>0,620)。推广：a4m-b4n-abylmn(ni>0,H>0)0

②乘法逆运算：=赤［•N0）。

：=-^(a-0,人>0)。推广：\、区(mN°,〃>0,b^0)o

③除法运算:

n

④除法逆运算:匕H0）。

（3）二次根式的混合运算:

先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。

匚了考点一遍过

考点1：二次根式的概念

典例1:（2324上•内江•阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（）

A.V35B.V2C.4c?D.Jj

【变式1］（2223下•驻马店•阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（）

V28，1,V^l,Vm,Vx2+1,V25

A.5个B.4个C.3个D.2个

【变式2】（2223下•天津•期中）已知W商为整数，则正整数n的最小值为（）

A.3B.9C.18D.21

【变式3］（2223下•江门•期中）如果J二三有意义，则x的取值范围是（）

A.x>3B.%<3C.x>3D.x<3

【变式4］（23・24上•郑州•阶段练习）若y=后与一应二不+3,则”的值为（）

A.8B.-8C.6D.9

【变式5】（2324上•新乡•阶段练习）下列各式：①日国x>0）;②③后不（m>0）；其

中是二次根式的有（）

A.1.个B.2个C.3个D.4个

【变式6】（2324上•青岛•阶段练习）已知：a、b均为实数，下列式子：①花；②历；③夜E；④R

⑤加―尼.其中一定是二次根式的个数有（）个

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式7]（22-23下•红河・期末）使代数式”有意义的X的取值范围是（）

A.x>—2B.%H1C.x>—2且%W1D.%>1

考点2：二次根式的性质

典例2：（2324上•天水•期中）下列计算正确的是（）

2_______

A.(-V3)=-3B.J(—3)2=-3C.V8=2-V2D.J(-=2

【变式1](2324上•海淀•期中)化简(m—1)J—含的结果是(

)

A.Vl—mB.—Vl—mC.y/m—1D.—yjm—1

【变式2](22-23下・昭通・期中)若J(a—2)2=2-Q,则a与2的大小关系是()

A.a<2B.a<2C.a>2D.a>2

【变式3]（23-24上•临汾•阶段练习）已知2<a<3,则化简，（。一兀通+|a-2|的结果为（）

A.71—2B.2a—7T—2C.TT+2D.2—n

【变式4]（2324上•内江•阶段练习）实数a,hc在数轴上的对应点如图所示，则一|c一a|+-。尸的值为

（）

a~~b0

A.-CL—bB.a—bC.a-b+2cD.a+b

【变式51（23-24上眉山•阶段练习）若化简|1-%|--8%+16的结果为-3,则x的取值范围是（）

A.1<x<4B.x>4C.x<1D.x<1

【变式6]（2324上•佛山•阶段练习）实数a、。在数轴上的位置如图，则化简J（a+。2—J（a—b）2的结果

为（）

ab

―-----1-------1-------1-«----

-10123

A.2bB.-2bC.2aD.-2a

【变式7］（2223下•新乡•期末）若a<0,则化简疹-认a一2尸的结果为（）

A.2B.-2C.2—2aD.2a-2

考点3:二次根式的运算

典例3：（22-23下,孝感,阶段练习）以下各式：①/（一4）X（—9）=XV—9,②—24=J（—2）2工=y/4x,

）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【变式1】（2223下•宁波•阶段练习）已知V7=a,V70=fa,则7^3用a、b表示为（）

A.叱B.UC.D.也

1010a10

【变式2】（2223下•许昌・期中）计算g+如X卡的结果是（）

A.6A/6B.在C.延D.还

634

【变式3］（2223下•阿克苏,阶段练习）下列计算中正确的是（）.

A-+屈B.5盯士磊=必后

C.V15'=3D.丫（_6）2盯+7^^=.

【变式4］（2324上•郑州•阶段练习）下列运算正确的是（）

A.V2+V2=2B.3V5-2V5=1

C.V3xV2=V6D.V32^-V4=8

【变式5］（2324上•新乡•阶段练习）下列各式计算正确的是（）

A.4V2-2V2=2V2B.573+5V2=10V5

C.4V3x2V2=8V6D.8V3-2V3=6

【变式6]（23-24上•新乡•阶段练习）估算（2闻+V12）-百的值应在（）

A.7和8之间B.8和9之间

C.8和10之间D.10和11之间

【变式7】（2223下•乌鲁木齐•阶段练习）计算（2g—6电+3风）+百的结果是（）

A.10B.20C.14D.16

考点4:最简二次根式

典例4：（2324上•白银•期中）下列二次根式中，为最简二次根式的是（）

A.V8B.V5%1C.V3D.Ji

【变式1］（2324上•南阳•阶段练习）在〃滔，-孚,国，石，后可中最简二次根式的个数有（）

275

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2】（2324上倜口•阶段练习）下列各式电，V3,V18,W4中，是最简二次根式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式3］（2324上•天水,期中）二次根式：①属；②仔；③*④历中，能与迎合并的是（）

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

【变式4］（2223下•镇江•阶段练习）下面与鱼是同类二次根式的是（）

A.V20B.V12C.V4^5D.J|

【变式5］（2324上•平顶山•阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则f的值为（）

A.6.5B.3C.2D.4

【变式6］（2223下•泰安•阶段练习）若Ya2"+3b3m+i是最简二次根式,则施，”的值为（）

A.0,-1B.-1,0C.1,-1D.0,0

【变式7】（22-23下•烟台・期末）已知最简二次根式师二司与二次根式回可以合并成项，则整数机,

门的值分别为（）

A.m=1,n=0B.m=—1,n=0

C.m=1,n=2D.m=—1,n=2

考点5：分母有理化

典例5：（23・24上・黄浦•期中）下列式子中,是@石+b后的有理化因式的是（）

A.aVx—b^yB.ayJx+b^yC.by/x+ayjy

ii

【变式1］（23・24上•青岛・自主招生）化简:V8+V11+VH+V14+V14+V17+V17+V20+V20+V23+V23+V26

11

V26+V29+V29+V32的结果是（）

A.1B・平C.2V2D.4V2

【变式2］（22・23下•盐城•阶段练习）已知Q=2—遍，b=y/3—V2,c=V2—1,那么〃，b,c的大小关

系是（）

A.a<b<cB.a<.c<-bC.c<b<aD.b<c<a

【变式3】（22・23下・池州•期中）己知xy=3（x>0,y>0）,则比的值为（）

A.3B.2V3C.V3D.6

【变式4］（2223下•江津•阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题.

在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如心一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简:

V3+V2

'行=（工£灌,=V3-V2,以上这种化简的步骤叫做分母有理化.请根据上述方法分析下列结论:

V3+V2（V3+V2）（V3—V2J

/T\1_V5+V3

①

②若a='h='则+炉=6；

V7+V5，一书-后

=^=^,b=［嚏且2a2+1829ab+2b2=2023,则(4租+2)2=99

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【变式5］（22・23下•江苏・期末）如果。=a+8，b=,那么（）

V/3—V后2

A.a=bB.a>bC.a<bD.ab=1

【变式6］（2223上•乐山•期末）若VTU的小数部分是a,则工的值是（）

1

A.B・噂D.V10

6

【变式7］⑵23下嘟州•阶段练习）在化简辞时,甲、乙两位同学的解答如下:

(%-y)(A-⑸万)

甲.%—y=v%-

Vx+y/y(Vx+Vy)(Vx-Vy)(Vx)2-(Vy)2

。一y_(®2(行产（独一万）（次+例

乙:=Vx-/y.

Vx+VyVx+VyVx+Vy

A.两人解法都对B.甲错乙对

C.甲对乙错D.两人都错

考点6:二次根式的化简求值

典例6:（23.24上,松江,阶段练习）先化简，再求值:嘴浮（福一募）+瑞其中a=熹°=3+相

【变式1】（23・24上•绵阳,开学考试）化简求值：

⑴已知a=V5—2,求代数式M+4a2—a+6的值;

(2)已知久=B一2,y=V3+2,求丫+工的值.

xy

【变式2］（2223下•陇南•阶段练习）先化简，再求值：已知a=^j,b=下已，求o26+附2的值.

Vil-v7V11+V7

【变式3］（2223下•临沂•期末）计算:

（1）已知％=鱼一1,y=V2+1,求（+:的值;

（2）求（遍+V2-2）（73-V2+2）的值.

【变式4］（2223下•龙岩•期中）在解决问题"已知a=看求2a2—4a+1的值"时，小明是这样分析与解答

的：

,••0=喜=（奁*蒜+1）=夜+1'

•••a—1=V2.

・•・（a-l）2=2,M—2Q+1=2.

・•・a2—2a=1.

**•2a之—4a—2,2a?—4a+1=3.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

（1）化简：鼻;

（2）若a=；,求3M-18。-1的值.

3+2V2

【变式5】（2223下•衡阳•期中）先化简，再求值：已知尤=百+1,y=V3-1.求代数式J+xy+?的

值.

_________2

【变式61（22-23下•十堰•期中）先化简，再求值:（V2x+-近）-（V2x-近）,其中久=4,y=3.

【变式7］（22-23下,海淀•期中）先化简，再求值：仁-3b+（y/a-VF）（G+VF）,其中：a=3,6=2.

考点7：二次根式的应用

典例7：（2324上,咸阳・期中）【素材引入】若一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=/a+6+c）,即

p为△2BC的周长的一半，贝USAABC=（SMBC表示△ABC的面积），把这个公式称为

海伦公式.

⑴现有一块三角形空地A,它的三边长分别为a=3m,b=5m,c=6m,求这块地的面积；

⑵有一块空地B的面积为蜉，则空地A的面积是空地B面积的几倍.

【变式1］（2223上•南阳•期末）阅读与思考

如图1所示的是一座钢铁桥梁，为了计算其中一个三角形钢架的面积，小明想办法测量出三边的长度4B=

c=24米，BC=a=26米，4c=b=28米，如何求三角形ABC钢架的面积？下面是甲，乙两位同学的解

题思路，分别根据甲、乙两位同学的解题思路求△ABC的面积.

图1图2

(1)甲同学：我们知道，已知AaBC的三边长a,b,c,设p=3(a+b+c),即p为△48C周长的一半，那么

利用海伦公式SAABC=Jp(p-a)(p-b)(p-c)就可求出^ABC的面积.

(2)乙同学：如图2,过点A作4。1BC于点。，设BD=x米，然后用含尤的代数式表示出CD,根据勾股定

理，利用4。作为"桥梁”建立方程，利用勾股定理求出力。的长，再计算△力BC的面积.

【变式2】(22・23下•全国•期中)交通警察通常根据刹车后车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的

经验公式是U=16阿，其中。表示车速(单位：km/h),d表示刹车后车轮划过的距离(单位：m),f表示

摩擦系数，在某次交通事故调查中测得d=20爪，/=1.2.

⑴求肇事汽车的速度；

(2)若此路段限速70km/h,请通过计算判断肇事汽车是否超速？

【变式3](2223下•商丘•阶段练习)海啸，是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏

性海浪，海啸的波速高达每小时700〜800千米，在几小时内就能横过大洋；波长可达数百千米、可以传播

几千米而能量损失很小.海啸的行进速度可按公式"=胸计算，其中"表示海啸的速度（m/s）,d表示海水的

深度，g表示重力加速度9.8m/s2.若在海洋深度20m处发生海啸，求其行进的速度.

【变式4］（22-23下•厦门•期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2

和27dm2的正方形木板.

⑴求原矩形木板的面积；

（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm,宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多

少块这样的木条，请你计算说明理由.

【变式5］（22-23下•定西•期中）先阅读，后解答:

V3(V3+V2)

lxV2\[2V3+巡；像上述解题过程中，立与正