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文档简介
浙江省长兴中学等四校2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题
第I卷(选择题)
一、单选题本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U={-1,0,1,2,3},4={-1,0,1,2},B={0,1,3},则2n(QB)=()
A.{-1,0,1}B.{-1,2}C.{0,1}D.{3}
2.若a=0.3°4,b=OA03,CH210g83,则a,b,c的大小关系为()
A.c<a<bB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b
3.已知命题p:就一汽o+/4O,则命题p的否定为()
A.三%。E凡就一%o+。〉0BT%。eR,就一%o+:<0
11
C.VxG/?,x2o—x+-<0D.VxG7?,x2o—x+->0
44
4.已知函数/(%)=2cos%—壮+。―4在R上有且仅有1个零点,则实数。=
A.2B.3C.4D.5
5.二次函数丫=a/+b%+c的图象如图所示,则反比例函数y=?与一次函数y=<&%+c在同一坐标系下中
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6.已知函数/(%)满足/(x)+/(±)=l+x,则f(2)=()
3339
A.-4BqC,2Dy
7.已知a,6都是实数,则“等<产受”是“a>b>0”的()
A,充分不必要条件B,必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.已知函数/(无)=出吧”葭鼠,若正实数a,b,c互不相等,且f(a)=/(b)=/(c),则abc的取值范围
为()
A.(l,e+1)B.(e,e+1)C.(pe)D.(pe+1)
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知口<。<0,。6凡则下列不等式成立的是()
A.B.ac3<be3C.b^_c<-D.^:+a<-+b
baa+caba
10.对于函数/(久)=[漂/黑号黑久给出下列四个命题,其中正确命题的序号是()
A.该函数是以7T为最小正周期的周期函数
B.该函数的图象关于直线%=%+fc7T(fceZ)对称
C.当且仅当%=yr+kn(keZ)时,该函数取得最小值一1
D.当且仅当2/OT<久<?+2/OT(keZ)时,0</(久)〈必
11.已知a>1,b>l,号=2。,-^-=\ogb,则以下结论正确的是()
aJ-0-X2
11
a
A.a+2=b+\og2bB.—+y^=1
11
C.a--<-D.a+/?>4
b2
第n卷(非选择题)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知实数小,n满足2m=9n=18,则2+引=.
13.已知sin(8—9=—且86(0,%则cosg+6)=.
14.对于△ABC,若存在△&B1C1,满足悬■=熟*=潸=1,则称△力BC为“人类三角形”,则“4
COS/11COSo1COSC1
类三角形”一定满足有一个内角为定值,为.
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四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知sin(?T+a)+cos(\+a)_1
C0S(7T—a)
⑴求tana的值;
/c、t>-sincz-3cosaAL/上
⑵求sina+cosa的值.
16.(本小题15分)
已知命题p:VxCR,不等式2/+4久+7—m>0恒成立;命题qTx6R,使/—+m+2<0成立.
(1)若命题P为真命题,求实数小的取值范围;
(2)若命题p,q中恰有一个为真命题,求实数机的取值范围.
17.(本小题15分)
已知某超市的新鲜鸡蛋存储温度双单位:摄氏度)与保鲜时间t(单位:小时)之间的函数关系式为t(x)=+b
该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下,其保鲜时间约为432小时;在存储温度为6摄氏度的情况
下,其保鲜时间约为576小时.
(1)求该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为4摄氏度的情况下,其保鲜时间约为多少小时;
(2)若该超市想要保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于1024小时,则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于
多少摄氏度?
18.(本小题17分)
已知定义在R上的函数八支)满足/(久+y)=f(久)+f(y)+3,且当久>0时,/(%)>-3.
(1)求f(0)的值,并证明f(x)+3为奇函数;
(2)求证:/(久)在R上是增函数;
(3)若/(I)=2,解关于x的不等式f(/+x)+((1-2%)>9.
19.(本小题17分)
若函数y=/(*)对定义域内的每一个值X1,在其定义域内都存在唯一的久2,使/'(X1)/(X2)=1成立,则称该
函数为“依赖函数”.
(1)判断函数g(x)=sinx是否为“依赖函数”,并说明理由;
(2)若函数f(X)=2、T在定义域[犯71](爪>0)上为"依赖函数”,求nm的取值范围;
⑶已知函数以久)=(x—a)2(a》》在定义域6,4]上为“依赖函数”,若存在实数:xe停,4],使得对任意的
tER,不等式—t)%+4都成立,求实数s的最大值.
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答案和解析
1.5
【解析】
集合U={-1,0,1,2,3},
因为8={0,1,3},
所以CuB={-1,2},
因为集合4={—
所以4A(CIJB)={-1,2}.
故选:B.
2.C
【解析】a=O.304<O,303<O.403=b<l,
c=21og83=log89>1,所以c>6>a.
故选:C.
3.£)
【解析】命题p:m*o6R,就一X。+/W0的否定为:对v比6R,x2—x+1>0.
故选D
4.4
【解析】因为/'(-久)=2cos(-x)-(-x)2+a-4=f(x),
所以八支)为偶函数,
又因为/(乃在R上有且仅有1个零点,
则/'(0)=a—2=0,即a=2.
故选4
5.D
【解析】因为二次函数,=。X2+加(:+(;开口向下,所以a<0,
所以y=?的图象必在二四象限,可排除选项/,C,
因为y=a%2+bx+c过点(0,0),所以0=0+0+c,解得c=0,
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所以y=b%+c,即)7=b%过点(0,0),故选项8不正确,
因为y=a/+b%+c的对称轴汽=—^<0,
所以b<0所以y=bx+c的图像在第二四象限,故选项D正确.
故选:D.
6.D
1
【解析】根据/(%)+/(占)=X,
[/(1)+/(2)=|
分别令%=2,-1,2,得到/(一1)+/(工)=0,
,/(2)+/(-1)=3
12
所以/(-1)=3-/(2),-/(2),
故羡一2/(2)=0,解得/"(2)=*
故选:D.
7.B
【解析】取a=1,b=—1,此时1+0=°,?+=1,
满足?<^^至,此时a>b>0不成立;
当Q>b>。时,因为小+b2>2ab,
所以2(Q2+ft2)>(a+b)2,
所以丹丝>号匕
所以Fpi>审,
即审<
综上,“审<照要”是“a>b>0”的必要不充分条件.
故选:B.
8.B
【解析】因为=
则画出函数f(尤)的图象,如图所示:
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即Ina+Inb=0,得ab=1,
当x〉c时,y=e+l—%单调递减,
且与久轴交于点(e+1,0),
所以e<c<e+1,
所以Q/?C的取值范围为(e,e+1).
故选:B.
9.AD
【解析】^a<b<0,cER
对于力中,由3=啜<°,所以所以/正确;
baabba
对于B中,当c=0时,可得ac3=%3,所以B不正确;
对于C中,由任一,=急需=需若,因为c的符号不确定,无法比较大小,
所以C不正确;
1
对于D中,由4知且a<b,根据不等式的性质,可得"<-+b,所以。正确.
a
故选:AD.
10.BD
【解析】由题意函数f(久)黑聪变黑
画出/(尤)在xG[0,2用上的图象,
易得函数/。)的最小正周期为2兀,故N错误;
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由图象结合函数的周期知,函数图象关于直线%=%+上兀(/£62)对称,故8正确;
RTT-
在%=7T+2kji(kEZ)和%=—+2fc7r(fcGZ)时,
该函数都取得最小值-1,故C错误;
7T
在2k兀<xV/+2kn:(kEZ)时,
0</(%)<^,故。正确.
故选:BD.
11.ABD
X_
【解析】对于/选项,即b分别可以看作函数/(%)=口与y=2%y=log2%图象交点的横坐标,
由图可知,C(a,2。),Z)(Wog2fe),
Y
又因为函数/(x)=口图象关于y=比对称,
所以C、。两点关于y=K对称,
所以a=/092匕乃=2°,6=2。,故/正确;
nh
对于B选项,因为a>1力>1,二三=2。5口■=log?。,且6=2。,
所以广Y=b,
取倒数有,一二,即*:=1,
abab
aa
由4项可知,a=log2b,b=2,b=2,
ii
所以强+9=1,故2正确;
11
对于选项,由;;+得:
Ca7b=1
a—7=a+--1>2a-——1=1,
ba\a
当且仅当a=1等号成立,
由图象可知,a6(1,2),
第7页,共11页
所以a—器>1,故C错误;
对于。选项,因为:+2=1,
ab
所以a+b=(a+b)(3+,)=2+(+?22+2中—4,
当且仅当a=6=2时取等,
又因为ae(1,2),所以等号不能取,
所以a+b>4,故。正确.
故选:ABD.
12.1
【解析】因为2力=9^=18,
所以m=log218,n-log918,
11
+=
所以云nI°gi82+logi89=10g1818=1.
故答案为:1.
13_2衣
【解析】由。6(0,%可得"累(—笠),
而sin(B—§)=—§<0,—§6(—1°),
所以cos(8-$=Jl-sin2(6-^)=竽,
所以cos旁+。)=cos[?r+(8—切=—cos(9—f)=
故答案为:—竽.
14—
,4
【解析】•:sinA,sinB,sinC>0,
・••cos/i,cos&,cosCi>0,
则△&&Ci为锐角三角形,
若△ABC也是锐角三角形,
-s-in-A-=--si-n-B-=--si-n-C-=])
cosXi-cosBi-cosCi-'
第8页,共11页
sin/=cos/】=sin
sinB=cos%=sin(--B1))
!sinC=cosCi=sin(3-C\)
(A=--Ar
得B等也
TT
三式相加,得A+8+c=5(与三角形内角和定理矛盾),假设不成立,
所以△ZBC是钝角三角形,不妨设钝角为4
n
sin(ji—A)=sinA=cos=sin(——A1)
n
{sinB=cosB^=sin(——B1),
4
sinC=cosCi=sin(——Ci)
即卜=f~B1,三式相加,可得B+C—a=-p
lC=2-C1
又因为B+C+A=7i,
所以2=穿,
即“襟三角形”有一个内角为定值学
故答案为:V-
15.sin-+a)+cosg+a)=sina-sina=2tana=1,
''cos(7r—a)—cosa
所以tana=2;
(2)由(1)知tana=!;
福PIsina—3cosa_tana—3
sina+cosatana+1
_l_3_5
一邛一一3。
16.解:(1)若命题p为真命题,则4=16-8(7-m)=8m-40<0,me(-°°,5).
(2)当q为真命题时:
22
ZJ2=4m-4(m+2)=4m-4m-8>0,mG(-°°,-1)U(2,+oo).
当命题p,q中恰有一个为真命题时,
第9页,共11页
为真命题,q为假命题,即{小反加式2,爪6[-1,2].
2,为假命题,q为真命题,即{北|彳或m<-1■,-mG[5,+co).
综上:me[-1,2]U[5,+00).
17【解析】(1)依题意得{晨:::舐,则e2a=1||=*
当%=4时,t(4)=e4a+b—g6^fc==768,
e4
即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为4摄氏度的情况下,其保鲜时间约为768小时.
1Q/Q、~X—3
(2)令eax+bN1024,得e6a+b•(e2a)/-321024,即576小胃>1024,
则铲一,嘿=*(犷,
因为函数y=(7是单调递减函数,所以与一3W—2,
解得XW2,
故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于2摄氏度.
18.【解析】(1)令x=y=0,得/(0)=-3.
令丫=-X,则/(0)=f(x)+/(-%)+3,
即/(x)+3=-[/(-%)+3],
所以函数f(x)+3为奇函数;
(2)证明:在R上任取“1>无2,则打一万2〉。,
所以/'(久1—%2)>—3.
所以fQl)一/(%2)=/[(^1-X2)+x2]-/(x2)=/(Xl-X2)+/(x2)+3-/(X2)>。,
所以函数人吗在R上是增函数.
(3)由八1)=2,得/(2)=7,<(3)=12.
由f(%2+
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