中考数学难点突破与训练：二次函数中的线段周长问题（含答案及解析）

专题39二次函数中的线段周长问题

【题型演练】

一、单选题

1.（2020・福建・龙海二中一模）抛物线丫=加+8-3与x轴交于A,8两点，与y轴交于点C,且OB=OC

=304求抛物线的解析式（）

A.y=y?-2x-3B.y=x2-2x+3C.j=x2-2x-4D.y=x2-2x-5

2.（2022・广东.惠州市惠城区博文学校九年级期中）已知抛物线y=ox?+6x+3在坐标系中的位置如图所示，

它与x,y轴的交点分别为A,8.点P是其对称轴x=l上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：

@2a+b=0；②x=3是℃2+公+3=0的一个根；③周长的最小值是屈+3夜；④抛物线上有两点

河（西,％）和N（X2，%），若不<1<彳2，且％+尤2>2,则%>>2，其中正确的有（）个.

x=l

3.（2021•浙江湖州•模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系无Oy中，抛物线。：y^aix2（0加）与抛物线

2

C2：y^a2x+bx（d2#0）的交点尸在第三象限，过点P作无轴的平行线，与物线C/,C2分别交于点M,N.若

黑PM=24,则ci,,的值是（）

PNna2

21

A.—B.n~1C.nD.---

nn-1

4.(2015•江苏苏州•九年级期末)如图，己知抛物线》=-/+°工+4的对称轴为直线了=—3,过其顶点M的

一条直线'=履+匕与该抛物线的另一个交点为N(―1,1).若要在y轴上找一点P,使得PM+PN最小,

则点P的坐标为()

543

A.(0,2)B.(0,-)C.(0,-)D.(0,-)

332

5.(2019•浙江•九年级阶段练习)如图，抛物线y=-x2+2x+m+l交x轴于点A(a,0)和B(B,0),交y轴

于点C,抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=l,则b=4；③抛物线上有两点P

(xi,yi)和Q(X2,y2)，若xi<l<x2,且xi+x2>2,则yi>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E,点G,

F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为W2,其中正确判断的序号是()

A.①B.②

C.③D.@

4

6.(2019•浙江湖州•九年级期末)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，。为坐标原点，抛物线产--x2+bx+c

经过原点，与x轴的另一个交点为A(-6,0),点C是抛物线的顶点，且。C与y轴相切，点尸为。C上

一动点.若点。为心的中点，连结则。。的最大值是()

2

y

A/130

C.2而

2

7.（2018.河北开B台.一模）如图，抛物线尸仪彳一丁+刈必①经过点㈠⑼，顶点为时，过点*0M+4）作

无轴的平行线/,/与抛物线及其对称轴分别交于点AB，”,以下结论:

①当x=3.1时，y＞0；

②存在点P,使AP=PH；

③（BP-AP）是定值；

④设点M关于的x轴的对称点为AT,当。=2时，点AT在/下方.

其中正确的是（）

A.①③B.②③

C.②④D.①④

8.（2020.山东•模拟预测）如图，抛物线、=-/+2了+%+1（%为常数）交，轴于点人，与x轴的一个交点在2

和3之间，顶点为8.

①抛物线＞=-尤2+2工+〃2+1与直线＞=机+2有且只有一个交点；

②若点M（-2J）、点N],yJ、点尸（2,%）在该函数图象上，则％＜%＜为

③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y=-（x+l）2+m；

④点A关于直线x=l的对称点为C,点£＞、E分别在无轴和＞轴上，当加=1时，四边形8CDE周长的最小值

为-\/34+\/2.

其中正确判断的序号是（）

3

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

9.（2019•浙江温州•九年级阶段练习）如图，抛物线y=/+2x-3交坐标轴于A、B、C三点，直线EN为抛

物线的对称轴，E为对称轴与x轴的交点，点D为抛物线上一动点（D点在x轴下方），直线BD交直线EN

于点M、直线AD交直线EN于点N,在点D从点A运动到点2的过程中，线段+的变化趋势为（）

A.一直在增大B.一直不变C.先增大后减小D.先减小后增大

10.（2022・浙江温州.九年级阶段练习）如图，抛物线y=-/+2x+l交无轴于A,B两点，交y轴于点C,点

D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E,点G,尸分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG

周长的最小值为（）

C.730D.2不

4

二、填空题

11.（2022.全国•九年级课时练习）如图，抛物线y=（x-2）2-2与直线y=*-4交与点A与点8,点p是线

段上的动点，过点尸作PQ〃y轴，交抛物线于点Q,则线段P0长的最大值为.

12.（2022•吉林白城•九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-%2+2x+c与x轴交于点A、B,

与y轴交于点C,过点C作CD〃x轴，交抛物线于另一点D,若AB+CD=3,则c的值为.

13.（2022・山东.日照市田家炳实验中学九年级阶段练习）如图，在抛物线y=上取点耳（^,_；）,在

y轴负半轴上取一个点A，使。与4为等边三角形，然后在第四象限取抛物线上的点为，在y轴负半轴上

取点&，使A4与&为等边三角形，重复以上的过程，可得八嵋4皿弓/，则4。。的坐标为

14.（2022•山东・武城县鲁权屯镇中学九年级阶段练习）平面直角坐标系中，将抛物线、=-尤2平移得到抛物

线C,如图所示，且抛物线C经过点A（T,0）和3（0,3）,点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点尸作尤

5

轴的垂线，垂足为。，则OQ+PQ的最大值为

15.（2022・广东・测试・编辑教研五一模）如图，抛物线y=-x?+x+6交X轴于A、8两点（A在8的左侧），交了

轴于点C,点。是线段AC的中点，点P是线段A3上一个动点，△APD沿DP折叠得△A'PD,则线段A3

的最小值是.

16.（2021.新疆・乌鲁木齐市第四十四中学九年级阶段练习）如图所示，抛物线丫=-丈2+乐+3与x轴交于点A

和点8,与y轴交于点C,且OA=OC,点M、N是直线x=-l上的两个动点，且MN=2（点N在点M的上方），

则四边形BCNM的周长的最小值是.

6

三、解答题

17.(2021.新疆・乌鲁木齐市第五十四中学九年级阶段练习)如图，已知直线>=尤+3与x轴交于点A,与y

轴交于点8,抛物线y=-V+bx+c经过&、8两点，与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,

抛物线顶点为D

备用图

(1)点A的坐标为，点B的坐标为.

(2)①求抛物线的解析式；

②点M是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点使得△肱48的面积最大?若存在，请求这个最

大值并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点尸从点。出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为r秒，当t为何值

时，以P、3、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的“直.

18.(2022•全国•九年级专题练习)如图1,已知抛物线丁=加+法+。与x轴交于点A(-2,0)、B(3,0),与y

轴交于点C(0,4),连接AC、BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2汝口图，点尸是直线8C上方抛物线上一点，过点尸作〃》轴交8C于点。，过点尸作于点E,

当2DE的周长最大时，求出APDE的周长最大值及此时点P的坐标；

19.(2022•全国•九年级专题练习)已知二次函数图象的顶点坐标为“(1,0),直线>=*+机与该二次函数的

7

图象交于A,8两点，其中A点的坐标为(3,4),B点在y轴上.

(1)求m的值及这个二次函数的解析式；

(2)在x轴上找一点。，使"QAB的周长最小，求出此时。点坐标；

20.(2022・全国•九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yngf+bx+c经过点A(yo),点〃

为抛物线的顶点，点B在，轴上，且。4=03,直线与抛物线在第一象限交于点C(2,6).

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线的函数解析式为，点M的坐标为,连接OC,若过点。的直线交线段AC

于点尸，将AOC的面积分成1:2的两部分，则点尸的坐标为；

(3)在y轴上找一点Q,使得△AMQ的周长最小，则点。的坐标为

21.(2022・全国•九年级专题练习)如图，已知抛物线y=ax2+fov+c与无轴交于点A(2,0),B(-4,0),与y轴

交于C(0,-3),连接2C.

(1)求抛物线的解析式;

8

(2)如图，点尸是直线BC下方抛物线上一点，过点尸作PDLBC于点。，过点尸作PE〃y轴交BC于点E,

求△/©£■周长的最大值及此时点P的坐标；

22.(2022・全国•九年级专题练习)如图，直线y=-x+3与无轴、y轴分别交于3、＜7两点，抛物线丁=-/+法+。

经过2、C两点，与x轴另一交点为A,顶点为D

(1)求抛物线的解析式；

(2)在x轴上找一点E,使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；

23.(2022・全国•九年级专题练习)在平面直角坐标系中，抛物线y=g尤2+bx+c经过点A(-4,0),点M为抛

备用图

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线AB的函数解析式为，点M的坐标为,sinNACO=.

(3)在y轴上找一点。，使得△AMQ的周长最小.请求出点。的坐标；

24.(2022・全国•九年级专题练习)如图，抛物线丁=加+4丫-6交x轴于4(-2,0),8(6,0)两点，交y轴于点

。(0，-6),点Q为线段BC上的动点.

9

(1)求抛物线的解析式；

(2)求。A+。。的最小值

25.(2022.全国•九年级专题练习)如图,抛物线y=++bx+c与无轴相交于点A(-3,0),3(1,0),与y轴交

于点C(0,3),点。为抛物线的顶点.

(1)直接写出抛物线的函数表达式；

(2)如图，抛物线的对称轴上是否存在点足使得△83周长最小，若存在求点尸坐标，并求周长的最小值；

若不存在，请说明理由

26.(2022•全国•九年级专题练习)如图，直线/：y=-g尤+1与尤轴、y轴分别交于点8、C,经过8、C两

点的抛物线y=x2+bx+c与无轴的另一个交点为A.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P在直线/下方的抛物线上，过点尸作PD〃x轴交/于点。，PE〃y轴交/于点E,求PD+PE的最

10

大值

27.(2022・全国•九年级专题练习)如图，抛物线>="2+加+6(中0)经过A&，，和3(4,6)两点，点尸是

线段AB上异于A3的动点，过点P作PC，龙轴于点。，交抛物线于点C.

1

(1)求抛物线的解析式；

(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由;

28.(2022・重庆八中模拟预测)平面直角坐标系中，抛物线>无+c与直线XB交于点3(2,0),

K(T2,T4),与y轴交于点C.

Bx

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

(2)如图1,连接BC,点尸是线段BK上方抛物线上的一个动点，过点尸作尸Z〃x轴交CB于点Z,过点尸

作尸。〃C8交直线KB于点。，求与若PQ+PZ的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，将该抛物线向下平移1个单位，向右平移3个单位，使得尸点对应点p.点

O

S是新抛物线对称轴上一点，在平面上否存在一点N,使以P、S、A、N为顶点的四边形是菱形，若存在,

请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

11

专题39二次函数中的线段周长问题

【题型演练】

一、单选题

1.（2020・福建・龙海二中一模）抛物线>=加+版-3与x轴交于48两点，与y轴交于点C,

且OB=OC=3OA,求抛物线的解析式（）

A.y—x2-2x-3B.y=/-2x+3C./=/-2x-4D.y=x2-2x-5

【答案】A

【分析】由抛物线与y轴的交点坐标可求。C得长，根据O2=OC=3OA,进而求出。2、

OA,得出点A、8坐标，再用待定系数法求出函数的关系式.

【详解】解：在抛物线>=加+灰-3中，当x=0时，y=-3,点C（0,-3）

0c=3,

"：OB=OC=3OA,

：.OB=3>,OA=l,

：.A（-1,0）,B（3,0）

把A（-1,0）,B（3,0）代入抛物线了二4+匕尤-3得：

a-b-3=0,9。+36-3=0,

解得：<7=1,b--2,

抛物线的解析式为y=/-2x-3,

故选：A.

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式；是一道二次函数综合题.

2.（2022・广东・惠州市惠城区博文学校九年级期中）已知抛物线>="2+法+3在坐标系中的

位置如图所示，它与尤，y轴的交点分别为A，8.点P是其对称轴x=l上的动点，根据图中

提供的信息，给出以下结论：①2a+6=0；②x=3是◎?+灰+3=0的一个根；③钻周

长的最小值是9+30；④抛物线上有两点加（占,*）和N（X2，%），若％<1<%,且

%+%>2,则%>%，其中正确的有（）个.

12

X=1

【答案】D

【分析】①根据对称轴方程求得。、b的数量关系；②根据抛物线的对称性知抛物线与x轴

的另一个交点的横坐标是3；③利用两点间线段最短来求AaiB周长的最小值；④根据二

次函数图象，当尤/<1<&,且X/+M>2,根据离对称越远的点的纵坐标就越小得出结论.

【详解】解：①根据图象知，对称轴是直线》=-==1,则。=Q,即2a+6=0.故①正确；

2a

②根据图象知，点A的坐标是（-1,0）,对称轴是直线尸1,

则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3,0）,

所以尤=3是加+法+3=0的一个根，故②正确；

③如图所示，点A关于x=l对称的点是A1即抛物线与x轴的另一个交点.

x=l

连接S4,与直线x=l的交点即为点P,则4以8周长的最小值是（3A分AB）的长度.

,:B（0,3）,A'（3,0）,

:•B岫=3贬.而AS=«+3?=回,

即△周长的最小值是3人+J访.故③正确.

④观察二次函数图象可知：当X/<1<X2,且尤/+X2>2,

则1-X1<X2-1,

：.yi>y2.

故④正确.综上所述，正确的结论是：①②③④.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质以及两点之间线段最

短.解答该题时，充分利用了抛物线的对称性.

3.（2021•浙江湖州•模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C/：y=aix2

（a#0）与抛物线C2：y=a2X2+bx（④力。）的交点P在第三象限，过点P作无轴的平行线,

13

PM2

与物线。，G分别交于点"，N.若再=7,则力勺值是()

nn-1

【答案】B

【分析】令41=。21+公，求得尸的横坐标，然后根据两抛物线的对称轴求得-

2b

hhh2h

PN—2(-)—--，由-——得到/一二，整理即

2a2ax—a2a2ax-a2PN不1?____乙°n

〃201一%

可得到1=〃-2,,即可求得」~=〃-1.

【详解】解：令。/兀2=〃2X2+法，

「,b

解传制一0,X2—9

b

:.p的横坐标为------,

“1一"2

2

:抛物线C]：y=%x2(q*0)的对称轴为y轴，抛物线C?:y=a2x+"(%w0)的对称轴为直

,b

线x=-—，

2a2

2bbbb2b

：.PM--,PN-2(-)---

2d2^^2Cl/?dy—a?

..PM_2

*PN—n'

2b

.q—%2

"b2b

a2ax-a2

]

.ax-a22

••11

+

C^2

n12

%—。2。2%—〃2

14

n-21

~~Cl?Cl?

a.

—-l=n-2,

%

・・一=n-1,

a2

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得P的横坐标，

表示出PM、PN是解题的关键.

4.(2015•江苏苏州•九年级期末)如图，已知抛物线丁=-苫2+»+4的对称轴为直线了=—3,

过其顶点M的一条直线、=履+。与该抛物线的另一个交点为N(—1,1).若要在y轴上找

一点P,使得PM+PN最小，则点P的坐标为()

543

A.(0,2)B.(0,-)C.(0,-)D.(0,-)

332

【答案】A

【详解】试题分析：因为抛物线y=—x2+px+q的对称轴为直线x=—3,过点N(—1,1),

--匕=-3p=-6

所以｛-2,解得｛“，所以y=—V+px+qn—Y-6X-4=-(X+3)2+5,所以

,,q=-4

p+q=\

顶点M为(-3,5),则点M关于y轴的对称点M'为(3,5),设直线M'N的解析式为V=区+8，

-k+b=l[k=\

把点N(―1,1),点(3,5),代入得八,解得八,所以直线为y=x+2,令

3k+b=5[b=2

x=0,则y=2,所以点P的坐标为(0,2),故选A.

考点：1.待定系数法求函数解析式；2.轴对称；3.直线与y的交点.

5.(2019•浙江•九年级阶段练习)如图，抛物线y=-x2+2x+m+l交x轴于点A(a,0)和B

(B,0),交y轴于点C,抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-l,

则b=4；③抛物线上有两点P(xi.yi)和Q(x2,y2)，若xi<l<X2，且XI+X2>2,贝！Iy>y2；

④点C关于抛物线对称轴的对称点为E,点G,F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边

15

形EDFG周长的最小值为6、Z其中正确判断的序号是()

A.①B.②

C.③D.®

【答案】C

【详解】试题解析：①当x>0时，函数图象过一四象限，当0<x<b时，y>0；当x>b

时，y<0,故本选项错误；

②二次函数对称轴为当a=-l时有=也=1,解得b=3,故本选项错误；

2x(-1)2

③•.,XI+X2>2,

...

，Q点距离对称轴较远，

/.yi>y2<故本选项正确；

④如图，作D关于y轴的对称点DIE关于x轴的对称点E，，

连接DE,DF与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值.

当m-2时，二次函数为y=-x2+2x+3,顶点纵坐标为y=-l+2+3=4,D为(1,4),则D'为(-1,

4)；C点坐标为C(0,3)；贝UE为(2,3),E为(2,-3)；

贝！JDE=7(2-1)2+(3-4)2=&；D'E'=7(-1-2)2+(-3-4)2=屈；

四边形EDFG周长的最小值为0+J电，故本选项错误.

故选C.

考点：抛物线与x轴的交点.

6.(2019•浙江湖州•九年级期末)如图，已知在平面直角坐标系无Oy中，。为坐标原点，抛

16

物线y=-gN+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为A(-6,。)，点C是抛物线的顶点,

且。C与y轴相切，点P为。C上一动点.若点。为抬的中点，连结。£),则。。的最大值

C.2屈

2

【答案】B

【分析】取点打(6,0),连接由待定系数法可求抛物线解析式,可得点C坐标，可得。C

半径为4,由三角形中位线的定理可求当点C在尸”上时,PH有最大值，即可求解.

【详解】如图，取点H(6,0)，连接PH,

4

•・•抛物线＞=-灰+。经过原点，与1轴的另一个交点为A(-6,0),

c=0

\4,

0=——x36-6Z?

19

：8

,b=—

解得:<3,

c=0

48

・•・抛物线解析式为：尸-

・・・顶点C(-3,4),

・・・。。半径为4,

9：AO=OH=6,AD=BD,

：.OD=^PH,

：.PH最大时,。。有最大值，

17

/.当点C在尸〃上时，尸”有最大值，

•♦PH最大值为=3+,81+16=3+。97,

・・・。。的最大值为:上叵,

2

故选B.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，二次函数的性质，三角形中位线定理等知识，解决本题的

关键是要熟练掌握二次函数性质和三角形中位线的性质.

7.(2018•河北邢台•一模)如图，抛物线y=a(x-l)2+Ma>0)经过点(-1,0),顶点为

过点尸(0M+4)作无轴的平行线/与抛物线及其对称轴分别交于点以下结论：

②存在点P,使=

③(BP-AP)是定值；

④设点M关于的x轴的对称点为AT,当。=2时，点在/下方.

其中正确的是()

A.①③B.②③

C.②④D.①④

【答案】A

【分析】根据二次函数的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3,0),且抛物线

开口向上，可对①作判断；根据图形中与x轴交点坐标(-1,。)和对称轴与x轴交点(1,0)可对

②作判断；

根据对称性得：AH=BH,根据线段的和与差可对③作判断；根据的坐标和/到x轴的

距离可对④作判断.

【详解】解：①由题意得：a>Q,开口向上，

抛物线对称轴是x=l,且经过点(T,0),

..・抛物线过x轴另一个点为(3,0),

当x=3.1时，y>0；

故①正确；

②当P在。点时，AP=PH，

18

a>0,

不可能与。重合，

故②不正确；

@BP-AP=（BH+PH）-AP=AH+PH-AP=2PH=2,

故③正确；

④把（一1,。）代入y=a（x-l）2+左中，k=Ya,

当a=2时，a+4=6,-（-4"）=8,点AT在/的上方，

故④不正确；

所以正确的有：①③，

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的性质、与x轴的交点、关于x轴对称的点的特点，利用数形

结合的思想解决问题是关键，并熟练掌握二次函数的性质.

8.（2020・山东.模拟预测）如图，抛物线、=-/+2*+7〃+1（根为常数）交》轴于点人，与无轴

的一个交点在2和3之间，顶点为5.

①抛物线>=-犬+2*+"[+1与直线、=加+2有且只有一个交点；

②若点M（-2,%）、点点尸（2,%）在该函数图象上，则

③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为

y=—（彳+1）-+m；

④点A关于直线x=l的对称点为C,点D、E分别在x轴和y轴上，当机=1时，四边形

周长的最小值为取+应.

其中正确判断的序号是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

【答案】D

【分析】根据一元二次方程的判别式的值，即可判断①；根据抛物线的对称性和二次函数的

增减性，即可判断②；根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可判断③；先求出

A,B,C的坐标，作点8关于>轴的对称点？（T,3）,作点C关于x轴的对称点C（2,-2）,连

19

接笈C,与X轴、y轴分别交于"E点,则四边形3cDE的最小周长=8C+3C,即可判

断④.

【详解】①把y=〃?+2代入>=-/+2*+7“+1中，得V-2尤+1=0,

=4-4=0,

一元二次方程两个相等的实数根，

/.抛物线y=-犬+2x+机+1与直线y=w+2有且只有一个交点，

故此小题结论正确；

②抛物线的对称轴为：直线U,

点尸(2,%)关于直线X?的对称点为尸'(°，％)，

•»-a=-KO,

・•・当x<i时，y随次增大而增大，

又.一2<0<；,点/(-2,乂)、点N(g,%)、点P(0,%)在该函数图象上，

；•%>%>%，

故此小题结论错误；

③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位后，抛物线的解析式为：

y~~—(x+2)~+2(x+2)斗相+1—2,BP：y1=—(x+l)~+%，

故此小题结论正确；

④当k=1时，抛物线的解析式为：-X2+2X+2,

A(0,2),C(2,2),3(1,3),

作点8关于y轴的对称点？(T,3),作点C关于无轴的对称点C(2,-2),连接8C,与x轴、

了轴分别交于。、E点,则BE+ED+CD+BC=BE+ED+CD+BC=BC+BC,

根据两点之间线段最短，可知8c最短，而8C的长度一定，

.1四边形3COE的最小周长=bC+BC

=^JB'M2+CM2+yjBM2+CM2

=^32+52+7I2+I2

=734+72.

故此小题结论正确；

综上所述：结论正确的有①③④，

故选D.

20

【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数图象的交点以及轴对称

的性质，熟练掌握二次函数图象的对称性，增减性，函数图象的交点问题与方程的根的关系，

二次函数的平移规律，利用轴对称性，求线段和的最小值，是解题的关键.

9.（2019•浙江温州•九年级阶段练习）如图，抛物线y=d+2尤-3交坐标轴于A、B、C三

点，直线EN为抛物线的对称轴，E为对称轴与x轴的交点，点D为抛物线上一动点（D点

在x轴下方），直线8。交直线EN于点M、直线AD交直线EN于点N,在点D从点A运动

到点8的过程中，线段•+硒的变化趋势为（）

A.一直在增大B.一直不变C.先增大后减小D.先减小后增大

【答案】B

2

【分析】根据题意，分别解得点A、B、C、E的坐标，设£＞（如x0+2x0-3）,分别解得直

线BD、AD的表达式，再进一步解得交点M、N的坐标，即可解得线段EM、EN的长，据

此解题.

【详解】抛物线丫=X2+2了-3的对称轴为》=一二=一：=-1

2a2

二直线EN为x=-l

E为对称轴与x轴的交点，

E（-l,0）

点D为抛物线上一动点，设。（和叶+2尤o-3）

令x=0,解得y=-3,二C（0,-3）

令y=0,贝1J2尤-3=0

21

/.(x+3)(x-l)=0

..%——3,x?~1

/.A(-3,0),5(1,0)

设直线BD的表达式为％=4》+伪，代入点B、D

得14+4=°.14=飞+3

[d[x0+bl=Xg+2x0-3[bt=-x0-3

直线BD的表达式为％=(%+3)//-3=(x0+3)(x-l)

设直线AD的表达式为%=%x+62，代入点A、D

,[-34+%=0j4=%-1

\d2x0+打+2尤o-3也=3%0-3

直线AD的表达式为y2=(/o-l)x+3x。-3=(x+3)(%-1)

■直线BD交直线EN于点M

Jx=_[

=(%+3)(尤-1)

解得y=-2尤o-6

M(—1?—2x0—6)

同理直线交直线EN于点N,

Jx=-l

,[%=(尤of(尤+3)

解得y=2x()-2

N(-1,2%-2)

EM=|-2XQ-6|=2XQ+6,EN=2-2XQ

EM+EN=2x0+6+2-2x0=8

.•.EM+EV的长度不变，

故选：B.

【点睛】本题考查二次函数的综合，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键.

10.(2022•浙江温州•九年级阶段练习)如图，抛物线y=-d+2x+l交x轴于A,8两点，

交y轴于点C,点。为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E,点G,F

分别在尤轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为()

22

A.6B.4A/2C.屈D.2币

【答案】B

【分析】利用抛物线的解析式求得点C、。和E的坐标，利用轴对称的性质和将军饮马模型

作出点。关于y轴的对称点。‘，点E关于x轴的对称点E',连接DE,交无轴于点G,交

y轴于点E此时即PG周长取最小值，利用点的坐标的性质和勾股定理即可求得结论.

【详解】解：令尸0,则尸1,

C（0,l）,

y=-x2+2x+l=-（x-l）2+2,

/.。。，2）,抛物线的对称轴为直线x=l,

:点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E,

：.£（2,1）,

,,DE=Jl2+12=-\/2，

作点。关于y轴的对称点。'，点E关于无轴的对称点E‘，连接。'E',交x轴于点G,交y

轴于点尸，如图，

23

此时DF+FG+EG=FD'+FG+GE'=D'E',

此时四边形EDFG周长最小，

延长DD,EE',它们交于点如图，

D'E'=y/32+32=372，

...四边形EDFG周长的最小值为DE+DF+FG+EG=DE+DE=6+3近=4®,

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点，轴对称的性质、勾股定理和抛

物线上点的坐标的特征，利用轴对称的性质找出点尸和G的位置是解决本题的关键.

二、填空题

11.（2022•全国•九年级课时练习）如图，抛物线y=（x-2『-2与直线y=x-4交与点A与

点2,点P是线段A3上的动点，过点尸作PQ〃y轴，交抛物线于点。，则线段尸。长的最

大值为.

24

【分析】根据尸。〃y轴，可设点尸的根-4),则。(八(m-2『-2),从而得到

Pe=(m-4)-[(m-2)2-2],再根据二次函数的性质，即可求解.

【详解】解：：PQ〃y轴,

可设点P(m,7/7-4),则Q(m,(m-2)2-2),

=—2)2—2^|=-m2+5m—6=—^m—^+；,

当根=|"时，PQ最大，最大值!.

24

故答案为：—

4

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的

关键.

12.(2022・吉林白城•九年级期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-*+2%+c与尤

轴交于点48,与y轴交于点C,过点C作CD〃x轴，交抛物线于另一点。，若AB+CD=3,

则。的值为.

3

【答案】

4

【分析】先用根与系数的关系求出43=2^^]1,再根据CD〃x求出CD,然后由

AB+CD=3得到关于。的方程，解方程求出c即可.

【详解】解：设4(出0)，3(%,0),

令)=。，贝Iy=-x2+2%+。=0,

由根与系数的关系得：%+%2=2，工厂工2=-。，

则AB=\xx-x2\=J(X[+%)2—44%2-2&+1，

令％=0,则U

Ac(o,c),

〈CD〃龙轴，

・••点D纵坐标为c,

当V=。时，贝!]-X2+2x+c=c,

解得：x=2或x=0,

25

/.D（2,c）,

CD=2,

•；AB+CD=3,

2Vc+l+2=3,

3

解得：。=-：，

4

3

故答案为：-二.

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数与一元二次方程之间的关系，灵活运用所

学知识是解题的关键.

2

13.（2022・山东・日照市田家炳实验中学九年级阶段练习）如图，在抛物线＞上取点

耳（¥，-f，在y轴负半轴上取一个点4,使。旦A为等边三角形，然后在第四象限取抛

物线上的点为，在y轴负半轴上取点4,使‘4层4为等边三角形，重复以上的过程，可

得△A/iooGoo，则Aoo的坐标为.

【答案】（0,-5050）

【分析】首先求出A、A的坐标，通过观察得出规律，再根据规律求出4。。的坐标.

【详解】解：根据用的坐标片（立，-3,设直线。与解析式为尸后，

2

:•直线。片的解析式为：y=_昱x,

-3

为等边三角形，4（#，彳），

26

：.OA}=1,A（0,-1）,

VOBX//A}B2,又直线44过点A（o,-1）,

则直线A星的解析式为：>=-且尤-1,

3

[y=---6---x-l1

联立抛物线解析式得3,

y=--x2

I-3

解得：7（x>o）,

卜=-2

/.B2(A-2),A4