浙江省北斗星盟2024-2025学年高二年级上册12月阶段性联考数学试题

浙江省北斗星盟2024-2025学年高二上学期12月阶段性联考数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若直线/的一个方向向量为(-1,石)，求直线的倾斜角()

7171

A.-B.-

36

_271571

C.—D.—

36

2.已知圆G：(X-4)2+8-4/=32,则以下选项中与圆。内切的圆的方程为()

A.(x-2)2+(y-2)2=4B.(x-3)2+(y-3)2=18

C.(x-l)2+(y-3)2=2D.(尤+l『+(y+l『=2

22

3.已知双曲线的方程是点-1=1,它的两个焦点分别是片与玛,M是双曲线上的一点，且

|孙|=7,则周的值为()

A.1B.13C.1或13D.4或10

4.已知S“是等差数列｛%｝的前〃项和，若%=9,凡=32,则为=()

A.2B.3C.4D.5

5.已知/(0,1,1),5(1,0,1),C(l,l,0),£>(3,0,2),则点。到平面N8C的距离为()

A.3B.V3C.—D.—

113

6.在四棱台NBCO-44GA中，44]_L平面48cD,AB1BC,AD//BC,益=2而，

^.AAl=AB=BC=2AD=2,动点尸满足羽=X丽口e[0,1]),则直线CP与平面所

成角正弦值的最大值为()

A.2B.正C.也D.正

33217

f2

7.设椭圆C:二+%v=1(。>6>0)的左，右焦点分别为片，F”点、M,N在C上，且点”，

N关于原点。对称，当2|峥|=|叫|时，/耳〃工=120。，当点W在椭圆C上运动时，四边

试卷第1页，共4页

形町”面积的最大值是2m，则椭圆C的焦距为（）

A.V?B.6c.2V2D.277

8.记圆锥CG的侧面是曲面a,且曲面an平面/?=/,其中/是圆锥CC］的一条母线，则称

平面户是“n平面”，“n平面”上不与/平行且不与/重合的直线称为“圆锥的斜切直线”.已知

直线“是圆锥CG的“斜切直线”，且直线。经过圆锥CG某条母线的中点，若圆锥CG的体

积是246兀，底面面积是36兀，且圆锥底面中心C到直线。的距离是JI3,则直线。与圆锥

底面夹角的正弦值为（）

AA/3nV2「A/5八V6

3256

二、多选题

9.已知圆C:无2+/-2x-4y+1=0,直线/：2无一y+2=0与圆C交于A,3两点，则以下

四个选项中正确的是（）

A.圆C的圆心坐标是（1,2）B.|/同=?

4

C.CA1CBD.V48c的面积是二

10.如图，把正方形纸片48CD沿着/E（E是线段8C的中点）翻折成平面,。是原

正方形的中心，则在翻折过程中，以下说法正确的是（）

A.BB'1AE

B./夕与8。所成角的最大值是£

2

C.若尸是CD的中点，则"尸与平面N8C。所成角的正弦值的最大值是独3

13

D.过3做/E的垂线与/E交于点H,^BHB>ABAB

11.已知曲线「/+/="国+"帆（〃>0）,直线/经过点N（a,0）,则以下说法正确的是（）

A.记曲线「围成的面积是S,则5=（2+兀）1

试卷第2页，共4页

B.若。=0,直线/与曲线r交于不同的两点8,C,忸C|的最小值是2"

C.当时，有2条不同的直线/,直线/与曲线r有3个不同的交点

D.若。=3,设点B是曲线「上的任意一点，则|48区亚〃+3

三、填空题

12.已知等比数列｛6｝满足4%%=8，则的=.

13.在棱长为6的正方体CU3C43G中，E,尸分别是线段。4。。上的动点，直线。。1

和平面尸所成的角为自，则点5到直线所的最大距离为__________.

6

22

14.已知椭圆+?=左、右焦点分别为片，F2.在直线X=4上有一动点尸(4,切)，

过点尸作两条直线4，4,其中4与椭圆「相切于点D,，2经过点片与椭圆交于点3,C当

■时，机=.

四、解答题

15.已知数列｛%｝("eN*)是公比不为1的等比数列，前”项和为S”，且满足2邑=7出.

(1)求数列｛%｝的公比；

⑵若｛«„｝是递增数列且％=1,求数列｛2〃•电”｝的前〃项和配

16.已知椭圆C:、+《=l(a>b>0)经过点-2后,*,点尸是椭圆上的动点，左右焦

abI2J

点分别是片与耳，过月的直线交椭圆于4,5两点，4片/8的周长为16.

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)若椭圆上有且只有3个点到直线/：3x-4y+加=0,(加>0)的距离为1,求机.

17.如图，三角形尸48和菱形4BCD所在平面垂直，且P/=/B=2,AABC=60°.线段8c

的中点为£.

试卷第3页，共4页

,D

BEC

(1)当DP=2/时，证明：直线平面48CD;

⑵当。尸=3时，求平面PAB和平面PDE夹角的正弦值.

18.已知平面上的动点P到点F(0,1)的距离与直线了=-1的距离相等.

(1)求点尸的轨迹方程；

⑵己知圆C方程是/+5一2)2=4,过点p的两条直线分别与圆。相切于点A,B.

(i)记四边形E4c5的面积是S,若SW8.求点尸纵坐标的取值范围；

(ii)设直线尸N,PB的斜率是左，k2,若ZAPBW(求心-周的取值范围.

19.取整函数被广泛的应用于数论，函数绘图和计算机领域，其定义如下：设xeR,不超

过x的最大整数称为x的整数部分，记作国，函数y=因称为取整函数.另外也称国是x的

整数部分.已知数列｛%｝("€N*)的前〃项和为S“，且2S“=/一〃

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若之［曰］=34,其中左eN*,求左的值；

1=1L

m2+2m_

⑶求证：E［/i+工工口+S,“为8的倍数，其中meN*.(参考公式：

Z=1

y.2_M〃+D(2"+l))

试卷第4页，共4页

《浙江省北斗星盟2024-2025学年高二上学期12月阶段性联考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案CBBDBADDABABD

题号11

答案ABD

1.C

【分析】求出直线斜率，进而求出直线倾斜角即得.

【详解】直线/的一个方向向量为（-1,6）,则直线/斜率为-百，

所以直线/的倾斜角为市.

故选：C

2.B

【分析】明确圆的圆心和半径，计算圆心距，根据两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差的

绝对值来判断两圆是否内切.

【详解】圆A的圆心为G（4,4）,半径外=任=4后.

对A选项：圆心。2（2,2）,半径弓=2,因为圆心距

|C©=J（4-2『+（4-2y=&=30力4拒-2,所以两圆不内切，故A选项不满足条件；

对B选项：圆心G（3,3）,半径分=屈=3收，因为圆心距

|CC|=J（4-3『+（4一3）2=行=4&一38,所以两圆内切，故B选项满足条件；

对C选项：圆心C/1,3）,半径々=也，因为圆心距

22

|qC41=^（4-1）+（4-3）=V10*472-V2,所以两圆不内切，故C选项不满足条件；

对D选项：圆心。5（-1，-1），半径4=血，因为圆心距

|GG|=J（4+1『+（4+以=5收片4a-",所以两圆不内切，故D选项不满足条件.

故选：B

3.B

【分析】根据题意，由条件可得M是双曲线左支上的点，再由双曲线的定义，代入计算，

即可得到结果.

答案第1页，共19页

a2=91a=3

22

【详解】由双曲线的标准方程土-匕=1可得/=16,则6=4,

916_0

c2=25c=5

贝l]a+c=8<|孙|=7,所以点”是双曲线左支上的点，

由双曲线的定义可得|摩|-|班卜2.=6,所以|四卜13.

故选：B

4.D

【分析】根据等差数列的定义和性质，结合等差数列的通项公式可求解.

【详解】因为邑=+。2+。3+。4=2(2+%)=32,

所以的+%=16,又见=9,所以。2=7,所以4=4-%=9-7=2,

所以％=g-d=7-2=5.

故选：D

5.B

【分析】求出平面/3C的一个法向量，然后由点到平面距离的向量求法求解.

【详解】AB=(1,-1,O),^C=(1,0,-1),AD=(3,-1,1),

设』=(x),z)为平面4BC的一个法向量，

则由一得'八，令x=l,贝仃=l,z=l,亢=1,1,1,

AC-n=0[x-z=0

则点D到平面ABC的距离为d=J厂।=6.

同V3

故选：B.

6.A

【分析】建立空间直角坐标系，由向量法表示线面角的正弦值，根据X的范围求解即可.

【详解】

答案第2页，共19页

如图建立空间直角坐标系，

所以4（0,0,2）,耳（1,0,2）,C（2,2,0）,

福=（1,0,0）,哥=（一2,-2,2）,直=（0,0,2）,

CP=CA1+A~P^CAX+^2+A-2,2）,

因为，平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为五《=（0,0,2）,

设直线C尸与平面ABCD所成角为6,

I―►——-ICP^4A4

所以sin<9=cosCP,AAA==„,

11c2•一2），8

因为4e[0,l],所以当2=1时，正弦值最大，且最大值为

故选：A.

7.D

【分析】根据题意，由条件可得四边形町N工为平行四边形，在△孙丹中由余弦定理以

3

及椭圆的定义可得。=力。，再由当"运动到椭圆的上下顶点位置时，四边形的面积最大,

即可得到结果.

【详解】

因为点M,N在C上，且点M,N关于原点。对称,

则四边形MF\NF]为平行四边形,

答案第3页，共19页

又当2|班|=|叫|时，/耳”=120。，贝L|=|M^=2|町

设=则|出|=2加，寓阊=2C,

在△町巴中’由余弦定理可得由2。。=随客」

即二=.+4病一4c2,化简可得机

22m-2mA/7

24

所以|峥|=五C，MFJ=苏＜:,

63

由椭圆的定义可得|孙|+|好卜2a,即/c=2a,即a=酢c

又四边形町N工面积的最大值是2旧,

其中SMRNF?=2s"F'F?，当点M运动到椭圆的上下顶点位置时，S△孙尸2最大，

此时SMF[NFz=2s4鸣-2=2x—x2cxb=2yj\A，化间可得be=VM，

由a=；c可得02=202,即〃+C2=2C2,所以6=

V7777

所以巫c-c=JiW,解得c=右，则椭圆C的焦距为2c=2近.

7

故选：D

8.D

【分析】先求出圆锥的底面半径和高，建立空间直角坐标系，求出n平面的法向量，取直

线。上的一点M(x),z),使得|刀?/1,此时I，痂，从而得到方程组，换元求出

加=卜,-血,/),根据圆锥底面中心C到直线。的距离得到方程，求出，=骼，结合圆锥

底面的法向量，利用线面角的夹角正弦公式求出答案.

【详解】设圆锥底面圆半径为『，圆锥的高为力，则兀/=36兀，解得，，=6,

JX36TI-A=247371,解得人=26,

答案第4页，共19页

z

A

y

如图，其中直线。经过GB的中点A,CRC8在底面圆上，且互相垂直，

以C为坐标原点，CP,C8,C。所在直线分别为X,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则5（0,6,0）,G（0,0,26）,则/（0,3,6）,

口平面与圆锥的侧面交于08,

故在平面BCG内与c#垂直的直线即为n平面的法向量所在直线，

其中南=（0,0,2若）一（0,6,0）=（0,-6,26）,

设ri平面的法向量为“1=（尤）,Z）,显然x=0,则〃|=（O,y,z）,

由nA-BCX=（0,y,z）-（0,—6,26）=-6y+26=0,

令y=i,则z=VL故1=（0,1,6）,

取直线0上的一点M（x,y,z）,使得以Af|=l,此时*_L）而，

其中AM=1,y-3,z-6）,

nx-AM=y—3+V3(z-=0(2)

可令t=z-6,贝Uy-3=-"，将其代入①得/+4/=1,

故AM=1，-,

此时底面中心C到直线”的距离

答案第5页，共19页

即'3①+后|=@，解得卜|=中，

又/+4/=1,止匕时/=；,故，=’满足要求,

而圆锥底面的法向量为［=（0,0,1），

设直线。与圆锥底面夹角为巴

^AM-H||^X,—V3f,?j-（0,0,l）|

2V6

则sin。=\cos（AM,n2

西1.同16

故选：D

【点睛】新定义问题的方法和技巧：

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理

解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解

的较为透彻；

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么

情况下可以使用书上的概念.

9.AB

【分析】对于A,利用配方法整理圆的方程，根据圆的标准方程，可得答案；

对于B,利用点到直线的距离公式求得弦心距，根据弦长公式，可得答案；

对于C,根据垂径定理的相关性质，结合正弦函数的二倍角公式以及锐角三角函数定义，可

得答案；

对于D,根据三角形的面积公式，可得答案.

【详解】由题意，过C作CD，/,垂足为。，作图如下：

答案第6页，共19页

对于A,由方程一+/-2》-4>+1=0,整理可得(x—I)?+(y-2)2=4,贝帼心CQ,2),故A

正确;

|2-2+2|_2

对于B,圆心(1,2)到直线2x-y+2=0的距离是|CD|=

V4+T一垂)，

则|/a=2广；=苧，故B正确;

对于C选项,sm〃C2=sm2N/8=2smN/8cosNNCD=2-忑忑-故C错误;

对于D选项，S=-\CA^CB\smAACB=--2-1--=-,故D错误.

一21"1255

故选：AB.

10.ABD

【分析】过点3作/£的垂线，交AE于点、H,连接8月，利用线面垂直的判定定理及性质

定理可判断A；连接8。，过点A作3。的平行线交CS于点K,直线4S'与NK的夹角就是

4

直线与直线Z夕的夹角，设/£/B=e,sin2e=w，当5'在平面43C。时，

7TIT

ZKAB'^-+29>-,即可判断B；"的轨迹是圆G,当B户与圆G相切时，

42

则与平面/BCD所成角的正弦值的最大，设正方形的边长是2,求出正弦值即可判断C；

△57/3与都是等腰三角形，B'H<BA,继而可判断D.

【详解】对于A：过点3作/£的垂线，交/£于点H,连接2月，

则8〃，么£,3月，/£,又BHCBH=B,u平面&HB,

则/E_L平面87仍，又BB'u平面B，HB,所以故A正确；

答案第7页，共19页

对于B：连接3D,过点A作8。的平行线交C3于点K,则

直线AD与直线2夕的夹角，就是直线42'与ZK的夹角，

124

设6,sin26=2sin6cos6=2・—^=—,

7T7T

当"在平面/BCD时，ZKAB'=-+23>-,

42

jr

因此直线与直线的夹角最大值是巴.故B正确；

2

对于C选项，如图所示，"的轨迹是圆G,当BN与圆G相切时，

则3户与平面ABCD所成角的正弦值的最大，

设正方形的边长是2,sin8=*=：,故C错误.

对于D：△57/5与V8N6都是等腰三角形，B'H<BA,

因此ZBHB'>ZBAB'­故D正确.

故选：ABD.

11.ABD

【分析】由题意分别作图，根据选项的描述，结合图象，利用反例，可得答案.

【详解】对于A选项，该曲线的图象如图所示：

因此该封闭图形的面积由一个正方形和四个半圆组成，计算可得正方形的面积是2/,

半圆的半径是《-〃，四个半圆的面积是兀/,因此S=(2+7i)〃2,故A正确；

对于B选项，由。=0,贝！］/过原点，以原点为圆心，以〃为半径作圆，如下图：

答案第8页，共19页

由图可知当直线/的斜率为0或不存在时，交点刚好在圆上，所截弦长为2”,

而其他直线与曲线的交点都在圆外，因此2〃是最小值，故B正确；

若直线/与曲线「有3个不同的交点,

因此这样的直线/有4条，故C错误;

对于D选项，无论点(3,0)在曲线内还是曲线外,

(3,0)到曲线上点的最大值可以转化成点(3,0)到如图所示的四个圆上的点的最大值,

由对称性可知，点(3,0)到四个圆上的点的最大值在左上圆或者左下圆取到,

则最大值是[g]+*力=步+3”+9当代亚n+3,故D正确.

故选：ABD.

12.2

【分析】根据等比数列的等比中项的性质，可得答案.

【详解】由等比数列｛%｝满足。吗%=8,则。；=8,解得。3=2.

答案第9页，共19页

故答案为：2.

13.6夜-26

【分析】以。为原点，而，反，的为尤,％z轴正方向，建立空间直角坐标系，设£伍,0,0）,

尸（0,4o）,«,&G[O,6],由条件利用向量方法求直线。&和平面a跖所成的角的正弦，列

方程可得见6关系，再在平面0/8C上，建立平面直角坐标系，利用点到直线距离公式求点

8到直线环的距离，结合关系，根据基本不等式求最值.

以。为原点，刀,不?，的为x/,z轴正方向，建立空间直角坐标系,

则。（0,0,0）,01（0,0,6）,£（a,0,0）,尸（0,6,0）,a,6e（0,6）,

OXE=（a,0,—6^,01F=（0,6,—6）,

设平面QE尸的一个法向量为行=（x,y,z）,

ii<0}F=0\ax—6z=0

则，，故八An，

n-OtE=0[by-6z=0

取z=i,贝！]x=9,y-T>

ab

故万=[6n为平面a族的一个法向量，

\ab）

又西=（0,0,6）,直线。Q和平面QE厂所成的角为g

所以/+手

答案第10页，共19页

在平面0/8C上，以CM,OC方向为x',y'的正方向，建立平面直角坐标系,

则方（。,0）,尸（0,6）,8（6,6）,a,be（0,6）,

直线EF的方程为bx+ay-ab=Q,

\6a+6b—ab\

点3到直线环的距离为d=

Va2+b2

H^12（iz2+Z>2）=a2Z>2,

所以〃=26皿"二回=266•业-1,

abab

由基本不等式可得看IN［一］2,当且仅当。=6时等号成立，

所以6（。+6）2W12（/+/）=a2b2,当且仅当a=6=2新时等号成立,

所以0〈巴史《逅，当且仅当°=2"时等号成立，

ab6

所以-1<6•斗-IV痛-1,当且仅当a=6=2指时等号成立，

ab

所以d=—l<2A/3（V6-1）=6V2-2A/3,

当且仅当a=b=2而时等号成立，

所以点3到直线EF的最大距离为6夜-2行.

故答案为：672-273.

14.0

【分析】设。（尤0,%）,表示出过。点的切线方程，与直线x=4联立，表示出P点坐标，表

示出加，根据直线期与2月是同一条直线，可推出8,。两点坐标之间的关系，再根据

F2DF2B=0,可得。点横坐标，进而可确定尸点坐标.

答案第11页，共19页

【详解】如图:

易知%(—1,0),F2(l,0).

2222

设切点D（x。,比）,因为。在椭圆,+?=1上，所以a+?=1.

设切线4：V-%=K（x-Xo）.

y-y0=ki(x-x0)

由<-X2y2，消去y得：(3+4忏卜2+8%(%-5)x+4(%-a)2-12=0.

----1--—二1

[43

由A=0得：64后（%—丘。）2=4（3+4肝）［4（%—/丫一12］,

整理得：（4-君）将+2%%匕+3-吊=0

因为△=4工浜-4（4一引（3_/）=4（3君+4就_12）=0,

所以尢=一看"

4%

-%）,整理得：苧+号=1.

所以直线4：y-y0=-

/XI比歹二1（3伉-1））,所以加=_3（无。-1）①

由，43得尸4,一一U—』

%=4%)

设点8（占,乂），直线8月的斜率为心.

而上2=%；=左期=>?=$7，所以机二二^②

5项+1再+1

将①式和②式联立可得，4=_3小1）,化简得%为=一：&-1）（再+1）③

玉+1%5

又因为=即月。，鸟3,而丽=硬

所以月万•可=0=（%-1）（国-1）+乃为=0,将③式代入化简，可得

3

（%o-1）（再—1）—］（*0—1）（再+1）=。，解得%=1或玉=4（舍去）

答案第12页，共19页

所以。B_Lx轴，即点尸此时为直线x=4和无轴的交点，故加=0.

故答案为：0

【点睛】结论点睛：若点PG。，%）为二次曲线上的点，则过P点的切线方程可用

如下方法获得：

用X肝代替Y，用JV代替用牛代替x,用"上代替儿

15.⑴味2或

【分析】（1）利用等比数列的通项公式得到关于4的方程，解之即可得解;

（2）利用（1）中结论，结合错位相减法即可得解.

【详解】（1）因为数列｛七｝（"eN*）是公比不为1的等比数列，

所以由2s3=7g，得2（%+%+%）=72,

贝I」2（二+g+=7a2，易知出片。，故21—l~l+q]=7,

化简得2q2-5q+2=0,解得4=2或《=；.

（2）因为｛%｝是递增数列且％=1,

所以q=2,%=2"_,贝•出”=2〃，21=〃-4'，

贝1]q=1.4+2・42+…+〃-4",

所以47；=14+…+（〃-1>4"+〃-4。』,

两式相减，得_3外=4+42+…+4"_〃,4".=4（；_：）_〃.4"“,

3n-14

所以北=中.4用+土

22

16.（1）土+匕=1

169

⑵12夜-5

【分析】（1）根据题意，由椭圆定义可得4a=16,再将点的坐标代入计算，即可得到从,

从而得到结果；

答案第13页，共19页

(2)根据题意，由两平行直线的距离公式可得％=机-5或%=小+5,然后联立直线与椭圆

方程，由直线与椭圆相交，相切列出方程，代入计算，即可得到结果.

由椭圆的定义可得人片/月的周长为4a=16,即。=4,

3后222

再将点-2后,代入椭圆C：A+4=1可得82一解得6=9,

2«bITU

22

所以椭圆C的标准方程为土+匕=1.

169

(2)由题意可得，到直线/的距离为1的点的轨迹是与/平行的两条直线,

可设为3x-4y+〃=0,则其与直线/的距离为1,

m—n

即河石T=1，化简可得4=加-5或%=加+5,

又因为勿>0,所以椭圆与/|：3x—4y+>i=0相交且与与:3x-4y+%=0相切,

3x-4y+〃=0

联立方程x2y2，消去V可得18—+6〃x+〃2-144=0,

U69

由椭圆与4：3x-4y+〃1=0相交可得A=36/—4xl8x(〃2-144)=36(288—>0,

解得-12也</<12后，所以％=加-5<12行，

由椭圆与4：3x-4y+%=°相切，

可得A=36/一4xl8x(丁一144)=36(288-/)=0,解得%=±120,

且%>0,即％=12亚=加+5,所以洸=12痣一5.

17.(1)证明见解析

s、8屈

63

【分析】(1)先利用勾股定理的逆定理证得4尸，ND,其次用面面垂直的性质定理证得

答案第14页，共19页

AP±AF,最后用线面垂直的判定定理证得/尸上平面4BCD.

（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，先根据条件确定点尸的坐标，再利用空间向量求

二面角的三角函数值.

【详解】（1）如图：

故为等腰直角三角形，AP1AD

取CD中点尸，连4F.

因为四边形/BCD为菱形，ZABC=60°,

所以N3//C。,/尸_LCD,/£_LBC

所以“尸工工氏/石！./。

因为平面尸N3_L平面/BCD,且交线为

所以平面尸又APu平面P48,所以N尸_L/P

又AFC4D=A,，F,ADU平面ABCD,所以/尸1平面ABCD.

（ah、

（2）如图建系8（2系,0）,C（l,百,0）,。（一1,6,0）,石-,^-,0

\22J]

"D

X

因为平面PAB1平面ABCD,可设。（为。/）

尸=21Jf+z：

=2f1V15

所以=>,________

PD\=3["*+1）2+3----,可取x=—z=-----,

+i=322

所以心0,由

答案第15页，共19页

又平面PAB的法向量4=(0,1,0),设平面PDE的法向量叫=(x,y,z)

一「5百）

则DE=|-,-^,0,EP=

7

DE-n,=QL,令了=1,所以x=B,z=运

所以—J，化简得

DE•%=0+巫z=0525

2

故%=

记平面PAB和平面PDE夹角为6,

1

所以C°SJk()s"i，〃2

H49--3A/21

——+1+——

25125

所以sm°=噜

18.⑴/=4y

⑵⑴0</44；(ii)[1,党卫]

【分析】(1)由题意，结合抛物线的定义与标准方程，可得答案；

(2)(i)由圆外一点作切线的性质，将面积转化为边长，利用两点距离公式可得答案；

(ii)由直角三角形与锐角三角函数，可得动点坐标的取值范围，根据切线性质建立方程,

可得答案.

【详解】(1)设点P(“)，由于动点尸到点尸(o,i)的距离与直线尸-1的距离相等则点尸

的轨迹是抛物线，抛物线的方程是无2=4+

(2)(i)由题意作图如下：

由尸4网与圆c分别相切于42,则尸PBLCB,

答案第16页，共19页

所以S=|4。・|尸/|=|/C卜^|PC|2-|^C|2=2^|PC|2-4，

若S48,可以转化为|PC区2下,设点POo，y（）），

则户。=*+（九一2『=JV+4V20,贝lJ0V%W4,

命+0-2）2=4

联立圆方程与椭圆方程2:'，解得y=o,

则抛物线与圆只相交于（0,0）,而过（0,0）只能做圆C的一条切线，

因此为H0,所以0<%W4

（ii）由P4PB与圆C分别相切于4B,则//尸。=工/2尸8,

2

由乙4尸84乌，则在RtZvlPC中，0</APC4乌，\PC\=,可得忸。24,

3611smZAPC

设尸（2//）,可得「226,

设P4的方程是>一»=E>一2。，化简可得=0,

由相切可得晨匕」=2,整理可得（4-4/伙2+（4/翼沙+4»—4=0,

由题意可知心质为上述方程的根，

2t-t34r-〃

左]+左2=———,kk=

{24—4”

所以见_周€121；12

19.(1)«„=H-1(HGN*)

(2)左=16

(3)证明见解析

【分析】（1）由已知根据。〃与S”的关系求解即可;

（2）根据取整函数的定义分情况讨论即可;

m+2m厂__________m+2m_

（3）由题意可知Z[“■+1+Jq+i+i1=Z[6+,令〃=r+左（左e[0,2〃且左eZ）,

i=li=l

分左e[OJ-1]和左e[t,2t]两种情况求解即可.

答案第17页，共19页

【详解】(1)当〃=1时，25；=12-1=0,所以卬=0,

当“22时，2s“="2—〃，2s“_］=(〃_,

两式相减得2a,=2〃-2,所以

又％=0满足上式，所以数列｛%