中考数学难点突破与训练：相似三角形中的“A”字型相似模型（含答案及解析）

专题09相似三角形中的“A”字型相似模型

【模型展示】

【题型演练】

一、单选题

1.如图，已知VAOE:VABC,若AO:A3=1:3,VABC的面积为9,则VADE的面积为（）

A

A.1B.2C.3D.9

2.如图，在AABC中，DE//BC,若AE=2,EC=3,则△AOE与△ABC的面积之比为（）

A.4：25B.2：3C.4：9D.2：5

3.（2017年甘肃省兰州市七里河区杨家桥学校中考数学模拟）如图，在AABC中，ZC=90°,BC=3,D,

E分别在AB、AC±,将△ADE沿DE翻折后,点A落在点A，处，若A，为CE的中点，则折痕DE的长为

）

A.1B.3C.2D.1

4.如图.在AA8C中，DE//BC,/B=NACD,则图中相似三角形有（）

A.2对B.3对C.4对D.5对

5.如图，AABC中，AB=8,AC=6,NA=90。，点。在AABC内，且少3平分/ABC,DC平分NACB,

过点。作直线PQ,分别交A3、AC于点P、Q,若AAPQ与AABC相似，则线段PQ的长为（）

C.5或十D.6

6

2

6.如图，在R/AA3C中，44c3=90。，取AC的中点O,连接BD,点C关于线段BD的对称点为点E,点

产为线段8上的一个动点，连接AE、BD、BE、DE,已知AC=26，BC=2,AE=y,BDHAE,

EF

当EF+BF的值最小时，则工的值为（）

二、填空题

7.如图，光源尸在水平横杆的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为C。（点尸、A、C在一条

直线上，点P、B、。在一条直线上），不难发现AR/CD.已知AB=15〃，CD=45〃，点P至I］横杆AB的

距离是1，"，则点P到地面的距离等于m.

R

/'、

_\B

，_/____、

/\

Z/'、、

F---------------------------D

8.如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=4,AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且EF1AC

于点M,连接AF,CE,求AF+CE的最小值是.

9.如图，正方形A3CD边长为3,点E是AD上一点，且AE=1,连接8E,过C作CFL3E,垂足为P,

CF交对角线3。于G,将ABCG沿CG翻折得到△HCG,S交对角线3。于V,则“的”=.

3

ED

10.如图，在三角形ABC中，点。为边3C的中点，连接AD,将三角形加沿直线AD翻折至三角形A3C

平面内，使得2点与E点重合，连接CE、BE,分别与边AC交于点与AD交于点。，若AH=CH,

AB=2屈,03=4,则点A到线段BC的距离为.

11.如图，在矩形ABC£＞中，AB=2,BC=3,点E是边AB的中点，连接CE,将4BCE沿CE折叠得到4FCE,

CF与BD交于点、P,则DP的长为—.

三、解答题

12.如图，AABD中，ZA=90°,AB=6cm,AD=12cm.某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以lcm/s

的速度向点8匀速运动；同时，动点N从点。出发沿。A方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时

间为ts.

（1）求f为何值时，△AMN的面积是△面积的§；

（2）当以点A,M,N为顶点的三角形与△A8Z）相似时，求/值.

4

,1/

H

D

13.在△ABC中，AB=m（m>0）,。为AB上一点，过。作。石〃8C交AC于点E,连接CO.设

SADCE=S2，S.ABC=S1，求今的取值范围.

RLABC中，ZC=90°,AC=20cm,SC=15cm,现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动

点。从点C出发，沿线段C8也向点B方向运动，如果点尸的速度是4cm/s,点。的速度是2cm/s,它们同

时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动时间为/秒.

（1）求运动时间为多少秒时，P、。两点之间的距离为10cm?

（2）若ACPQ的面积为S,求S关于f的函数关系式.

（3）当/为多少时，以点C,P,。为顶点的三角形与AABC相似?

A

AFAE

15.如图，在△ABC中，点。在边48上，点E、点厂在边AC上，且DE〃BC,

FE~EC

(1)求证：DF//BE-

(2)如且A尸=2,EF=4,AB=6j3.ADE^AAEB.

5

16.矩形ABCO中，AB=CD=3cm,AD=BC=4cm,AC是对角线，动点尸从点A出发沿AC方向向点C

匀速运动，速度为lcm/s；动点。从点C出发沿方向向点。匀速运动，速度为2cm/s.过点P作BC的

垂线段PH,运动过程中始终保持PH与8C互相垂直，连接交AC于点。若点P和点。同时出发，设

运动的时间为t（s）（0<?<1.5）,解答下列问题：

（1）求当f为何值时，四边形P8CQ为矩形；

（2）是否存在一个时刻，使”。与AC互相垂直？如果存在请求出"直；如果不存在请说明理由；

75

（3）是否存在一个时刻，使矩形A2CZ）的面积是四边形PHC。面积的石，如果存在请求出f值；如果不

存在请说明理由.

17.图，AB//GH//CD,点”在8c上，AC与8。交于点G,AB=2,CD=3,求GH的长.

D

18.一块直角三角形木板的面积为ism?,一条直角边A3为1.5m,怎样才能把它加工成一个面积最大的正

方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工

损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）.

（甲）忆）

6

19.如图，已知。是BC的中点，M是AO的中点.求⑷V:NC的值.

EGHBC交.AD千HG.

(2)如果")=4括，DF=4,请找出与△瓦M相似的三角形，并挑出一个进行证明.

21.如图,在AABC中，点E,尸分别在越AC上,且血=花

(1)求证：AAEF-AABC；

FGFG

(2)若点£)在5C上，AD与EF交于点、G,求证：

BDCD

22.如图，在平行四边形ABC。中，AD^AC,ZADC^a,点E为射线54上一动点，S.AE<AB,连接

DE,将线段OE所在直线绕点。顺时针旋转a交BA延长线于点H,OE所在直线与射线CA交于点G.

(1)如图1,当a=60。时，求证：SADHQXCDG；

(2)当期60。时，

①如图2,连接“G,求证：XADCsXHDG；

②若42=9,BC=12,AE=3,请直接写出EG的长.

7

备用图

23.已知：矩形ABCQ中，A8=9,AQ=6,点E在对角线AC上，且满足AE=2EC,点F在线段CO上,

作直线尸E,交线段A2于点交直线BC于点N.

(1)当CF=2时，求线段BN的长；

(2)若设CV=x,ABNE的面积为y,求y关于尤的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

(3)试判断ABME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值.

24.如图，在平行四边形ABCD中，ZADB=9Q°,AB=10cm,AD=8cm,点尸从点。出发，沿方向

匀速运动，速度为2cm/s；同时，点。从点8出发，沿BC方向匀速运动，速度为lcm/s.当一个点停止运动，

另一个点也停止运动.过点尸作PE//BD交AB于点、E,连接PQ,交3。于点F.设运动时间为小)(0<f<4).

解答下列问题：

(1)当/为时，PQ//A3?

(2)连接EQ,设四边形APQE的面积为y(cm2),求>与/的函数关系式.

8

(3)当/为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？

(4)若点尸关于A3的对称点为广，是否存在某一时刻f,使得点尸，E,广三点共线？若存在，求出，的

值；若不存在，请说明理由.

25.如图1,平行四边形ABCD的对角线AC,3。相交于点。，。边的垂直平分线交3。于点E,连

接AE,CE.

(1)过点A作AF//EC交BD于点尸，求证：AF=BF；

(2)如图2,将ZWE沿A2翻折得到△ABE.

①求证：BE'IICE；

②若AE,UBC,OE=1,求CE的长度.

26.如图，AABC中，点。在AC边上，5.ZBDC=90°+-ZABD.

2

AA

(1)求证：DB=AB-,

(2)点E在BC边上，连接AE交3D于点F且NAFD=NABC,BE=CD,求NACB的度数.

(3)在(2)的条件下，若BC=16,△ABF的周长等于30,求AF的长.

9

专题09相似三角形中的“A”字型相似模型

【模型展示】

【模型证明】

【题型演练】

一、单选题

1.如图，已知VADE:VABC,若4。:43=1:3'钻（？的面积为9,则VADE的面积为（）

A

【答案】A

10

【分析】根据相似三角形的性质得出沁=I,代入求出即可.

S^ABCI

【详解】解：VAADE^AABC,AD：AB=1：3,

2

•°AADE

・q

a^ABC

VAABC的面积为9,

q

QAADE1

99

••SAADE=1，

故选：A.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方

是解此题的关键.

2.如图，在△A5C中，DE//BC,若AE=2,EC=3,则△ADE与△ABC的面积之比为（）

B.2：3C.4：9D.2：5

【答案】A

【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADEs△ABC,根据相似三角形的面积比等于相

似比的平方计算，得到答案.

【详解】解：VAE=2,EC=3,

：.AC=AE+EC=5f

9：DE//BC,

・•・jC2」，

%BCUCJl5j25

故选：A.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平

方是解题的关键.

3.如图，在AABC中，ZC=90°,BC=3,D,E分另!j在AB、AC±,将△ADE沿DE翻

折后，点A落在点A，处，若A，为CE的中点，则折痕DE的长为（）

11

A.3B.3C.2D.1

【答案】D

【详解】试题解析：由题意得：DELAC,

：.ZDEA=90°,

'：ZC=ZDEA,

'：ZA=ZA,

△AEDs^ACB,

.DEAE

"BCAC'

为CE的中点，

：.CA'=EA',

：.CA'=EA'=AE,

.AEDE_I

：.DE=1.

故选D.

4.如图.在AABC中，DE//BC,ZB=ZACD,则图中相似三角形有（）

【答案】C

【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论.

【详解】VZB=ZACD,ZA=ZA,

AACD^AABC,

'：DE//BC,

：.AADE^AABC,

：.△ACOS/XADE,

,JDE//BC,

：.ZEDC=ZDCB,

'：NB=NDCE,

:ACDEsABCD,

故共4对，

故选：c.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定.注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形

的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

12

5.如图，AABC中，AB=8,AC=6,ZA=90°,点。在AABC内，且。5平分/ABC,

平分/ACB,过点。作直线尸Q,分别交A3、AC于点P、。，若AAP。与AABC相似，

则线段P。的长为（）

□35

A.5B.—C.5或高D.6

66

【答案】B

【分析】分△APQsaABC,△APQsaACB两种情况，结合相似三角形的性质和三角形

内切圆求解即可.

【详解】解：若△APQs^ABC,

AZAPQ=ZABC,

・c〃APAQPQ

・・・PQ〃BC,—,

ABACBC

・・・NPDB二NDBC,

VBD平分NABC,

/.ZPBD=ZCBD,

.'.ZPBD=ZPDB,

・・・PB=PD,同理，DQ=CQ,

VAB=8,AC=6,ZA=90°,

ABC=762+82=10,

AB4

n.…ggAPAQZF,AP

设AP=x,Wi—=-^—=ac3,

**•AQ二-x,

4

：.PB=PD=8-x,CQ=DQ=6--x,

4

7

PQ=PD+QD=14--x,

,APPQ14—x

=,即Rnx_4

810

解得：X=y,

・・.PQ=?

o

13

pD\Q

若2APQ^AACB,

则”=强=经，

ACABBC

由题意知：D为△ABC的内心，设△ABC的内切圆交AB于M,交AC于N,

可知四边形AMDN为正方形，

・•・ZA=ZAMD=ZAND=ZMDN=90°,

・・・AM〃DN,AN〃DM,

ZMPD-ZNDQ,NMDP=NNQD,

△MPD^ANDQ,

MPMD

而一而，

VAB=8,AC=6,BC=10,

6+8—10

DM=DN==2,

2

AAM=AN=2,

x2

设PM=x,贝九不二彷，

4

・・・NQ=_,

x

..APAQ

=即x+2_%

•AC~AB

-I---8

3

解得：x=|■或-2（舍）,

37

AP=—1-2=一,

22

B

14

综上：PQ的值为二.

6

故选B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形内切圆，角平分线的定义，有一定难

度，解题的关键是将三角形相似分两种情况讨论.

6.如图，在MAABC中，ZACB=90°,取AC的中点O,连接3D,点C关于线段8。的对

称点为点E,点尸为线段8上的一个动点,连接AE、BD、BE、DE,已知AC=2逐，BC=2,

10FF

AE=—,BD//AE,当EF+8尸的值最小时，则——的值为（）

3BF

B.辿D

A・半5-1

【答案】C

【分析】设点M和点B关于AC对称，F为EM与AC交点，过点E作EGLAC于G,过

点E作ENLBC,交BC延长线于点N,根据题意得出当EF+BF最小时点F的位置，再通

过平行线的性质得到NEAG=NBDC,从而求出EG的长，再判定四边形EGCN为矩形，得

FFNC

到CN’最后利用八MFCSMEN将防转化为石）求值即可.

【详解】解：当EF+BF最小时，如图，点M和点B关于AC对称，F为EM与AC交点,

过点E作EGLAC于G,过点E作ENLBC,交BC延长线于点N,

止匕时EF+BF的最小值即为EF+FM,即EM,

,.'AC=2右，点D为AC中点，BC=2,

/.AD=CD=>/5,

.\tanZBDC=—=

DC5

VAE//BD,

.'.ZEAG=ZBDC,

FG9X

tanNEAG==,设EG=x,

AG5

15

解之得：乂二20号或2-0日（舍）,

由题意可得：ZN=ZACB=ZEGC=90°,

...四边形EGCN为矩形,

.•.EG=NC=—，

9

VACXBC,EN±BC,

・・・AC〃EN,

.•.△MFCSMEN,

.MCMF.EFEFNC20。10

..南二方’则n而=而=而=丁2=3，

故选C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，最短路径问

题，矩形的判定和性质，解题的关键是根据平行利用三角函数得到FG的长.

二、填空题

7.如图，光源尸在水平横杆AB的上方，照射横杆A3得到它在平地上的影子为C。（点尸、

A、C在一条直线上，点尸、B、。在一条直线上），不难发现至//CD.已知A3=L5根,

CD=4.5m,点尸到横杆A3的距离是1根，则点尸到地面的距离等于加.

/\

A/.____\B

，，，、

/\

/'、

Z、

C二-----------------D

【答案】3

【分析】易得△出Bs^PCD,利用相似三角形对应边的比等于对应高的比可得AB与CO

间的距离.

【详解】解：如图，作P尸，CD于点R

16

4」

JE

c-J-------D

F

\'AB//CD,

:.丛PABs丛PCD,PELAB,

:ZABsAPCD,

.ABPE

"'CD~TF'

1.51

即:

4.5PF

解得：PF=3.

故答案为：3.

【点睛】考查相似三角形的应用；用到的知识点为:相似三角形对应边的比等于对应高的比.

8.如图，矩形A8CD中，AD=2,AB=4,AC为对角线，E、尸分别为边42、CD±

的动点，且EF1AC于点M,连接AF,CE,求AP+CE的最小值是.

【答案】5

【分析】AF与EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，

作CGIIEF,S.CG=EF,连接AG,又因点尸是。C上是一动点，由三角形的边与边关系

AF+FG>AG,只有当点E在直线AG上时，AF+FG最小，由平行四边形CEFG可知

FG=EC时，可求AF+CE的最小值

【详解】解：如图所示：过点C作CG〃EF,且CG=£F,连接尸G,

设。P=x,则/C=4—x,

17

当点A、F、G三点共线时，AF+FG的最值小，

VCG//EF,且CG=E尸，

•••四边形CEFG是平行四边形；

/.EC//FG,EC=FG,

又\•点A、尸、G三点共线，

AF//EC,

又：四边形ABC。是矩形，

AE//DC,Zr>=90°,

...四边形AECT是平行四边形，

又,：EFLAC,

四边形AECP是菱形，

AF=FC=4-x,

在尺以公叱中，由勾股定理得：

AD2+DF-=AF2>

又：AD=2,DF=x,则A尸=4一x,

:.22+X2=(4-X)2,

解得：%=不3

AF=~,

2

在R/AADC中，由勾股定理得，

AC2=AD2+DC2=22+42,所以AC=2行

AM=45,

又,：MFIICG,

：.ZAMF=ZACG,ZAFM=ZAGC,

：.NAMF^NACG,

,AM_AF

"7c"AG)

5

即正=/_,

2节AG

：.AG=5,

XVAG=AF+FG,FG=EC,

AF+EC=5,即最小值是5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾

股定理和最短距离问题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与

18

判定.

9.如图，正方形ABC。边长为3,点E是AD上一点，且AE=1,连接BE,过C作CV_LBE,

垂足为歹，C尸交对角线3。于G,将ABCG沿CG翻折得到△"CG,CH交对角线3。于M,

则S-HG”=•

AED

9

【答案】诋

【分析】过点G作GRL8C于R,过点、H作HN〃BC交BD于N,由正方形性质可证明：

△ABEs^FCB,由勾股定理可求BE,由翻折性质可得△"GCg^BGC,进而可证明：

s

ABHN^ABED,可求得HN,再由可求得/"，再由△CGRs/^cBF

,△HGC

即可求得结论.

【详解】解：如图，过点G作GRLBC于R,过点、H作HN〃BC交BD于N

AED

则/3RG=/CRG=90。，

:CF±BE

:.ZBFC=90°

ZCBF+ZBCF=90°

正方形ABCD

ZA=ZABC=90°,AB^AD^BC=3

:.ZABE+ZCBF=90°

:.ZABE=ZBCF

:.AABES»CB

在RgABE中，BE=y/AB2+AE2=732+12=>/10

BF_AEBF=1

'BC-BE''3一屈

RF回

..•t5r-_3,

10

19

由翻折知：FH=BF=2叵，HC=BC=3,AHGC-BGC

105

•：HN//BC:&BHNs4BED

3M

HN器，即研

DE5

2

:.HN=a•.・AHNMSACBM

HM_HN_2

**MC-BC-5

.HM2

••一，

HC7

q

°&HGMHM_2

q

Q&HGCHC-7

・.・GRtBC,NCBG=45。

.•.△3GR是等腰直角三角形，设BR=GR=x,则CH=3-%,

,.FCGRSYCBF

GRBF1vi3

“即三0解得X=[

•而・"CF

1139

••S=—xBCxGR=—x3x—=—

△BS2248

・S-2

△Q

2c299

-jHGM

77828

9

故答案为：—.

28

【点睛】本题考查了正方形性质，翻折变换的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等

三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，三角形面积等知识点；解题关键是利用平行线

证明相似三角形进行转化，有一定难度，属于中考填空压轴题类型.

10.如图，在三角形ABC中，点。为边8c的中点，连接AD,将三角形4步沿直线AD翻

折至三角形A3C平面内，使得B点与£点重合，连接CE、BE,分别与边AC交于点X,

与AD交于点。，若四=CH,AB=2713,03=4,则点A到线段BC的距离为.

20

【分析】如图，过点A作ATLCB交CB的延长线于T.利用勾股定理求出AO,利用三角形

重心的性质求出。。，再利用勾股定理求出RD,利用相似三角形的性质求出AT即可.

【详解】解：如图，过点A作ATLCB交CB的延长线于T.

■■■ZAOB=9Q°,

,/AB=2A/13,03=4,

OA=-JAB2-OB2=7（2713）2-42=6，

=点。为边2C的中点,

.•.点。是AABC的重心，

.\OA=2,OD,

OD=3,

:.BD=SB2+OU="2+32=5,

­.­ZBDO=ZADT,ZBOD=NT=90°,

.•.△DOBOZXDTX,

.OBDB

…而一罚’

45

...--—_—.

AT9

【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质以及重心的性质等

21

知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

11.如图，在矩形4BC。中，AB=2,8C=3,点E是边A8的中点，连接CE,将△BCE沿

CE折叠得到小FCE,CF与3。交于点P,则DP的长为—.

【答案】①

17

【分析岫勾股定理可求出瓦）、EC的长,连接BF交CE于点G,作MLBC于点、H,PQLBC

于点。，根据相似三角形的性质求出BG的长，再根据面积等式列方程求出切的长，再根

据相似三角形的性质求出BQ与CQ的比，进而求出OP的长.

【详解】解：如图，连接2尸交CE于点G,作尸于点"尸。，8。于点。，

:四边形ABCD是矩形，

：.AB=DC=2,ZABC=ZBCD=90°,

'：BC=3,

.BD=ylBC2+DC2=732+22=屈；

VAE=BE=-AB=-x2=l,

22

；•EC=y/BE2+BC2=Vl2+32=710；

由折叠得，CE垂直平分BF,

：.ZBGC=ZEBC=90°,

'：ZGCB=ZBCE,

:.△BGCsAEBC,

,GBBC

"~BE~~EC'

22

iBCBE3x13M

GB-----------=-7=--------

ECM10

222

/.BF=2GB=,CG=y/BC-GB=^3-(-3丽、29回

-------)-

10--------10

由•所*VG得，如帕卜坪屋哪,

9

解得,FH=—；

VZCHF=90°,FC=BC=3,

,:PQ〃FH,

:・ACPQs丛CFH,

,CQ_PQ

•.CH-FH'

12

・口里=5)

99PQ~FH~9

5

4

-•CQ=-PQf

'：ZBQP=ZBCD=90°,

J.PQ//DC,

:・ABPQSABDC,

,BQ_PQ

••一，

BCDC

.BQ_BC_3

"~PQ~1)C~2,

3

--BQ=-PQ,

3

.BPBQ2Pg..9

"~DP~~CQ~T~~S

3

DP=—BD=—xy/13=^^-

171717

故答案为：”三.

17

【点睛】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、

二次根式的化简以及用面积等式列方程等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅

助线，此题难度较大，计算烦琐，应注意检验所求的结果是否正确.

23

三、解答题

12.如图，△A8。中，ZA=90°,AB=6cm,AD=12cm.某一时刻，动点M从点A出发沿

AB方向以lcm/s的速度向点8匀速运动；同时，动点N从点。出发沿方向以2cm/s的

速度向点A匀速运动，运动的时间为a

,»,，7

(1)求f为何值时，△4咖的面积是443。面积的,；

(2)当以点A,M,N为顶点的三角形与相似时，求"直.

【答案】(1)。=4,^=2；(2)—3或1~

【分析】(1)由题意得£W=2r(cm),AN—(12-2f)cm,AM—tcm,根据三角形的面积

公式列出方程可求出答案；

(2)分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值.

【详解】解：(1)由题意得。N=2f(cm),AN=(12-2r)cm,AM=tcm,

•••△AMN的面积=,AN・AM=LX(12-20xt=6t-t2,*

22

VZA=90°,AB=6cm,AD=12cm

J丛ABD的面积为,AB-AD=-x6xl2=36,

22

,9

丛AMN的面积是^ABD面积的§,

2

.*.6f-t2=—x36,

9

A/2-6/+8=0,

解得力=4,t2=2,

2

答:经过4秒或2秒，△AMN的面积是△A3。面积的§；

(2)由题意得£>N=2/(cm),AN=(12-2/)cm,AM=tcm,

若aAMNsAABD,

AMAN12-2t

则有——=—,即工=

ABAD612

解得/=3,

若^AMNS^ADB,

e士AMAN12—2%

则有——=—即

ADAB126

24

解得t=—>

24

答：当，=3或彳时，以A、M、N为顶点的三角形与△A8O相似.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进

行分类讨论是解题的关键.

13.在“1BC中，钙=机（机>0）,。为43上一点，过£）作。石〃2。交4。于点£1,连接8.设

S.DCE=S2^S.ABC=S1求茅的取值范围.

【答案】

【分析】作AGJ_3C于/点，交DE于G点、,设AZ）=x,首先结合相似三角形的判定与性质

推出斐DF和G笠F的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函

BCAF

数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可.

【详解】解：如图所示，作AGL3C于/点，交DE于G点、,设

9：DE//BC,

:•匕ADEsxABC,

.DEADAGAE_x

BC~AB~AF~AC~m

.GF_m-x

AFm

-DE・GF八万厂厂

c7DEGFxm-xx(m-x)

——：-----=x——=—x

S—BC*AFBCAFmmm2

}2°

整理得：w?

3im

•・•点。在AB上，m>0,

-±<0,

0<x<m,

m

••・抛物线2的开口向下，且当时，，取得最大值为

25

当尤=0和x=〃z时，均有今=0,

31

综上分析，:■的取值范围是。.

3154

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质运用等，掌握相似三角形的判

定与性质推出相关线段的比例，以及熟练运用二次函数的性质分析是解题关键.

14.RSASC中，ZC=90°,AC=20cm,BC=15cm,现有动点尸从点A出发，沿AC向

点C方向运动，动点。从点C出发,沿线段CB也向点8方向运动，如果点尸的速度是4cm/s,

点。的速度是2cm/s,它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运

动时间为f秒.

(1)求运动时间为多少秒时，P、。两点之间的距离为10cm?

(2)若ACPQ的面积为S,求S关于f的函数关系式.

(3)当f为多少时，以点C,P,。为顶点的三角形与AABC相似？

A-----------------------------------------B

【答案】(1)3秒或5秒；(2)S=(20z-4r)cm2；(3)t=3或"黑

【分析】(1)根据题意得到AP=4fcm,CQ=2tcm,AC=20cm,CP=(204)cm,根据三角

形的面积公式列方程即可得答案；

(2)若运动的时间为ts,则CP=(20-4/)cm,CQ=2tcm,利用三角形的面积计算公式，即

可得出5=20%4汽再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围；

(3)分①及△CPQs曲△C4B和②用△<??。s放△cfiA,利用相似三角形得出比例式，建

立方程求解，即可得出结论.

【详解】(1)解：由运动知，AP=4tcm,CQ=2tcm,

VAC=20cm,

/.CP=(204)cm,

26

在RtXCPQ中，

CP2+CQ2=PQ2,

即（20—4f）2+⑵y=1（）2；

t=3秒或t=5秒

（2）由题意得AP=4r,CQ=2t,则CP=20—4f,

因此Rt^CPQ的面积为S=Jx（20-4r）x2f=（20?-4r）cm2；

（3）分两种情况：

①当皿△CPQs.c钻时，圣=岩，即珠生=青解得/=3；

②当放△CPQsR/^cBA时，CP=CQ即型肚=二解得:竺.

CBCA152011

40

因此，=3或/=五时，以点C、尸、。为顶点的三角形与AABC相似.

【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键.

ApAE

15.如图，在△ABC中，点。在边AB上，点E、点尸在边AC上，S.DE//BC,—=—.

FEEC

（1）求证：DF//BE-,

(2)如且AP=2,EF=4,AB=6^3.求证△AOESAAEB.

【答案】（1）见详解；（2）见详解

AnAFAFAD

【分析】⑴由题意易得而=法’则有花=法’进而问题可求证;

（2）由（1）及题意可知条="=（，然后可得AO=26,进而可证至=42=3,最

BDEF2ABAE3

后问题可求证.

【详角尾】解：（1）9：DE//BC,

ADAE

~BD~~EC

AFAE

~FE~~EC

AF_AD

~FE~~BD

：.DF//BE；

(2)TA尸=2,E/=4,

27

ADAF1

...由(1)可知,AE=6,

BD-EF-2

■:AB=64i,

AD=-AB=2y/3,

3

.AE_6_y/3AD_2y/3y/3

"AB~6y/3~3'AE^63

.AEADA/3

"AB~AE~3'

,?ZA=ZA,

，AADEsAAEB.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

16.矩形ABC。中，AB=CD=3cm,AD=BC=4cm,AC是对角线，动点尸从点A出发沿

AC方向向点C匀速运动，速度为lcm/s；动点。从点C出发沿C。方向向点。匀速运动，

速度为2cm/s.过点P作的垂线段尸8,运动过程中始终保持「"与2c互相垂直，连接

反。交AC于点。若点尸和点。同时出发，设运动的时间为r(s)(0<?<1.5),解答下列

问题：

(1)求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形；

(2)是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在请求出f值；如果不存在请说明

理由；

75

(3)是否存在一个时刻，使矩形ABCQ的面积是四边形PHCQ面积的石，如果存在请求

出f值；如果不存在请说明理由.

【答案】⑴/*；(2)存在，f=1|；(3)存在，f=l

【分析】(1)当四边形P8C。为矩形时，尸》=CQ,利用相似三角形的性质求出PH,CH,

构建方程求解即可；

(2)证明A"CQ~AA8C,由相似的性质得出，笑=空，由此构建方程求解即可；

28

(3)根据矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的三，构建方程求解即可.

44

【详解】解：(1)-.-AB=3,BC=4,

AC=V32+42=5-

由题可得：AP=tjCP=5—tJCQ-2t,

•・•四边形ABC。是矩形，

「.ZB=90。，

•.­PH1BC,

ZCHP=ZB=90°,

/PCH=ZACB,

...△PCH~,

PHCH「即等CH5-t

~AB~~CB

34

.-.PH=-(5-0，CH=M(5T),

当四边形PH。。为矩形时，PH=CQ,

3

/.-(5-0=2r,

解得：

.•.当f=时，四边形PHCQ为矩形；

(2)存在一个时刻，使HQLAC,

当HQ_LAC时，ZQHC+ZACB=90°,

•,ZBAC+ZACB=90°,

ZQHC=ZBACf

♦・・/HCQ=/B=90。,

;AHCQ-AABC,

，里二丝，^CHBC=ABCQ,

ABBC~

4

二.《(5-1)x4=3x2力，

解得：才二卷，

.•.当""40时，HQLAC.

23

(3)存在，

-75134

由题思得：3x4=-x—x[2tH—(5—f)]X—(5—?),

44255

29

解得：/=1或/=了（舍去），

.•.当r=l