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文档简介
专题09相似三角形中的“A”字型相似模型
【模型展示】
【题型演练】
一、单选题
1.如图,已知VAOE:VABC,若AO:A3=1:3,VABC的面积为9,则VADE的面积为()
A
A.1B.2C.3D.9
2.如图,在AABC中,DE//BC,若AE=2,EC=3,则△AOE与△ABC的面积之比为()
A.4:25B.2:3C.4:9D.2:5
3.(2017年甘肃省兰州市七里河区杨家桥学校中考数学模拟)如图,在AABC中,ZC=90°,BC=3,D,
E分别在AB、AC±,将△ADE沿DE翻折后,点A落在点A,处,若A,为CE的中点,则折痕DE的长为
)
A.1B.3C.2D.1
4.如图.在AA8C中,DE//BC,/B=NACD,则图中相似三角形有()
A.2对B.3对C.4对D.5对
5.如图,AABC中,AB=8,AC=6,NA=90。,点。在AABC内,且少3平分/ABC,DC平分NACB,
过点。作直线PQ,分别交A3、AC于点P、Q,若AAPQ与AABC相似,则线段PQ的长为()
C.5或十D.6
6
2
6.如图,在R/AA3C中,44c3=90。,取AC的中点O,连接BD,点C关于线段BD的对称点为点E,点
产为线段8上的一个动点,连接AE、BD、BE、DE,已知AC=26,BC=2,AE=y,BDHAE,
EF
当EF+BF的值最小时,则工的值为()
二、填空题
7.如图,光源尸在水平横杆的上方,照射横杆AB得到它在平地上的影子为C。(点尸、A、C在一条
直线上,点P、B、。在一条直线上),不难发现AR/CD.已知AB=15〃,CD=45〃,点P至I]横杆AB的
距离是1,",则点P到地面的距离等于m.
R
/'、
_\B
,_/____、
/\
Z/'、、
F---------------------------D
8.如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=4,AC为对角线,E、F分别为边AB、CD上的动点,且EF1AC
于点M,连接AF,CE,求AF+CE的最小值是.
9.如图,正方形A3CD边长为3,点E是AD上一点,且AE=1,连接8E,过C作CFL3E,垂足为P,
CF交对角线3。于G,将ABCG沿CG翻折得到△HCG,S交对角线3。于V,则“的”=.
3
ED
10.如图,在三角形ABC中,点。为边3C的中点,连接AD,将三角形加沿直线AD翻折至三角形A3C
平面内,使得2点与E点重合,连接CE、BE,分别与边AC交于点与AD交于点。,若AH=CH,
AB=2屈,03=4,则点A到线段BC的距离为.
11.如图,在矩形ABC£>中,AB=2,BC=3,点E是边AB的中点,连接CE,将4BCE沿CE折叠得到4FCE,
CF与BD交于点、P,则DP的长为—.
三、解答题
12.如图,AABD中,ZA=90°,AB=6cm,AD=12cm.某一时刻,动点M从点A出发沿AB方向以lcm/s
的速度向点8匀速运动;同时,动点N从点。出发沿。A方向以2cm/s的速度向点A匀速运动,运动的时
间为ts.
(1)求f为何值时,△AMN的面积是△面积的§;
(2)当以点A,M,N为顶点的三角形与△A8Z)相似时,求/值.
4
,1/
H
D
13.在△ABC中,AB=m(m>0),。为AB上一点,过。作。石〃8C交AC于点E,连接CO.设
SADCE=S2,S.ABC=S1,求今的取值范围.
RLABC中,ZC=90°,AC=20cm,SC=15cm,现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动,动
点。从点C出发,沿线段C8也向点B方向运动,如果点尸的速度是4cm/s,点。的速度是2cm/s,它们同
时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动.设运动时间为/秒.
(1)求运动时间为多少秒时,P、。两点之间的距离为10cm?
(2)若ACPQ的面积为S,求S关于f的函数关系式.
(3)当/为多少时,以点C,P,。为顶点的三角形与AABC相似?
A
AFAE
15.如图,在△ABC中,点。在边48上,点E、点厂在边AC上,且DE〃BC,
FE~EC
(1)求证:DF//BE-
(2)如且A尸=2,EF=4,AB=6j3.ADE^AAEB.
5
16.矩形ABCO中,AB=CD=3cm,AD=BC=4cm,AC是对角线,动点尸从点A出发沿AC方向向点C
匀速运动,速度为lcm/s;动点。从点C出发沿方向向点。匀速运动,速度为2cm/s.过点P作BC的
垂线段PH,运动过程中始终保持PH与8C互相垂直,连接交AC于点。若点P和点。同时出发,设
运动的时间为t(s)(0<?<1.5),解答下列问题:
(1)求当f为何值时,四边形P8CQ为矩形;
(2)是否存在一个时刻,使”。与AC互相垂直?如果存在请求出"直;如果不存在请说明理由;
75
(3)是否存在一个时刻,使矩形A2CZ)的面积是四边形PHC。面积的石,如果存在请求出f值;如果不
存在请说明理由.
17.图,AB//GH//CD,点”在8c上,AC与8。交于点G,AB=2,CD=3,求GH的长.
D
18.一块直角三角形木板的面积为ism?,一条直角边A3为1.5m,怎样才能把它加工成一个面积最大的正
方形桌面?甲、乙两位木匠的加工方法如图所示,请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求(加工
损耗忽略不计,计算结果中的分数可保留).
(甲)忆)
6
19.如图,已知。是BC的中点,M是AO的中点.求⑷V:NC的值.
EGHBC交.AD千HG.
(2)如果")=4括,DF=4,请找出与△瓦M相似的三角形,并挑出一个进行证明.
21.如图,在AABC中,点E,尸分别在越AC上,且血=花
(1)求证:AAEF-AABC;
FGFG
(2)若点£)在5C上,AD与EF交于点、G,求证:
BDCD
22.如图,在平行四边形ABC。中,AD^AC,ZADC^a,点E为射线54上一动点,S.AE<AB,连接
DE,将线段OE所在直线绕点。顺时针旋转a交BA延长线于点H,OE所在直线与射线CA交于点G.
(1)如图1,当a=60。时,求证:SADHQXCDG;
(2)当期60。时,
①如图2,连接“G,求证:XADCsXHDG;
②若42=9,BC=12,AE=3,请直接写出EG的长.
7
备用图
23.已知:矩形ABCQ中,A8=9,AQ=6,点E在对角线AC上,且满足AE=2EC,点F在线段CO上,
作直线尸E,交线段A2于点交直线BC于点N.
(1)当CF=2时,求线段BN的长;
(2)若设CV=x,ABNE的面积为y,求y关于尤的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(3)试判断ABME能不能成为等腰三角形,若能,请直接写出x的值.
24.如图,在平行四边形ABCD中,ZADB=9Q°,AB=10cm,AD=8cm,点尸从点。出发,沿方向
匀速运动,速度为2cm/s;同时,点。从点8出发,沿BC方向匀速运动,速度为lcm/s.当一个点停止运动,
另一个点也停止运动.过点尸作PE//BD交AB于点、E,连接PQ,交3。于点F.设运动时间为小)(0<f<4).
解答下列问题:
(1)当/为时,PQ//A3?
(2)连接EQ,设四边形APQE的面积为y(cm2),求>与/的函数关系式.
8
(3)当/为何值时,点E在线段PQ的垂直平分线上?
(4)若点尸关于A3的对称点为广,是否存在某一时刻f,使得点尸,E,广三点共线?若存在,求出,的
值;若不存在,请说明理由.
25.如图1,平行四边形ABCD的对角线AC,3。相交于点。,。边的垂直平分线交3。于点E,连
接AE,CE.
(1)过点A作AF//EC交BD于点尸,求证:AF=BF;
(2)如图2,将ZWE沿A2翻折得到△ABE.
①求证:BE'IICE;
②若AE,UBC,OE=1,求CE的长度.
26.如图,AABC中,点。在AC边上,5.ZBDC=90°+-ZABD.
2
AA
(1)求证:DB=AB-,
(2)点E在BC边上,连接AE交3D于点F且NAFD=NABC,BE=CD,求NACB的度数.
(3)在(2)的条件下,若BC=16,△ABF的周长等于30,求AF的长.
9
专题09相似三角形中的“A”字型相似模型
【模型展示】
【模型证明】
【题型演练】
一、单选题
1.如图,已知VADE:VABC,若4。:43=1:3'钻(?的面积为9,则VADE的面积为()
A
【答案】A
10
【分析】根据相似三角形的性质得出沁=I,代入求出即可.
S^ABCI
【详解】解:VAADE^AABC,AD:AB=1:3,
2
•°AADE
・q
a^ABC
VAABC的面积为9,
q
QAADE1
99
••SAADE=1,
故选:A.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质定理,能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方
是解此题的关键.
2.如图,在△A5C中,DE//BC,若AE=2,EC=3,则△ADE与△ABC的面积之比为()
B.2:3C.4:9D.2:5
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADEs△ABC,根据相似三角形的面积比等于相
似比的平方计算,得到答案.
【详解】解:VAE=2,EC=3,
:.AC=AE+EC=5f
9:DE//BC,
・•・jC2」,
%BCUCJl5j25
故选:A.
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的面积比等于相似比的平
方是解题的关键.
3.如图,在AABC中,ZC=90°,BC=3,D,E分另!j在AB、AC±,将△ADE沿DE翻
折后,点A落在点A,处,若A,为CE的中点,则折痕DE的长为()
11
A.3B.3C.2D.1
【答案】D
【详解】试题解析:由题意得:DELAC,
:.ZDEA=90°,
':ZC=ZDEA,
':ZA=ZA,
△AEDs^ACB,
.DEAE
"BCAC'
为CE的中点,
:.CA'=EA',
:.CA'=EA'=AE,
.AEDE_I
:.DE=1.
故选D.
4.如图.在AABC中,DE//BC,ZB=ZACD,则图中相似三角形有()
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论.
【详解】VZB=ZACD,ZA=ZA,
AACD^AABC,
':DE//BC,
:.AADE^AABC,
:.△ACOS/XADE,
,JDE//BC,
:.ZEDC=ZDCB,
':NB=NDCE,
:ACDEsABCD,
故共4对,
故选:c.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定.注意掌握数形结合思想的应用,注意平行于三角形
的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
12
5.如图,AABC中,AB=8,AC=6,ZA=90°,点。在AABC内,且。5平分/ABC,
平分/ACB,过点。作直线尸Q,分别交A3、AC于点P、。,若AAP。与AABC相似,
则线段P。的长为()
□35
A.5B.—C.5或高D.6
66
【答案】B
【分析】分△APQsaABC,△APQsaACB两种情况,结合相似三角形的性质和三角形
内切圆求解即可.
【详解】解:若△APQs^ABC,
AZAPQ=ZABC,
・c〃APAQPQ
・・・PQ〃BC,—,
ABACBC
・・・NPDB二NDBC,
VBD平分NABC,
/.ZPBD=ZCBD,
.'.ZPBD=ZPDB,
・・・PB=PD,同理,DQ=CQ,
VAB=8,AC=6,ZA=90°,
ABC=762+82=10,
AB4
n.…ggAPAQZF,AP
设AP=x,Wi—=-^—=ac3,
**•AQ二-x,
4
:.PB=PD=8-x,CQ=DQ=6--x,
4
7
PQ=PD+QD=14--x,
,APPQ14—x
=,即Rnx_4
810
解得:X=y,
・・.PQ=?
o
13
pD\Q
若2APQ^AACB,
则”=强=经,
ACABBC
由题意知:D为△ABC的内心,设△ABC的内切圆交AB于M,交AC于N,
可知四边形AMDN为正方形,
・•・ZA=ZAMD=ZAND=ZMDN=90°,
・・・AM〃DN,AN〃DM,
ZMPD-ZNDQ,NMDP=NNQD,
△MPD^ANDQ,
MPMD
而一而,
VAB=8,AC=6,BC=10,
6+8—10
DM=DN==2,
2
AAM=AN=2,
x2
设PM=x,贝九不二彷,
4
・・・NQ=_,
x
..APAQ
=即x+2_%
•AC~AB
-I---8
3
解得:x=|■或-2(舍),
37
AP=—1-2=一,
22
B
14
综上:PQ的值为二.
6
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,三角形内切圆,角平分线的定义,有一定难
度,解题的关键是将三角形相似分两种情况讨论.
6.如图,在MAABC中,ZACB=90°,取AC的中点O,连接3D,点C关于线段8。的对
称点为点E,点尸为线段8上的一个动点,连接AE、BD、BE、DE,已知AC=2逐,BC=2,
10FF
AE=—,BD//AE,当EF+8尸的值最小时,则——的值为()
3BF
B.辿D
A・半5-1
【答案】C
【分析】设点M和点B关于AC对称,F为EM与AC交点,过点E作EGLAC于G,过
点E作ENLBC,交BC延长线于点N,根据题意得出当EF+BF最小时点F的位置,再通
过平行线的性质得到NEAG=NBDC,从而求出EG的长,再判定四边形EGCN为矩形,得
FFNC
到CN’最后利用八MFCSMEN将防转化为石)求值即可.
【详解】解:当EF+BF最小时,如图,点M和点B关于AC对称,F为EM与AC交点,
过点E作EGLAC于G,过点E作ENLBC,交BC延长线于点N,
止匕时EF+BF的最小值即为EF+FM,即EM,
,.'AC=2右,点D为AC中点,BC=2,
/.AD=CD=>/5,
.\tanZBDC=—=
DC5
VAE//BD,
.'.ZEAG=ZBDC,
FG9X
tanNEAG==,设EG=x,
AG5
15
解之得:乂二20号或2-0日(舍),
由题意可得:ZN=ZACB=ZEGC=90°,
...四边形EGCN为矩形,
.•.EG=NC=—,
9
VACXBC,EN±BC,
・・・AC〃EN,
.•.△MFCSMEN,
.MCMF.EFEFNC20。10
..南二方’则n而=而=而=丁2=3,
故选C.
【点睛】本题考查了平行线的性质,解直角三角形,相似三角形的判定和性质,最短路径问
题,矩形的判定和性质,解题的关键是根据平行利用三角函数得到FG的长.
二、填空题
7.如图,光源尸在水平横杆AB的上方,照射横杆A3得到它在平地上的影子为C。(点尸、
A、C在一条直线上,点尸、B、。在一条直线上),不难发现至//CD.已知A3=L5根,
CD=4.5m,点尸到横杆A3的距离是1根,则点尸到地面的距离等于加.
/\
A/.____\B
,,,、
/\
/'、
Z、
C二-----------------D
【答案】3
【分析】易得△出Bs^PCD,利用相似三角形对应边的比等于对应高的比可得AB与CO
间的距离.
【详解】解:如图,作P尸,CD于点R
16
4」
JE
c-J-------D
F
\'AB//CD,
:.丛PABs丛PCD,PELAB,
:ZABsAPCD,
.ABPE
"'CD~TF'
1.51
即:
4.5PF
解得:PF=3.
故答案为:3.
【点睛】考查相似三角形的应用;用到的知识点为:相似三角形对应边的比等于对应高的比.
8.如图,矩形A8CD中,AD=2,AB=4,AC为对角线,E、尸分别为边42、CD±
的动点,且EF1AC于点M,连接AF,CE,求AP+CE的最小值是.
【答案】5
【分析】AF与EC两条线段不在同一条直线上,只需将两条线段转换在同一条直线上即可,
作CGIIEF,S.CG=EF,连接AG,又因点尸是。C上是一动点,由三角形的边与边关系
AF+FG>AG,只有当点E在直线AG上时,AF+FG最小,由平行四边形CEFG可知
FG=EC时,可求AF+CE的最小值
【详解】解:如图所示:过点C作CG〃EF,且CG=£F,连接尸G,
设。P=x,则/C=4—x,
17
当点A、F、G三点共线时,AF+FG的最值小,
VCG//EF,且CG=E尸,
•••四边形CEFG是平行四边形;
/.EC//FG,EC=FG,
又\•点A、尸、G三点共线,
AF//EC,
又:四边形ABC。是矩形,
AE//DC,Zr>=90°,
...四边形AECT是平行四边形,
又,:EFLAC,
四边形AECP是菱形,
AF=FC=4-x,
在尺以公叱中,由勾股定理得:
AD2+DF-=AF2>
又:AD=2,DF=x,则A尸=4一x,
:.22+X2=(4-X)2,
解得:%=不3
AF=~,
2
在R/AADC中,由勾股定理得,
AC2=AD2+DC2=22+42,所以AC=2行
AM=45,
又,:MFIICG,
:.ZAMF=ZACG,ZAFM=ZAGC,
:.NAMF^NACG,
,AM_AF
"7c"AG)
5
即正=/_,
2节AG
:.AG=5,
XVAG=AF+FG,FG=EC,
AF+EC=5,即最小值是5,
故答案为:5.
【点睛】本题考查了矩形的性质,平行四边形的判定与性质,三角形相似的判定与性质,勾
股定理和最短距离问题等知识点,解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与
18
判定.
9.如图,正方形ABC。边长为3,点E是AD上一点,且AE=1,连接BE,过C作CV_LBE,
垂足为歹,C尸交对角线3。于G,将ABCG沿CG翻折得到△"CG,CH交对角线3。于M,
则S-HG”=•
AED
9
【答案】诋
【分析】过点G作GRL8C于R,过点、H作HN〃BC交BD于N,由正方形性质可证明:
△ABEs^FCB,由勾股定理可求BE,由翻折性质可得△"GCg^BGC,进而可证明:
s
ABHN^ABED,可求得HN,再由可求得/",再由△CGRs/^cBF
,△HGC
即可求得结论.
【详解】解:如图,过点G作GRLBC于R,过点、H作HN〃BC交BD于N
AED
则/3RG=/CRG=90。,
:CF±BE
:.ZBFC=90°
ZCBF+ZBCF=90°
正方形ABCD
ZA=ZABC=90°,AB^AD^BC=3
:.ZABE+ZCBF=90°
:.ZABE=ZBCF
:.AABES»CB
在RgABE中,BE=y/AB2+AE2=732+12=>/10
BF_AEBF=1
'BC-BE''3一屈
RF回
..•t5r-_3,
10
19
由翻折知:FH=BF=2叵,HC=BC=3,AHGC-BGC
105
•:HN//BC:&BHNs4BED
3M
HN器,即研
DE5
2
:.HN=a•.・AHNMSACBM
HM_HN_2
**MC-BC-5
.HM2
••一,
HC7
q
°&HGMHM_2
q
Q&HGCHC-7
・.・GRtBC,NCBG=45。
.•.△3GR是等腰直角三角形,设BR=GR=x,则CH=3-%,
,.FCGRSYCBF
GRBF1vi3
“即三0解得X=[
•而・"CF
1139
••S=—xBCxGR=—x3x—=—
△BS2248
・S-2
△Q
2c299
-jHGM
77828
9
故答案为:—.
28
【点睛】本题考查了正方形性质,翻折变换的性质,等腰直角三角形性质,勾股定理,全等
三角形判定和性质,相似三角形判定和性质,三角形面积等知识点;解题关键是利用平行线
证明相似三角形进行转化,有一定难度,属于中考填空压轴题类型.
10.如图,在三角形ABC中,点。为边8c的中点,连接AD,将三角形4步沿直线AD翻
折至三角形A3C平面内,使得B点与£点重合,连接CE、BE,分别与边AC交于点X,
与AD交于点。,若四=CH,AB=2713,03=4,则点A到线段BC的距离为.
20
【分析】如图,过点A作ATLCB交CB的延长线于T.利用勾股定理求出AO,利用三角形
重心的性质求出。。,再利用勾股定理求出RD,利用相似三角形的性质求出AT即可.
【详解】解:如图,过点A作ATLCB交CB的延长线于T.
■■■ZAOB=9Q°,
,/AB=2A/13,03=4,
OA=-JAB2-OB2=7(2713)2-42=6,
=点。为边2C的中点,
.•.点。是AABC的重心,
.\OA=2,OD,
OD=3,
:.BD=SB2+OU="2+32=5,
.ZBDO=ZADT,ZBOD=NT=90°,
.•.△DOBOZXDTX,
.OBDB
…而一罚’
45
...--—_—.
AT9
【点睛】本题考查翻折变换,勾股定理的应用,相似三角形的判定和性质以及重心的性质等
21
知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.
11.如图,在矩形4BC。中,AB=2,8C=3,点E是边A8的中点,连接CE,将△BCE沿
CE折叠得到小FCE,CF与3。交于点P,则DP的长为—.
【答案】①
17
【分析岫勾股定理可求出瓦)、EC的长,连接BF交CE于点G,作MLBC于点、H,PQLBC
于点。,根据相似三角形的性质求出BG的长,再根据面积等式列方程求出切的长,再根
据相似三角形的性质求出BQ与CQ的比,进而求出OP的长.
【详解】解:如图,连接2尸交CE于点G,作尸于点"尸。,8。于点。,
:四边形ABCD是矩形,
:.AB=DC=2,ZABC=ZBCD=90°,
':BC=3,
.BD=ylBC2+DC2=732+22=屈;
VAE=BE=-AB=-x2=l,
22
;•EC=y/BE2+BC2=Vl2+32=710;
由折叠得,CE垂直平分BF,
:.ZBGC=ZEBC=90°,
':ZGCB=ZBCE,
:.△BGCsAEBC,
,GBBC
"~BE~~EC'
22
iBCBE3x13M
GB-----------=-7=--------
ECM10
222
/.BF=2GB=,CG=y/BC-GB=^3-(-3丽、29回
-------)-
10--------10
由•所*VG得,如帕卜坪屋哪,
9
解得,FH=—;
VZCHF=90°,FC=BC=3,
,:PQ〃FH,
:・ACPQs丛CFH,
,CQ_PQ
•.CH-FH'
12
・口里=5)
99PQ~FH~9
5
4
-•CQ=-PQf
':ZBQP=ZBCD=90°,
J.PQ//DC,
:・ABPQSABDC,
,BQ_PQ
••一,
BCDC
.BQ_BC_3
"~PQ~1)C~2,
3
--BQ=-PQ,
3
.BPBQ2Pg..9
"~DP~~CQ~T~~S
3
DP=—BD=—xy/13=^^-
171717
故答案为:”三.
17
【点睛】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、
二次根式的化简以及用面积等式列方程等知识与方法,解题的关键是正确地作出所需要的辅
助线,此题难度较大,计算烦琐,应注意检验所求的结果是否正确.
23
三、解答题
12.如图,△A8。中,ZA=90°,AB=6cm,AD=12cm.某一时刻,动点M从点A出发沿
AB方向以lcm/s的速度向点8匀速运动;同时,动点N从点。出发沿方向以2cm/s的
速度向点A匀速运动,运动的时间为a
,»,,7
(1)求f为何值时,△4咖的面积是443。面积的,;
(2)当以点A,M,N为顶点的三角形与相似时,求"直.
【答案】(1)。=4,^=2;(2)—3或1~
【分析】(1)由题意得£W=2r(cm),AN—(12-2f)cm,AM—tcm,根据三角形的面积
公式列出方程可求出答案;
(2)分两种情况,由相似三角形的判定列出方程可求出t的值.
【详解】解:(1)由题意得。N=2f(cm),AN=(12-2r)cm,AM=tcm,
•••△AMN的面积=,AN・AM=LX(12-20xt=6t-t2,*
22
VZA=90°,AB=6cm,AD=12cm
J丛ABD的面积为,AB-AD=-x6xl2=36,
22
,9
丛AMN的面积是^ABD面积的§,
2
.*.6f-t2=—x36,
9
A/2-6/+8=0,
解得力=4,t2=2,
2
答:经过4秒或2秒,△AMN的面积是△A3。面积的§;
(2)由题意得£>N=2/(cm),AN=(12-2/)cm,AM=tcm,
若aAMNsAABD,
AMAN12-2t
则有——=—,即工=
ABAD612
解得/=3,
若^AMNS^ADB,
e士AMAN12—2%
则有——=—即
ADAB126
24
解得t=—>
24
答:当,=3或彳时,以A、M、N为顶点的三角形与△A8O相似.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定,直角三角形的性质和一元二次方程的应用,正确进
行分类讨论是解题的关键.
13.在“1BC中,钙=机(机>0),。为43上一点,过£)作。石〃2。交4。于点£1,连接8.设
S.DCE=S2^S.ABC=S1求茅的取值范围.
【答案】
【分析】作AGJ_3C于/点,交DE于G点、,设AZ)=x,首先结合相似三角形的判定与性质
推出斐DF和G笠F的值,然后结合面积公式进行列式,得出二次函数解析式,最后结合二次函
BCAF
数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可.
【详解】解:如图所示,作AGL3C于/点,交DE于G点、,设
9:DE//BC,
:•匕ADEsxABC,
.DEADAGAE_x
BC~AB~AF~AC~m
.GF_m-x
AFm
-DE・GF八万厂厂
c7DEGFxm-xx(m-x)
——:-----=x——=—x
S—BC*AFBCAFmmm2
}2°
整理得:w?
3im
•・•点。在AB上,m>0,
-±<0,
0<x<m,
m
••・抛物线2的开口向下,且当时,,取得最大值为
25
当尤=0和x=〃z时,均有今=0,
31
综上分析,:■的取值范围是。.
3154
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质,二次函数的性质运用等,掌握相似三角形的判
定与性质推出相关线段的比例,以及熟练运用二次函数的性质分析是解题关键.
14.RSASC中,ZC=90°,AC=20cm,BC=15cm,现有动点尸从点A出发,沿AC向
点C方向运动,动点。从点C出发,沿线段CB也向点8方向运动,如果点尸的速度是4cm/s,
点。的速度是2cm/s,它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动.设运
动时间为f秒.
(1)求运动时间为多少秒时,P、。两点之间的距离为10cm?
(2)若ACPQ的面积为S,求S关于f的函数关系式.
(3)当f为多少时,以点C,P,。为顶点的三角形与AABC相似?
A-----------------------------------------B
【答案】(1)3秒或5秒;(2)S=(20z-4r)cm2;(3)t=3或"黑
【分析】(1)根据题意得到AP=4fcm,CQ=2tcm,AC=20cm,CP=(204)cm,根据三角
形的面积公式列方程即可得答案;
(2)若运动的时间为ts,则CP=(20-4/)cm,CQ=2tcm,利用三角形的面积计算公式,即
可得出5=20%4汽再结合各线段长度非负,即可得出t的取值范围;
(3)分①及△CPQs曲△C4B和②用△<??。s放△cfiA,利用相似三角形得出比例式,建
立方程求解,即可得出结论.
【详解】(1)解:由运动知,AP=4tcm,CQ=2tcm,
VAC=20cm,
/.CP=(204)cm,
26
在RtXCPQ中,
CP2+CQ2=PQ2,
即(20—4f)2+⑵y=1()2;
t=3秒或t=5秒
(2)由题意得AP=4r,CQ=2t,则CP=20—4f,
因此Rt^CPQ的面积为S=Jx(20-4r)x2f=(20?-4r)cm2;
(3)分两种情况:
①当皿△CPQs.c钻时,圣=岩,即珠生=青解得/=3;
②当放△CPQsR/^cBA时,CP=CQ即型肚=二解得:竺.
CBCA152011
40
因此,=3或/=五时,以点C、尸、。为顶点的三角形与AABC相似.
【点睛】本题考查了勾股定理,相似三角形的性质,用方程的思想解决问题是解本题的关键.
ApAE
15.如图,在△ABC中,点。在边AB上,点E、点尸在边AC上,S.DE//BC,—=—.
FEEC
(1)求证:DF//BE-,
(2)如且AP=2,EF=4,AB=6^3.求证△AOESAAEB.
【答案】(1)见详解;(2)见详解
AnAFAFAD
【分析】⑴由题意易得而=法’则有花=法’进而问题可求证;
(2)由(1)及题意可知条="=(,然后可得AO=26,进而可证至=42=3,最
BDEF2ABAE3
后问题可求证.
【详角尾】解:(1)9:DE//BC,
ADAE
~BD~~EC
AFAE
~FE~~EC
AF_AD
~FE~~BD
:.DF//BE;
(2)TA尸=2,E/=4,
27
ADAF1
...由(1)可知,AE=6,
BD-EF-2
■:AB=64i,
AD=-AB=2y/3,
3
.AE_6_y/3AD_2y/3y/3
"AB~6y/3~3'AE^63
.AEADA/3
"AB~AE~3'
,?ZA=ZA,
,AADEsAAEB.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
16.矩形ABC。中,AB=CD=3cm,AD=BC=4cm,AC是对角线,动点尸从点A出发沿
AC方向向点C匀速运动,速度为lcm/s;动点。从点C出发沿C。方向向点。匀速运动,
速度为2cm/s.过点P作的垂线段尸8,运动过程中始终保持「"与2c互相垂直,连接
反。交AC于点。若点尸和点。同时出发,设运动的时间为r(s)(0<?<1.5),解答下列
问题:
(1)求当t为何值时,四边形PHCQ为矩形;
(2)是否存在一个时刻,使HQ与AC互相垂直?如果存在请求出f值;如果不存在请说明
理由;
75
(3)是否存在一个时刻,使矩形ABCQ的面积是四边形PHCQ面积的石,如果存在请求
出f值;如果不存在请说明理由.
【答案】⑴/*;(2)存在,f=1|;(3)存在,f=l
【分析】(1)当四边形P8C。为矩形时,尸》=CQ,利用相似三角形的性质求出PH,CH,
构建方程求解即可;
(2)证明A"CQ~AA8C,由相似的性质得出,笑=空,由此构建方程求解即可;
28
(3)根据矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的三,构建方程求解即可.
44
【详解】解:(1)-.-AB=3,BC=4,
AC=V32+42=5-
由题可得:AP=tjCP=5—tJCQ-2t,
•・•四边形ABC。是矩形,
「.ZB=90。,
•.PH1BC,
ZCHP=ZB=90°,
/PCH=ZACB,
...△PCH~,
PHCH「即等CH5-t
~AB~~CB
34
.-.PH=-(5-0,CH=M(5T),
当四边形PH。。为矩形时,PH=CQ,
3
/.-(5-0=2r,
解得:
.•.当f=时,四边形PHCQ为矩形;
(2)存在一个时刻,使HQLAC,
当HQ_LAC时,ZQHC+ZACB=90°,
•,ZBAC+ZACB=90°,
ZQHC=ZBACf
♦・・/HCQ=/B=90。,
;AHCQ-AABC,
,里二丝,^CHBC=ABCQ,
ABBC~
4
二.《(5-1)x4=3x2力,
解得:才二卷,
.•.当""40时,HQLAC.
23
(3)存在,
-75134
由题思得:3x4=-x—x[2tH—(5—f)]X—(5—?),
44255
29
解得:/=1或/=了(舍去),
.•.当r=l
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