中考数学一轮复习重难点强化训练：二次根式（知识串讲+7大考点）解析版

专题04二次根式

厂考点类型

'■知识一遍过

(-)二次根式的相关概念

(1)二次根式：式子、后(aNO)叫做二次根式.

(2)有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。即、5中，a>0

(二)最简二次根式与同类二次根式

(1)最简二次根式需满足两个条件：

①被开方数不含分数；分母不含根式;

②被开方数中不含开得尽方的因数或因式.

(2)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同,则把这几个二次根式叫做同

类二次根式.

(三)二次根式的性质

(1)F(a20)具有双重非负性,一是四，二是NO.

(2)(*\/a)2=a(a'O).

(3)E=|a|={a(a20)

勺-a(a<0)

(四)二次根式的有理化

在进行二次根式计算时，最后的结果都要化简成最简二次根式。若被开方数中含有分母或分母中含有根号

时，对这一类二次根式的化简过程叫做分母有理化。

c[a4a4a-4b4ab

4b~4b-4b~b°

c1__4a+4b4a+4b

4a+4b(Va±VK)(Va+VK)(刈_(⑻a-b

（五）二次根式的运算

（1）二次根式的加减运算:

a4rn±b4rn={a±b）4rn[m>0）（类比同类项的加减运算）

（2）二次根式的乘除运算:

①乘法运算：-4b=yl~ab(ci>0,/?>0)o推广：a4rn-by]~n=aby!mn(m>0,n>0)o

②乘法逆运算：4ab=•^\（ab>0）o

③除法运算：斗=B（a»0,b>0）o推广：=-&m>0,n>0,匕彳0）。

-y/bVbbYnb\n

④除法逆运算：^=^R（ab>0,b/0）。

（3）二次根式的混合运算：

先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。

考点一遍过

考点1：二次根式的概念

典例1:（2324上•内江•阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（）

A.V35B.V2C.Va1D.Jj

【答案】B

【分析】根据二次根式的定义（形如VH（a20）的式子叫做二次根式）逐项判断即可得.

【详解】解：A、序是二次根式，则此项不符合题意；

B、迈不是二次根式，则此项符合题意；

C、笳是二次根式，则此项不符合题意；

D、4是二次根式，则此项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟记二次根式的定义是解题关键.

【变式1]（2223下•驻马店•阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（）

V28，1,Vm,Vx2+1,V25

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】D

【分析】根据二次根式的定义进行解答即可.

【详解】解：V28,1,口,Vm,x2+1,侬中一定是二次根式的有何、Vx^Tl,共2个，故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如历（a20）的代数式

叫做二次根式.

【变式2】（2223下•天津,期中）已知为整数，则正整数几的最小值为（）

A.3B.9C.18D.21

【答案】D

【分析】根据开平方的运算即可求解.

【详解】解：回71^=V3x7x9n为整数,

团189?1是某个数的平方，

团当n=21时，V189n=V21x9x21=63,

回正整数n的最小值为21,

故选：D.

【点睛】本题主要考查求一个数的算术平方根，掌握开平方运算的方法是解题的关键.

【变式3］（2223下•江门•期中）如果J二三有意义，则x的取值范围是（）

A.x>3B.x<3C.%>3D.%<3

【答案】C

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件：根据其有意义的条件列出不等式，并解

不等式是解题的关键.

【详解】解:由题意得：

解得：%>3,

故选C.

【变式4］（2324上•郑州,阶段练习）若y=77=^一57+3,则仪的值为（）

A.8B.—8C.6D.9

【答案】A

【分析】根据二次根式有意义的条件，得出x=2,进而得出y=3,将x和y的值代入仪即可求解.

【详解】解：回ST界和7^二北有意义，

0x-2>0,2-%>0,

Six—2,

0y=，2—2—V2—2+3=3,

取〉=23=8,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数.

【变式5］（2324上•新乡•阶段练习）下列各式：①7^0>0）;②3③VI=元（m>0）；@79^4.其

中是二次根式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据二次根式的定义，即可求解.

【详解】解：①7^表0〉0）无意义，不是二次根式；

②3不是二次根式；

（3）71-m（m>0）当m>1时无意义，不是二次根式；

④，9a2接是二次根式;

故选：A.

【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握形如6（a20）的式子是二次根式是解题的关键.

【变式6】（23・24上•青岛•阶段练习）已知：a、6均为实数，下列式子：①代；②VH；③&E；④垂

⑤而其中一定是二次根式的个数有（）个

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据二次根式的定义（根指数是2,被开方数是非负数）判断即可.

【详解】解：二次根式有①③④，共3个，

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如VH（a20）的式子叫二次根式.

【变式7]（2223下•红河・期末）使代数式写有意义的x的取值范围是（）

X-1

A.x>—2B.%H1C.%>—2且%W1D.%>1

【答案】C

【分析】由于代数式既为分式又含二次根式，故》的取值应当同时使分式和二次根式有意义.

【详解】解：若使代数式有意义，则｛:；；：；，即，

解得：x>一2且％丰1,

故选：C.

【点睛】此题同时考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，要注意，二者必须同时成立才能使

代数式有意义.

考点2：二次根式的性质

典例2：（2324上・天水•期中）下列计算正确的是（）

A.（―\/3）=-3B.J（-3）2=-3C.V8=2-V2D.J（-2）4=2

【答案】C

【分析】根据二次根式的性质进行化简，然后判断即可.

2

【详解】解：A.（-V3）=3,原式错误;

B.式-3）2=3,原式错误；

C.V8=2•\/2,正确；

D.定牙=4,原式错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.

【变式1]（2324上•海淀•期中）化简（机―1）R三的结果是（）

A.Vl—mB.—Vl-mC.7m—1D.—yjm—1

【答案】B

【分析】判断血-1的符号，将小一1还原成—J（zn—1尸,再化简即可.

【详解】解：•.•--\>0,

m—1<0,

•••m—1=—y/(m—l)2,

.•.原式=_4人_1)2.卜

(m—I)2

Jm—1

=7-8_1)

=—V1—m.

故选：B.

【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质和有意义的条件是本题解题关键.

【变式2](2223下•昭通,期中)若J(a-2尸=2-a,则a与2的大小关系是()

A.a<2B.a<2C.a>2D.a>2

【答案】B

【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.

【详解】解：队/3-2尸=2-a,

0a—2<0,

ElaW2,

故选：B.

【点睛】此题考查二次根式的性质和化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质.

【变式3](2324上•临汾•阶段练习)已知2<a<3,则化简J(a—兀2+|a-21的结果为()

A.71—2B.2d—7T—2C.TT+2D.2—TT

【答案】A

【分析】根据〃的范围判断出Q-7T与a-2的正负，利用二次根式的性质和绝对值的代数意义化简，计算即

可得到结果.

【详解】解：02<a<3,

0a—7T<0,a—2>0,

团J(a-TT)2+\ct—21

=\d-7Tl+|Cl—21

=一(a—7T)+(a—2)

=­CL+TT+a—2

=7T—2.

故选：A.

【点睛】此题考查了二次根式的性质、整式的加减、绝对值的代数意义等，熟练掌握运算法则是解本题的

关键.

【变式4](2324上•内江•阶段练习)实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，则—|c—a|+J(6—c内的值为

()

abQc

A.-CL-bB.a-bC.a-b+2cD.a+b

【答案】B

【分析】先判断a<b<O<c,可得c-a>0,b-c<0,再化简绝对值和算术平方根，合并同类项即可.

【详解】解：0a<b<0<c,

0c—a>0,b—c<0,

团一|c—a|+J(b—c)2

=­(c—a)—(6—c)

=­c+a—b+c

=a—b.

故选:B.

【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，化简绝对值，整式的加减运算，掌握算术平方根的含义与化简

绝对值是解本题的关键.

【变式5)(23-24上眉山•阶段练习)若化简|1一%|—-8%+16的结果为-3,则x的取值范围是()

A.1<x<4B.x>4C.x<1D.%<1

【答案】D

【分析】根据二次根式的性质得出11—久I—|X—4|=—3,分为三种情况①xSL@%>4,®l<x<4,

再逐个判断即可.

【详解】解：根据题意得：|l-x|-Vx2-8x+16=-3,

|1-x|-J(x-4)2=-3,

|1—x|—|x—4|=—3,

①当xW1时，

|1——1%—4|

=1—%—(4—%)

=1—%—4+%

=-3,此时符合|1一%|-石的结果为一3；

②当%>4时，

|1—%|—1%—4|

=%—1—(%—4)

=x—1—%+4

=3W—3,

③当1<x<4时，

|1——|x—4|

=x—1—(4—x)

=x—1—4+x

=­5+2,xW—3,

即当％<1时，111一划一心2一8%+16的结果为一3,

所以％的取值范围是％<1,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式性质与化简，绝对值等知识点，能进行分类讨论是解此题的关键.

【变式6](23・24上•佛山•阶段练习)实数〃、匕在数轴上的位置如图，则化简+b)2--b)2的结果

为()

ab

­।•।-----1-----1—•—।->

-10123

A.2bB.-2bC.2aD.-2a

【答案】C

【分析】先根据数轴上点的位置关系得出-1<a<0<2<6<3,再根据二次根式的性质即可求出答案.

【详解】解：0-1<a<0<2<b<3,

0a+/?>0,a—6<0,

回J(a+b)2——b)2

=\CL+b\—\CL-b|

=a+b—(b—a)

=a+b—b+a

=2a,

故选：c.

【点睛】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，掌握二次根式性质与化简的应用，根据数轴上

点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系，是解题关键.

【变式7]（22-23下•新乡•期末）若a<0,则化简后-师行的结果为（）

A.2B.-2C.2—2aD.2a—2

【答案】C

【分析】根据二次根式的性质，求一个数的立方根，化简即可求解.

【详解】解：M<0,

HA/U2一，（a-=-a-（a-2）=­u-a+2=2-2a,

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的性质，求一个数的立方根，熟练掌握以上知识是解题的关键.

考点3：二次根式的运算

典例3：（22.23下•孝感•阶段练习）以下各式：①J（-4）X（-9）=口XF，②—2代=J（-2汽=房，

③b强④卜乒等其中正确的有（）

A.。个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【分析】根据二次根式的性质，二次根式有意义的条件判断；

【详解】解：J（-4）x（-9）=义互无意义,①错误；-2«=-迎2%=一7^,②

错误；占=窄成立的前提是a20,6>0,③错误；④]+隗=副亲=?，④正确；

故选：B

【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简；掌握二次根式的性质是解题的关键.

【变式1]（2223下•宁波•阶段练习）已知夕=a,V70=b，则由用a、b表示为（）

a+b-a-bbab

AA.—B.——C.-D.—

1010a10

【答案】D

【分析】根据题意将用变形为偿，由此可得出答案.

7100

【详解】解：由题意得：

7^9=图=生迤=艺

'71001010

故选：D.

【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将小变形为会是解题的关键.

7100

【变式2】（2223下•许昌・期中）计算同+1的结果是（）

A.6V6B.渔C.延D.迪

634

【答案】D

【分析】根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可.

【详解】解：V18^V8x1

_V54

_V16

_3y/6

'4

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算.

【变式3]（2223下•阿克苏•阶段练习）下列计算中正确的是（）.

A-匹=一步B.5盯+焉=）/24

C.V15-=3D.W（-6）2盯+7,6孙=一.

【答案】A

【分析】根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解.

【详解】解：A.—J]+焉+VO.7=—+=-J刊x]=—故该选项正确，符合题意;

B.5孙一熹=5盯x华=25幻划交，故该选项不正确，不符合题意；

,V25x2JyVyy

C.V15-j|-r-V3=J15x|x|=1,故该选项不正确，不符合题意；

D.'（-6）2町+7'6孙=X7篇==奈故该选项不正确，不符合题意；

故选:A.

【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题的关键.

【变式4］（2324上•郑州•阶段练习）下列运算正确的是（）

A.V2+V2=2B.3V5-2V5—1

C.V3XV2——A/6D.V32+V4=8

【答案】C

【分析】根据二次根式的运算法则，逐个进行计算，即可解答.

【详解】解：A、V2+V2=2V2,故A不正确，不符合题意；

B、3V5—2V5=V5,故B不正确，不符合题意；、

C、V3XV2=V6,故C正确，符合题意；

D、V32V4=V8=2V2,故D不正确，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算顺序和运算法则.

【变式5］（2324上•新乡•阶段练习）下列各式计算正确的是（）

A.4A/24-2V2=2V2B.5V3+5V2=lOVS

C.4V3X2V2=8V6D.8V3-2V3=6

【答案】C

【分析】根据二次根式加减乘除法则逐项进行计算即可.

【详解】解：A、4V2-2V2=2,故错误，不符合题意；

B、5旧+5/不能合并，故错误，不符合题意；

C、4A/3x2A/2=8V35T2=8V6,故正确，符合题意；

D、8V3-2V3=（8-2）V3=6V3,故错误，不符合题意；

故选：C

【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，解答关键是熟练掌握相关运算法则.

【变式6】（2324上•新乡•阶段练习）估算（2痂+g）+遮的值应在（）

A.7和8之间B.8和9之间

C.8和10之间D.10和11之间

【答案】C

【分析】先根据二次根式的混合运算进行计算，然后在估算计算的结果即可.

【详解】解：（2V45+V12）V3

=（6V5+2V3）+V3

=2V15+2；

09<15<16,

即3<V15<4,

团6<2V15<8,

团8<2V15+2<10,

故+2的值应在8到10之间.

故选：C.

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

【变式7]（22-23下乌鲁木齐•阶段练习）计算（2g-6Jj+3网）+旧的结果是（）

A.10B.20C.14D.16

【答案】C

【分析】先化简各二次根式，再根据二次根式的加减运算法则计算括号内的，然后计算二次根式的除法即

可.

【详解】解:原式=（4百-28+12百）一百

=14V3+V3

=14,

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：一般情况下先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根

式的乘除运算，然后合并同类二次根式.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根

式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

考点4：最简二次根式

典例4：（2324上•白银•期中）下列二次根式中，为最简二次根式的是（）

A.V8B.VSx1C.V3D.-

【答案】c

【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二

次根式，叫做最简二次根式.根据最简二次根式的概念、二次根式的性质判断即可.

【详解】解:A、迎=将=2a被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；

B、w=%后被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；

C、班是最简二次根式，符合题意；

D、'=?被开方数含分母,不是最简二次根式，不符合题意；

故选：C.

【点睛】

【变式1】（2324上•南阳•阶段练习）在后，-孝,，63石,7^三亦中最简二次根式的个数有（）

275

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】对能化简的二次根式进行化简，再根据最简二次根式的定义进行判断.

【详解】解：■=2a疝迎豆=鲁，］=?，不是最简二次根式，羽石不是二次根式，-',是

最简二次根式，有2个，

故选：B.

【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质和最简二次根式的定义是解题的关键.

【变式2］（2324上•周口•阶段练习）下列各式V3,V18,屈中，是最简二次根式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可.

【详解】解：］，被开方数含有分母不是最简二次根式，B是最简二次根式，V18-3V2,不是最简二次

根式，次4=¥，不是最简二次根式，故只有1个最简二次根式，

故选A.

【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的特征.

【变式3］（2324上•天水•期中）二次根式：①g；②仔；③Jj；④何中，能与百合并的是（）

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

【答案】c

【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再判断即可.

【详解】解：@V12=2V3,能与百合并；

②仔=3,不能与百合并；

③］=彳，不能与旧合并；

④何=3百，能与百合并；

所以能与百合并的是①和④，

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的化简，合并同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.

【变式4］（2223下•镇江•阶段练习）下面与鱼是同类二次根式的是（）

A.V20B.V12C.V4^5D.

【答案】C

【分析】先将各个选项化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可解答.

【详解】解：A、V20=2V5,故A和鱼不是同类二次根式，不符合题意；

B、g=28，故B和夜不是同类二次根式，不符合题意；

c、曲=乎，故C和鱼是同类二次根式，符合题意；

D、半，故D和鱼不是同类二次根式，不符合题意；

733

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，同类二次根式的判断，解题的关键是掌握二次根式的化简方法,

最简二次根式的特征，以及同类二次根式的定义.

【变式5］（2324上•平顶山•阶段练习）若属与最简二次根式衍了能合并成一项，则，的值为（）

A.6.5B.3C.2D.4

【答案】C

【分析】先化简再根据vn与最简二次根式低二I是同类二次根式建立方程，解方程即可得.

【详解】解：g=2V3,

isvn与最简二次根式-1能合并成一项,

回2次与最简二次根式V2t-1是同类二次根式,

2t—1=3,

解得t=2,

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关

键.

【变式6］（2223下•泰安•阶段练习）若Va2"+3b3m+l是最简二次根式,则相，〃的值为（）

A.0,-1B.-1,0C.1,-1D.0,0

【答案】A

【分析】根据最简根式的定义可知八b的指数都为1,据此列式求解即可.

【详解】解：回，洋日+363nl+1是最简二次根式,

02n+3=1,3m+1=1,

0m=0,n=—1,

故选A.

【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能

开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式.

【变式7】（22-23下・烟台•期末）已知最简二次根式师二方与二次根式回可以合并成项，则整数小,

九的值分别为（）

A.m—1,n=0B.m——1,n=0

C.m=1,n=2D.m=—1,n=2

【答案】A

【分析】先化简同，根据最简二次根式的定义可得+解方程组即可求解.

【详解】解：0V48-4V3,最简二次根式m+"+麻二不与二次根式同可以合并成项，

解得｛巾=’.

5=0

故选A.

【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，根据二次根式的性质化简，根据题意列出方程组是解题的关键.

考点5：分母有理化

典例5：（2324上•黄浦•期中）下列式子中，是a五+b后的有理化因式的是（）

A.ay/x—by/yB.ay[x+byfyC.by/x+ayfyD.Vx—

【答案】A

【分析】根据有理化因式的特点：单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平

方差公式的那个多项式.然后根据题意就可以求出其解.

【详解】由题意，得心氏+6A的有理化因式是：aa-b

故选：A.

【点睛】本题考查有理化因式，单项式的有理化因式就是他本身，多项式的有理化因式就是与它配成平方

差公式的那个多项式.

【变式1】(23・24上•青岛•自主招生)化筒：+V1I+V14+V14+V17+V17+V20+V20+V23+V23+V26+

V26+V29+小的结果是（)

2V2

A.1B.C.2V2D.4V2

3

【答案】B

【分析】先将每个分式进行分母有理化，再计算加减即可得出答案.

1V11-V8_V11-V8

【详解】解:

V8+V11(Vll+V8)(Vli-V8)-3

同理可得^1_V32-V29

3'"^^29+^32—3

11111111

V8+711V11+V14V14+V17V17+V20V20+V23V23+V26V26+V29V29+V32

Vil-V8V14-Vil717-V14V20-V17V23-V20V26-V23V29-V26

3*3*3*3*3*3*3

V32-V29

+3

V32-V8

3

4V2-2V2

3

2V2

故选B.

【点睛】本题考查了分母有理化及二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

【变式2】（22,23下•盐城■阶段练习）已知a=2—百，b=—V2,c=五一1,那么a,b,c的大小关

系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c〈a

【答案】A

【分析】首先分别求出a、b、c的倒数，比较出a、b、c的倒数的大小关系，然后根据：几个正实数，倒数

越大这个数越小，判断出Q,b,c的大小关系即可.

【详解】解：a=2—V5,b=V3—V2,c=V2—1,

士煦=2+百,合一=b+&,}=泼=a+1,

2+V3>V3+V2>A/2^+1,

111

a>b>^

a<b<c.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，几个正实

数，倒数越大这个数越小.

【变式3](22・23下・池州•期中)己知xy=3(久>0,y>0),则比的值为()

A.3B.2V3C.V3D.6

【答案】B

【分析】先根据二次根式的性质化简，再合并，然后把=3(x>0,y>0)代入，即可求解.

【详解】解：%-xx+yx^^jxy+^xy-2^/xy,

0xy=3(x>0,y>0),

团原式=2V3.

故选：B

【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算运算是解题的关键.

【变式4](2223下•江津•阶段练习)阅读下列材料，然后回答问题.

在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如心一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

V3+V2

谷=(日髭Im=V3-V2,以上这种化简的步骤叫做分母有理化.请根据上述方法分析下列结论：

V3+V2(V3+V2J(V3—V2J

1V5+V3

①引=一•

2

②若。=表,6=表'则。2+。2=6；

③a=b=且2a21829ab+2b2=2023,则(4机+2)2=99

JVm+1+VmVm+1-Vm+'7

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】①根据题干中给出的信息进行分母有理化，即可判断；

②先化简a、b,然后代入求值即可；

③先化简a、b,然后将a、6代入2a2+i829ab+2b2=2023,求出(4m+2产即可.

【详解】解：①心=就黛=等,故①正确；

75—73(V5-V3)(V5+V3)2

_1_V7_V5_y/7—>/5

0a=V7+V§=(V7+V5)(V7-Vs)=~i~'

r7)-1—.____V_7_+_V_5___—V_7_+_V_5

-V7-V5-(A/7+V5)(A/7-V5)-2'

回a?+/=(年j+(雪j

12-2A/3512+2V35

=----------1----------

44

12-2V5+2V5+12

二4

=6,故②正确；

z^\Vm+l-Vm

(3ja=]----「

y/m+l+y/m

_________2

(Vm+1—

Zm+1+7^)(43+1—

m+1+m—2ylm(jn+1)

m4-1—m

=2m—2dm(jn+1)+1,

Nm+1+yfm

b=-^=^=----

7m+1—ypm

(Vm+1+Vrn)

(Vni+1+y/rn)(y/m+1—V^)

m+1+m+2^Jm(m+1)

m+1—m

=2m+2dm(jn+1)+1,

El2a2+1829ab+2b2=2023,

02(a+b)2+1825ab=2023,

02(2m+1—+1)+2m+1+2+1))+1825(2m+1—21m(jn+1))(2m+1+

2yjm(m+1))=2023,

BP2(4m+2/+1825K2m+l)2-4m(m+1)]=2023,

2(4m+2)2+1825(4m2+4m+1—4m2—4m)=2023,

02(4771+2)2+1825=2023,

0(4m+2)2=99,故③正确；

综上分析可知，正确的个数是3个，故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则,

准确计算.

【变式5](22-23下,江苏•期末)如果a=四+b=那么()

V3—V2

A.a=bB.a>bC.a<bD.ab=1

【答案】A

【分析】先把6分母有理化，再比较.

【详解】解：Efe-r-1r-=V3+V2,a=V2+V3,

回a=b.

故选：A.

【点睛】此题考查分母有理化，正确计算是解题关键.

【变式6](2223上•乐山・期末)若同的小数部分是a,则会的值是()

a+3

.1_V10_V10_14.

A.—B.—C.—D.V10

6103

【答案】B

【分析】先估算同的大小，得出。的值，然后计算代数式的值即可.

【详解】解:3<VIU<4,

团aU的整数部分是3,小数部分是VTU-3,

回1_1__j__Vio

a+3-V10-3+3-V1O-10,

故选:B.

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方.

【变式7］（2223下・鄂州•阶段练习）在化简意意时，甲、乙两位同学的解答如下：

•Vx+Vy（Vx+Vy）（Vx-Vy）（Vx）2-（Vy）2

乙.%-—_（①2_（万）2=（々-⑼（日+万）_

*Vx+VyVx+VyVx+Vy7y.

A.两人解法都对B.甲错乙对

C.甲对乙错D.两人都错

【答案】B

【分析】根据分式的性质进行逐一判断即可.

【详解】解：甲同学在计算时，将分子和分母都乘以（〃-万），而（«-万）是有可能等于o,此时变形后

分式没有意义，

所以甲同学的解法错误；

乙同学的解法正确；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了分式的性质，二次根式的混合计算，平方差公式，熟知分式的性质是解题的关键.

考点6：二次根式的化简求值

典例6:（2324上,松江•阶段练习）先化简,再求值:噜等■（彳鲁--+黑,其中a=$,b=3+遍.

Va+Vfe\vab-by/a+^jb/a-b3+V5

【答案】2痴，4

【分析】先根据二次根式的性质，分式的性质，将代数式化简，将a的分母有理化，再代入原式即可求解.

【详解】解:aVb+bVa(y[b

y/a+y/b\y/ab-ba-b

(Va)2-VF+(Vh)2--Ja/y/b

4a+VF\y/a-VF—VF-VF{4a—VF)(Va+VF)

Va-yjb•+Vb)y/b1VF

____________________________________L________________________________

Va+Vb4b•—Vfa)VH+Vb.(V^—Vb)(V^+Vh)

Va-・11\VF

Vb—Vh+Vfa/(V^-Vb)(V^+Vfe)

VH+VFVH—Vb

=•VF•—VF)(VH+VF)(VS-VF)+(VH-VK)(Va+VK)

•VF•24b—Vb)(V^+VF)

=y/a—Vb)(Va+V6)Vh

=2y[ab,

且噜/K=心包=3-瓜6=3+心

3+V5(3+V5)(3-V5)9-5

回原式=2((3-75)(3+V5)

=2V9-5

=4

【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的化简，平方差公式，熟练掌握二次根式的化简是解题的

关键.

【变式1](2324上•绵阳•开学考试)化简求值：

(1)已知a=«—2,求代数式a3+4口2-a+6的值；

(2)已知久=百一2,y=V3+2,求;+5的值.

【答案】⑴6

(2)-14

【分析】⑴按照有理数一边，无理数一边，整理条件等式，后平方，变形代入所求代数式即可.

⑵求出x+y和孙的值，再通分，根据完全平方公式进行计算，最后代入求出答案即可.

【详解】(1)Ela=V5-2,

Ela+2=V5,

国(a+2)2=(V5)=5,

0a2+4a=1,

团+4a2—a+6

=a(a2+4a)—a+6

=axl—a+6=6.

(2)回％=V3-2,y=V3+2,,

团%+y=V5—2+V3+2=2y/3,xy—(V3—2)(V3+2)=—1,

22

玳+、=%+y

xyxy

(%+y)2—2xy

xy

=(2可-2X(—1)=

(-D

【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式的化简求值，能正确根据分式和二次根式的运算法则进行

计算是解此题的关键.

【变式2](2223下•陇南•阶段练习)先化简，再求值：已知a=方\,b=求炉的值.

V11-V7V11+V7

【答案】8VH

【分析】先将。，6的值分母有理化，再将。2/,+。炉因式分解，最后将“，b的值代入计算即可.

【详解】解："a-"行=(历、=VT1+V7,

V11-V7(“1-7)(“1+”)

b=「、=711-77,

V11+V7(Til-V7)(V11+V7)

a2b+ab2=ab[a+b),

=(VTi+V7)x(Vii-V7)x[(Vii+V7)+(Vil-V7)],

=(11-7)x2vH,

=8Vil.

【点睛】本题考查了分母有理化，因式分解，熟练并准确进行分母有理化是解题的关键.

【变式3](2223下•临沂•期末)计算：

⑴己知刀=a一1,y=V2+1,求'+'的值；

xy

(2)求(g+V2-2)(73-V2+2)的值.

【答案】⑴6

(2)472-3

【分析】(1)根据已知可得x+y=2a,专7=1,然后将工转化为在H出，再代入计算即可;

JJxyxy

(2)利用平方差公式和完全平方公式将原式展开，再合并即可.

【详解】(1)解：Ex=V2-1,y=V2+1,

0%+y=V2—1+y/2+1=2yf2,

7

x-y=(V2—1)(V2+1)=(V2)—l2=1,

求+,=y2+%2

xyxy

y2+久2+2Xy—2xy

xy

(x+y)2—2xy

xy

2

_(2夜)-2x1

=i

=8-2

=6；

(2)(V3+V2-2)(V3-V2+2)

=[V3+(V2-2)][V3-(V2-2)]

=(⑹2-(夜-2『

=3-(2-4a+4)

=3-2+4V2-4

=4V2-3.

【点睛】本题考查二次根式的化简求值，二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式，平方差

公式.解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则.

【变式4](2223下•龙岩•期中)在解决问题"已知a=高求2a2—4a+1的值”时，小明是这样分析与解答

的：

a=J­=(广昆：—T=V2+1,

V2-1(V2-1)(V2+1)

•••a—1=V2.

(a—l)2=2,a2—2a+1=2.

•••a2—2a=1.

22

•••2a—4a=2,2a—4a+1=3.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

⑴化简:

(2)若a=」尸，求3a2-18a-1的值.

3+2y/2

【答案】⑴3+夕

(2)-4

【分析】(1)分子、分母都乘以3+V7,化简得结果；

(2)a表示数的分子、分母都乘以3-2/，化简后代入代数式3a2-18a-1里，计算得结果.

2(3+77)

【详解】()原式=

1(3-V7)(3+V7)

_2(3+77)

32-7

=3+V7；

(2)3a2—18a—1

=3a2-18a+27-28

=3(a2-6a+9)-28

=3(a—3)2-28.

_3-2V2

•a-(3+2V2)(3-2V2)

_3-2V2

9-8

=3-2V2.

.♦•原式=3(3-2V2-3)2-28

=3X(-2V2)2-28

=3X8-28

=—4.

【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握分母有理化和二次根式的运算法则是解决本题的关键.

【变式5】(2223下,衡阳•期中)先化简，再求值：已知x=B+l,y=V3-1.求代数式?++?的

值.

【答案】6

【分析】根据已知得出x+y=2g,将代数式因式分解即可求解.

【详解】解：=V3+1,y=V3—1

耿+y=V3+1+V3—1=2V3

+xy+y=久％+y)2=lx(2^/3)2=1X12=6

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，因式分解的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键.

______2

【变式61(22-23下•十堰・期中)先化简，再求值:(V2x+7y)(V2x--(V2x-后),其中％=4,y=3.

【答案】2yj2xy—2y,4A/6—6

【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代值计算即可.

【详解】原式=2x-y-(2x-2yf2xy+y)

=2^2xy-2y；

国当x=4,y=3时，原式=4前一6.

【点睛】本题考查二次根式的化简求值.熟练掌握平方差公式和完全平方公式，正确的进行计算，是解题

的关键.

【变式71(22-23下,海淀•期中)先化简，再求值：-9，式b+(Va-\Ab)(Va+VK),其中：a=3,6=2.

【答案】a—案1.

【分析】利用二次根式的性质和平方差公式化简，然后代入求值即可.

【详解】解:y/a3b+(Va—VF)(Va+Vfe)

苧-2,a痼+(⑷2-(⑷2

yfabVab

—-------；——Va—b

bb

=a—b,