中考数学难点突破与训练：解直角三角形中的背靠背模型（含答案及解析）

专题14解直角三角形中的背靠背模型

【模型展示】

特点

通过在三角形内作高AC,构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC是解题的关键.在

RtAACD和RtABCA中，AC为公共边，DC+CB=DB.

结论“背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高

【题型演练】

一、单选题

1.如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时

间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）

A.304海里B.（30+30的）海里C.120海里D.60海里

2.如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30。，看这栋高楼底部C点的俯角

为60。，若热气球与高楼的水平距离为30m,则这栋高楼高度是（）

B

LIE□

LIE口

口[II

[][

］口

A.60mB.406mC.30百mD.60石m

二、填空题

3.如图，海中有个小岛A,一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与

小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60。方向，此时轮船与小岛的距离/W为

海里.

4.4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全

程直播.如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°,B处的俯角为45°.如果此时

直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是米.

5.如图所示，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70。方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西

50°方向匀速航行，1小时后到达码头8处，此时，观测灯塔C位于北偏西25。方向上，则灯塔C与码头8的

距离是海里（结果精确到个位，参考数据：应它1.4，6。1.7,太。2.4）

2

6.如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00,测得小岛C在轮船A的北偏东45。

方向上；上午10：00,测得小岛C在轮船B的北偏西30。方向上，则轮船在航行中离小岛最近的距离约为

—海里（精确到1海里，参考数据④目.414,73-1.732）.

C

45"、q（r

、一

3

7.某拦水坝的横截面为梯形ABCD,迎水坡的坡角为a,且=背水坡AD的坡度为，=2:5是

指坡面的铅直高度AE与水平宽度DE的比，坝面宽AB=3m,坝高4E=12m,则坝底宽CD=.

三、解答题

8.如图，A,2两地之间有一座山，汽车原来从A地到2地须经C地沿折线A-C-2行驶，全长68万加现

开通隧道后，汽车直接沿直线A3行驶.已知NA=30。，ZB=45°,则隧道开通后，汽车从A地到8地比原

来少走多少千米？（结果精确到0」初z）（参考数据：72=1.4,6切.7）

9.已知锐角AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,边角总满足关系式：号:工=今,

sinAsmBsmC

*

(1)如图1,若a=6,ZB=45o,NC=75。，求6的值;

（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥8（如图2所示），若

3

CD，AB,AC=14米，AB=10米，SmZACB=^-,求景观桥CD的长度.

14

10.为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点

测得条幅顶端A点的仰角NADF=45。，条幅底端E点的俯角为NFDE=30。，DF±AB,若甲、乙两楼的水平

距离BC为21米，求条幅的长AE约是多少米？（丛=1.73,结果精确到01米）

11.如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房4B的楼顶，测量对面的乙栋楼房C。的高度，

已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CO的水平距离AC=186米，小丽在甲栋楼房顶部2点，测得乙栋楼房顶部

。点的仰角是30。，底部C点的俯角是45。，求乙栋楼房。的高度（结果保留根号）.

12.如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路.点尸表示

住宅小区，在彩印公司北偏东30。方向与包装公司北偏西60。方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米

为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据：0=1.414,73«1.732）

13.如图，为了测量河宽,在河的一边沿岸选取8、C两点,对岸岸边有一块石头A,在AABC中，测得N3=64。,

ZC=45°,3c=50米，求河宽（即点A到边2C的距离）（结果精确到0.1米）.

（参考数据：J2«1.41，sin64°=0.90,cos64°=0.44,tan640-2.05）

4

14.在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A,8两处用高度为1.5m

的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30。，45°,两人间的水平距离为20m,求塑像的高度CE（结果

保留根号）

15.如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行3地，已知2位于A地北偏东

67。方向，距离A地520km,C地位于3地南偏东30。方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地

12512

到C地之间高铁线路的长.（结果保留整数）参考数据：（近1167噌石；cos67y^；tan67%W；6*1.73）

16.某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好

接触到地面D处，测得/ACD=60。，ZADC=37°,AD=5米，求这棵大树AB的高.（结果精确到0.1米）

（参考数据：sin37tM）.6,cos37°»0.8,tan37°~0.75,73-1.73）

17.一滑板运动场斜坡上的点A处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点5处折断，旗杆顶部落在斜坡上的点C处,

5

AC=26米，折断部分与斜坡的夹角为75。，斜坡与水平地面的夹角为30。，求旗杆的高度.

18.一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔尸在A的北偏东60。方向，航行40海里到达B处，此时测

得灯塔P在8的北偏东15。方向上.

(1)求灯塔P到轮船航线的距离尸£＞是多少海里？(结果保留根号)

(2)当轮船从2处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往。处,尽管快艇速度是轮船速度的2倍，

但快艇还是比轮船晚15分钟到达。处，求轮船每小时航行多少海里？(结果保留根号)

19.如图，在东西方向的海面线上，有A,3两艘巡逻船，两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求

救信号，测得渔船分别在巡逻船A,B的北偏西30。和北偏东45。方向，巡逻船A和渔船C相距120海里.(结

果取整数，参考数据：&刃.41,百刃.73,V6-2.45)

(1)求巡逻船B与渔船C间的距离；

(2)已知在A,8两艘巡逻船间有一观测点。(A,B,。在直线上)，测得渔船C在观测点。的北偏

东15。方向，观测点。的45海里范围内有暗礁.若巡逻船8沿8C方向去营救渔船C,问有没有触礁的危

险？并说明理由.

6

20.如图，某野外生态考察小组早晨7点整从A营地出发，准备前往正东方向的8营地，由于一条南北向

河流的阻挡（图中阴影部分），他们需要从C处过桥.经过测量得知，A、B之间的距离为13km,NA和

的度数分别是37。和53。，桥C。的长度是0.5km,图中的区域。FE近似看做一个矩形区域.

（1）求CE的长；

（2）该考察小组希望到达B营地的时间不迟于中午12点，则他们的行进速度至少是多少？（结果保留1

位小数）（参考数据：sin37tM）.60,cos37°»0.80,tan37°~0.75）

21.一艘渔船从位于A海岛北偏东60。方向，距A海岛60海里的8处出发，以每小时30海里的速度沿正南

方向航行.已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁.（参考数据：V3»1.73,75«2.24,A/7»2.65）

（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由.

（2）渔船航行3小时后到达C处，求A,C之间的距离.

22.如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C,测得NC4B=30。，NABC=45。,AC=8千米,

求A、8两点间的距离.（参考数据：小1.7,结果精确到1千米）.

7

23.共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A,8两

地向C地新建AC,BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45。方向上，在8地北偏西68。

方向上，A3的距离为76，求新建管道的总长度.（结果精确到0.1版，sin22°«0.37,cos22°«0.93,

tan22°~0.40，«1.41）

24.在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图

为实践时绘制的截面图.无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部£的俯角为67。，测得2

号楼顶部尸的俯角为40。，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和田分别

垂直地面于点C和。，点8为的中点，求2号楼的高度.（结果精确到0.1）（参考数据sin40y（）.64,

cos40°=0.77,tan40°=0.84,sin67°=0.92,cos67°=0.39,tan67°=2.36）

25.今年由于防控疫情，师生居家隔离线上学习，AB和CD是社区两栋邻楼的示意图，小华站在自家阳台

的C点，测得对面楼顶点A的仰角为30。，地面点E的俯角为45。.点E在线段BD上.测得B,E间距离

为8.7米.楼AB高126米.求小华家阳台距地面高度CD的长（结果精确到1米，V2«1.41,下，Q.73）

26.小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国-南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语

牌顶端D处的仰角为42。，测得隧道底端B处的俯角为30。（B,C,D在同一条直线上），AB=10m,隧道

8

高6.5m（即BC=6.5m）,求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）.（参考数据：sin42°~0.67,cos42°=0.74,

tan42°=0.90,石勺.73)

27.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东66.1。方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时

间后,到达位于灯塔P的南偏东45。方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）.参考数据:sin66.130.91,

cos66.1°»0.41,tan64°=2.26,收取1.414.

9

专题14解直角三角形中的背靠背模型

【模型展示】

特点

通过在三角形内作高AC,构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC是解题的

关键.在RtAACD和RtABCA中，AC为公共边，DC+CB=DB.

结论“背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高

【题型演练】

一、单选题

1.如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南

方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的8处，这时轮船B与小岛A的距

离是()

A.30若海里B.(30+306)海里C.120海里D.60海里

【答案】B

【分析】过点C作CDLAB于点D,先解RSACD,求出AD,CD,再根据BD=CD,即

可解出AB.

【详解】如图，过点C作CDJ_AB于点D,

10

北

则NACD=30。，ZBCD=45°,

在RtZkACD中，AD=-CA=-x60=30（海里），

22

CD=CAcos/ACD=60x也=306（海里），

2

VZBCD=45°,ZBDC=90°,

在RtABCD中，BD=CD,

；.AB=AD+BD=AD+CD=（30+30若）海里，

故选：B.

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用一方向角问题，解一般三角形的问题，一般

可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键是作高线.

2.如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30。，看这栋高楼

底部C点的俯角为60。，若热气球与高楼的水平距离为30m,则这栋高楼高度是（）

A.60mB.40月mC.30GmD.606m

【答案】B

【分析】作ADLBC于D,由俯仰角得出NADB、NCAD的值，则由AD的长及俯仰角的

正切值得出BD、CD的长，BC的长即可求出.

【详解】过A作AD_LBC,垂足为D在RtAABD中，VZBAD=30°,AD=30m,

，BD=AD-tan30°=30x立=10#(m),在RtAACD中，VZCAD=60°,AD=30m,

3

CD=AD・tan60°=30xg=30百(m),/.BC=BD+CD=10>/3+3073=4073(m),

即这栋高楼高度是40Gm.

故选择：B.

11

【点睛】本题考查俯角与仰角的定义，要求学生能借助俯角与仰角构造直角三角形并会解直

角三角形.

二、填空题

3.如图，海中有个小岛A,一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方

向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60。方向，

此时轮船与小岛的距离AD为海里.

北

【答案】2072

【分析】过点A作ACLBD,根据方位角及三角函数即可求解.

【详解】如图，过点A作ACLBD,

依题意可得NABC=45。

.二△ABC是等腰直角三角形，AB=20（海里）

.,.AC=BC=ABsin45°=10V2（海里）

在RtAACD中，ZADC=90°-60°=30°

；.AD=2AC=20夜（海里）

故答案为：200.

北

【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.

4.4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升

12

机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°,

B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直

线上，则AB两点的距离是米.

【答案】200（6+1）

【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求

和即可.

【详解】VZCDA=ZCDB=90°,ZA=30°,ZB=45°,

AD=&CD=200君,BD=CD=200,

.•.AB=AD+BD=200（G+1）（米）

考点：解直角三角形的应用.

5.如图所示，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70。方向上，轮船从A处以每小时20海里

的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西

25。方向上，则灯塔C与码头8的距离是海里（结果精确到个位，参考数据：血。1.4,

石“7,76^2.4）

【答案】24

【分析】作BDLAC于点D,在直角AABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角

△BCD中，利用三角函数即可求得BC的长.

【详解】NCBA=25°+50°=75°,

作BD±AC于点D,

则NCAB=（90°-70°）+（90°-50°）=20°+40°=60°,

ZABD=30°,

AZCBD=75°-30°=45°,

在直角△ABD中，BD=AB・sin/CAB=20xsin60°=20x3=10石，

2

13

在直角△BCD中，ZCBD=45°,

则BC=V2BD=10V3XV2=10A/6=10X2,4=24（海里），

故答案是：24.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确求得NCBD以及NCAB的

度数是解决本题的关键.

6.如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00,测得小岛C在轮船

A的北偏东45。方向上；上午10：00,测得小岛C在轮船B的北偏西30。方向上，则轮船在

航行中离小岛最近的距离约为—海里（精确到1海里，参考数据0n414,6刃.732）.

【答案】38.

【分析】作CDLAB于点D,再求得AB、/ACD、/BCD的值，然后根据锐角三角函数

求出CD的长即可解答.

【详解】解：如图，作于点£）,

根据题意可知：

AB=30x（10-8）=60（海里），NACO=45°,ZBC£>=30°,

在RtAACD中，CD=AD,

在RtACBD中，BD=AB-AD=60-CD,

BD

tan30°

CD

14

且=也必

3CD

解得CD=38（海里）.

答：轮船在航行中离小岛最近的距离约为38海里.

故答案为38.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答

本题的关键.

7.某拦水坝的横截面为梯形ABC。，迎水坡3c的坡角为且背水坡AD的

4

坡度为/=2:5是指坡面的铅直高度AE与水平宽度的比，坝面宽AB=3m,坝高

AE=12m,则坝底宽CD=.

3

【分析】添一条辅助线，作BFLCD,A£=12m,根据tana二，可得CF的长，根据背水坡

AD的坡度i=2:5,可得。E的长，5.AB=EF,坝底CD=DE+EF+FC,可得出答案.

【详解】解：如图所示，添一条辅助线，作

BFAE

-------=-------=16m,

tanatana

AJ72

又••・背水坡AO的坡度'=25..・力于故皿。m,

S.EF=AB=3m,DE+EF+FC=30+3+16=49m,

故答案为：49m.

【点睛】本题主要考查了用正切值求边长，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值为

对边：斜边，掌握定义就不会算错.

三、解答题

8.如图，A,8两地之间有一座山，汽车原来从A地到8地须经C地沿折线A-C-8行驶,

全长68历加现开通隧道后，汽车直接沿直线行驶.已知/A=30。，N3=45。，则隧道

开通后，汽车从A地到8地比原来少走多少千米？（结果精确到01加）（参考数据：0刃.4,

15

百切.7)

【分析】首先过点C作CDLAB,垂足为设CD=x,即可表示出AC,2C的长，进而求

出x的值，再利用锐角三角函数关系得出AD,2。的长，即可得出答案.

【详解】解：如图，过点C作COLA2,垂足为。，设CD=x.

CDCD

在Rt/XACZ)中，sinNA=-----，AC=..............-lx,

ACsin30°

CDCD

在RtZkBCD中，sinZB=----,BC=-----------=J2x

BCsin450”f

\*AC+BC=2x+y/2x=68,

在RtAACD中，tanZA=-----,AD—..............=20也,

ACtan30°

__,CDCD

在R3BCD中，tanN5=----,BD=----------=20,

BDtan45°

45=20^+20=54,

AC+BC-AB=68-54=14.0(km).

答：隧道开通后，汽车从A地到5地比原来少走14.0千米.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，准确分析计算是解题的关键.

c

9.已知锐角AABC中，角48,C的对边分别为mb,c,边角总满足关系式：号=「

sinAsinBsinC

16

（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池A3C中建一座小型景观桥8（如图2所示）,

若CD，AB,AC=14米，回=10米，sinNAC8=%叵，求景观桥的长度.

14

【答案】（1）26；⑵873

【分析】（1）过C作CD,延于点。，解直角三角形即可；

（2）由已知条件可知一求得sin5,勾股定理求得30,解小△BDC即可

smZACBsinB

求得8的长

【详解】（1）如图，过。作SLAB于点。

•/ZB=45°

:.DC=BD,/DCB=45。

DC=DB=BCxsinB=axsin45°=6x

•.•ZC=75°

:.ZACD=30°

CD

cosZACD=----

AC

.AC-CD

cosZACD

2

即8=2#

…ABAC

(2)・・•二——,AC=14,sinZACB=—,AB=10

sinZACBsinB14

14x^1

.nACXsinZACB

/.sinB=-----------1-4--------

AB10一2

「.ZB=60。

在尺以取心中，设=贝ICQ二后

AD=W-x

在mAADC中，AD2+CD2=AC2

即：(10-4+(瓜y=14?

解得：芯=8,々=-3（不符题意，舍）

.-.CD=V3X=8A/3

【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键.

17

10.为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅,

在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角ZADF=45°,条幅底端E点的俯角为/FDE=30。,

DFJ_AB,若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅的长AE约是多少米？（g=1.73，

结果精确到01米）

【分析】根据题意及解直角三角形的应用直接列式求解即可.

【详解】解:

过点D作DFLAB,如图所示:

在RtAADF中，DF=BC=21米，NADF=45。

；.AF=DF=21米

在RSEDF中，DF=21米，ZEDF=30°

EF=DFxtan30°=773米

；.AE=AF+BF=7后+2B33.1米.

答：条幅的长AE约是33.1米.

【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，关键是根据题意及利用三角函数求出线段的长.

11.如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房的楼顶，测量对面的乙栋

楼房。的高度，已知甲栋楼房AB与乙栋楼房8的水平距离AC=18g米，小丽在甲栋楼

房顶部2点，测得乙栋楼房顶部。点的仰角是30。，底部C点的俯角是45。，求乙栋楼房CO

的高度（结果保留根号）.

18

【答案】18(g+l)m

【分析】根据仰角与俯角的定义得到AB=BE=AC,再根据三角函数的定义即可求解.

【详解】如图，依题意可得/BCA=45。，

.".△ABC是等腰直角三角形，

/.AB=CE=AC=18A/3

•.*ZDBE=30°

；.DE=BExtan300=18

/.8的高度为CE+ED=18(J3+l)m.

【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关犍是熟知三角函数的定义.

12.如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公

路.点尸表示住宅小区，在彩印公司北偏东30。方向与包装公司北偏西60。方向的交点，住

宅小区在以尸为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？(参

考数据：V2®1.414,6*1.732)

【答案】不会

【分析】过点P作于。，根据角的正切值表示出和ND的长，然后列方程求

19

解PD的长度，从而做出判断.

【详解】解：如图，过点P作朋N于D

由题意得Z.PMD=60°,ZPND=30°,MN=4.

...在RfA中，tan60°=且L即MD==@PD

MDtan6003

在PND中,tan30°=型，即ND=—^-=也尸。

NDtan30°

•/MD+ND=MN=4,

即］尸。+也「。=4，

PD=73>0.8.

答：这条公路不会穿越这个住宅小区.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角

函数的定义是解题的关键.

13.如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取8、C两点，对岸岸边有一块石头A,在AABC

中，测得/3=64。，ZC=45°,3c=50米，求河宽（即点A到边3c的距离）（结果精确

至IJ0.1米）.

（参考数据：071.41,sin64°=0.90,cos64°=0.44,tan64°=2.05）

【答案】河宽约为33.6米

【分析】过A作8c于D,并设ADr米，则由已知条件可以得到关于x的方程，解方

程即可得到河的宽度.

【详解】解：如图，过A作于£>,并设AQ=x米，

20

VZC=45°,AZ£>AC=90°-45o=45°,

CD=AD=x,

・・・N3=64。，

.ncA£）X

•・BD=------=---------,

tan64°tan64°

Y

-：BC=50米，二一一+x=50,

tan64°

解之得：x«33.6,

答：河宽约33.6米.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义并结合方程思想求解

是解题关键.

14.在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A,8两

处用高度为L5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30。，45°,两人间的水平距离A8

为20m,求塑像的高度C?（结果保留根号）

【答案】（10为-8.5）米.

【分析】在Rt^CDG和Rt^CEG中，求出公共边CG的长度，然后可求得CF=CG+G尸.

【详解】解：♦.•AB=20m,

:.DE=DG+EG=20m,

在RtZkCEG中，

■：ZCEG=45°,

:.EG=CG,

在RtZXCDG中，

ZCDG=30°,ZDCG=60°,

:.DG=CG.tan600,

则DE=CG.tan60。+CG=20m.

即DE=6CG+CG=20.

21

.-.CG=10>/3-10.

由题意知：GF=1.5m

CF=CG+GF=10x/3-10+1.5=10^/3-8.5

答：塑像C尸的高为(10/-8.5)m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利

用三角函数的知识求解.

15.如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行2地，己知B

位于A地北偏东67。方向，距离A地520km,C地位于2地南偏东30。方向，若打通穿山隧

道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长.(结果保留整数)参考数据：(sin67%

12512

——；cos67°~—；tan67°~—；尺1.73)

13135

【答案】A地到C地之间高铁线路的长约为596(5?).

【分析】过点B作BDLAC于点D,利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而

可得出结论.

【详解】解：如解图，过点8作3DLAC于点O,

BD=AB-cos67°。520x卷=200(fo??).

VC地位于B地南偏东30°方向，

，ZCBD=30°,

CD=BD-tan30°=200x走=20°^(km),

33

AC=AD+CD=480+2°^»596(km).

22

答：A地到C地之间高铁线路的长约为596（初。.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构

造直角三角形.

16.某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上,

树的顶部恰好接触到地面D处，测得NACD=60。，/ADC=37。，AD=5米，求这棵大树

AB的高.（结果精确到01米）（参考数据：sin37°=0.6,cos37°=0.8,tan37°=0.75,石印.73）

【答案】这棵大树AB原来的高度约是9.2米.

【分析】过点A作AE±CD于点E,解RtAAED,求出DE及AE的长度，再解RtAAEC,

得出CE及AC的长，进而可得出结论.

【详解】过点A作AELCD于点E,则NAEC=NAED=90。.

:在RtAAED中，ZADC=37°,AD=5,

DFDF

.e.cos37°=—=——=0.8,

AD5

.\DE=4,

AEAE

Vsin37°~AD~0.6,

・・・AEM,

在RtAAEC中，

NCAE=90。-NACE=90。-60°=30°,

/.CE=AE-tanZCAE=y-AE=6，

，AC=2CE=25

AB=AC+CE+ED=2&+6+4=3&+4=9.2（米）.

23

答：这棵大树AB原来的高度约是9.2米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解

答此题的关键.

17.一滑板运动场斜坡上的点A处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点8处折断，旗杆顶部落在

斜坡上的点C处，AC=26米，折断部分与斜坡的夹角为75。，斜坡与水平地面的夹角为

30°,求旗杆的高度.

（V2»1.4,V3«1.7,精确到1米）.

【答案】旗杆的高度约为9米.

【分析】根据题意过点C作于点£>,利用解直角三角形的方法进行分析即可求得

答案.

=73,CD=AC-cos30°=2^.-=3,

2

24

又丁NBCA=75。，

/.ZBCD=75°-30°=45°,

CD-BD—3,BC=-Jl,>BD=3A/2>AB+BC=A/3+3+3^2®3xl.4+3+1.7=8.9®9（T|^）

答：旗杆的高度约为9米.

【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握并根据题意构造直角三角形进行分析是解题的关

键.

18.一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔尸在A的北偏东60。方向，航行40海里到

达8处，此时测得灯塔尸在B的北偏东15。方向上.

（1）求灯塔尸到轮船航线的距离尸。是多少海里？（结果保留根号）

（2）当轮船从8处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往。处，尽管快艇速度是

轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达。处，求轮船每小时航行多少海里？（结

果保留根号）

【答案】（1）灯塔尸到轮船航线的距离是（106+10）海里；（2）轮船每小时航行（60

-20月）海里

【分析】（1）作BCLAP于C,根据余弦的定义求出4C,根据等腰直角三角形的性质求出

CP,得到AP的长，根据直角三角形的性质计算，得到答案；

（2）根据余弦的定义求出A。，得到8。的长，根据题意列出分式方程，解方程得到答案.

【详解】解：（1）作BCLAP于C,

在ABC中，NB42=30°,

BC=^-AB=20,AC=AB,cosXPAB=2Qy/3,

'：ZNBP=15°,

：.ZPBD=15°,

：.ZCBP=180°-60°-75°=45°,

：.PC=BC=20,

：.AP=AC+PC=2Q6+20,

在尸中，NA=30°,

尸=10百+10,

答：灯塔P到轮船航线的距离PD是（10百+10）海里；

（2）设轮船每小时航行x海里，

25

在放AAOP中，AO=AP-cosA=106+30,

：.BD=AD-AB=i0y/j-10,

由题意得，1岫-1。+”」。6+10,

x602x

解得，尤=60-206，

经检验，x=60-20也是原方程的解，

答：轮船每小时航行（60-206）海里.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题和分式方程的应用，掌握方向角的

概念、熟记锐角三角函数的定义、正确列出分式方程是解题的关键.

19.如图，在东西方向的海面线MN上，有A,8两艘巡逻船，两船同时收到渔船C在海面

停滞点发出的求救信号，测得渔船分别在巡逻船48的北偏西30。和北偏东45。方向，巡逻

船A和渔船C相距120海里.（结果取整数，参考数据：V2-1.41,73=1.73,76~2.45）

（2）已知在A,8两艘巡逻船间有一观测点。（A,B,。在直线MNJL）,测得渔船C在

观测点。的北偏东15。方向，观测点。的45海里范围内有暗礁.若巡逻船8沿BC方向去

营救渔船C,问有没有触礁的危险？并说明理由.

【答案】（1）巡逻船2与渔船C间的距离为60#海里；（2）没有触礁的危险，理由详见

解析.

【分析】（1）作CELMN于E,由直角三角形的性质得AE=gAC=60,

CE=BE=6AE=60由,/ABC=45。，证ABCE是等腰直角三角形，得出BC=60«即

可；

（2）作小，于尸，由NABC=45。，得出AfiDF是等腰直角三角形，则。尸=也8。？54

2

海里，由54>45,即可得出没有触礁的危险.

26

【详解】解：（1）作于E,如图I所示:

贝1」ZACE=3O°,ZBCE=45°,ZDCE=15。,^ABC=45°,

\AE=1^C=60,CE=y/3AE=6073,ABCE是等腰直角三角形,

\BE=CE=60G,BC=0CE=60面，

答：巡逻船3与渔船C间的距离为60面海里；

(2)没有触礁的危险；理由如下：

由题意得：AB=BE+AE=60^/3+60,

Q?ACD2ACE2DCE30?15?45?,

:.ZACD=ZABC,

ACAD=ABAC,

\DCAD^DBAC,

ADACAD120

---=,即nn——=——产----,

ACAB12060用60

解得:AD=120(6-1),

\BD=AB-AD=60氐60-120(61)=180-606(海里)；

作OF_L8C于尸，如图2所示：

•/ZABC=45°,

，此£>尸是等腰直角三角形，

\DF=-BD=9072-3076?54（海里），

2

Q54>45,

:・没有触礁的危险.

【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30。角直

27

角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角

形相似是解题的关键.

20.如图，某野外生态考察小组早晨7点整从A营地出发，准备前往正东方向的8营地，

由于一条南北向河流的阻挡（图中阴影部分），他们需要从C处过桥.经过测量得知，A、B

之间的距离为13km,NA和的度数分别是37。和53。，桥O）的长度是0.5km,图中的

区域CDFE近似看做一个矩形区域.

（1）求CE的长；

（2）该考察小组希望到达8营地的时间不迟于中午12点，则他们的行进速度至少是多少？

（结果保留1位小数）（参考数据：sin37tM）.60,cos37°~0.80,tan37°»0.75）

【答案】（1）CE的长为6初?；（2）他们的行进速度至少是3.6初?//z.

【分析】（1）没CE=xkm,先根据矩形的性质可得EF=CD=0.5Am,CE=DF=xkm,

43

CELEF,DF八EF,再解直角三角形分别求出==然后根据线段的和

差列出等式，求解即可得；

（2）先根据题（1）的结论求出AE、BF、DF的长，再利用勾股定理分别求出AC、BD的

长，然后根据速度的计算公式列出不等式，求解即可得.

【详解】（1）设CE=xkm

•・•四边形CDFE是矩形

EF=CD=0.5km,CE=DF=xkm,CEJ_EF,DFAEF

(hX