中考数学难点突破与训练：轴对称综合与折叠问题（含答案及解析）

专题32轴对称综合与折叠问题

【题型演练】

一、单选题

1.（2022•山东滨州•一模）如图，在MAA8C中，NC=90。，AC=3,BC=4,将△ABC绕点A逆时针旋

转得到△AB'C',使点C'落在AB边上，连结班'，贝hos/3'BC'的值为（）

2.（2022•浙江宁波•一模）如图，圆。与的边相切，切点为B.将AQW绕点B按顺时针方向旋转

得到△002,使点0'落在圆。上，边A3交线段AO于点C.若NA'=15°,半径长为2,则CB的长度为（）.

3.（2022.广东汕尾.九年级期中）如图，将线段A3绕一个点顺时针旋转90。得到线段则这个点是（）

P.C

AOBy

・D

A.M点B.。点C.尸点D.N点

4.（2022.天津・九年级期中）如图，尸为正方形ABCD内一点，PC=1,将"DP绕点、C逆时针旋转得到△CBE,

则PE的长是（）

A.1B.y]2c.2D.2a

5.（2022•山东•临沂市河东区教育科学研究与发展中心二模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0,

3）,NAO3=90。，ZB=30°.将AAOB绕点。顺时针旋转一定角度后得到AA'C®',并且点4恰好落到线

段A3上，则点A，的坐标为（）

6.（2022•全国•九年级课时练习）如图，等边AABC边长为4君，NABC和—ACB的角平分线相交于点。,

将△O3C绕点。逆时针旋转30。得到VO耳G，B©交BC于点、D,Bg交AC于点E,则。E=（）

A.2B.6-2y/3C.73-1D.3-73

7.（2022•江苏南京•九年级专题练习）如图，R3A8C中，ZC=90°,ZA=30°,AB=20,点P是AC边上的

一个动点，将线段2尸绕点2顺时针旋转60。得到线段B。，连接C。.则在点P运动过程中，线段C。的最

2

小值为（）

Q

A.4退B.5百C.10D.5

8.（2022.全国•九年级课时练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4,以点C为圆心，2为半径作圆，P

是。C上的任意一点，将点P绕点。按逆时针方向旋转90。，得到点。，连接则的最大值是（）

A.6B.40+2C.20+4D.273+4

9.（2022•福建省厦门集美中学九年级期中）如图，在正方形中，AB=4,E为AB边上一点，点、F

在边上，且BR=1,将点E绕着点F顺时针旋转90。得到点G,连接。G,则。G的长的最小值为（）

BFC

A.2B.2近C.3D.V10

10.（2022・安徽.九年级专题练习）如图，在AABC中，ZACB=90°,ABAC=30°,。为AABC内一点，分

别连接抬、PB、PC,当==时，PA+PB+PC=y/21，则8C的值为（）

3

CB

A.1B.72C.6D.2

11.（2021•新疆.乌鲁木齐市第132中学二模）如图，等边△ABC的边长为6,点。在边A8上，BD=2,线

段CD绕。顺时针旋转60。得到线段。E,连接。E交AC于点F,连接AE,下列结论：①四边形ADCE面

积为9劣；②△AOE外接圆的半径为岑；@AF：FC=2：7；其中正确的是（）

A.①②③B.①③C.①②D.②③

二、填空题

12.（2022•福建省大田县教师进修学校九年级期中）如图，在RtZVLBC中，AB=AC,点£）,E在线段2C

上，且NZME=45。，将线段AD绕点A顺时针旋转90。后得到线段AF,连接防，EF.给出以下结论：

①AAED^AAEF；

②AABE丝AACD；

③BE?+DC?=DE。;

cBE+BF+EFFT

④AB5

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

4

13.（2022•江苏•苏州工业园区金鸡湖学校一模）如图，将矩形纸片ABCD绕顶点8顺时针旋转得到矩形BEFC,

取。、尸C的中点M、N,连接肱V.若AB=4cm,AD=2cm.则线段肱V长度的最大值为cm.

14.（2022.广西•钦州市第四中学九年级阶段练习）如图，长方形ABCZ）中，AB=3,BC=4,E为8c上一

点，且3E=1,尸为A3边上的一个动点，连接所，将昉绕着点E顺时针旋转45。到EG的位置，连接FG

和CG,则CG的最小值为.

15.（2022•江苏・南京钟英中学九年级阶段练习）ULBC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等

边三角形，直线8。与直线AE交于点?如图，将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段4尸

长度的最小值是.

5

三、解答题

16.(2022・北京大兴.九年级期中)在正方形A3C。中，AD=4,点E在边A8上，且A£=3,将线段OE绕

点D逆时针方向旋转得到线段DF,连接EF.

图I备用图

(1)如图1,若点?恰好落在边的延长线上，判断△DEF的形状，并说明理由；

(2)若点尸落在直线3c上，请直接写出ADEB的面积.

17.(2021•新疆・乌鲁木齐市第二十九中学九年级期中)在△ABC与AEOC中，ZACB=ZECD=60°,

ZABC=ZEDC,△£»(?可以绕点C旋转，连接AE,BD

图1

(1)如图1

①若BC=3DC,直接写出线段BD与线段AE的数量关系；

②求直线BD与直线AE所夹锐角的度数；

(2)如图2,BC=AC=3,当四边形ADCE是平行四边形时，直接写出线段DE的长

18.(2022・广东.丰顺县大同中学九年级阶段练习)有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点A顺

时针旋转90°后得到矩形AMEF(如图1),连接BDMF,此时他测得BD=8cm,ZADB=30°.

(1)在图1中，请你判断直线尸河和3。是否垂直？并证明你的结论;

6

(2)小红同学用剪刀将△3CD与AMEF剪去，与小亮同学继续探究.他们将△钿£>绕点A顺时针旋转得

△AgR,交月0于点K(如图2),设旋转角为£(0°<£<90°),当A4FK为等腰三角形时，请直接写

出旋转角"的度数；

⑶若将"fM沿方向平移得到2M2(如图3),用％与AD交于点尸，4M?与5。交于点N,当

NP〃AB时，求平移的距离是多少.

19.(2022・山西吕梁.九年级期中)如图，在边长为6的正方形ABCD中，M是A3上一动点，E是CM的

中点，AE绕点E顺时针旋转90。得到EF,连接OE,DF.

(1)若3M=2,则AE的长为.

(2)求证：DE=EF.

(3)求ZCDF的度数，及CF的最小值.

20.(2022・河北・邢台三中九年级期中)如图，在R3ABC中，ZA=90°,A8=AC=170，点。在边上，

7

连接DC,tan/£)C4=^，点尸为BC边上一点，连接DP,将DP绕点。逆时针旋转90。得到线段。。，连

接尸Q.

(1)AD=，BD=,。。的最小值是.

(2)当N3PQ=15°时，求BP的长;

(3)连接8Q,若△2DQ的面积为25,求tan/B£>Q的值.

7

21.(2022•北京・首都师范大学附属云岗中学九年级期中)在正方形ABC。中，M是8C边上一点，且点M不

与B、C重合，点尸在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90。得到线段AQ,连接3尸，DQ.

(1)如图1,当点尸在线段AM上时，依题意补全图1；

(2)在图1的条件下，延长的，QD交于点、H,求证：ZH=90°.

(3)在图2中，当点尸在线段AM的延长线上时，连接。尸，若点尸，Q,。恰好在同一条直线时，猜想DP,

DQ,A3之间的数量关系，并证明.

22.(2022.吉林白城.九年级期中)［操作］如图1.AABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,。是其内部的一

点，连接。.将8绕点(顺时针旋转90。得到CE,连接DE,作直线AD交班于点E

(1)求证：AADC^ABEC；

⑵求—AFE的度数；

(3)［探究］如图2,连接图1中的AE,分别取A5、DE、钻的中点〃、N、P,作△WP.若3E=8,则△MZVP

的周长为________

23.(2022•福建・厦门市第五中学九年级期中)在“IBC中，ZACB=90°,AC=BC=2,把AABC绕点B顺

时针旋转得到ADBE(点A与。对应).

(1)如图，若点E落在边AB上，连接AD,求AE的长；

8

(2)如图，若旋转角度为60。，连接AE.求AE的长;

(3)如图，若旋转角度为。(45。<0<90。)，连接4£),BF±AD,垂足为足求证：C,E,尸三点在同一直

24.(2022•辽宁・灯塔市第一初级中学九年级期中)如图，在aAABC中，ZR4C=90°,AB=AC,点。为

平面内一点，以。为腰在8右侧作等腰用ACDE,且NCDE=90。，过点B作BF〃DE,且BF=DE,

连接8。，DF,EF.

图①图②

(1)如图①，当点。在AC边上时，直接写出线段AF与AD的关系为

(2)将图①中的等腰成ACDE绕点C逆时针旋转c(O°<a<45。)到图②的位置，连接AD,AF,(1)中的结

论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由;

9

(3)若AD=3,AC=5,当A、E、歹三点在一条直线上时，请直接写出8的长.

25.(2022•山东省济南汇才学校九年级阶段练习)在AA8C中，CA^CB,NACB=(z,点P在平面内不与

点A,C重合，连接AP,将线段”绕点尸逆时针旋转a得到线段DP,连接ARBACP.

图①图②

(1)如图①，当》=60。，百的值是,直线3D与直线CP相交所成的较小角的度数是.

(2)如图②，当&=90。时，请写出罟的值及直线与直线CP相交所成的较小角的度数，并说明理由.

(3)当&=90。时，若点E,尸分别是C4,CB中点，点尸在直线Er上，请直接写出当C,P,O在同一直线上

An

时，求之的值.

10

专题32轴对称综合与折叠问题

【题型演练】

一、单选题

1.（2022•山东滨州•一模）如图，在尺公ABC中,ZC=90°,AC=3,BC=4,ABC

绕点A逆时针旋转得到AAB'C，使点C'落在AB边上,连结BB'，则cos/B'BC'的值为（）

cD.手

A-iB-?-f

【答案】C

【分析】在放AA8C中，由勾股定理可得48=5.根据旋转性质可得AC'=AC=3,C'B'=CB

=4,C'B=2.利用勾股定理可求出88',从而求出cos/B'BC.

【详解】解：在R/A4BC中,

^=7AC2+BC2=5,

由旋转旋转性质可得AC'=AC=3,C'B'=CB=4,

C'B=AB-AC'=2,

BB'=y]C'B'2+C'B2=275,

故答案为：C.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键.

2.（2022•浙江宁波•一模）如图，圆。与AOAB的边A3相切，切点为8.将绕点8按

顺时针方向旋转得到△O'A8,使点O'落在圆。上，边A3交线段AO于点C.若NA'=15。，

半径长为2,则CB的长度为（）.

33

A.若B.2C.-D.

22

11

【答案】B

【分析】根据旋转可得△300,为等边三角形，进而可求出N46。，再利用/A'=15。，可证

明ABC。是等腰三角形.

【详解】解：如图，连接OO'

由题意得：B0=00'=B0',

：./\BOO'为等边三角形，

ZOBO'=60°,

与。。相切于点3,

ZABO=90°.

：."80=90。,

：.Z_AB0=AAB0'-A0B0'=30°,

V/A'=15。，

ZA=15°

ZAOB=90°-ZA=75°,

，ABC0=\S,^-AA0B-AAB0=75°,

：.BC=BO=2.

故选：B.

【点睛】本题考查圆中切线的性质与旋转，熟练掌握圆与切线的性质与旋转的性质是解题关

键.

3.（2022・广东汕尾.九年级期中）如图，将线段A3绕一个点顺时针旋转90。得到线段。，

则这个点是（）

P.C

AQ-BN

・D

A/

A.M点B.。点C.P点D.N点

【答案】A

【分析】根据旋转中心到对应点的距离相等作图可以得解.

【详解】如图，连接AC、BD,分别作AC、3。的垂直平分线，发现相交于M点，因此M

12

点是旋转中心.

故选A.

【点睛】本题考查旋转的应用，熟练掌握旋转的性质、线段垂直平分线的性质及作法是解题

关键.

4.（2022・天津•九年级期中）如图，尸为正方形A8CO内一点，PC=\,将绕点C逆

时针旋转得到△CBE,则PE的长是（）

A.1B.0C.2D.2上

【答案】B

【分析】根据旋转的性质，旋转后的三角形△CPE是等腰直角三角形，由勾股定理可求得

P£=V2

【详解】：△（?£>尸绕点C逆时针旋转得到△CBE,其旋转中心是点C,旋转角度是90。

，NPCE=90。，CE=CP=1

...是等腰直角三角形

PE=>/CE2+CP2=V2

故选项是B.

【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟

练掌握正方形和旋转的性质，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键

5.（2022.山东.临沂市河东区教育科学研究与发展中心二模）如图，在平面直角坐标系中，

点B的坐标为（0,3）,ZAOB=90°,ZB=30°.将AAOB绕点0顺时针旋转一定角度后得到

AA'OB',并且点4恰好落到线段A5上，则点4的坐标为（）

13

’3百J、石3

c.D.

2’2

【答案】D

【分析】过A作AC，A。于C点，先通过解解直角三角形求出0A,再证△OAA是等边三

角形，再在RdAA'C中通过解解直角三角形求出AC、AC,则问题得解.

【详解】过A，作ACLA。于C点，如图,

：8(0,3),

二。8=3,

ZAOB=90°,ZB=30°,

NBA0=60。，

.,.在RtXAOB中，AO=BOxtanN3=3xtan30°=G,

根据旋转的性质可知OA=OA,

.♦.△OAA是等边三角形，

A'A=OA=y/3,

：.在AA'C中，AC=AA'-cosZAA'C=道•cos60°=

A'C=AA'-sin/A4c=6.sin60。=?,

2

OC=OA-AC=^--=—,

22

VA在第二次象限，

A的坐标为：(-#，1)，

【点睛】本题考查了坐标与图形变换-旋转，主要考查了解直角三角形、等边三角形的判定

与性质等知识，证明△OAA是等边三角形是解答本题的关键.

14

6.(2022・全国•九年级课时练习)如图，等边AABC边长为4石，/ABC和—AC8的角平分

线相交于点。，将△OBC绕点。逆时针旋转30。得到VOB】C”片£交BC于点。，4G交

AC于点E,则Z)E=()

A.2B.6-2港C.6TD.3-石

【答案】B

【分析】过。点作OHLBC于〃,08/与BC交于点过M作AffUB。于E求出B0=4,

证明ABOM和△£>/&均为等腰三角形，求出和的值，进而求出DC的长，最后证

明AOEC为30。、60。、90。直角三角形，利用。£=也(刀即可求解.

2

【详解】解:过。点作O//LBC于H,08/与BC交于点M,过M作MHLBO于尸，如下

图所示：

:△ABC为等边三角形，且08、OC分别为/ABC、/ACB的角平分线,

：.Z1=^ZABC=30°,N3=g/ACB=30。，

...△OBC为等腰三角形，由“三线合一”可知：

15

BH=CH=gBC=25

.\BO=^-BH=4,

3

,/△OBC绕点。逆时针旋转30。得到VO4G，

；./2=30°=/l,

...△OBM为等腰三角形，由“三线合一”可知:

BF=^BO=2,

：.MO=BM=垣BF=延，

33

MBi=OB,-OM=OB-OM=4-,

3

又由旋转可知/2=/2尸30。，且对顶角N3MO=/DMB7=120。,

ooooo

ZMr)B7=180-ZB/-ZDA/B7=180-30-120=30,

...△MB/。为等腰三角形，

/.MD=Affi7=4-—,

:对顶角/MC=NM£）B=30。，且/ACB=60。，

ZDEC=180°-ZEDC-ZACB=90°,

MCDE为30。、60。、90。直角三角形,

:.DE=^CD=^（4&4）=6-2B

故选：B.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定及性质、直角三角形的性质及判

定等，熟练掌握特殊三角形的性质及判定是解决本题的关键.

7.（2022•江苏南京•九年级专题练习）如图，RSABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB=2Q,点

P是AC边上的一个动点，将线段B尸绕点2顺时针旋转60。得到线段B。，连接C。.则在

点P运动过程中，线段CQ的最小值为（）

A.4旧B.573C.10D.5

【答案】D

【分析】将R3A8C绕点B顺时针旋转60。得到RtAABC',再设线段A'C'的中点为跖并

16

连接CM.根据线段8尸的旋转方式确定点。在线段AC'上运动，再根据垂线段最短确定当

。与点M重合时，C。取得最小值为CM.根据NC=90。，ZA=30°,48=20求出BC的长度，

再根据旋转的性质求出A3和3C'的长度，根据线段的和差关系确定点C是线段的中点,

进而确定CM是△A2C的中位线，再根据三角形中位线定理即可求出CM的长度.

【详解】解：如下图所示，将RtAABC绕点2顺时针旋转60。得到Rt^ABC',再设线段AC'

的中点为M,并连接CM.

:点P是AC边上的一个动点，线段绕点8顺时针旋转60。得到线段80,

，点。在线段AC'上运动.

.•.当CQLAC,即点。与点M重合时，线段C。取得最小值为CM.

,.•ZC=90°,ZA=30°,AB=20,

：.BC=W.

VRtAABC绕点8顺时针旋转60。得到RtAABC',

BC=BC=10,AB=Afi=20.

：.AC=A'B-BC=1O.

：.A'C=BC=10.

.,.点C是线段A3中点.

;点M是线段A'C的中点，

：.CM是的中位线.

：.CM=-BC'=5.

2

故选：D.

【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形30。所对的直角边是斜边的一半，垂线段最短,

三角形中位线定理，综合应用这些知识点是解题关键.

8.（2022•全国•九年级课时练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4,以点C为圆心，2

为半径作圆，尸是OC上的任意一点，将点尸绕点。按逆时针方向旋转90。，得到点。，连

接BQ,则8。的最大值是（）

17

A.6B.4a+2C.20+4D.2百+4

【答案】A

【分析】连接CP,AQ,以A为圆心，以A。为半径画圆，延长交。A于E.根据正方形

的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质求出的长度，根据

三角形三边关系确定当点。与点E重合时，8。取得最大值，最后根据线段的和差关系计算

即可.

【详解】解：如下图所示，连接CHAQ,以A为圆心，以为半径画圆，延长交。A

于£

:正方形A8C。的边长为4,G)C的半径为2,

：.AD=CD=AB=4,ZADC=90°,CP=2.

7点p绕点。按逆时针方向旋转90。得到点。，

：.ZQDP=9Q°,QD=PD.

：.ZADC=ZQDP.

：.AADC-ZQDC=ZQDP-ZQDC,即/AOQ=/CZ)P.

/.AA£>e^ACDP(SAS),

：.AQ=CP=2.

.\AE=AQ=2.

是oc上任意一点，

•••点。在。A上移动.

/.BE=AE+AB=AQ+AB>BQ.

当点。与点E重合时，3。取得最大值为BE.

BE=AE+AB=6.

18

故选：A.

【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性

质，三角形三边关系，线段的和差关系，综合应用这些知识点是解题关键.

9.（2022•福建省厦门集美中学九年级期中）如图，在正方形ABC。中，AB=4,E为AB

边上一点，点尸在边上，且3尸=1,将点E绕着点尸顺时针旋转90。得到点G,连接DG,

则。G的长的最小值为（）

BFC

A.2B.2拒C.3D.回

【答案】C

【分析】过点G作GPL3c于点P,延长尸G交AD于点设BE=PF=x,只要证得

ABEF公APFG(AAS),利用全等三角形的性质可得3E=PF,PG=BF=1,进而得到

PC=DH^4-l-x=3-x,在RfADGH中,利用勾股定理即可求解.

【详解】解：过点G作GPL3C于点P,延长PG交AD于点H,贝i]/GPb=90。，

•.•四边形ABC。是正方形，

ZADC=ZC=ZS=90°,

；•四边形CD〃尸是矩形，

：.CD=PH=AB=4,PC=DH,

:ZEFG=90°,

：.ZBFE+ZPFG=90°,

又NBFE+NBEF=9Q。,

：.NPFG=ZBEF,

VFE=FG,ZB=Z.GPF=90°,

ABEF/APFG(AAS),

BE=PF,PG=BF=1,

:.GH=PH—PG=4—1=3,

设3E=PP=x,则PC=D〃=4—1一x=3—x,

在咫AZX汨中，由勾股定理得，

19

DG2=0/2+3”2=（3_尤）2+32=（3—无y+9,

当x=3时，DG?有最小值为9,

DG的最小值为3,

故选：C

【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股

定理的运用，作出适当的辅助线是解题的关键.

10.（2022・安徽•九年级专题练习）如图，在AABC中，ZACB=90°,ZfiAC=30°,。为“LBC

内一点，分别连接Bl、PB、PC,当==时，PA+PB+PC=y/^i，贝U

BC的值为（）

A.1B.夜C.拒D.2

【答案】C

【分析】将△8必顺时针旋转60。，到△BMN处，得到△8PM,AABN是等边三角形，证明

C、尸、M,N四点共线，且/OW=90。，设BC=x,贝ijAB=BN=2x,AC=瓜,利用勾股定

理计算即可.

【详解】将△8以顺时针旋转60。，到ABW处，则△8PM,是等边三角形，

NBPM=NBMP=60。,NBAN=60°,PM=PB,BA=BN,PA=MN,

'：ZCPB=ZBPA=ZAPC=ZBMN=120°,

20

ZBMP+ZBMN=180°,ZBPC+ZBPM=180°,

，C、P、M,N四点共线，

CP+PM+MN=CP+PB+PA=721，

:Na4c=30。，ZBAN=60°,

：.ZCAN=90°,

ISBC=X,则A8=8N=2X,AC=y/3x,

：.(V3x)2+(2x)2=(A^T)2,

解得.『百，x=-白，舍去，

故选C.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，

熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

11.(2021•新疆・乌鲁木齐市第132中学二模)如图，等边AABC的边长为6,点D在边42

上，BD=2,线段CD绕。顺时针旋转60。得到线段DE,连接。E交AC于点E连接AE,

下列结论：①四边形4。5面积为9百；②△AOE外接圆的半径为卓；③4尸：FC=2：7；

其中正确的是()

A.①②③B.①③C.①②D.②③

【答案】A

【分析】如图1,在2c上取一点跖使得BM=2,连接DM,分别过。、A作DHIBC,AM1BC,

垂足为H、M,由AABC的边长为6的等边三角形，得—3=60。，AB=BC=AC=6,进而

21

证明的边长为2的等边三角形，△CDE的边长为2s的等边三角形，再证明

理形梯形

AADE^ABCM,得至！JAE//BC,于是有SADCE=SABCE-S^BDC

币,

=1x(2+6)x3^-1x6xA/3=9^/3,由ND4E=120。，DE=2得AAOE外接圆的半径

为名雪，证明△ZMCs/^a*,判断③正确，从而得出结论.

【详解】解:如图1,在BC上取一点M,使得BM=2,连接DM,分别过A作

DHVBC,AM±BC,垂足为H、M,

图1

V△ABC的边长为6的等边三角形，

,N3=60°,AB=3C=AC=6,

BD=2,BM=2,

；.△的边长为2的等边三角形，AD=6-2=4,

ZB=ZBDM=Z.BMD=60°,DM=BD=BM=2,

AG=ABsin60o=6x—=3V3,D/f=BDsin60°=2x—=73,=Br>cos60°=2x-=1,

222

NCMD=180。-60。=120。，CM=BC-BM=6-2=4=AD,

CH=BC-BH=6-1=5,

22

CD=^JCH+DH=J（国+52=2",

线段C。绕。顺时针旋转60。得到线段DE,

；.△cr比的边长为2s■的等边三角形，

:.CD=DE=CE=2/,ZCDE=60°,

•­•ZADC=ZADE+ZCDE=ZADE+60°=ZB+ZBCM=60°+ZBCM,

,­.ZADE=NBCM,

..AADE^ABCM,

ZDAE=ZCMD=120°,AE=DM^2,

ZZME+ZB=180°,

AE//BC,

••S四边形ADCE=S梯形ABCE-S△BDC

22

=1x（2+6）x3>/3-1x6x.x/3

=9。

因此①正确；

•••ZDAE=120°,DE=2a,

.•・△4。£外接圆的直径为区乙=±",

sin6003

.•.△AOE外接圆的半径为牢，

因此②正确；

VZDAC=ZCDF=6Q°f/DCF=ZAFD,

ADAC^CDF,

DCCF2aCF

——=——即m---二一产，

ACCD62"

144

AF=6—=-

33

Ai?4

3

：.AF:FC=2：7,

因此③正确；

故应选A.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定、相似三角形

的性质及判定、图形的旋转以及圆等知识，构造辅助线证明三角形全等和三角形相似是解题

的关键.

二、填空题

12.（2022•福建省大田县教师进修学校九年级期中）如图，在Rt^ABC中，AB^AC,点。，

E在线段BC上，且ZDAE=45°，将线段AT（绕点A顺时针旋转90°后得到线段AF,连接BF,

EF.给出以下结论：

①AAED^AAEF；

②△ABE丝”18；

③BE。+DC?=DE。;

④BE+BF+EF=皈.

AB

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

23

BED

【答案】①③④

【分析】根据旋转的性质即可以及SAS即可判断①；②中的两个三角形只有一条边和一个

角相等，不能判定全等；根据全等的性质以及勾股定理即可判断③；根据等腰直角三角形的

性质即可判断④.

【详解】解：：AABC为直角三角形，AB=AC,

,/ZACB=ZABC=45°,

•••线段4)绕点A顺时针旋转90°后得到线段AF,

AD=AF,ZDAF=90°,

ZDAE=45°,

ZFAE=ZDAF-ZDAE=45°,

在△AED和/中，

AD=AF

<ZDAE=ZFAE,

AE=AE

：.AAED^AAEF(SAS),

故①正确；

在AABE和AACD中，只有NABE=NACD=45。，AB^AC,两个条件不能判定全等，故②

不正确；

,/AAEE^ZXAEF,

DE=EF

•；ZDAF=ABAC=90°,

：.ZDAF-ZBAD=ZBAC-ZBAD,即/BAP=/CAD,

在AABF和AACD中，

AB=AC

<ZBAF=ZCAD,

AF=AD

：.AABF^VACD(SAS),

/.ZABF=ZACD=45°,DC=BF,

•；^ABC=45°,

：.ZFBE=ZABF+ZABC=90°,

EF2=BE2+BF2，

24

/.DE2=BE2+DC2,

故③正确；

：AABC为直角三角形，AB^AC,

/.AB2+AC2=BC2,即2AB2=BC2,

整理得：”=3，

AB

,:BC=BE+DE+CD=BE+EF+EF,

.BE+BF+EF正

AB—，

故④正确；

故答案为：①③④.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等的性质和判定，解题的关键是熟练掌握旋转前后

对应边相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，全等三角形对应边相等，对应角相

等.

13.（2022.江苏•苏州工业园区金鸡湖学校一模）如图，将矩形纸片ABCD绕顶点2顺时针

旋转得到矩形BEFC,取FC的中点M、N,连接MN.若AB=4cm,AD=2cm.则

线段MN长度的最大值为cm.

【答案】（2+J?）

【分析】由三角形中位线定理可求的长，通过证明四边形EFN"是平行四边形，可得

EF=NH=2cm,即可求解.

【详解】解：如图，取3E的中点”，连接MH,BD,NH,

,/AB=4cm,AD=2cm,

；•BD=VAB2+AD2="+展=2国cm),

:点M是ED的中点，点H是BE的中点，

25

•*-MH=V5cm，

・・・将矩形纸片ABC。绕顶点8顺时针旋转得到矩形BEFC,

BE=AB=FG-CD，EF=AD=2cm,

:点〃是BE的中点，点N是FG的中点，

EH=FN,EH〃FN,

/.四边形EFNH是平行四边形，

，EF=NH=2cm,

,：MH+NH>MN,

当点H在MN上时，MN有最大值，最大值=4任/+N"=（2+行卜m,

故答案为:（2+V5）.

【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性

质解决问题是解题的关键.

14.（2022・广西・钦州市第四中学九年级阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB=3,BC=4,

E为BC上一点,且3E=1,尸为A3边上的一个动点，连接收，将所绕着点E顺时针旋

转45。到EG的位置，连接尸G和CG,则CG的最小值为.

【答案】匿

【分析】如详解图，将线段正绕点E顺时针旋转45°得到线段ET,连接。E交CG于/.首

先证明/ETG=90°,推出点G的在射线7U上运动，推出当CGL7U时，CG的值最小.

【详解】解：如图：

26

将线段BE绕点石顺时针旋转45°得到线段ET,连接。不交CG于J.

•・•四边形ABC。是矩形，

AB=CD=3,NB=/BCD=90°,

NBET=NFEG=45°,

：./BEF=ZTEG,

VEB=ET,EF=EG,

：.^EBF^^TEG(SAS),

ZB=ZETG=90\

・••点G的在射线7U上运动，

・••当CGLTU时，CG的值最小,

VBC=4,BE=l,CD=3,

:,CE=CD=3,

ZCED=ZBET=45°,

Z.TEJ=90°=ZETG=ZJGT=90°,

・•・四边形£7^7是矩形，

DE//GT,GJ=TE=BE=\,

：.CJYDE,

：.JE=JD,

JCG=CJ+GJ=1+-2^—,

2

・・・CG的最小值为l+9.

2

【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短知识，

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

15.（2022.江苏.南京钟英中学九年级阶段练习）AABC是边长为5的等边三角形，ADCE是

边长为3的等边三角形，直线8。与直线AE交于点E如图，将△。以绕点。旋转1周，

27

在这个旋转过程中，线段AE长度的最小值是

【答案】4-A/3##-V3+4

【分析】先证明A3C7汪△4"，如图，设BE交AC于点T.证明乙BCT=NAFT=60。，推

出点尸在AABC的外接圆上运动，当NABb最小时，AF的值最小，此时CD_L8D,求出

AE,EF可得结论.

【详解】解：:△ACBADEC都是等边三角形，

AC=CB,DC=EC,ZACB=ZDCE=60。,

：.ZBCD=ZACE,

在△BCD和△ACE中，

CB=CA

<ZBCD=NACE,

CD=CE

：.△BCD四△ACE(SAS),

如图，设防交AC于点T.

ZXBCD^ZXACE(SAS),

,ZCBD=ZCAF,

,?NBTC=ZATF,

：.NBCT=ZAFT=6O°,

，点/在AABC的外接圆上运动，当/ABb最小时，AF的值最小，止匕时CDL8D,

28

・•・BD=4B^C^==4'

：.AE=BD=4,ZBDC=ZAEC=90°,

VCD=CE,CF=CF,

Rt^CFI泾RtACFE(HL^,

：.ZDCF=ZECF=30°,

EP=CE-tan30°=5

，AF的最小值=AE-EB=4-g,

故答案为：4--J3.

【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，解直角三

角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常

考题型.

三、解答题

16.(2022・北京大兴•九年级期中)在正方形ABC。中，49=4,点E在边AB上，且AE=3,

将线段绕点。逆时针方向旋转得到线段DF,连接EE

备用图

(1)如图1,若点尸恰好落在边BC的延长线上，判断ADEF的形状，并说明理由;

⑵若点尸落在直线8c上，请直接写出”)£F的面积.

【答案】(1%。即是等腰直角三角形，理由见解析

⑵3.5或12.5

【分析】(1)由正方形的性质可得ZM=OC,ZADC=ZDAB=ZDCB=90°,由“HL”可证

RSADE%Rf.CDF,可得NADE=NCDP,可得结论；

(2)根据三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】(1)")£F是等腰直角三角形，理由如下：

在正方形48CD中，DA=DC,AADC=Z.DAB=ADCB=900.

•.•广落在边BC的延长线上，

NDCF=NDAB=90°.

■■1将点E绕点。逆时针旋转得到点F,

:.DE=DF,

在RtAADE和Rt^CDF中，

29

\AD=DC

[DE=DF'

RMADE=RtACDF(H”,

\?ADE?CDF,

・.・ZADC=ZADE+NEDC=90°,

NCDF+ZEDC=903即ZEDF=90°.

「.△DEF是等腰直角三角形；

(2)・.・NA=90。，4)=4,AE=3,

DE=y]AD2+AE2=V42+32=5，

当点厂落在线段BC上时，如图2,

图2

•••NC=90°,DF=DE=5,

:.CF=4DF2一CD?=3,

；.BE=BF=L

;.ADEF的面积=^S.^ABCD~^^ADE~^^CDF~^BEF=4x4-—x3x4--x3x4--xlxl=3.5；

当点尸恰好落在边BC的延长线上时，如图1,

ADEF的面积=gx5x5=12.5,

综上所述，ADEF的面积为3.5或125

【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积

公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

17.（2021.新疆・乌鲁木齐市第二十九中学九年级期中）在AABC马AEDC中，

ZACB=ZEC£）=60°,NABC=/EDC,△即C可以绕点C旋转，连接AE,BD

30

⑴如图1

①若BC=3DC,直接写出线段BD与线段AE的数量关系；

②求直线BD与直线AE所夹锐角的度数；

(2)如图2,BC=AC=3,当四边形ADCE是平行四边形时，直接写出线段DE的长

【答案】⑴