中考数学一轮复习强化训练：平移与轴对称（分层训练）解析版

专题01平移与轴对称(分层训练)

\J

分层训练

【基础训练】

一、单选题

1.(2022•海南省直辖县级单位・统考二模)在平面直角坐标系中，点P(-2,3)关于v轴对称的点的坐标是()

A.(-2,-3)B.(2,3)C.(-2,3)D.(2,-3)

【答案】B

【分析】此题考查了关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，熟记特点是解题的关键.

【详解】点P(-2,3)关于y轴对称的点的坐标是(2,3)

故选：B.

2.(2023上•吉林松原•八年级校联考期中)如图，直线加是多边形ABCDE的对称轴，若NB=110。，贝此£)等

【答案】A

【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称图形对应角相等，即可得到答案.

【详解】解：由轴对称的性质可知，

•••4B=110°,

4D=110°,

故选：A.

3.(2023•浙江台州•绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学统考二模)平面直角坐标系中，把点/(—3,2)向右平移2

个单位，所得点的坐标是()

A.(—3,0)B.(—3,4)C.(—5,2)D.(—1,2)

【答案】D

【分析】根据点坐标平移的特点：左减右加，上加下减，进行求解即可.

【详解】解：点4-3,2)向右平移2个单位，所得点的坐标是(-3+2,2)即(-1,2),

故选D.

【点睛】本题主要考查了点坐标平移，解题的关键在于能够熟练掌握点坐标平移的特点.

4.(2023・辽宁沈阳•统考一模)已知：在直角坐标系中，点4,8的坐标分别是(1,0),(0,3),将线段

N2平移，平移后点/的对应点的坐标是(2,-1),那么点2的对应点皮的坐标是()

A.(2,1)B.(2,3)C.(2,2)D.(1,2)

【答案】D

【分析】根据点A、A，的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B，的坐标即可.

【详解】0A(1,0)的对应点A，的坐标为(2,-1),

团平移规律为横坐标加1,纵坐标减1,

团点B(0,3)的对应点为B\

配，的坐标为(1,2).

故选D.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移

加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键.

5.(2023・四川泸州•统考中考真题)在平面直角坐标系中，将点4-3,-2)向右平移5个单位长度得到点B,

则点B关于y轴对称点M的坐标为()

A.(2,2)B.(-2,2)C.(-2,-2)D.(2,-2)

【答案】C

【分析】根据点的平移规律左减右加可得点B的坐标，然后再根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标

互为相反数，纵坐标不变可得答案.

【详解】解：点4(-3,-2)向右平移5个单位长度得到点5(2,-2),

点8关于y轴对称点的坐标为(-2,-2),

故选：C.

【点睛】本题主要考查了点的平移和关于y轴的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律.

6.(2022•山东济南•统考二模)如图，将"笑脸"图标向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，则

点尸的对应点P'坐标是()

C.(-2,3)D.(-8,3)

【答案】C

【分析】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可.

【详解】解：团将点P(-5,4)向右平移3个单位长度，

再向下平移1个单位长度得到对应点P',

团-5+3=—2,4—1=3,

回点P'的坐标为：(一2,3),

故选：C.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化一平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上

移加，下移减.

7.(2023上•广西百色,八年级统考期中)如图，三角形/8C的顶点坐标分别是/(4,3),B(3,1),C(1,

2)若将三角形4BC向左移动3个单位,向下移动2个单位得三角形则4，Bi，G对应的坐标分

B.(7,1)、(6,-1)>(4,3)

C.(1,1)、(0,-1)、(-2,0)D.(1,5)、(0,3)、(-2,4)

【答案】C

【分析】根据三个顶点的纵坐标都减去2,横坐标都减去3,据此作图可得结论.

【详解】解：如图，AAiBiCi即为所求,

则公,G对应的坐标分别为（1,1）、（0,-1）、（-2,0）,

故选：C.

【点睛】本题主要考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质，并据此得出

变换后的对应点.

8.（2023・广东潮州•统考模拟预测）在平面直角坐标系中，线段4B平移得到线段CD,点4（-1,4）的对应点

C（l,2）,则点B（2,1）的对应点。的坐标为（）

A.（4,-1）B.（0,3）C.（4,1）D.（-4,1）

【答案】A

【分析】根据点4、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可.

【详解】解：回点2（-1,4）的对应点C的坐标为（1,2）,

团平移规律为向右平移2个单位，向下平移2个单位，

05（2,1）的对应点。的坐标为（4,-1）.

故选：A.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上

移加，下移减.

9.（2023上•江苏无锡•八年级无锡市第一女子中学校考阶段练习）如图在四边形4BEC中，NBEC和NH4C都

是直角，且现将/BEC沿8C翻折，点E的对应点为？，BE'与4c边相交于D点，恰好BE'是N4BC的

角平分线，若CE=1,贝UBD的长为（）

A.1.5B.1.6C.2D.3

【答案】C

［分析］延长和BA相交于点F,根据翻折的性质可以证明勖ECffilBE户,可得CF=2,再证明MC4幽DA4,

可得瓦上C9;2.

【详解】解：如图，延长C£和8/相交于点R

由翻折可知：

鲂EO的90°,CE，=CE=\,

勖？是西5C的角平分线，

^CBE^^FBE\

WE,=BE,,

^BE,C^BE,F(ASA),

^EfF=CEf=l,

0CF=2,

MFC4+M=90°,0D5/+诉90°,

mFCA=WBA,

团的。二血48=90。，AB=AC,

^FCA^DBA(ASA),

^BD=CF=2.

故选：c.

【点睛】此题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质.熟练掌握全等三角形的判定与性质和折叠的

性质是解决问题的关键.

10.(2023•河南许昌・统考一模)如图,在平面直角坐标系中，菱形40BC的边。B在久轴上，乙40B=60°,5(4,0),

点。，E分别是边。B,上的点.将AOED沿DE折叠，使点。的对应点F落在边AC上，若力则点尸

的坐标为()

C.(3,4)D.(2V3,3)

【答案】A

【分析】过4作4H108于乩作4G1EF于G,根据四边形20BC是菱形，B(4,0),可得OH=｝。4=2,AH=

V30W=2V3,2(2,2V3),又=故EF=由将△OED沿DE折叠，使点。的对应点F落在边AC

上，有。E=EF=V^4E,从而V5aE+aE=4,AE=2V3-2,即知4F=2百一2,可得尸(28，2V3).

【详解】解：过人作4H_L。8于H,作4G1E尸于G,如图：

•.•四边形40BC是菱形，S(4,0),

OA=0B=4,

•・•乙AOB=60°,

・•・^OAH=30°,Z-OAC=120°,

•••OH=-OA=2,AH=V30H=2A

2

.♦•4(2,2V3),

AE=AF,

・•・昨"FE=3。。，EG^EF,

EG日口6EG

cos3on0o°=—,即——=—

AE2AE

•••EG的E,

1厂厂W

・•・-EF=——AE,

22

•••EF=WAE,

•.・将△OED沿DE折叠，使点。的对应点F落在边AC上,

•­.OE=EF=取AE,

OE+AE=OA=4,

•••V34E+AE=4,

解得2E=2百一2,

•••AF=2V3-2,

2V3),4F||x轴,

团点F的横坐标为2+2V3-2=2V3,

•••F(2V3,2V3),

故选：A.

【点睛】本题考查菱形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用含30。角的直角三角形三

边的关系.

11.（2023・四川绵阳•统考二模）如图，有一张矩形纸条ABC。，AB=5cm,BC=2cm，点M,N分别在边4B,

CDh,CN=1cm.现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B,C分别落在点夕，C，上.在点M从点力运动到点B的

过程中，若边M9与边CD交于点E,则点E相应运动的路径长为（）

-3

A.6片—I)cmB.|cmC.VScmD.-cm

2

【答案】A

【分析】由折叠的性质可得BM=夕”，然后可得9N=B，M,在R/0C6W中利用勾股定理求解。夕；当点

M与点/重合时，可得ME=NE,设,NE=x,在RMADE中，利用勾股定理求解DE,当夕M1AB时，DE'的

值最大；当点M运动到点B'落在CD时，点E的运动轨迹ETE'T"，运动路径EE，+E，夕求出即可.

【详解】解：如图1中，当点夕在DC上时，点£定为点夕，

图1

回四边形4BCD是矩形，

SAB//CD,

0Z1=z3,

由翻折的性质可知：N1=N2,BM=MB',

0Z2=Z3,

SMB'=NB',

EINB'=-JB'C'2+NC'2=V22+l2=V5(cm),

0FM=NB'=V5(cm).

SDB'=DN-B'N=4-V5,

如图2中，当点M与2重合时，点E定为点E,

B’

图2

团四边形/BCD是矩形，

0AB//CD,

团乙1=Z3,

由翻折的性质可知：Zl=Z2,BM=MB',

团匕2=Z3,

^\ME=NE,

设ZE=EN=xcm,DE=DN-NE=4-x,

在RtZMDE中，则有AD2+DE2=AE2,即/=2Z+(4-x)2,

解得久=I，

CQ

WE=4—=-(cm),

22

如图3中，当点例运动到MB'148时，此时点£位置定为夕，0E'的值最大，。£'=5-1一2=2(cm),

图3

如图4中，当点M运动到点B'落在CD时,

图4

回点E的运动轨迹EE'-Bl运动路径=EE，+E，夕=2-|+2-（4一遍）=（岔一§（cm）.

故选：A.

【点睛】本题主要考查翻折的性质、矩形的性质及勾股定理，等腰三角形判定与性质，熟练掌握翻折的性

质、矩形的性质及勾股定理，等腰三角形判定与性质是解题的关键.

12.（2023上•陕西汉中,九年级统考期中）如图，将等边AABC沿4c边上的高线BD平移到AEFG,阴影部分

()

D.8cm2

【答案】B

【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的性质，根据平行的性质可知SA"C=SAEFG，力CIIEG进而可

证得△FMN八FEG八B4C,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论.

【详解】解：回等边三角形沿4C边上的高线8。平移到△EFG,

团SAABC=S&EFG，AC\\EG,

0AFMN—AFEGBAC,

回SMMN_(毁)2

S^ABC\BD)

^FB1

团--=一，

FD3

团--=一3,

BD4

EIAFMN的面积记为S,SAABC=16,

喉=（犷

13.（2023•山西大同,校联考二模）如图，△ABC是等边二角形，4D是BC边上的iWi,点E是4C边的中点，点

尸是力。上的一个动点，当PC+PE最小时，NPCD的度数是（）

C.45°D.30°

【答案】D

【分析】根据点8与点C关于直线2D对称，连接BE,交4。于点N,当点尸与点N重合时，PC+PE取得

最小值，根据等边三角形的性质，此时点N是三个内角角平分线的交点，故PC平分N8C4计算即可.

【详解】连接BE,交4D于点N,连接BP,如图,

回A48C是等边三角形，4。是边上的高，点E是4c边的中点,

回点8与点C关于直线4D对称，BE1AC,

0PB=PC,

0PC+PE=PB+PE>BE,

当点尸与点N重合时，PC+PE取得最小值，

此时点N是三个内角角平分线的交点，

故PC平分NBO1,

故"CD=30°,

故选D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称

求线段和的最小值是解题的关键.

14.（2022下•山东聊城•七年级统考期中）如图，将一张长方形纸片/2CD沿跖折叠，点43分别落在点

4、B'处,若41=65°,则乙4'ED的度数是（）

A.65°B.60°C.50°D.57.5°

【答案】C

【分析】由折叠可得,EI1=EU'E尸=65。,进而得到的£4=130。,再根据平角的定义，即可得到财，££）=180。-130。=50。.

【详解】解：由折叠可得，01=的'£尸=65。，

EE4E4=130°,

的4切=180°-130°=50°,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠问题的本质是轴对称的性质的运用.

15.（2023•山东泰安•校考三模）如图，在菱形力BCD中，BC=4,AABC=60°,在BC边上有一线段EF由B向

C运动，点F到达点C后停止运动，E在F的左侧，EF=1,连接则AAEF周长的最小值为（）

AD

A.4V3+1B.4V3+2C.7D.8

【答案】D

【分析】过点尸作FGII4E交4D于点G,再作点G关于BC的对称点G',连接G'F,连接4G'与交于点H,当产运

动到“点时，4F,G，三点共线，此时4F+FG，取最小值，即4F+4E取最小值，则此时△4EF的周长最小.

【详解】解：如图，过点F作FGII4E交2。于点G,则四边形4EFG为平行四边形，

...AG=EF=1,AE=GF,再作点G关于BC的对称点G',连接G'F,则G'F=GF=4E,

连接力G'与BC交于点H,当F运动到“点时，A,F,G，三点共线，止匕时4F+FG，取最小值，即4F+4E取最

小值，则此时AAEF的周长最小.

过点G，作G'KIMD,过点4作4K16欠交8(?于点/,

AI.oV3

—=sin6rn0=—

AB2

AB==4,

•••Al=2A/3,连接GG',

•••AG\\GrK,AK1G'K,

四边形GG，K4为矩形，

•­.AK=2AI=4V3,G'K=4G=1,

•••AG'=7AK2+G，"=(4V3)2+1=7,

AAEF周长的最小值4G'+EF=7+1=8,

故选：D.

【点睛】本题考查了关于移动线段中三角形周长最小值问题，添加合适的辅助线转化为两点间距离问题是

解题关键.

二、填空题

16.（2023下•广西柳州•七年级统考期中）将点尸（-2,3）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得

到点。的坐标是.

【答案】（-4,2）

【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案.

【详解】解：将点P（-2,3）向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到点。，则点。的坐标为（-4,2）.

故答案为：（-4,2）.

【点睛】本题考查了坐标系中点的平移规律.平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上

移加，下移减.

17.（2022•宁夏,中考真题）如图，点B的坐标是（0,3）,将△04B沿x轴向右平移至△CDE,点B的对应点

£恰好落在直线y=2x-3上，则点力移动的距离是.

【答案】3

【分析】将》=3代入一次函数解析式求出x值，由此即可得出点£的坐标为（3,3）,进而可得出AO/B沿

x轴向右平移3个单位得到ACDE,根据平移的性质即可得出点A与其对应点间的距离.

【详解】解：当y=2x-3=3时，x=3,

.••点E的坐标为（3,3）,

：・△0AB沿式轴向右平移3个单位得到△CDE,

.••点a与其对应点间的距离为3,

即点力移动的距离是3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将y=3代入一次函数解

析式中求出点E的横坐标是解题的关键.

18.(2023上•黑龙江佳木斯•八年级统考期中)如图，等边三角形的顶点4(1,1),B(3,l),规定把等边三角形4BC

先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换.如果这样连续经过2021次变换后，等边三角形ABC的

顶点/的坐标为—.

【答案】(一2020,-1)

【分析】根据轴对称判断出点/变换后在x轴下方，然后求出点/纵坐标，再根据平移的距离求出点/变

换后的横坐标，最后写出坐标即可.

【详解】解：根据题意得：经过1次变换后，顶点N的坐标为

经过2次变换后，顶点/的坐标为(-1,1),

经过3次变换后，顶点N的坐标为(-2,-1),

经过4次变换后，顶点/的坐标为(-3,1),

由此发现，第2021次变换后的三角形在x轴下方，点/的纵坐标为-1,

横坐标为1-2021x1=-2020,

所以，连续经过2021次变换后，等边三角形4BC的顶点/的坐标为(-2020,-1),

故答案为：(-2020,-1).

【点睛】本题考查了坐标与图形变化，平移和轴对称变换，以及等边三角形的性质的运用，确定出连续2021

次这样的变换得到三角形在x轴下方是解题的关键.

19.(2023•河南郑州•郑州市第八中学校考二模)如图所示，一个扇形纸片的圆心角为90。，半径为2,将这

张扇形纸片折叠，使点/与点。恰好重合，折痕为CD,则阴影部分的面积为

【答案】V3-^

【分析】如图，连接2D,0D,由折叠知4。=0。，4。。。=90。，AOa。是等边三角形，解直角三角形求

得CD=B,进一步求得S扇形A。。=|兀，通过组合图形和差关系求得阴影部分面积.

【详解】如图，连接4。，0D,由折叠知4。=。。，/.OCD=90°,

0A。4D是等边三角形，

0ZXOD=60°,

0CO=0D-sin60°=2x—=V3,

2

团图中空白部分面积=2S扇形040—S^o/o=2x|7r-|x2xV3=^7r-V3,

团阴影部分面积X22-(^71-V3)=V3-

433

故答案为：V3—\

【点睛】本题考查折叠的性质，扇形面积公式，求组合图形面积；能够由折叠转化为线段、角的数量关系，

识别图中组合图形面积的和差关系是解题的关键.

20.(2022上•北京•九年级北京市第十二中学校考期中)已知点P(2,-1)关于x轴的对称点是A，那么R点关

于原点的对称点坐标为

【答案】(-2,-1)

【分析】根据点的坐标关于坐标轴及原点对称的特征可进行求解.

【详解】解：点P(2,-l)关于x轴的对称点是P1(2,l),贝iJP1(2,l)关于原点的对称点坐标为(-2,-1)；

故答案为(—2,—1).

【点睛】本题主要考查点的坐标关于坐标轴及原点对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴及原点对称的特征

是解题的关键.

21.(2023•辽宁辽阳,校考一模)如图，EIABC内接于圆，点D是AC上一点，将13A沿BD翻折，点A正好落

在圆上点E处.若回C=50。，则回ABE的度数为.

【分析】首先连接BE,根据折叠的性质可得：AB=BE,即可得48=旌，根据圆周角定理，得到团BAE和团BEA

的度数，继而求得回ABE的度数.

【详解】解：如图，连接AE,

D

根据折叠的性质可得：AB=BE,

[3AB=腔

EINB4E=4BEA=NC=50。(同弧所对的圆周角相等)，

Sl^ABE=180°-50°-50°=80°,

故答案为：80°.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、折叠的性质以及三角形内角和定理.此题难度不大，注意掌握辅助

线的作法，注意数形结合思想的应用，灵活运用所学知识是解题的关键.

22.(2023,浙江杭州•模拟预测)如图，将直角△ABC沿斜边AC的方向平移到ADEF的位置，DE交BC于点

G,BG=4,EF=10,△BEG的面积为4,下列结论中：①乙4=N8ED；②△ABC平移的距离是4；③BE=CF；

④四边形GCFE的面积为16,正确的有.(填序号)

A

EF

【答案】①③④

【分析】由平移的性质得到BE0AC,AB0DE,BC=EF,BE=CF,故③正确；根据平行四边形的性质得到I3A=EIBED,

故①正确；根据直角三角形斜边大于直角边得到AABC平移的距离＞4,故②错误；根据三角形的面积公式

得到GE=2,根据梯形的面积公式得到四边形GCFE的面积芭(6+10)x2=16,故④正确.

【详解】解:豳DEF的是直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移后得到的，且A、D、C、F四点在同一条

直线上，

0BE0AC,AB0DE,BC=EF,BE=CF,故③正确；

回四边形ABED是平行四边形，

EBA=I3BED,故①正确；

0BG=4,

0AD=BE＞BG,

EHABC平移的距离＞4,故②错误；

0EF=1O,

0CG=BC-BG=EF-BG=lO-4=6,

EHBEG的面积等于4,

吗BG・GE=4,

0GE=2,

回四边形GCFE的面积J(6+10)x2=16,故④正确；

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查了平移的性质，面积的计算，平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键.

23.(2023・湖北武汉•校考模拟预测)如图，在RtAZBC中，乙4cB=90。，AC=1,BC=2,。是边48上一

点.连接CD,将△ACD沿直线CD折叠，点2落在E处，当点E在A/IBC的内部(不含边界)时，AD长度的取

值范围是.

A

【分析】由勾股定理可求得的长，分别求出当点E落在48上时和当点E落在BC上时，4。的长，即可求解.

【详解】解：•••=90°,AC=1,BC=2,

•••AB=y/AC2+BC2=V5,

当点E落在48上时，如图,

点4落在E处,

•••^ADC=Z.EDC=90°,

ADAC

VcosZA=—=——

ACAB

AD_1

7=后

•'AD=T

当点E落在BC上时，如图,过点。作DH14C于H,

,将△力CD沿直线CO折叠,点4落在E处,

•••^ACD=4ECD=45°,

•••DHLAC,

•••乙HDC=Z.HCD=45°,

•••CH=DH,

DHBCc

,**tanZA——=2,

AHAC

・•.HD=2AH=CH,

vAC=AH+CH=AH+2AH=1,

12

AH=CH=-=DH,

33

AD=7AH2+DH2=J（|）2+（|）2=y,

・•・当点E在△ABC的内部（不含边界）时，4。长度的取值范围是，＜4。（去

故答案为：＜AD＜

【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出点4落在4C和BC上时力。的值是解题

的关键.

24.（2022・安徽滁州・统考二模）如图，在正方形4BCD中，点P,Q分别是4B,4。的中点，点E是CD边上一

个动点，连接PE,将四边形PBCE沿PE折叠，得到四边形PEFH.

（1）若P,H,Q三点在同一条直线上，则N8PE的大小为。；

（2）若4B=2,则F,Q两点的连线段的最小值为.

【答案】67.5A/5-V2

【分析】（1）易得乙4PQ=45。，利用翻折的性质得到NBPE=NHPE=67.5。；

（2）连接PQ,PE,PC,易证APBC三APHF,得到PF=PC=近，PQ=V2,当P,Q,F在同一条直线

上时，尸Q最小，计算可得.

【详解】（1）如图1,易得乙4PQ=45°,

EINBPE=乙HPE=67.5°,

故答案为：67.5；

（2）如图2,连接PQ,PE,PC,

易证△PBC34PHF,

EIPF=PC=瓜PQ=V2,

当P,Q,F在同一条直线上时，FQ最小，最小值为展-鱼，

故答案为：Vs—V2.

图1图2

【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握翻折的性质是解题的

关键.

25.（2022・贵州遵义・统考三模）折纸活动中含有大量数学知识，已知四边形48CD是一张正方形彩纸.在一

次折纸过程中，我们首先通过两次对折，得到了对开（二分之一）折痕E/和四开（四分之一）折痕K）.然

后将4,。分别沿EF,EG折叠到点并使H刚好落在K/上，已知BF=6-3旧，贝必G的长度为.

【答案】4V3

【分析】由折叠得到对应角相等，对应边相等，再由折叠得到££＞、EK与正方形的边长的关系，转化到直

角三角形£胸中，由特殊的边角关系可得的次=30。，从而得到特殊锐角的直角三角形，通过解特殊锐角的

直角三角形，求出边长即可.

【详解】解：由折叠得，SAEF=WEF,aDEG=E/ffiG,EK=KD=：a,ED=EH=：a,

1

：^FEG=-X180°=90°,

2

在Rt△EHK中，EK=^a,EH=^a,

.-.^EHK=3Q°9

.WEK=90°-30°=60°,

.-WEG=MEG=30°,

­.WGE=WGE=60°,

在△EFG中，妍£G=90°,皿EG=30。,

・•・蛇尸G=90°-60°=30°,

：.W：FA^\EFG=30°,

AE2aV3

•••4AZF7=----------=4=-=——a

tan30°V32

3

BF=6-36

•••6—3V3=a—解得a=6,

在,夫硕G£中,，EG=-^FD-=^—a=—,/Qa

sm60°在3

2

V3

在RtAEFG中，蛇尸G=30°,EG=—a,

3

尸G=2EG昔a=^x6=4后

故答案为：4V3.

【点睛】本题考查了轴对称的性质、正方形的性质，直角三角形的性质以及特殊锐角的直角三角形的边角

关系等知识，理解折叠将问题转化到一个直角三角形中，通过解这个特殊锐角的直角三角形是解决问题的

关键,

三、解答题

26.(2022下•广东茂名•八年级校联考期中)在边长为1的小正方形网格中，的。8的顶点均在格点上.

⑴将西08向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到朋1。/1，请画出刻10/1，并写出点乙的

坐标；

(2)将的03绕点。沿顺时针方向旋转90。得到刻2。为，请画出刻2。4，并写出点&的坐标.

【答案】⑴作图见解析，&(一2,4)；

⑵作图见解析，&(3,—1).

【分析】（1）根据平移方式，将三角形的三个顶点进行平移，然后将平移之后的点依次连线，即为所作图

形，相关点的坐标随之解决.

（2）根据旋转方式，将三角形的08绕着点A顺时针旋转90。，最后连接&&即可.

【详解】（1）解：如图所示，由平移之后的图形可知为（-2,4）,

（2）解：如图所示，由旋转之后的图形可知力2（3,-1）

【点睛】本题考查了坐标与图形的变换，能够准确地根据图形的变换方式找到变换之后的对应点的位置是

解决图形变换的关键.

27.（2023上•福建莆田•八年级校联考期中）如图,AABC的顶点坐标分别为A（2,3）,B（L1）,C（3,2）.

⑴将AABC向下平移4个单位长度,画出平移后的AAjBtC1；

(2)画出AABC关于y轴对称的AA2B2C2.并写出点A2,B2,C2的坐标.

【答案】(1)见解析;(2)作图见解析，①(—2,-1)B2(-l,-3)C2(-3,-2)

【分析】根据三角形在坐标中的位置，将每个点分别平移，即可画出平移后的图象.

【详解】解：(1)、(2)如图：

-

回点A2，B2，C2的坐标分别为：4(—2,-1),B21,3),C2(—3,—2).

【点睛】本题考查了平移，轴对称的知识，解题的关键是熟练掌握作图的方法.

28.(2023下•河南商丘•七年级永城市实验中学校考期末)如图，三角形4BC的顶点都在正方形网格的格点

上，且B、C两点的坐标分别为(—5,—2)、(3,3).

(1)请根据条件在网格中画出平面直角坐标系;

（2）将三角形ABC向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的三角形&B1G，画出三

角形&B1G，并分别直接写出点B>Q的坐标；

（3）求三角形ABC的面积.

【答案】（1）平面直角坐标系如图所示见解析；（2）三角形乙/的如图所示见解析；4式0,2）,2（-3,

—5）,一（5,0）；（3）SAABC=20.5.

【分析】（1）直接利用各点坐标建立平面直角坐标系即可；

（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（3）直接利用AABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案.

【详解】（1）平面直角坐标系如图所示：

①（0,2）,-5）,Q（5,0）

（3）如图，

SAABC-S长^^BDEF-SABDC-SACEA-SAABF

=7x8—,x8x5—x2x5—x7x3

222

=56-20-5-10.5

【点睛】本题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键.

29.(2022下•辽宁抚顺・七年级统考期末)如图，四边形48CD是正方形，其中4(一3,2),B(—l,2),。(一1,4),

将这个正方形向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到正方形4夕

⑴画出平移后的正方形ABO；

(2)写出点。和》的坐标；

⑶写出线段44与CC'的位置和数量关系.

【答案】⑴见解析

⑵。(-3,4)；D'(2,1)

⑶44'=CC,AA'||CC

【分析】(1)利用平移变换的性质分别作出/,B,C,。的对应点4,B',C,。即可;

（2）根据点的位置写出坐标即可；

（3）利用平移变换的性质判断即可.

【详解】（1）解：如图，正方形4夕即为所求;

（3）解:由平移的性质，得力4=C。，AA'||CC.

【点睛】本题考查作图-平移变换，平移的性质，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型.

30.（2022,安徽•校联考二模）如图，在边长为1的小正方形网格中，AABC的顶点均在格点上，

（1）B点关于y轴的对称点坐标为；

（2）将ZL4BC向右平移3个单位长度得到ZVliBiCi，请画出A&BiCi；

⑶求ZL4BC的面积.

【答案】⑴（2,2）

（2）见解析

⑶△ABC的面积为2

【分析】（］）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案;

（2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（3）利用船3。所在矩形面积减去周围三角形的面积进而得出答案.

【详解】（1）解：8点关于y轴的对称点坐标为：（2,2）；

故答案为：（2,2）.

（2）先得出平移后点N、B、C平移后的对应点&、Q,顺次连接各点即可得出平移后的△Z/iG，

如图所示：

111

(3)S—BC=2x3——x1x1——x2x2——x1x3=2.

【点睛】本题主要考查了轴对称变换以及平移变换和三角形面积求法等知识，正确得出平移后对应点位置

是解题关键.

31.（2022上•广东深圳•九年级深圳实验学校校考阶段练习）如图，己知一个直角三角形纸片NC2,其中

EL4C5=90",AC=4,BC=3,E、尸分别是NC、边上点，连接所.

图①图②

⑴图①，若将纸片/CB的一角沿EF折叠，折叠后点4落在N8边上的点。处，且使S四边形ECBF=3SAEDF，

求NE的长；

（2）如图②，若将纸片/C2的一角沿斯折叠，折叠后点/落在2C边上的点〃处，且使MFIIC4.

①试判断四边形NEMF的形状，并证明你的结论；

②求斯的长.

【答案】⑴I

(2)①菱形，见解析，②蜉

【分析】(1)先利用折叠的性质得到防划8,"EF^ADEF,贝USMEF=SADEF，则易得SA^BC=4SA/EF，再

证明及及4E/迥放35C,然后根据相似三角形的性质得到#=(笠/，再利用勾股定理求出即可得到

S^ABCAB

/£的长；

(2)①通过证明四条边相等判断四边形NEMF为菱形；

②连接4W交所于点。，如图②，设Z£=x,则瓦3x,CE=4-x,先证明△CMEEACA4得到器=等=0

解出x后计算出CM=:再利用勾股定理计算出然后根据菱形的面积公式计算£尸；

【详解】(1)解：回ANCB的一角沿所折叠，折叠后点/落在N8边上的点。处，

^EF^AB,LAEF=△DEF,

团S^AEF=S»DEF，

团S四边形ECBF=3S>EDF，

回SAABC=4sAZEF，

在放/UBC中，函4c5=90。，4c=4,BC=3,

^AB=y]32+42=5,

^EAF=^\BAC,

^Rt^AEF^RtLABC,

0^££=(—)2,即(些)2=工，

SAABCXABJ''5J4

EL4£=|；

(2)①四边形/EMF为菱形.理由如下：

如图②，回△NC8的一角沿环折叠，折叠后点/落在N3边上的点“处，

^\AE=EM,AF=MF,^\AFE=®MFE,

回MF||CA,

^\AEF=^\MFE,

^\AEF=^\AFE,

^\AE=AF,

^\AE=EM=MF=AF,

团四边形AEMF为菱形;

②连接交EF于点O,如图②,

设/EK,贝lj5M=X,CE=4-x,

回四边形4EA用为菱形，

0EM||AB,

^CMESACBA,

解得x=g，C"=*

在用△/CW中,AM=>JAC2+CM2=J42+(92

^S^AEMF=1EF*AM=AE9CM,

【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定，以及相似三角形的

判定与性质等知识：熟练掌握折叠的性质和菱形的判定与性质；灵活构建相似三角形，运用勾股定理或相

似比表示线段之间的关系和计算线段的长.

32.(2022下•福建三明•八年级统考期中)如图，己知B(2,—3),C(4,-1)是平面直角坐标系上的

三点

%

⑴请画出ATIBC关于原点。对称的△a/iG；

⑵设点B2与点B关于y轴对称，将点B2向上平移h个单位长度得到点名，使点B3落在△&B1G的内部，直接

写出点殳的坐标与八的取值范围.

【答案】⑴见解析

(2)(-2,-3),4</i<6

【分析】⑴根据网格结构找出点4、B、C关于原点的对称点出、Bi、Q的位置，然后顺次连接即可；

⑵根据轴对称的特征写出点屏的坐标，再根据图形确定出点无到4。与历的距离，由此可求出h的取值

范围.

【详解】（1）解：画图如下：

点B2到N/G的距离为4,到B1的距离6

故点B3落在△446的内部时，%的取值范围为4<h<6.

【点睛】本题考查了关于原点及y轴对称的点的坐标特征，图形的平移，熟练掌握网格结构，准确找出对应

点的位置是解题的关键.

33.（2023•广东阳江•统考一模）如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点4,2是格点，连接

作线段关于直线/的对称线段4夕，连接04,OB,OB',OA'.

⑵求以点O为圆心的劣弧44'的长.

【答案】⑴见解析

⑵竽

【分析】(1)利用对称的性质得到直线/垂直平分44',BB',则。4=04*OB=OB\,则可根据"SSS”判断

^OAB^\OA'B'-,

(2)先利用勾股定理的逆定理证明A404是直角三角形，然后根据弧长公式计算.

【详解】(1)证明：回线段N3与线段关于直线/对称，

回点/,8分别与点4,2,关于直线/对称，AB=A'B',

回直线/垂直平分44,，BB',

B1OA=OA',OB=OB',

在ZiONB和ACM0中，

OA=OA'

OB=OB'.

AB=A'B'

^OAB^OA'B'(SSS)；

(2)解：如图，回。/=。4=，32+32=3VL44'=6,

SOA2+OA'2=AA'2,

0140/'是直角三角形，

酗404=90°.

团劣弧44'的长=晅这=—.

1802

【点睛】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，以及弧长的计算，熟练掌握弧长

公式是解答本题的关键.

34.(2023下•福建福州•七年级福州华伦中学校考期中)已知胡//。是由S45c经过平移得到的，其中，/、

B、C三点的对应点分别是小、Bi、CI.它们在平面直角坐标系中的坐标如表所示：

^ABCA(a,0)B(3,0)C(5,5)

^AiBiCiAi(-3,2)5/(-1,b)G(c，7)

(1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a=,b=,c=

(2)在如图的平面直角坐标系中画出0A8C；

(3)求EL4/8/G的面积.

【答案】(1)1,2,1；(2)见解析；(3)5

【分析】。)根据点B横坐标的变化求出向左平移的距离，根据点C纵坐标的变化得出向上平移的距离即可;

(2)在坐标系内描出各点，再画出AABC及刻/16即可；

(3)矩形的面积减去两个顶点上三角形的面积即可.

【详解】解：(1)・•・B(3,0),Bi(—1,b),

二向左平移的距离=3+1=4,

a—4=-3,解得a1,

5-c-4,解得c=1；

•••C(5,5),G(c,7),

二向上平移的距离=7-5=2,

••・b=0+2=2.

故答案为：1,2,1；

(2)如图A4BC即为所求；

(3)由图可知，EL43/G的面积=4x5-|x4x5—|x2x5=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查的是作图-平移变换，先根据题意得出图形平移的方向，再根据图形平移不变性的性质求

解是解答此题的关键.

35.(2022上,浙江杭州•九年级校考阶段练习)在。。中，4B为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦4c翻

折交力B于点D,连接CD.

图1图2

(1)如图1,若点D与圆心。重合，AC=2,求。。的半径q

⑵如图2,若点。与圆心。不重合，^BAC=20°,请求出NDC4的度数.

⑶如图2,如果2。=6,DB=2,那么力C的长为.(直接写出答案)

【答案】⑴然

(2)50°

(3)2714

【分析】(1)过点。作。E_L2C于E,可得到的长，根据勾股定理计算即可；

(2)连接BC,根据翻折的性质，AC所对的圆周角为NB,施。所对的圆周角为N4DC,在根据角度求解即

可；

(3)过C作CGJ.48于G,连接。C、BC,可求得半径的长度，根据计算得DG=8G=1BD=1,根据勾

股定理计算即可.

【详解】(1)解：如图1,过点。作。E14C于E,

贝ME=3x2=l,

22

团翻折后点。与圆心O重合,

WE=三万，

21

在中，AO2=AE2+OE2,

即//=l2+(11)2,

解得q=当；

(2)如图2,连接3C,

是直径，

国乙ACB=90°,

团匕BAC=20°,

回=90°-LBAC=90°-20°=70°,

根据翻折的性质，立所对的圆周角为乙以枷所对的圆周角为乙4OC,

团N/OC+=180°,

团乙B=Z.CDB=90°,

^DCA=乙CDB-/,BAC=70°-20°=50°；

(3)如图3,过。作CG14B于G,连接OC、BC,

BAD=6,DB=2,

团48=AD+DB=8,回O的半径为148=4,

由(2)知：乙40C+4B=180。，

^ADC+乙BDC=180°,

团=乙BDC,

团CO=BC,

WG^BG^lBD^l,

EIOG=OB-BG=4—1=3,AG=AB-BG=8-1=7,

Rt△OCG中，CG=VOC2-OG2=V42-32=V7,

Rt△4CG中，AC=y/AG2+CG2=I72+（V7）2=2y/14,

则NC的长为2g.

故答案为：2g.

【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，涉及的知识有折叠的性质、垂径定理、勾股定理等，掌握相关知

识，正确作出辅助线是解题的关键.

【能力提升】

点2（m,n）满足n=sjm—4—V4—m+Vm.

（2）如图1,将线段。4沿了轴向下平移a个单位后得到线段BC（点。与点3对应），过点C作轴于点

D,若4OD=