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文档简介

专题04二次根式

考点类型

。一

口知识一遍过

(-)二次根式的相关概念

(1)二次根式:式子m(a20)叫做二次根式.

(2)有意义的条件:二次根式的被开方数大于等于0。即、5中,a>0

(二)最简二次根式与同类二次根式

(1)最简二次根式需满足两个条件:

①被开方数不含分数;分母不含根式;

②被开方数中不含开得尽方的因数或因式.

(2)同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,则把这几个二次根式叫做同

类二次根式.

(三)二次根式的性质

(1)/(a20)具有双重非负性,一是四,二是、艮20.

(2)(,)2—a(a^O).

(3)E=|a|={a(a20)

勺-a(a<0)

(四)二次根式的有理化

在进行二次根式计算时,最后的结果都要化简成最简二次根式。若被开方数中含有分母或分母中含有根号

时,对这一类二次根式的化简过程叫做分母有理化。

c[a_4a_4a-4b_4ob

n=ib=4bib=~r°

14a+4b4a+4b4a+4b

4a+4b(Va±VK)(Va+VK)(刈—(⑻a-b

(五)二次根式的运算

(1)二次根式的加减运算:

a4m±b4m=(a+b)4m(m>0)(类比同类项的加减运算)

(2)二次根式的乘除运算:

①乘法运算:4a-4b=4ab{a>0,620)。推广:a4m-b4n-abylmn(ni>0,H>0)0

②乘法逆运算:=赤[•N0)。

:=-^(a-0,人>0)。推广:\、区(mN°,〃>0,b^0)o

③除法运算:

n

④除法逆运算:匕H0)。

(3)二次根式的混合运算:

先算乘方,再算乘除,最后算加减。有括号的先算括号,先算小括号,再算中括号,最后算大括号。

匚了考点一遍过

考点1:二次根式的概念

典例1:(2324上•内江•阶段练习)下列各式中,不是二次根式的是()

A.V35B.V2C.4c?D.Jj

【变式1](2223下•驻马店•阶段练习)下列式子,一定是二次根式的共有()

V28,1,V^l,Vm,Vx2+1,V25

A.5个B.4个C.3个D.2个

【变式2】(2223下•天津•期中)已知W商为整数,则正整数n的最小值为()

A.3B.9C.18D.21

【变式3](2223下•江门•期中)如果J二三有意义,则x的取值范围是()

A.x>3B.%<3C.x>3D.x<3

【变式4](23・24上•郑州•阶段练习)若y=后与一应二不+3,则”的值为()

A.8B.-8C.6D.9

【变式5】(2324上•新乡•阶段练习)下列各式:①日国x>0);②③后不(m>0);其

中是二次根式的有()

A.1.个B.2个C.3个D.4个

【变式6】(2324上•青岛•阶段练习)已知:a、b均为实数,下列式子:①花;②历;③夜E;④R

⑤加―尼.其中一定是二次根式的个数有()个

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式7](22-23下•红河・期末)使代数式”有意义的X的取值范围是()

A.x>—2B.%H1C.x>—2且%W1D.%>1

考点2:二次根式的性质

典例2:(2324上•天水•期中)下列计算正确的是()

2_______

A.(-V3)=-3B.J(—3)2=-3C.V8=2-V2D.J(-=2

【变式1](2324上•海淀•期中)化简(m—1)J—含的结果是(

)

A.Vl—mB.—Vl—mC.y/m—1D.—yjm—1

【变式2](22-23下・昭通・期中)若J(a—2)2=2-Q,则a与2的大小关系是()

A.a<2B.a<2C.a>2D.a>2

【变式3](23-24上•临汾•阶段练习)已知2<a<3,则化简,(。一兀通+|a-2|的结果为()

A.71—2B.2a—7T—2C.TT+2D.2—n

【变式4](2324上•内江•阶段练习)实数a,hc在数轴上的对应点如图所示,则一|c一a|+-。尸的值为

()

a~~b0

A.-CL—bB.a—bC.a-b+2cD.a+b

【变式51(23-24上眉山•阶段练习)若化简|1-%|--8%+16的结果为-3,则x的取值范围是()

A.1<x<4B.x>4C.x<1D.x<1

【变式6](2324上•佛山•阶段练习)实数a、。在数轴上的位置如图,则化简J(a+。2—J(a—b)2的结果

为()

ab

―-----1-------1-------1-«----

-10123

A.2bB.-2bC.2aD.-2a

【变式7](2223下•新乡•期末)若a<0,则化简疹-认a一2尸的结果为()

A.2B.-2C.2—2aD.2a-2

考点3:二次根式的运算

典例3:(22-23下,孝感,阶段练习)以下各式:①/(一4)X(—9)=XV—9,②—24=J(—2)2工=y/4x,

A.0个B.1个C.2个D.3个

【变式1】(2223下•宁波•阶段练习)已知V7=a,V70=fa,则7^3用a、b表示为()

A.叱B.UC.D.也

1010a10

【变式2】(2223下•许昌・期中)计算g+如X卡的结果是()

A.6A/6B.在C.延D.还

634

【变式3](2223下•阿克苏,阶段练习)下列计算中正确的是().

A-+屈B.5盯士磊=必后

C.V15'=3D.丫(_6)2盯+7^^=.

【变式4](2324上•郑州•阶段练习)下列运算正确的是()

A.V2+V2=2B.3V5-2V5=1

C.V3xV2=V6D.V32^-V4=8

【变式5](2324上•新乡•阶段练习)下列各式计算正确的是()

A.4V2-2V2=2V2B.573+5V2=10V5

C.4V3x2V2=8V6D.8V3-2V3=6

【变式6](23-24上•新乡•阶段练习)估算(2闻+V12)-百的值应在()

A.7和8之间B.8和9之间

C.8和10之间D.10和11之间

【变式7】(2223下•乌鲁木齐•阶段练习)计算(2g—6电+3风)+百的结果是()

A.10B.20C.14D.16

考点4:最简二次根式

典例4:(2324上•白银•期中)下列二次根式中,为最简二次根式的是()

A.V8B.V5%1C.V3D.Ji

【变式1](2324上•南阳•阶段练习)在〃滔,-孚,国,石,后可中最简二次根式的个数有()

275

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2】(2324上倜口•阶段练习)下列各式电,V3,V18,W4中,是最简二次根式的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式3](2324上•天水,期中)二次根式:①属;②仔;③*④历中,能与迎合并的是()

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

【变式4](2223下•镇江•阶段练习)下面与鱼是同类二次根式的是()

A.V20B.V12C.V4^5D.J|

【变式5](2324上•平顶山•阶段练习)若与最简二次根式能合并成一项,则f的值为()

A.6.5B.3C.2D.4

【变式6](2223下•泰安•阶段练习)若Ya2"+3b3m+i是最简二次根式,则施,”的值为()

A.0,-1B.-1,0C.1,-1D.0,0

【变式7】(22-23下•烟台・期末)已知最简二次根式师二司与二次根式回可以合并成项,则整数机,

门的值分别为()

A.m=1,n=0B.m=—1,n=0

C.m=1,n=2D.m=—1,n=2

考点5:分母有理化

典例5:(23・24上・黄浦•期中)下列式子中,是@石+b后的有理化因式的是()

A.aVx—b^yB.ayJx+b^yC.by/x+ayjy

ii

【变式1](23・24上•青岛・自主招生)化简:V8+V11+VH+V14+V14+V17+V17+V20+V20+V23+V23+V26

11

V26+V29+V29+V32的结果是()

A.1B・平C.2V2D.4V2

【变式2](22・23下•盐城•阶段练习)已知Q=2—遍,b=y/3—V2,c=V2—1,那么〃,b,c的大小关

系是()

A.a<b<cB.a<.c<-bC.c<b<aD.b<c<a

【变式3】(22・23下・池州•期中)己知xy=3(x>0,y>0),则比的值为()

A.3B.2V3C.V3D.6

【变式4](2223下•江津•阶段练习)阅读下列材料,然后回答问题.

在进行二次根式的化简与运算时,我们有时会碰上如心一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:

V3+V2

'行=(工£灌,=V3-V2,以上这种化简的步骤叫做分母有理化.请根据上述方法分析下列结论:

V3+V2(V3+V2)(V3—V2J

/T\1_V5+V3

②若a='h='则+炉=6;

V7+V5,一书-后

=^=^,b=[嚏且2a2+1829ab+2b2=2023,则(4租+2)2=99

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【变式5](22・23下•江苏・期末)如果。=a+8,b=,那么()

V/3—V后2

A.a=bB.a>bC.a<bD.ab=1

【变式6](2223上•乐山•期末)若VTU的小数部分是a,则工的值是()

1

A.B・噂D.V10

6

【变式7]⑵23下嘟州•阶段练习)在化简辞时,甲、乙两位同学的解答如下:

(%-y)(A-⑸万)

甲.%—y=v%-

Vx+y/y(Vx+Vy)(Vx-Vy)(Vx)2-(Vy)2

。一y_(®2(行产(独一万)(次+例

乙:=Vx-/y.

Vx+VyVx+VyVx+Vy

A.两人解法都对B.甲错乙对

C.甲对乙错D.两人都错

考点6:二次根式的化简求值

典例6:(23.24上,松江,阶段练习)先化简,再求值:嘴浮(福一募)+瑞其中a=熹°=3+相

【变式1】(23・24上•绵阳,开学考试)化简求值:

⑴已知a=V5—2,求代数式M+4a2—a+6的值;

(2)已知久=B一2,y=V3+2,求丫+工的值.

xy

【变式2](2223下•陇南•阶段练习)先化简,再求值:已知a=^j,b=下已,求o26+附2的值.

Vil-v7V11+V7

【变式3](2223下•临沂•期末)计算:

(1)已知%=鱼一1,y=V2+1,求(+:的值;

(2)求(遍+V2-2)(73-V2+2)的值.

【变式4](2223下•龙岩•期中)在解决问题"已知a=看求2a2—4a+1的值"时,小明是这样分析与解答

的:

,••0=喜=(奁*蒜+1)=夜+1'

•••a—1=V2.

・•・(a-l)2=2,M—2Q+1=2.

・•・a2—2a=1.

**•2a之—4a—2,2a?—4a+1=3.

请你根据小明的分析过程,解决如下问题:

(1)化简:鼻;

(2)若a=;,求3M-18。-1的值.

3+2V2

【变式5】(2223下•衡阳•期中)先化简,再求值:已知尤=百+1,y=V3-1.求代数式J+xy+?的

值.

_________2

【变式61(22-23下•十堰•期中)先化简,再求值:(V2x+-近)-(V2x-近),其中久=4,y=3.

【变式7](22-23下,海淀•期中)先化简,再求值:仁-3b+(y/a-VF)(G+VF),其中:a=3,6=2.

考点7:二次根式的应用

典例7:(2324上,咸阳・期中)【素材引入】若一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=/a+6+c),即

p为△2BC的周长的一半,贝USAABC=(SMBC表示△ABC的面积),把这个公式称为

海伦公式.

⑴现有一块三角形空地A,它的三边长分别为a=3m,b=5m,c=6m,求这块地的面积;

⑵有一块空地B的面积为蜉,则空地A的面积是空地B面积的几倍.

【变式1](2223上•南阳•期末)阅读与思考

如图1所示的是一座钢铁桥梁,为了计算其中一个三角形钢架的面积,小明想办法测量出三边的长度4B=

c=24米,BC=a=26米,4c=b=28米,如何求三角形ABC钢架的面积?下面是甲,乙两位同学的解

题思路,分别根据甲、乙两位同学的解题思路求△ABC的面积.

图1图2

(1)甲同学:我们知道,已知AaBC的三边长a,b,c,设p=3(a+b+c),即p为△48C周长的一半,那么

利用海伦公式SAABC=Jp(p-a)(p-b)(p-c)就可求出^ABC的面积.

(2)乙同学:如图2,过点A作4。1BC于点。,设BD=x米,然后用含尤的代数式表示出CD,根据勾股定

理,利用4。作为"桥梁”建立方程,利用勾股定理求出力。的长,再计算△力BC的面积.

【变式2】(22・23下•全国•期中)交通警察通常根据刹车后车轮划过的距离估计车辆行驶的速度,所依据的

经验公式是U=16阿,其中。表示车速(单位:km/h),d表示刹车后车轮划过的距离(单位:m),f表示

摩擦系数,在某次交通事故调查中测得d=20爪,/=1.2.

⑴求肇事汽车的速度;

(2)若此路段限速70km/h,请通过计算判断肇事汽车是否超速?

【变式3](2223下•商丘•阶段练习)海啸,是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏

性海浪,海啸的波速高达每小时700〜800千米,在几小时内就能横过大洋;波长可达数百千米、可以传播

几千米而能量损失很小.海啸的行进速度可按公式"=胸计算,其中"表示海啸的速度(m/s),d表示海水的

深度,g表示重力加速度9.8m/s2.若在海洋深度20m处发生海啸,求其行进的速度.

【变式4](22-23下•厦门•期末)有一块矩形木板,木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2

和27dm2的正方形木板.

⑴求原矩形木板的面积;

(2)如果木工想从剩余的木块(阴影部分)中裁出长为1.5dm,宽为1dm的长方形木条,估计最多能裁出多

少块这样的木条,请你计算说明理由.

【变式5](22-23下•定西•期中)先阅读,后解答:

V3(V3+V2)

lxV2\[2V3+巡;像上述解题过程中,立与正

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