中考数学一轮复习压轴题：反比例函数的综合问题（3题型+解题模板+技巧讲义）解析版

压轴题解题模板02

反比例函数的综合问题

目录

题型一反比例函数与一次函数交点问题-

题型二反比例函数与一次函数图像面积问题

题型三反比例函数与几何图形结合

反比例函数的综合

题型三反比例函数与几何图形结合题型一反比例函数与一次函数交点问题

题型二反比例函数与一次函数图像面积问题

题型解读：

反比例函数的综合问题在中考中常常以解答题和填

下图为二次函数图象性质与几何问题中各题

空题的形式出现，解答题考查居多.此类题型多是反比例型的考查热度.

函数与一次函数及几何图形的综合考查，一般要用到解

不等式、图形面积、特殊三角形、特殊四边形、相似三

角形等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化

归等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①求反比例

函数的解析式；②求交点坐标、图形面积；③利用函数口系列150%50%50%

图象比较一次函数与反比例函数值的大小；④反比例函

数与几何图形综合.下图为反比例函数综合问题中各题

型的考查热度.

题型一反比例函数与一次函数交点问题

解题模板:

利用待定系数法求解析式

利用函数图像或者联立解析式确定交点坐标

结合交点坐标和函数图像比较函数值大小

技巧精讲：利用函数图象确定不等式的解集:

不等式图示作图方法结论

由图可知，在②④部分，直线位于双曲线的上方，故

.k

ax+b>—过两函数图象的交点

X

不等式a++6■的解集为xB<x<0或％〉孙

分别作4轴的垂线，连同yX

A.轴把平面分成①②③④四由图可知，在①③部分，直线位于双曲线的下方，故

.k

ax+b<—部分

X不等式©+6〈正的解集为x<xB^0<x<xA

7X

【例1】（2023•四川攀枝花•统考中考真题）如图，点A（〃,6）和43,2）是一次函数必=丘+3的图象与反比例

⑴求一次函数与反比例函数的表达式;

（2）当％为何值时，%>%?

【答案】（1）Ji=-2%+8；y=—

2x

（2）lvx<3

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可;

（2）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可.

【详解】(1)解：将点3(3,2)代入％=生,

X

:.m=6,

6

x

将A(〃，6)代入y=—,

2x

..〃=1,

・•.A(l,6),

将A(l,6)和3(3,2)代入%=少+),

k+b=6k=—2

解得:

3k+b=2b=8

%=—2%+8；

（2）解：根据图象可得，当月＞%时，x的取值范围为：1〈尤＜3.

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析

式.求尤的取值范围，从函数图象的角度看，是确定直线在双曲线上方（或下方）部分所有的点的横坐标所

构成的集合.

k

【变式1-1］（2023•湖南常德・统考中考真题）如图所示，一次函数%=-%+加与反比例函数为=—相交于点

A和点3(3,—1).

⑴求m的值和反比例函数解析式;

⑵当必＞为时，求x的取值范围.

3

【答案】（1）切=2,y=-一

x

（2）兄＜一1或0＜工＜3

【分析】（1）根据一次函数M=T+相的图象与反比例函数%=£的图象交于A（3,-l）、B两点可得加的值,

进而可求反比例函数的表达式；

（2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可.

【详解】（1）将点8（3,—1）代入得：-3+加=-1

解得：m=2

将8（3,—1）代入%=5得：左=3x（-1）=—3

•y」

••>2-

（2）由%=%得：-尤+2=口，解得再=-1,%=3

X

所以A3的坐标分别为A（—1,3）,Z?（3,T）

由图形可得：当X<-1或0<X<3时，口〉女

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的

性质.

【变式「2】（2023•山东滨州•统考中考真题）如图，直线y=履+优匕6为常数）与双曲线丫=生（加为常数）

X

相交于A（2,a）,3（-1,2）两点.

（1）求直线y=的解析式；

（2）在双曲线>=，上任取两点“（可,乂）和NG，%），若玉<%，试确定力和的大小关系，并写出判断过

程；

（3）请直接写出关于x的不等式依+6>生的解集.

【答案】(i)y=-x+i

(2)当再＜。或。＜再时，％＜为；当否＜0＜%时，

(3)》＜-1或0＜%＜2

7

【分析】(1)将点8代入反比例函数y=%,求得冽=-2,将点A代入y=得出A(2,-l),进而待定系

X

数法求解析式即可求解；

(2)根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，进而分类

讨论即可求解；

(3)根据函数图象即可求解.

【详解】(1)解：将点3(-1,2)代入反比例函数》=

m=-2,

•y」

••y—

x

将点A(2㈤代入y=—.

・・・A(2,-l),

将A(2,—l),5(—1,2)代入尸质+工得

{2k+b=-l

\-k+b=2

y——x+1

(2),：y=--,k＜0,

X

反比例函数在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大,

.•.当占＜%＜。或。＜占＜超时，月＜丫2，

当不＜。＜/时，根据图象可得%＞为，

综上所述，当占＜0或。＜玉＜当时，%＜当；当尤1＜0＜尤2时，%＞当，

（3）根据图象可知，4（2,-1）,B（-l,2）,当丘+b＞］时，x＜T或0（尤＜2.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函

数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键.

题型二反比例函数与一次函数图像面积问题

解题模板:

利用待定系数法求解析式

利用函数图像或者联立解析式确定交点坐标

根据k的几何意义或者面积公式表示面积

【例2】（2023•山东东营•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数丁=6+6（。＜0）与反比例函

数＞=?左#0）交于A（一加3”）,8（4,-3）两点，与〉轴交于点0连接Q4,OB.

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）求的面积；

k

⑶请根据图象直接写出不等式一＜QX+b的解集.

x

123

【答案］⑴y=—,y=--x+3；

x2

（2）9；

⑶X<-2或0vx<4.

【分析】（1）把点3代入反比例函数y=与左片0）,即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，

X

即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数〉=依+人（。＜0）即可求得心6的值，从而

得到一次函数的解析式；

（2）,AQB的面积是_AOC和.出OC的面积之和，利用面积公式求解即可；

（3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x兆范围，直接得出结论.

【详解】（1）7点8（4,-3）在反比例函数y=K的图象上，

X

解得：k=-12

12

・••反比例函数的表达式为y=-上.

X

12

VA（-m,3m）在反比例函数y=-工的图象上,

.a12

..3m=------,

—m

解得叫=2,叫=-2（舍去）.

•••点A的坐标为（-2,6）.

:点A,3在一次函数y=ax+b的图象上,

-2a+b=6

把点4（—2,6）,3（4,-3）分别代入,得

4〃+。=—3'

__3

解得,2,

b=3

3

・•・一次函数的表达式为y=--X+3；

（2）,・,点C为直线A3与y轴的交点，

3

・••把x=0代入函数y=—万1+3,得y=3

・,•点。的坐标为（0,3）

・•・OC=3,

•Q—q_i_c

••°AOB~」AOC丁QBOC

=^-OC-\xA\+^-OC-\xB\

=—x3x2+—x3x4

22

=9.

k

(3)由图象可得，不等式一<办+6的解集是x<—2或0<x<4.

x

Iy

【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函

数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键.

【变式2-1](2023•湖北黄冈・统考中考真题)如图，一次函数％=自+6伏*0)与函数为％='(x>0)的图

(1)求这两个函数的解析式;

(2)根据图象，直接写出满足％-为>。时尤的取值范围;

(3)点尸在线段A3上，过点P作x轴的垂线，垂足为交函数出的图象于点Q，若△尸。。面积为3,求

点尸的坐标.

4

［答案］⑴%=—2X+9,y=-(x>0)

2x

(2)g<x<4

(3)点尸的坐标为(2,5)或(I，4)

【分析】(1)将A(4,l)代入%='(x＞0)可求反比例函数解析式，进而求出点8坐标，再将A(4,l)和点8

X

坐标代入％=履+匕伏*。)即可求出一次函数解析式；

(2)直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；

(3)设点尸的横坐标为P,代入一次函数解析式求出纵坐标，将x=P代入反比例函数求出点。的纵坐标,

进而用含p的代数式表示出PQ，再根据△P。。面积为3列方程求解即可.

【详解】⑴解：将加,1)代入%可得l=g

解得加=4，

4

・••反比例函数解析式为%=—(]＞0)；

呜,a4

在%=-(x>0)图象上,

x

.-a=T=8

2

将A(4,l),呜,8)代入必=息+6,得:

4左+。=1

1

-k+b=8

12

解得

一次函数解析式为X=-2X+9；

(2)解：尤＜4,理由如下：

由⑴可知4(4,1),唱

当%-%＞。时，％＞为，

此时直线AB在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为g＜尤＜4,

即满足X-%＞。时，x的取值范围为无＜4；

（3）解：设点P的横坐标为P,

将x=p代入％=-2x+9,可得％=-2p+9,

•••尸（p,-2p+9）.

44

将X=p代入y=—（%〉0）,可得力=一,

XP

••。［用

4

PQ=-2p+9——,

P

S•琴=*-2夕+9-210=3,

整理得2P2-9p+10=0,

解得Pi=2,p2=1,

当夕=2时，-2p+9=_2x2+9=5,

当p=|时，-2/?+9=-2x|+9=4,

二点尸的坐标为（2,5）或1I，4；

【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系

中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想.

4

【变式2-2］（2023・四川乐山・统考中考真题）如图，一次函数丁=丘+》的图象与反比例函数y=—的图象交

于点A,4）,与入轴交于点5,与y轴交于点。（0,3）.

(1)求m的值和一次函数的表达式；

4

(2)已知尸为反比例函数y=—图象上的一点，S^OBSAOAC，求点P的坐标.

x

【答案】⑴)=x+3

⑵P(2,2)或(-2,-2)

【分析】(1)先把点A坐标代入反比例函数解析式求出，”的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C的

坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可;

(2)先求出08=3,0c=3,过点A作轴于点H,过点P作POL无轴于点。，如图所示，根据

40鳍=2543(;可得^。3/。=2*3。。4〃，求出PD=2,则点尸的纵坐标为2或-2,由此即可得到答

案.

【详解】(1)解：点A(私4)在反比例函数y=g的图象上,

.,4=1

m

..tn=1,

・•・A（L4）,

又,，点A。,4),C(0,3)都在一次函数y=fcr+。的图象上,

4=k+b

3=b

k=l

解得

b=3

・•・一次函数的解析式为y=3.

(2)解：对于y=x+3,当y=o时，x=-3,

：.B（-3,0）,

/.OB=3,

VC（0,3）,

:.OC=3

过点A作A//，y轴于点过点P作即，无轴于点。，如图所示.

:.-OBPD=2x-OCAH.

22

—x3xPD=2x—x3xl,

22

解得PD=2.

，点尸的纵坐标为2或-2.

4

将y=2代入＞=—得x=2,

X

4

将丫=_2代入y=_得x=_2,

x

点尸(2,2)或(-2,—2).

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键.

【变式2-3］（2023・四川巴中・统考中考真题）如图，正比例函数丫=依（入0）与反比例函数）=々，"0）的图

X

象交于A、B两点，A的横坐标为T,B的纵坐标为-6.

⑴求反比例函数的表达式.

(2)观察图象，直接写出不等式也<%的解集.

X

(3)将直线A3向上平移〃个单位，交双曲线于C、。两点，交坐标轴于点E、F,连接。。、BD,若，OBD

的面积为20,求直线8的表达式.

【答案】⑴、=上24

x

(2)T<x<0或x>4

3

⑶丫=-5%+10

【分析】(1)先求解42的坐标，再利用待定系数法求解函数解析式即可；

(2)由反比例函数的图象在一次函数的图象的上方确定不等式依〈竺的解集即可；

X

(3)方法一、连接BE,作BGLy轴，先求解左=-13,可得直线48的表达式为y=3，由CD〃AB,

,3

可得ZOBD=SAOBE=20,求解3G=4,可得E(0,10),由C£)〃AB,可得3B=%3=一万即可；

3?nC20、

方法二、连接作，x轴，先求解左=-，结合8(4,-6)，可得。/=],可得/[三,0J,由CD〃AB,

再设直线CO的表达式为y=-1%+〃，再利用待定系数法求解即可.

【详解】(1)解：直线丫=就与双曲线交于A、B两点，

；.A、B关于原点对称，

；乙=-4yB=-6,

.-.A(-4,6),3(4,-6),

4一4,6)在双曲线'='("-0)上，

/.m=-24,

反比例函数的表达式为＞=-一；

尤

(2)：4(-4,6)2(4,-6),

"7

二・不等式fcv＜—的解集为：7＜元＜0或兀＞4；

x

(3)方法一：连接破，作轴于G,

3

・•・直线AB的表达式为j=

CD//AB，

,,S40BD=S丛OBE=20,

B(4,-6),

:.BG=4,

.■.SAOBE=-OEBG=20,

:.OE=10f

/.E(0,10),

CD//AB,

■■kAB=kCD=-^

3

•・・直线CD的表达式为y=-|x+10.

方法二：

连接8死作轴于

・小V

3

直线AB的表达式为y=--x,

CD//AB,

-S^OBD=S^oBF=20，

B(4,-6),

.\-OF-6=20,

2

:.OF=—,

3

CD//AB

3

・・・设直线CD的表达式为y=--x+bf

尸在直线。。上,

-，型+6=。,

23

Z?=10,

3

*,•直线CD的表达式为y=——x+10.

【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形

面积，利用数形结合的方法确定不等式的解集，清晰的解题思路与数形结合的运用都是解本题的关键.

【变式2-4］（2023・四川・统考中考真题）如图，已知一次函数，=丘+6的图象与反比例函数＞=生（根＞0）的

x

图象交于4（3,4）,B两点，与x轴交于点C,将直线A3沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象

交于点。，E.

（1）求k,m的值及。点坐标；

（2）连接AD,CD,求一ACD的面积.

【答案】（1）攵=一（；相=12；C（9,0）

（2）SAACD=9

【分析】（1）把点A（3,4）代入＞="+6和y=:（加＞0）求出鼠根的值即可；把＞=0代入的解析式，求

出点C的坐标即可；

（2）延长ZM交x轴于点尸，先求出A3平移后的关系式，再求出点。的坐标，然后求出位（解析式，得出

点F的坐标，根据SACD=SCDF-SCAF求出结果即可.

【详解】（1）解：把点4（3,4）代入?=点+6和〉=；（〃2＞。）得：

3左+6=4,4=-,

3

2

解得：k=——,根=12,

212

・•・AB的解析式为j=--x+6,反比例函数解析式为y=—,

3x

29

把y=o代入y=_§x+6得：o=--x+6,

解得：x=9,

•••点C的坐标为（9,0）；

（2）解：延长ZM交x轴于点后如图所示:

将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为:

22

y=—x+6+3——x+9，

33

2

y=——x+9

3

联立

12

>二一

x

3

%)=一x=12

解得：,2,2

%=8%=1

・••点。14

|,8；4(3,4)代入得:

设直线的＞的解析式为，=左科+4，把。

3

-k+b,=8

<2i}1

3匕+4=4

,8

葭=—

解得：,,3,

4=12

Q

/.直线AD的解析式为y=--x+12,

QO

把y=。代入y=——九+12得0=——%+12,

33

9

解得：x=］，

•••点/的坐标为［别，

99

CF=9—=—,

22

•C_C_C

..0ACD一°.CDFU.CAF

「X2X8」X2X4

2222

=9.

【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解

题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标.

题型三反比例函数与几何图形结合

解题模板:

利用待定系数法求解析式

分析几何图形的特点并得到线段的数量关系

借助函数和线段的数量关系建立等式并计算

【例3】（2023•四川泸州•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOv中，直线/：y=履+2与x,y轴分别

相交于点A,B,与反比例函数y=—（无＞0）的图象相交于点C,己知。4=1,点C的横坐标为2.

x

（1）求人，优的值；

（2）平行于y轴的动直线与/和反比例函数的图象分别交于点。，E,若以8,D,E,。为顶点的四边形为平

行四边形，求点。的坐标.

【答案】（1）%=2,m=12；

⑵点〃的坐标为（而2指+2）或（近-1,2所

【分析】（1）求得A（T，0）,利用待定系数法即可求得直线的式，再求得C（2,6）,据此即可求解;

(2)设点。(a,2a+2),则点《a,?),利用平行四边形的性质得到2a+2-?=2,解方程即可求解.

【详解】(1)解：=

A(-1,O),

•••直线y=履+2经过点A(-l,0),

0=—k+2,解得，k=2,

六直线的解析式为y=2x+2,

:点C的横坐标为2,

/.y=2x2+2=6,

C(2,6),

•••反比例函数y='(x>0)的图象经过点C,

X

m=2x6=12；

12

(2)解：由(1)得反比例函数的解析式为y=上，

X

令％=0,则y=2x0+2=2,

.••点3(0,2),

设点£>(a,2a+2),则点

•..以8,D,E,。为顶点的四边形为平行四边形，

DE=OB=2,

cc121212

2〃+2-----=2,整理得2〃+2——=2或2〃+2——=-2,

aaa

由2。+2-----=2得2/+2a—12=2a,

a

整理得"=6,

解得a=±A/6，

丁a>0,

••〃=\/6，

:.点、D(遍,2娓+2)；

由2。+2-----=—2得2a之+2〃—12=—2a,

a

整理得/+2a-6=0，

解得Q=士币-\，

*.*a>0,

••a—y/y—1,

.•.点£>（近-1,2近）；

综上，点Z）的坐标为（而2n+2）或（近-1,2b）.

【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方

程的思想解决问题是解本题的关键.

9

【变式3-1］（2023・四川广安•统考中考真题）如图，一次函数>=履+:（左为常数，k40）的图象与反比

4

例函数y=/（"为常数，相片。）的图象在第一象限交于点A（L〃），与x轴交于点以-3,0）.

（1）求一次函数和反比例函数的解析式.

（2）点尸在x轴上，是以至为腰的等腰三角形，请直接写出点尸的坐标.

393

【答案】（1）一次函数的解析式为y=+反比例函数的解析式为

44x

（2）（-8,0）或（2,0）或（5,0）

【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案;

（2）首先利用勾股定理求出得A3的长，再分两种情形讨论即可.

【详解】（1）解：把点3（-3,0）代入一次函数丫=依+；得，

9

—3Z+—=0,

4

3

解得：k=[,

4

39

故一次函数的解析式为y=J尤+：,

44

3o39

把点代入了=1尤+],^n=-+-=3,

把点A(l,3)代入y=竺，得〃?=3,

X

故反比例函数的解析式为>=士；

X

(2)解：B(-3,0),A(l,3),AB=F+[l-(-3)7=5,

当AB=PB=5时，P(-8,0)或(2,0),

当=时，点P,3关于直线尤=1对称，

・••尸(5,0),

综上所述：点P的坐标为(-8,0)或(2,0)或(5,0).

【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质等知识,

运用分类思想是解题的关键.

【变式3-2](2023・四川眉山•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线'="+》与x轴交于点

A(4,0),与y轴交于点3(0,2),与反比例函数y=?在第四象限内的图象交于点C(6,a).

(1)求反比例函数的表达式：

⑵当近+b>'时，直接写出X的取值范围;

X

(3)在双曲线y="上是否存在点P,使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标;

X

若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y="

X

(2)%<-2或0<x<6

(3)(3—2)或(1,一6)

【分析】(1)将4(4,0),3(0,2)代入、=丘+6,求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的

坐标代入反比例函数即可；

(2)将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；

(3)过点A作交y轴于点勾股定理得出点M的坐标，在求出直线AP的表达式，与反比例函

数联立方程组即可.

4k+b=0

【详解】(1)解：把4(4,0),8(°，2)代入>=而+。中得:

b=2

b=2

・••直线'=入+匕的解析式为y=—；x+2,

在>=一工1+2中，当％=6时，丫=一：%+2=-1,

22

c(6,-l),

把C(6,-l)代入>=%中得：_1=?,

X0

m=—6,

反比例函数的表达式y=-£

X

(2)解:联立,

)二一―

X

・•・一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为(6,-1)、(-2,3),

・・・由函数图象可知，当x<-2或0<x<6时，一次函数图象在反比例函数图象上方,

m

・••当Ax+b>一时，x<-2或0<芯<6；

x

(3)解：如图所示，设直线AP交y轴于点"(0，〃。,

•.•4(4,0),3(0,2),

Z.BM2=|2-m|2=m2-4m+4,AB2=22+42=20,AM2=42+m2=??z2+16.

是以点A为直角顶点的直角三角形,

ZBAM=90°,

BM2=BA2+AM2，

m2-4m+4=20+m2+16,

解得m=-8,

A/(O,-8),

同理可得直线AM的解析式为y=2X-8,

y=2x-8

X=1

联立6,解得或

y=—6'

y二—一y=-2

X

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解

析式是解题的关键.

【变式3-3](2023・四川成都・统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=r+5与y轴交于

k

点A,与反比例函数>=—的图象的一个交点为8(。,4),过点8作的垂线/.

x

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式;

(2)若点C在直线/上，且aABC的面积为5,求点C的坐标;

(3)尸是直线/上一点，连接E4,以尸为位似中心画△立>£,使它与RR位似，相似比为根.若点，E恰

好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及机的值.

4

【答案】(1)点A的坐标为(。，5),反比例函数的表达式为丁=—；

x

⑵点C的坐标为(6,9)或(7,-1)

(3)点P的坐标为m的值为3

【分析】(1)利用直线y=-尤+5解析式可的点C的坐标，将点8m,4)代入y=T+5可得。的值，再将点B代

入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；

(2)设直线/于y轴交于点由点B的坐标和直线/是A3的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法

求直线/的解析式'=尤+3,C点坐标为f+3),根据S△树%|=5(/,左分别代表点8与

点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；

(3)位似图形的对应点与位似中心三点共线可知点8的对应点也在直线/上，不妨设为点E,则点A的对

应点是点。，直线/与双曲线的解析式联立方程组得到E(T,-1),由△HIBSAPDE得到四〃DE,继而

得到直线AB与直线DE的解析式中的一次项系数相等，设直线QE的解析式是：y=~x+b2,将E(-4,-l)代

入〉=-尤+4求得。£的解析式是：尸-尤-5,再将直线DE与双曲线的解析式联立求得。(-LT),再用待

定系数法求出AD的解析式是y=9x+5,利用直线AD的解析式与直线I的解析式联立求得点P的坐标为

I再用两点间的距离公式得到8尸=〈3,也从而求得机=冬=3.

I44J44BP

【详解】(1)解：令％=0,则y=-%+5=5

・••点A的坐标为(0,5),

将点4)代入y=—x+5得：4=—a+5

解得：a=l

：.5(1,4)

kk

将点3(1,4)代入y=*得：4=:

x1

解得：k=4

4

・••反比例函数的表达式为y=—；

x

(2)解：设直线/于y轴交于点直线V=r+5与1轴得交点为N,

cyi

"N\"

令y=-x+5=0解得：x=5

：.N(5,0),

・・・OA=ON=5f

又丁ZAON=90°,

：.NOAN=45。

・・・A(0,5),5(1,4)

/.A8=J(1-0)2+(4-5『=友

又：直线/是AB的垂线即/ABM=90。,ZOAN=45°f

:,AB=BM=立,AM=y/AB2+BM2二2

M(0,3)

设直线/的解析式是：y=kix+bl,

勺+4=4

将点M(0,3),点B(l,4)代入y=小+优得:

4=3

直线/的解析式是：，=》+3,

设点C的坐标是“，t+3)

•••S^c=AM^xBxc\=须2卜4=5,("c分别代表点2与点C的横坐标)

解得：/=-4或6,

当f=T时，t+3=—1；

当『=6时，t+3=9,

.•.点C的坐标为(6,9)或(-4,-1)

(3):位似图形的对应点与位似中心三点共线，

.••点8的对应点也在直线/上，不妨设为点E,则点A的对应点是点。，

点E是直线/与双曲线y=2的另一个交点，

x

'_4

将直线/与双曲线的解析式联立得：r=x

y=x+3

・・・E（T-1）

画出图形如下:

又；APABs八PDE

：.NPAB=NPDE

/.AB//DE

，直线AB与直线DE的解析式中的一次项系数相等,

设直线DE的解析式是：y=~x+b2

将点矶T,一1)代入户一无+打得：-1=一(-4)+%

解得：b2=-5

直线上的解析式是：产-x-5

4

丁点。也在双曲线y=—上，

X

4

・•・点。是直线DE与双曲线丁二一的另一个交点，

x

'_4

将直线小与双曲线的解析式联立得：

j=f_5

xy==-Tl或r\x=--4

解得:

•••0(-1,-4)

设直线4。的解析式是：y=k3x+b3

—左3+4=—4

将点A(0,5),。(-1,-4)代入y=/尤+4得:

4=5

k[=9

解得:

4=5

・・・直线AT>的解析式是：y=9%+5,

y=9尤+5

又将直线AD的解析式与直线I的解析式联立得:

y=x+3

1

x=——

4

解得：一

【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综

合一几何问题，三角形的面积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性

质是解题的关键.

阂国迎厩］

一、解答题

4

1.（2023・四川甘孜•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=与反比例函数

y=A（Z>0）的图象相交于A（3,机），8两点.

X

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若点C为无轴正半轴上一点，且满足AC1BC,求点C的坐标.

【答案】⑴y=上12;

X

⑵(5,0).

【分析】(1)先求出A点坐标，再代入反比例函数解析式即可.

(2)根据反比例函数的对称性可求出AB的长，再由AC/BC并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半，可求得OC的长，进而解决问题.

【详解】(1)解：:点4(3,〃。在一次函数y=的图象上，

4

m=—x3=4

3

二点A的坐标为(3,4).

•••反比例函数>=勺％>0)的图象经过点4(3,4),

k=3x4=12.

12

・••反比例函数的解析式为y.

X

(2)解：过A点作y轴的垂线，垂足为点”，

,?A（3,4）,

贝UAH=3,OH=4.

由勾股定理，得OA=，4H2+W=5,

由图象的对称性，可知OB=Q4=5.

又：AC1BC,

：.OC=OA=5.

...C点的坐标为（5,0）.

【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，熟知反比例函数和一次函数的对称性是解题的关键.

4

2.（2023•山东枣庄•统考中考真题）如图，一次函数丁=丘+优左。0）的图象与反比例函数y=—的图象交于

⑴求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；

4

⑵观察图象，直接写出不等式依+万<一的解集；

x

（3）设直线AB与无轴交于点C,若尸（0,/为y轴上的一动点，连接AP,CP,当的面积为|■时，求点

P的坐标.

【答案】（Dy=；x-1,图见解析

（2）%<-2或0<xv4

⑶尸危—]

【分析】（1）先根据反比例函数的解析式，求出A,2的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可,

连接AB,画出一次函数的图象即可;

（2）图象法求出不等式的解集即可;

（3）分点尸在y轴的正半轴和负半轴，两种情况进行讨论求解.

4

【详解】（1）解：・・,一次函数丁=丘+仇左。0）的图象与反比例函数y=—的图象交于A（私1）,5（-2,〃）两点,

x

•*.m=-In=4,

m=4,n=—2,

：.44,1),2(-2,-2),

4左+b=lk=-

-2k+b=-2'解得：’2,

b=-\

：.y=-x-l

29

图象如图所示:

X

（3）解：当点尸在y轴正半轴上时:

•：y=-x-i,

当x=0时，y=—i,当y=。时，x=2,

：.C（2,0）,D（0,-l）,

PD=a+1,

••$APC=SAP0-S,PCD=5*（。+1）、4一5'（"+1）><2=5,

3

解得：a=；;

当点尸在y轴负半轴上时:

PD=|-l-a|

•**SAPC=SAPD~SPCD=gx|一l_《x4_gx卜1_。卜2=|"

解得：;7或〃3（不合题意，舍去）；

22

综上：心,I］或小’-。

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用.正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论

的思想进行求解，是解题的关键.

3.（2023・四川遂宁