浙教版八年级数学上册专项突破：平面直角坐标系与几何图形的综合（解析版）

第14讲平面直角坐标系与几何图形的综合

【知识点睛】

❖平面直角坐标系知识网络系统图

第四章平面直角坐标系知识网络图

i1y

问题一：问题五：若也)、

A8B(x2,y2)

坐标平面内点的坐标特征是什么？①AB的中点坐标公式是什么？

②AB的两点间距离公式是什么？

第二象限第一象限

()()

问题二：0X

同一直线上各点的坐标特点是什么？

问题六：

确定一个点到X轴、y轴的距离的规律时什么？

第三象限第四象限

()()

问题七：

问题三：

坐标平面内不过则图形面积的耒解方法是什么？

坐标平面内点的对称规律是什么？

问题四：问题八：

坐标平面内点与图形平移的规律是什么？坐标平面内的规律题

各问题归纳总结

若点4(匹，％)、B(xv乂)、。(。，b)

问题一：若点P在x轴上，则b=0；若点P在y轴上，则a=0；

若点P在第一象限，则a>0,b>0；若点P在第二象限，则a<0,b>0；

若点P在第三象限，则a<0,b<0；若点P在第四象限，则a>0,b<0；

问题二：若点A、B在同一水平线上，则%=乃；若点A、B在同一竖直线上，则X1=X2；

若点P在第一、三象限角平分线上，则。=A;若点P在第二四象限角平分线上，则。=-6;

问题三：点尸(。，。关于x轴对称的点Pi坐标为双m-。)；

点P(a，关于y轴对称的点入坐标为鸟(一小

点P(a，关于原点对称的点P3坐标为舄(-。，-乃；

问题四：点的平移口诀“左减右加，上加下减”;

问题五：线段AB的中点公式:

I22y

若点A、B在同一水平线上，则AB=k-xJ；若点A、B在同一竖直线上，则AB=|M-%|；

若点A、B所在直线是倾斜的，则AB=A8=,(匹—/y+(%—%y(两点间距离公式)

问题六：点尸(。，。到x轴的距离=出|；点P(a,到y轴的距离=|a|；

问题七：割补法，优先分割，然后才是补全

问题八：周期型：①判断周期数(一般3到4个)；

②总数+周期数=整周期……余数(余数是谁就和每周期的第几个规律一样)

注意横纵坐标的规律可能不同。

【类题训练】

1.如图，A(8,0),B(0,6),以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点2,

则点C的坐标为()

A.(10,0)B.(0,10)C.(-2,0)D.(0,-2)

【分析】根据勾股定理求出根据坐标与图形性质解答即可.

【解答】解：由题意得，。8=6,。4=8,

AB22

=7OB-K)A=1。，

贝I]AC=10,

OC=AC-04=2,

.•.点C坐标为(-2,0),

故选：C.

2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1,3),点B的坐标为(5,3),则线段A2上

任意一点的坐标可表示为(

A--------------------B

Ox

A.(3,x)(-1WXW5)B.(无，3)KW5)

C.(3,尤)(-5WxWl)D.(尤,3)(-5WxWl)

【分析】根据A、8两点纵坐标相等，可确定AB与x轴平行，即可求解.

【解答】解：：点A的坐标为(-1,3),点2的坐标为(5,3),A、8两点纵坐标都为

3,

轴，

线段A8上任意一点的坐标可表示为(x,3)(-14W5),

故选：B.

3.如图，在四边形48。中，AD//BC//x^,下列说法中正确的是()

A.点A与点。的纵坐标相同B.点A与点B的横坐标相同

C.点A与点C的纵坐标相同D.点8与点。的横坐标相同

【分析】根据与无轴平行的直线上点的坐标特征计算判断.

【解答】解：：平行四边形ABC。中，AO〃BC〃x轴，

.•.点A与。的纵坐标相同，点2与C的纵坐标相同.

故选：A.

4.如图，已知/4。2=30°，/AOC=60°,ZAOD=90°,120°,ZAOF=150°,

若点8可表示为点8(2,30),点C可表示为点C(l,60),点E可表示为点E(3,120),

点/可表示为点B(4,150),点8可表示为点2(2,30),则。点可表示为()

A.D(0,90)B.D(90,0)C.D(90,5)D.D(5,90)

【分析】根据题干得出规律，从而得出答案.

【解答】解：根据题意知：横坐标表示长度，纵坐标表示角度，从而得出。点可表示为

(5,90),

故选：D.

5.在平面直角坐标系中，若A(机+3,机-1),B(1-m,3-m),且直线A8〃x轴，则加

的值是()

A.-1

【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，建立方程求解即可求得答案.

【解答】解：：直线AB〃x轴，

.,.m-1=3-m,

解得：m—2,

故选：C.

6.如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点P

从原点。出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒三个单位长度，则第2022秒时，点

P的坐标是(

A.(2021,0)B.(2022,-1)C.(2021,-1)D.(2022,0)

【分析】利用坐标与图形的关系，结合路程问题求解.

【解答】解：一个半圆的周长是m速度是每秒2L,

所以走一个半圆需要2秒，2022秒正好可以走1011个半圆，

故选：D.

7.如图，在平面直角坐标系中，点A(1,1),B(3,1),C(3,3),D(1,3),动点P

从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB-CDA3-…路线运动，当

运动到2022秒时，点P的坐标为()

}'A

01234X

A.(1,1)B.(3,1)C.(3,3)D.(1,3)

【分析】利用路程找规律，看最后的路脚点，再求解.

【解答】解：由题意得：四边形ABC。是正方形，且边长是2,

点P运动一周需要8秒，

2022+8商252余6,结果到点。处，故坐标为(1,3),

故选：D.

8.如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标A(0,4),B(-1,

b),C(2,c),BC经过原点。，且垂足为点。，则4小。。的值为()

A.10B.11C.12D.14

【分析】可以联想到AABC的面积公式，根据&ABO+SAACO=SAABC即可求解.

【解答】解：(0,4),

：.OA=4,

■:B(-1,b),C(2,c),

...点2,C到y轴的距离分别为1,2,

S/SABO+S^ACO—S^ABC,

.\AX4X1+AX4X2=AXAB«C£>,

222

：.AB-CD=U,

故答案为：c.

9.如图，在平面直角坐标系中，A,B,C三点坐标分别为(0,a),(0,3-a),(1,2),

且点A在点8的下方，连接AC,BC,若在AB,BC,AC若所围成区域内(含边界),

横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，那么。的取值范围是()

A.-l<a<0B.-C.lWa<2D.0<aWl

【分析】根据题意得出除了点C外，其它三个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界

上，即线段48上，从而求出。的取值范围.

【解答】解：：点A(0,a),点B(0,3-a),且A在2的下方,

.'.a<3-a,

解得：a<1.5,

若在AB,BC,AC所围成区域内(含边界)，横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5

个，

:点A,B,C的坐标分别是(0,a),(0,3-a),(1,2),

...区域内部(不含边界)没有横纵坐标都为整数的点，

•••已知的5个横纵坐标都为整数的点都在区域的边界上，

•.•点C(l,2)的横纵坐标都为整数且在区域的边界上，

其他的4个都在线段AB上，

；.3W3-A<4.

解得：-1VaWO,

故选：A.

10.如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是(4,0),点尸为边A8

上一点，NCPB=60°,沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点3'处，则2,

A.(2,273)B.(旦，2-爪)C.(2,4-2V3)D.(旦，4-273)

22

【分析】过点"作B'DLOC,因为/CPB=60°,CB'=OC=OA=4,所以NB'

CD=30°,B'D=2,根据勾股定理得DC=2«,故。£)=4-2愿，即2'点的坐标

为(2,4-273).

【解答】解：过点/作皮DLOC

VZCPB=60°,CB'=OC=OA=4

：.ZB'CD=30°,B'D=2

根据勾股定理得DC=243

.••。。=4-2百，即8'点的坐标为(2,4-25/3)

11.如图，在无轴，y轴上分别截取OA,OB,使。4=。2,再分别以点A,B为圆心，以

大于-LAB长为半径画弧,两弧交于点P.若点P的坐标为(a,2a-3),则a的值为.

2

【分析】根据作图方法可知点P在/8。4的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到

x轴和y轴的距离相等，可得关于。的方程，求解即可.

【解答】解：：。4=。2,分别以点42为圆心，以大于山8长为半径画弧，两弧交

2

于点P,

点尸在NBOA的角平分线上，

.•.点P至1Jx轴和y轴的距离相等，

又丫点尸的坐标为(a,2a-3),

••ct~~2a-3,

故答案为：3.

12.如图，△ABC中，点A的坐标为（0,1）,点C的坐标为（4,3）,如果要使与

AABC全等，那么点。的坐标是.

【分析】因为与△ABC有一条公共边AB,故本题应从点。在A3的上边、点D

在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案.

【解答】解：△42。与△ABC有一条公共边

当点。在A8的下边时，点。有两种情况：①坐标是（4,-1）；②坐标为（-1,-1）；

当点。在A2的上边时，坐标为（-1,3）；

点D的坐标是（4,-1）或（-1,3）或（-1,-1）.

13.教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（xi,户）、

B（X2,y2）,所连线段AB的中点是M,则M的坐标为（力学）,如：点A

22

（1,2）、点8（3,6）,则线段AB的中点M的坐标为（工之，2t2）,即M（2,4）.利

22

用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若EQ-l,a）,F（b,a-b）,线段EF的

中点G恰好位于y轴上，且到无轴的距离是1,则4a+b的值等于.

【分析】根据中点坐标公式求出点G的坐标，根据线段所的中点G恰好位于y轴上，

且到x轴的距离是1,得到点G的横坐标等于0,纵坐标的绝对值为1,列出方程组求解

即可.

【解答】解：根据题意得：G之，史三处），

22

•.•线段的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1,

I—a+a^-—b।1=1

解得：4a+6=4或0.

故答案为：4或0.

14.在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点Pi（xi,yi）与尸2（%2,再）的“非常距离”

给出如下定义：若仅1-%2|冽”-泗,则点P1与点P2的''非常距离”为优1-X2卜若|尤1-

X2|<|yi-y2|,则点Pi与点P2的“非常距离”为皿-”|,例如：点Pi（1,2）,点P2（3,

5）,因为|1-3|<|2-5|,所以点P与点P2的“非常距离''为|2-5|=3,也就是图中线段

P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P1Q

的交点）.已知点A（1，0），8为y轴上的一个动点.

（1）若点A与点2的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标；

（2）直接写出点A与点2的“非常距离”的最小值.

y

2I—Q

I

op_

【分析】（1）根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0,y）.由“非常距离”的定

义可以确定|0-y|=2,据此可以求得y的值；

（2）设点B的坐标为（0,y）.因为|-工-0|郅0-y|,所以点A与点8的“非常距离”

2

最小值为I-工-0|=上.

22

【解答】解：（1）;B为y轴上的一个动点，

设点8的坐标为（0,y）.

•：\-l-0|=A^4,

22

.".|0-y|=2,

解得y=2或>=-2；

.,.点2的坐标是（0,2）或（0,-2）；

故答案为：（0,2）或（0,-2）；

(2)V|-A-O|^|O-y|,

2

...点A与点3的“非常距离”最小值为|-1-0|=1；

22

点A与点2的“非常距离”的最小值为工.

2

故答案为：1.

2

15.如图，在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为A(0,4),B(2,0),C(2,5),

连接AB,AC,BC.

(1)求AC,A8的长；

(2)/CAB是直角吗？请说明理由.

0|BX

【分析】(1)过点A作于点〃，再利用勾股定理求解即可；

(2)利用勾股定理的逆定理即可得出结论.

【解答】解：(1)如图，

VA(0,4),B(2,0),C(2,5),

・・・OA=4,OB=2,BC=5,

过点A作AH,3c于点H,

：.BH=OA=4,AH=OB=2,

：.CH=BC-BH=5-4=1,

在中，

AS=VOA240B2=742+22=2V5'

在RtzXA。？中,

AC=VCH2+AH2=Vl2+22=V5；

(2)/CAB是直角，理由：

由(1)得，AC=娓,AB=2爬,BC=5,

7(V5)2+(2V5)2=52>

:.AC1+AB2^BC2,

：.ZCAB是直角.

16.对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积.下

面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：

如图1,2所示，分别过三角形或四边形的顶点A,C作水平线的铅垂线/1,12,h,/2之

间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D,称线段

BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B,D作水平线13,

U,13,/4之间的距离叫做四边形的铅垂高.

【结论提炼】

容易证明：”三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半"，即“s=Lh”

2

【结论应用】

为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系.

已知：如图3,点A(-5,2),B(5,0),C(0,5),则△ABC的水平宽为10,铅垂

高为，所以△ABC面积的大小为

图3图4

【再探新知】

三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可

以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索：

(1)在图4所示的平面直角坐标系中，取A(-4,2),B(1,5),C(4,1),D(-2,

-4)四个点，得至U四边形A8CO.运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四

边形A3C。面积的大小是；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是,

由此发现：用“S=Lh”这一方法对求图4中四边形的面积.(填“适合”或“不

2

适合”)

(2)在图5所示的平面直角坐标系中，取A(-5,2),B(1,5),C(4,2),。2,

-3)四个点，得到了四边形A2CD运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到

四边形A8CZ)面积的大小是，用其它的方法进行计算得到面积的大小是,

由此发现：用“S=Lh”这一方法对求图5中四边形的面积.(“适合”或“不

2

图5图6

(3)在图6所示的平面直角坐标系中，取A(-4,2),B(1,5),C(5,1),D(-1,

-5)四个点，得到了四边形ABCD.通过计算发现：用“S=Ldh”这一方法对求图6

2

中四边形的面积.(填“适合”或“不适合”)

【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形

满足某些条件时，可以用“s=Lh”来求面积.那么，可以用“s=Lh”来求面积的

22

四边形应满足的条件是：.

【分析】【结论应用】直接代入公式即可；

【再探新知】(1)求出水平宽，铅垂高，代入公式求出面积，再利用矩形面积减去周围

四个三角形面积可得答案；

(2)(3)与(1)同理；

【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用"S=L"'

2

来求面积.

=20

【解答】解：【结论应用】由图形知，铅垂高为4,SAABC=1X1QX4)

故答案为：4,20；

【再探新知】

(1):四边形A8CO的水平宽为8,铅垂高为9,

；・运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABC。面积的大小为36,

利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8X9-

1111,

yX2X6-yX3X5-yX6X5-yX3X4-37.5,

.•.用“S=Lh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适，

2

故答案为：36,37.5,不合适；

(2):四边形A2CO的水平宽为9,铅垂高为8,

.♦•运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36,

利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8X9-

yX3X5-yX6X5-yX3X6-yX3X3=36-

.•.用“S=Lh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，

2

故答案为：36,36,合适；

(3).四边形ABC。的水平宽为9,铅垂高为10,

；・运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABC。面积的大小为45,

利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为10X9-

yX5X7-yX4X6-yX5X3-yX4X4=45，

.•.用“S=Lh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，

2

故答案为：合适；

【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用

2

来求面积，

17.如图所示，在平面直角坐标系中，P(2,2),

(1)点A在x的正半轴运动，点8在y的正半轴上，且抬=尸8,

①求证：PALPB-,

②求OA+OB的值；

(2)点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且必=尸2,

③求OA-OB的值；

④点A的坐标为(8,0),求点8的坐标.

【分析】(1)①过点P作轴于E,作PFLy轴于R根据点P的坐标可得PE=

PF=2,然后利用“乩”证明RtZVIPE和RtABPF全等，根据全等三角形对应角相等可

得/APE=/BPF,然后求出/AP8=/EPP=90°,再根据垂直的定义证明；

②根据全等三角形对应边相等可得再表示出。4、0B,然后列出方程整理即可

得解；

(2)③根据全等三角形对应边相等可得AE=BF,再表示出PE、PF,然后列出方程整

理即可得解；

④求出AK的长度，再根据全等三角形对应边相等可得然后求出08,再写出

点B的坐标即可.

【解答】(1)①证明：如图1,过点尸作PELx轴于E,作尸尸，》轴于尸，

'：P(2,2),

：.PE=PF=2,

在RtAAPE和RtABPF中，

[PA=PB,

1PE=PF'

：.Rt/\APE^Rt/\BPF(HL),

：./APE=NBPF,

：.ZAPB=ZAPE+ZBPE=ZBPF+ZBPE=ZEPF=9Q°,

：.PA.LPB；

②解：RtAAP£^RtABPF,

：.BF=AE,

'：OA^OE+AE,OB=OF-BF,

：.OA+OB=OE+AE+OF-BF=OE+OF=2+2=4；

(2)解：③如图2,VRtAAPE^RtABPF,

：.AE=BF,

'：AE=OA-OE=OA-2,BF=OB+OF=OB+2,

：.OA-2=08+2,

：.0A-0B=4；

◎:PE=PF=2,轴于E,作尸;LLy轴于凡

・•・四边形0"方是正方形，

JOE=OF=2,

VA(8,0),

・・・OA=8,

•\AE=OA-OE=S-2=6,

VRtAAPE^RtABPF,

.a.AE=BF=6,

：.OB=BF-OF=6-2=4,

.,.点2的坐标为(0,-4).

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，点8(1,0),点C(5,0),以BC为边在x轴的上

方作正方形A8CD点V(-5,0),N(0,5).

(1)点A的坐标为；点D的坐标为；

(2)将正方形ABC。向左平移相个单位，得到正方形A8CO,记正方形48。。与4

0MN重叠的区域(不含边界)为W：

①当机=3时，区域内整点(横，纵坐标都是整数)的个数为；

②若区域W内恰好有3个整点，请直接写出m的取值范围.

【分析】(1)先求出正方形的边长为8c=4,再求点的坐标即可；

(2)①画出正方形A8CO,结合图形求解即可；

②在△OMN中共有6个整数点，在平移正方形找到恰好有3个整数解的情况即

可.

【解答】解：(1)；点、8(1,0),点C(5,0),

：.BC=4,

:四边形ABCD是正方形，

AA(1,4),D(5,4),

故答案为：(1,4),(5,4)；

(2)①如图:共有3个,

故答案为：3；

②在△OMN中共有6个整数点，分别是(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-2,1),(-

2,2),(-3,1),

,/区域W内恰好有3个整点,

；.2<mW3或6WwV7.

19.类比学习是知识内化的有效途径，认真读题是正确审题的第一步：对于平面直角坐标系

xOy中的点尸(a,b),若点尸的坐标为(a+kb,b^)(其中左为常数，且左W0),则

k

称点P为点尸的“左系好友点”；例如：尸(1,2)的“3系好友点”为p，(1+3X2,2片)

即I(7,J).

请完成下列各题.

(1)点P(-3,1)的“2系好友点”P的坐标为.

(2)若点P在y轴的正半轴上，点尸的“k系好友点”为P点,若在三角形OPP中，

pp'=3。尸，求人的值.

(3)已知点A(x,y)在第四象限，且满足xy=-8；点A是点B(m,")的"-2系

好友点”,求m-2〃的值.

【分析】(1)根据“人系好友点”的定义列式计算求解；

(2)设尸(0,f)(f>0),根据定义得点P(kt,t),贝I]PP=|Q|=3OP=3f,即可求

解；

(3)点A是点BCm,n)的“-2系好有点“，可得点A(m-2n,n-典)，由xy=-8

2

得到(m-2w)2=16,即可求解.

【解答】解：(1)点尸(-3,1),根据'次系好友点”的求法可知，k=2,

V-3+2X1=-1,1+^3=-A,

22

：.P'的坐标为(-1,-1),

2

故答案为(-1,-1)；

2

(2)设尸(0,f)其中f>0,根据“人系好友点”的求法可知，P'(kt,t),

轴，

：.PP'=\kt\,

又；0尸=3PP=3OP,

・二|初=3K

.•.%=±3；

(3)VB(m,n)的-3系好有点A为(m-2n,n-A),

2

•.x=m-In,y—n--,