中考数学难点突破与训练：最值问题中的阿氏圆模型（含答案及解析）

专题21最值问题中的阿氏圆模型

【模型展示】

“PA+kPB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

1、当k值为1时，即为“PA+PB”之和最短问题，用“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴

对称问题来处理。

2、当k取不为1的正数时，再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须

转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类：

点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B,则所有满足PA=k-PB（k丹）的点的轨

迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

如图1所示，圆O的半径为r,点A、B都在圆O外，P为圆。上一动点，已知r=kOB,连

接PA、PB,则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？

A

/Z

特点

…t°B\C]

图1图2

如图2,在线段OB上截取OC使4BPO与小PCO相似，即k-PB=PCo故本题中“PA+lcPB”

的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点

共线时，“PA+PC”值最小,如图3

A

图3

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在RdABC中，ZACB=90°,CB=1,AC=9,以C为圆心、3为半径作。C,P为0c上一动点,

连接AP、BP,贝1AP+BP的最小值为（）

2

A

C.4+Vu)D.2A/13

二、填空题

2.如图，在AABC中，ZB=90°,AB=CB=2,以点8为圆心作圆B与AC相切，点尸为圆2上任一动点,

贝IPA+^PC的最小值是.

2

3.如图，已知正方A8CD的边长为6,圆8的半径为3,点尸是圆8上的一个动点，则尸PC的最大

值为.

4.如图，边长为4的正方形，内切圆记为。。，尸是。。上一动点，则0B4+PB的最小值为

3

DC

5.【新知探究】新定义：平面内两定点A,B,所有满足而=%（%为定值）的P点形成的图形是圆，我们

把这种圆称之为“阿氏圆”，

【问题解决】如图，在AABC中，CB=4,AB=2AC,贝必ABC面积的最大值为.

6.如图，在RtA/lBC中，A8=AC=4,点E,尸分别是AB,AC的中点，点尸是扇形AEF的印上任意一

点，连接BP,CP,则3BP+CP的最小值是.

7.如图，已知正方形ABCD的边长为4,OB的半径为2,点P是。B上的一个动点，则PD-gpC的最

大值为•

8.如图，在AABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点。连接

AD.BD、CD,则2AD+3BD的最小值是.

4

'D

三、解答题

9.如图1,在RTAA3C中，NACB=90。，CB=4,CA=6,圆C的半径为2,点尸为圆上一动点，连接AP,

BP,求:

©AP+-BP,

2

@2AP+BP,

@^AP+BP,

④AP+33P的最小值.

10.如图，RtLABC,ZACB=90°,AC=BC=2,以C为顶点的正方形COEF（C、D、E、尸四个顶点按逆

时针方向排列）可以绕点C自由转动，且8=0,连接ARBD

（1）求证：△BDC会AAFC

（2）当正方形CDEF有顶点在线段上时，直接写出走的值；

2

（3）直接写出正方形。EF旋转过程中，克的最小值.

2

11.如图，点A、8在。O上，S.OA=OB=6,且OALO8,点C是。4的中点，点。在上，且。。=4,

动点P在。。上.求2PC+PZ）的最小值.

5

12.婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方

程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四

边形称为“婆氏四边形”.

（1）若平行四边形ABC。是“婆氏四边形"，则四边形A8CD是.（填序号）

①矩形；②菱形；③正方形

（2）如图1,Rt^ABC^,ZBAC=90°,以A8为弦的。。交AC于。，交BC于E,连接QE、AE,BD,

3

AB=6,sinC=-,若四边形ABED是“婆氏四边形"，求的长.

（3）如图2,四边形ABC。为。。的内接四边形，连接AC,8£）,OA,OB,OC,。。，已知N8OC+/AOO=180。.

①求证：四边形ABC。是“婆氏四边形”；

②当AD+BC=4时，求。。半径的最小值.

图1图2

13.阅读以下材料，并按要求完成相应任务.阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga）,古希腊人（公元前262~190

年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波

罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题.一动点尸与两定点A,8的距离之比等于定比加：〃，则点P的轨迹

是以定比根:“（加："/1）内分和外分线段A3的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称

“阿氏圆

6

PAYH

如图1,点A,8为两定点，点P为动点，满足—，点/在线段上，点N在A3的延长线上且

PBn

A//2AAZzlm1m)

—-^1,则点尸的运动轨迹是以MN为直径的圆•

MBNBn\n)

下面是“阿氏圆''的证明过程(部分)：

过点B悍BDIIAP交PM的延长线于点D.

AZA=ZABD,ZAPM=ZBDM.

・•・AAPM^ABDM.

.PAMA

••法―嬴•

..MAmPA

又'嬴=T砺’

.PAPA

••茄一访•

/.BD=BP.

:.ZBPD=ZBDP.

：.ZAPD=ZBPD.

NAPA

如图2,在图1(隐去MD,BD)的基础上过点B作BE//PN交"于点E,可知一=——,...

NBPE

任务：

(1)判断/W是否平分/5PC,并说明理由；

(2)请根据上面的部分证明及任务(1)中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分；

(3)应用：如图3,在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),8(1,0),PA=2PB,则点P所在圆的圆心坐标为

14.如图1,抛物线y=o?+法-4与x轴交于A3两点，与y轴交于点C,其中点A的坐标为(-1,0),抛物

3

线的对称轴是直线1=

7

图1图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16,若存在，求出点

P的坐标若不存在，请说明理由；

(3)如图2,过点8作3产，3c交抛物线的对称轴于点尸，以点C为圆心，2为半径作。C,点。为。C上的

一个动点，求正BQ+/。的最小值.

4

15.如图1所示，。。的半径为r,点、A、B都在。。外，P为。。上的动点，已知r=kOB.连接PA.

PB,则当“出+左/8”的值最小时，P点的位置如何确定？

8

16.问题提出：如图①，在RtZkABC中，ZC=900,CB=4,CA=6,OC的半径为2,P为圆上一动点,

连接AP、BP,求+的最小值.

（1）尝试解决:为了解决这个问题，下面给出一种解题思路:如图①，连接CP,在CB上取一点D,使CD=1,

CDCP1PDCD1

贝又/PCD=/BCP,所以公PCDS^BCP.所以

CPCB2BPCP2

所以=所以4尸+42尸=AP+PD.

22

请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+；3P的最小值为；

（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求+的最小值；

（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，NCOD=90。，0C=6,OA=3,03=5,P是CD上一点,

求2F4+尸3的最小值.

17.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A,C两点，抛物线y=x?+bx+c

（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC

面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

（3）如图2,若P点是半径为2的。B上一动点，连接PC、PA,当点P运动到某一位置时，PC+；PA的

值最小，请求出这个最小值，并说明理由.

18.如图，抛物线>=以2+法+£：与X轴交于4百，0）,8两点（点8在点A的左侧），与y轴交于点C,

9

且O3=3OA=®）C,/Q4c的平分线AD交>轴于点。，过点A且垂直于AD的直线/交y轴于点E,点P

是x轴下方抛物线上的一个动点，过点尸作尸F_Lx轴，垂足为尸，交直线AD于点

（1）求抛物线的解析式;

（2）设点尸的横坐标为加，当"/="?时，求加的值;

（3）当直线PP为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，g8C为半径作。点。为。X上的一个动点，求

+强的最小值.

19.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

pA

已知平面上两点AB,则所有符合或=网左>0且左*1）的点尸会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家

阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.

阿氏圆基本解法：构造三角形相似.

【问题】如图1,在平面直角坐标中，在无轴，》轴上分别有点。（〃2,0）,。（。,〃），点尸是平面内一动点，且

OP

OP=r,设布=%，求尸C+板的最小值.

阿鼓罗尼斯

图1

阿氏圆的关键解题步骤:

10

第一步：如图1,在。。上取点使得QW:OP=OP:OD=0

第二步：证明上PD=PM；第三步：连接CM,此时CM即为所求的最小值.

下面是该题的解答过程（部分）：

解：在。。上取点使得0/0:0尸=OP:OD=3

又QAPOD=AMOP,:NPOM:NDOP.

任务：

⑴将以上解答过程补充完整.

（2）如图2,在RSABC中，NAC8=90。,AC=4,8C=3,。为△ABC内一动点，满足8=2,利用⑴中的结

2

论，请直接写出入。+§8。的最小值.

20.数学概念

如图①，AE是△A8C的角平分线，。是直线BC上一点，如果点。满足D4=DE,那么点。叫做aABC的

边BC上的“阿氏点”.

概念理解

（1）在图②中，利用直尺和圆规作△ABC的边8C上的“阿氏点”，用字母。表示（不写作法，保留作图痕

迹）；

性质探究

（2）在（1）中，求证：△DABs^DCA；

11

知识运用

(3)如图③，四边形A8CD内接于。0,对角线AC、3。相交于点E,以。为圆心，ZM为半径的圆恰好经

过点C,且与8。交于点

①求证：点。是AABE的边BE上的“阿氏点”；

②若BE=|,DE=2,AE=3,则。D和。。的半径长分别为,.

12

专题21最值问题中的阿氏圆模型

【模型展示】

-“PA+k・P亩，型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

3、当k值为1时，即为“PA+PB”之和最短问题，用“饮马问题”模型来处理，即可

以转化为轴对称问题来处理。

4、当k取不为1的正数时，再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因

此必须

转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类：

点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不

归”问题；

点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B,则所有满足PA=k-PB（k，l）

的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏

圆”。

如图1所示，圆O的半径为r,点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知

r=kOB,连接PA、PB,贝可当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？

如图2,在线段OB上截取OC使ABPO与APCO相似，即k・PB=PC。故本题中

“PA+lcPB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中A与C为定点，P为动

点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3

13

5、一般将含有k的线段两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP;

6、计算出线段OP与OB及OP与OA的线段比，找到线段比为k的情况

7、连接AC,与圆O的交点即为点P

8、将图2中4BPO单独提取出，如图4,△PCO^ABPO（母子型相似模型）

—

图2国$

（构造出APCOsaBPO,就可以得到OC/OP=OP/OB,进而推出OP2=OB-OC,

即“半径的平方=原有线段x构造线段”，确定C的位置后，连接AC,求出AC的

长度“阿氏圆”即可破解）

P（动点）

5（定点）C0（圆心）

构造的点

结论“PA+kPB”型的最值

14

似三角形的性质证明“尸=!以，可得;AP+BP=PM+P更BM,利用勾股定理求出5M即可

解决问题.

答案详解：如图，在CA上截取CM,使得CM=1,连接尸M,PC,BM.

・：PC=3,CM=1,CA=9,

:.PC2=CM*CA,

.PCCM

，，~CA~~CP，

,：ZPCM=ZACP,

.PM_PC1

，e-PA-AC-3r

：.PM=-PA,

3

LAP+BP=PM+PB,

3

•；PM+PB^BM,

在Rt/kBCM中，VZBCM=90°,CM=1,BC=7,

：.BM=df春=5。

1厂

：.-AP+BP>5y/2

・•・IAP+BP的最小值为572.

故选：B.

二、填空题

2.如图，在AABC中，NB=90。,AB=CB=2,以点B为圆心作圆2与AC相切，点P为圆

B上任一动点，则PA+显PC的最小值是.

2

15

【答案】x/5

【分析】作8HLAC于H,取BC的中点。，连接P。，如图，根据切线的性质得为0B

的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到38=；AC=0,接着证明△2尸。6420尸得到

PD=^2LPC,所以B4+1PC=B4+P。，而B4+P。沙£）（当且仅当A、P、。共线时取等号），

22

从而计算出4。得到B4+Ipc的最小值.

2

【详解】解：作①/LAC于X,取2C的中点。，连接尸£）,如图，

；AC为切线，

.•.28为。B的半径，

VZABC=90°,AB=CB=2,

:・AC=6BA=2近,

:.BH=；AC=6'

：.BP=42,

..PByjlBD1_A/2

'BC-VBP~2

而/PBD=/CBP,

:.ABPDsABCP,

.PD_PB41

：.PD=^PC,

2

：.PA+^PC=PA+PD,

2

而B4+PZ2A。（当且仅当A、P、。共线时取等号），

而在+俨=#,,

...以+PD的最小值为君,

16

即出+争C的最小值为折

故答案为：卮

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.解决问题的关键是利用

相似比确定线段也考查了等腰直角三角形的性质.

2

3.如图，已知正方的边长为6,圆8的半径为3,点尸是圆B上的一个动点，则

2

的最大值为.

【答案】y

3

【分析】如图，连接BP,在3c上取一点使得创/二万，进而证明尸

则在点P运动的任意时刻，均有PM=$C,从而将问题转化为求PDPM的最大值.连接

PD,在中，PD-PMCDM,故当£＞、M、尸共线时，为最大值，勾股定

理即可求得£）加.

3

【详解】如图，连接3P,在2c上取一点使得3河=二，

2

17

AD

BMBP

'^P~~BC

・・•NPBM=ZCBP

・•・ABPMs^BCP

MPBM

,^C~~BP~2

:.MP=-PC

2

:.PD--PC=PD-MD

2

在APDA/中，PD-PM<DM,

当。、M.尸共线时，为最大值,

四边形ABCD是正方形

.•."=90。

在Rt^CDM中，DM=>JDC2+MC2=卜〜电=y

故答案为：彳.

【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造〈PC是解题的

18

关键.

4.如图，边长为4的正方形，内切圆记为。0,尸是。。上一动点,则0B4+P2的最小

值为.

【答案】2百

【分析】y[2PA+PB=y/2(.PA+^PB),利用相似三角形构造

PB即可解答.

【详解】解：设。。半径为r,

0P=r=；BC=2,OB=0r=20,

取的中点/,连接P/,

：.0I=IB=母,

-6OB_2y/2_r-

OI'而，

°P器,NO是公共角,

01

△BOPs^poi,

PI_OI_42

砺一丽一号‘

也

PI=PB,

2

AP+立

PB=AP+PI,

2

当4、P、/在一条直线上时，AP+lpB最小,

2

作IELAB于E,

19

,/ZABO=45°,

：.IE=BE=—BI=1,

2

：.AE=AB-BE=3,

・・・A/="+肝=加,

・・・AP+]PB最小值=A/=而，

■:近PA+PB=O（以+2尸8）,

・•・^PA+PB的最小值是及4=0x=20.

故答案是2石.

【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形.

pA

5.【新知探究】新定义：平面内两定点A,B,所有满足：石=翅％为定值）的尸点形成的

CD

图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，

【问题解决】如图，在△ABC中，CB=4,AB^2AC,则△ABC面积的最大值为.

.此生.16

【答案】y

【分析】以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作NCAP=NABC,AP与BC的延长线交

于点P,证出AAPCS^BPA,列出比例式可得BP=2AP,CP=yAP,从而求出AP、BP和

CP,即可求出点A的运动轨迹，最后找出距离BC最远的A点的位置即可求出结论.

【详解】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作NCAP=NABC,AP与BC的延长

线交于点P,

；/APC=NBPA,AB=2AC

.,.△APC^>ABPA,

.APCPAC_1

"BP-AP-AB-2

；.BP=2AP,CP=；AP

VBP-CP=BC=4

/.2AP-|AP=4

o

解得：AP=|

20

164

ABP=—,CP=-,即点P为定点

33

Q

・,•点A的轨迹为以点P为圆心，］为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交

圆P于点Ai,此时Ai到BC的距离最大，即AABC的面积最大

SAA1BC二;BCAiP=；x4x-=—

/233

即△ABC面积的最大值为T

故答案为：—.

【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌

握相似三角形的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键.

6.如图，在RtAABC中，AB=AC=4,点E,尸分别是AB,AC的中点，点P是扇形AEF

的砂上任意一点，连接BP,CP,则^BP+C尸的最小值是.

【答案】717.

PT

【分析】在A3上取一点T,使得AT=1,连接尸T,B4,CT.证明4TsHP,推出百

A4PB

Apiii

=——=-，推出尸T=丁尸5,推出刀尸3+。尸=。尸+尸7,根据尸。+尸史7。，求出CT即可解

AB222

决问题.

【详解】解：在上取一点T,使得AT=1,连接PT,PA,CT.

21

9：PA=2,AT=l,A3=4,

：.PA2=4=AT*AB,

.PA__AB

••AT—71，

9：APAT=APAB,

:・△PATSRAP,

.PT_AP_i

*'PB-AB-

：.PT=^PB,

：.^PB+CP=CP+PT,

'：PC+PT>TC,

在RQACT中，

；NCAT=90。，AT=1,AC=4,

■1•cr=VAT2+AC2=717,

；.3PB+PS历,

•••IPB+PC的最小值为V17.

故答案为J17.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三

角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键.

7.如图，己知正方形ABCD的边长为4,OB的半径为2,点P是。B上的一个动点，则

PD-|PC的最大值为.

【答案】5

22

【详解】分析：由PD-gPC=PD-PGSDG,当点P在DG的延长线上时，PD-^PC的值最

大，最大值为DG=5.

详解：在BC上取一点G,使得BG=1,如图,

..PB2BC4

・=—=2,=—=2,

BG1PB2

.PBBC

••—9

BGPB

VZPBG=ZPBC,

.•.△PBG^ACBP,

.PGBG

.•.PG=yPC,

当点P在DG的延长线上时，PD-：PC的值最大，最大值为DG=J42+32=5.

故答案为5

点睛：本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最

短解决，题目比较难，属于中考压轴题.

8.如图，在△ABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心，6为半径的圆上有一

个动点D连接A。、BD.CD,则2AD+38O的最小值是.

【答案】12A/10

2

【分析】如下图，在CA上取一点E,使得CE=4,先证ADCES/^ACD,将］转化为

23

2

DE,从而求得+的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值.

【详解】如下图，在CA上取一点E,使得CE=4

VAC=9,CD=6,CE=4

.CDAC

^~CE~~CD

NECD二NACD

.'.△DCE^AACD

.EDDC_6

**AC-9

：.ED=-AD

3

在△EDB中，ED+DB>EB

・・・ED+DB最小为EB,即ED+DB=EB

-AD+DB=EB

3

在RtAECB中，EB=7122+42=4回

D__

：.-AD+DB=4y/10

3

/.2AD+3DB=12710

故答案为：12函.

【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出ADCEs^ACD.

三、解答题

9.如图1,在中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,圆C的半径为2,点尸为圆上

一动点，连接AP,BP,求：

24

@AP+-BP,

2

©2AP+BP,

@^AP+BP,

④AP+3取的最小值.

【答案】①历；②2历；③之暑；④2用.

【分析】①在CB上取点。，使CD=1,连接CP、DP、AZX根据作图结合题意易证

ADCP~APCB,即可得出尸O从而推出=A尸+尸。，说明当4、尸、D三

22

点共线时，AP+PD最小，最小值即为AD长.最后在中，利用勾股定理求出

的长即可；

②由2AP+3P=2(AP+ggP),即可求出结果；

2

③在CA上取点E,使CK=g,连接CP、EP、BE.根据作图结合题意易证AECP〜APC4,

即可得出即=3AP,从而推出gAP+BP=EP+8P,说明当3、尸、E三点共线时，EP+BP最

小，最小值即为班长.最后在RfZXBCE中，利用勾股定理求出8E的长即可；

④由A尸+33P=3(gAP+BP),即可求出结果.

【详解】解：①如图，在CB上取点。，使CD=1,连接CP、DP,AD.

.CDCP1

"CP~CB~2'

又：NDCP=NPCB,

：.&DCP〜&PCB,

BPPD=-B

BP22J

AP+-BP=AP+PD,

2

25

...当A、尸、。三点共线时，AP+PD最小，最小值即为AZ）长.

:在R/AACD中，AD=y/AC2+CD2=762+12=737-

AAP+g^P的最小值为折；

②2AP+BP=2(AP+|BP),

2Ap+3P的最小值为2x^=2质；

2

③如图，在CA上取点E,使CE=§,连接CP、EP、BE.

'：CE=-,CP=2,CA=6,

3

.CECP1

"~CP~~CA~3'

又：NECP=NPCA,

:.AECP〜APCA,

gpEP=-AP,

AP33

-AP+BP=EP+BP,

3

...当2、P、E三点共线时，EP+BP最小，最小值即为BE长.

,在中，BE=y/BC2+CE2=J42+(1)2=.

•••^AP+BP的最小值为乌；

④AP+3BP=3(|AP+BP),

，AP+3BP的最小值为3x3巨=2取.

3

【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理.正确的作出辅助线,

并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键.

10.如图，Rt^ABC,ZACB=90°,AC=BC=2,以C为顶点的正方形C£>EF（C、D、E、

尸四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且8=0,连接ARBD

26

(1)求证：RBDgXAFC

(2)当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出8。十1的值；

2

(3)直接写出正方形COE尸旋转过程中，3。+走4。的最小值.

2

【答案】⑴见解析；(2)0+1或应+正；(3)75

【分析】(1)利用SAS,即可证明△FCA等△DC&

(2)分两种情况当点。，E在边上时和当点E,P在边上时，讨论即可求解；

万

(3)取AC的中点连接DM,BM.贝！］CAf=l,可证得△DCMs△&(；£),可得。加=注

2

AD,从而得到当2,D,M共线时，瓦)+1A£)的值最小，即可求解.

2

【详解】(1)证明：•••四边形。EF是正方形，

：.CF=CD,ZDCF=ZACB=90°,

ZACF=ZDCB,

'：AC=CB,

:.4FCA沿4DCB(SAS)；

(2)解：①如图2中，当点。，E在AB边上时，

图2

\'AC=BC=2,NACB=90。，

AB=AC=2A/2,

sin45°

\'CD±AB,

.•.AO=BO==ACxsin45°=0，

27

**•BD+AD==yf2+xy/2=^/2+1；

22

②如图3中，当点E,尸在边A3上时.

J?/-

BD—CF=BCxsin45°=2x----=6,

2

AD=Y/BD2+AB2=M，

:・BD+^AD=也+2X回=0+非,

22

综上所述，%>+争。的值及+1或员底

(3)如图4中.取AC的中点M.连接。M,BM.贝ljCM=1,

.CZ^^CM-CA,

,CD_CM

9~CA~~CD9

：ZDCM=ZACD,

・/\DCMs/\ACD,

DMCDy/2

*^4D-AC-V

.DM=^-ADf

2

28

昱AD=BD+DM,

2

.,.当2,D,M共线时，BO+YIAZ）的值最小，

2

最小值BM=yjCB2+CM2=75.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性

质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

11.如图，点A、B在。。上，且。4=。8=6,且点C是OA的中点，点。在

上，且0D=4,动点尸在。。上.求2PC+P。的最小值.

【答案】4a

【分析】连接。尸，在射线。4上截取AE=6,连接尸E.由题意易证AOPC〜AOEP,即得出

PE=2PC,从而得出2PC+PD=PE+PD,由此可知当尸、D、E三点共线时，PE+PD最

小，最小值为。E的长，最后在处△OED中利用勾股定理求出OE的长即可.

【详解】如图，连接0P,在射线OA上截取AE=6,连接尸E.

：C是。4的中点,

29

ZCOP=NPOE

...在△OPC和△OEP中，-OCOP,

,OP-OE-2

qpc〜4EP,

---=—,即PE=2PC，

PE2

/.2PC+PD=PE+PD,.

当尸、D、E三点共线时，PE+PD最小,最小值即为。E的长，如图,

在中，DE=4OD?+="2+12?=4而，

A2PC+PD的最小值为4加.

【点睛】本题考查同圆半径相等、三角形相似的判定和性质和勾股定理等知识.正确作出辅

助线并理解当P、。、E三点共线时，PE+PD最小，最小值为。E的长是解答本题的关键.

12.婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算

规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类

对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形

(1)若平行四边形48CO是“婆氏四边形"，则四边形A8C。是.(填序号)

①矩形；②菱形；③正方形

(2)如图1,R/AABC中，ZBAC=90°,以AB为弦的。。交AC于。，交BC于E,连接

3

DE、AE,BD,AB=6,sinC=-,若四边形ABED是“婆氏四边形”，求。E的长.

(3)如图2,四边形A8C。为。。的内接四边形，连接AC,BD,OA,OB,OC,OD,已

知N8OC+NAOO=180°.

①求证：四边形A8CD是“婆氏四边形”；

②当AD+BC=4时，求。。半径的最小值.

30

图1

【答案】（1）③；（2）3；（3）①见解析；②0

【分析】⑴根本圆内接四边形对角互补和平行四边形对角相等可得/ABC=N">C=90。，

从而可证明四边形ABC。为矩形，再根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可判断；

（2）根据垂径定理和圆周角定理可得入。二0区NDEB=NDEC=90。,^AD=DE=m,则

DC=8-m,EC=10-6=4,在DEC中解直角三角形即可；

（3）①根据圆周角定理即可得出ZDC4+ZBZX?=90。，从'而可得NCED=90。,继而证明结论；

②作。M,ON分别垂直与AD,BC,证明AOAM/△20N,设ON=AM=n,则AD=2”,

BC=4-2n,BN=2-n,在RdBON中，根据勾股定理和二次函数的性质即可得出半径的

最小值.

【详解】解：（1）如下图，

•••平行四边形ABC。为0O的内接四边形，

ZABC=ZADC,ZABC+ZAZ)C=180°,

ZABC=ZADC=90°,

平行四边形ABC。为矩形，

:四边形48CD是“婆氏四边形”，

：.AC±BD,

...矩形ABCO为正方形，

故答案为：③；

3

(2)VZBAC=90°,AB=6,sinC=-,

AR_________

/.BC=--=10,AC=J3c2—AB?=&,BD为直径,

sinC

・•・ZBED=ZDEC=90°,

•・,四边形ABED是“婆氏四边形”,

31

：.AE±BD,

：.AD=DE,AB=BE=6,

设AO=OE=m,则OC=8M,EC=10-6=4,

在&△EDC中，根据勾股定理，

OE2+EC2=OC2,即根2+4?=(8一根了，解得相=3,即。E=3；

(3)①设AC,8。相交于点E如图所示

VZDCA=-ZAOD,ZBDC=-ZBOC,ZBOC+ZAOD=180°,

22

ZDCA+ZBDC=1(ZAOD+NBOC)=1x180°=90°,

ZCED=90°,

即AC±BD,

又：四边形ABC。是。。的内接四边形，

四边形ABCD是“婆氏四边形”；

②如下图，作OM,ON分别垂直与AD,BC,

：.AM=-AD,BN=LBC,/AMO=NBNO=90。，

22

ZAOM+ZOAM=90°,

'：OA=OB=OC=OD,

：.?AOM-1AOD,1BON-?BOC,

22

'：ZBOC+ZAOD=1SO°,

：.\j\OM+3ON=90?,

WfAM;BON,

在^OAM和^BON中

ZAMO=ZBNO=90°

IZOAM=ZBON

OA=OB

:AOAM沿ABON(A4S),

ON=AM=-AD,

2

,：AD+BC=4

设ON=AM="，贝l]AD=2"，BC=4-2n,BN=2-n,

32

在RtXBON中,

OB=y/ON2+BN2=而+(2-〃>=^2(n-I)2+2,

当”=1时，取得最小值也，即。。半径的最小值为亚.

图2

【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、正方形的判定

定理、二次函数的性质等.(1)中能正确证明出四边形的一个角是90。是解题关键；(2)中

能正确表示出放AEDC的三个边是解题关键；(3)中①正确利用圆周角定理是解题关键；

②正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键.

13.阅读以下材料，并按要求完成相应任务.阿波罗尼斯(ApolloniusofPerga),古希腊人(公

元前262~190年)，数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论

了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题.一动点尸与两定点A,

B的距离之比等于定比m：n,则点P的轨迹是以定比m:n(m:#1)内分和外分线段AB的两

个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆

tn()

延长线上且-=—=——wl,则点尸的运动轨迹是以MN为直径的圆.

MBNBnyn)

下面是“阿氏圆''的证明过程(部分)：

过点B作BD//AP交PM的延长线于点D.

：.ZA=ZABD,ZAPM=ZBDM.

・•・^APM^ABDM.

.PAMA