中考数学难点突破训练：最值问题中的将军饮马模型（含答案及解析）

专题17最值问题中的将军饮马模型

【模型展示】

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜

访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yin)马，然后

再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为“将军饮马”的问题

广泛流传。

i

i•i

-i•11111i

工

特点

实际问题：应该怎样走才能使路程最短？

C

作图问题：在直线1上求作一点C,

<AC+BC最短问题.

结论AC+BC最短

【模型证明】

(1)现在假设点A,B分别是直线1异侧的两个点，如何在1上找到一个点，使得这个点到点A,

点B的距离的和最短？

一

解决方案

连接AB,与直线1相交于一点C.

AC+BC最短(两点之间线段最短)

(2)现在假设点A,B分别是直线1同侧的两个点，如何在1上找到一个点，使得这个点到点A,

点B的距离的和最短？

作法：

(1)作点B关于直线1的对称点B，；

(2)连接AB，，与直线1相交于点C.

则点C即为所求.

所作的AC+BC最短吗？请说明理由？

【证明】

如图，在直线1上任取一点C（与点C不重合）,

连接AC,BC,B,C,.由轴对称的性质知，

BC=BC,BC,=B,C,.

AC+BC=AC+B'C=AB',

AC,+BC,=AC,+B,C,.

在^ABC，中,

AB,<AC,+B,C,,

.*.AC+BC<AC,+BC,.

即AC+BC最短.

2

【题型演练】

一、单选题

1.如图，正方形ABC。的边长是4,点E是。C上一个点，且。E=l,P点在4c上移动，则PE+P。的最

C.5.5D.5

2.如图，正方形48CD的边长为4,点M在。C上，且。M=l,N是AC上一动点，则。N+MN的最小值为

（）

C.2A/5D.5

3.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点尸是矩形ABC。内一动点，且羽由〜，则PC+PD的最

小值是（）

A.473B.4君

C.2万D.2^/29

4.如图，等边AABC的边长为6,是BC边上的中线，M是A。上的动点，E是边AC上一点，若AE=2,

则EM+CM的最小值为（）

3

A

5.已知线段AB及直线/,在直线/上确定一点尸，使外+PB最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（）.

V/B/

、?’L/

A.*B./P

、、」*--------L\'：

"、y[

C.D.p'

6.如图，点M是菱形ABC。的边BC的中点，尸为对角线8D上的动点，若AB=2,ZA=120°,则PM+

PC的最小值为（）

BMC

A.2B.V3C.及D.1

7.如图，在AABC中，AB=2,ZABC=60°,/AC8=45。，。是BC的中点直线/经过点D,AELl,BF±l,

垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为（）

C

4

A.-JcB.272C.26D.372

8.如图，凸四边形ABCD中，/A=90o,NC=90o,/0=60o,Ar>=3,A2=6，若点M、N分别为边CQAD

上的动点，则A&VW的周长最小值为（）

376C.6D.3

二、填空题

9.在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形

的长与宽之比都为0:1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形"ABCD中，如图所示,

点。在。C上，且若G为BC边上一动点，当AAG。的周长最小时，则=的值为

10.如图，点尸是—AC®内任意一点，0P=3cm,点加和点N分别是射线。4和射线08上的动点,

408=30。，则“W/周长的最小值是

11.如图，等边AABC的边长为4,点E是AC边的中点，点尸是AABC的中线AD上的动点，则EP+CP的

最小值是.

5

A

12.如图，正方形ABC。的边长为8,点M■在。C上且。M=2,N是AC上的一动点，则。N+MN的最小

值是.

13.如图所示，在人中，AB=AC,直线斯是A8的垂直平分线，D是8C的中点，M是E尸上一个动

点，AA5c的面积为12,BC=4,则△BZMf周长的最小值是.

14.如图，在四边形ABC。中，ZBC£>=50°,/B=ND=90。，在2C、CD上分别取一点M、N,使△AMN

的周长最小，则NM4N=°.

15.如图，在矩形A8C£>中，A2=15,8C=20,把边AB沿对角线2。平移，点4,夕分别对应点A,B给

出下列结论：

①顺次连接点4,B',C,。的图形是平行四边形；

②点C到它关于直线A4'的对称点的距离为50；

6

③4C-"C的最大值为15；

®A'C+B'C的最小值为9后.

其中正确结论的序号是

16.如图，O为矩形对角线AC,8。的交点，AB=8,M,N是直线8c上的动点，且MN=2,则OM+ON

的最小值是____________

17.如图，菱形的边长为6,ZABC=120°,Af是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点,

当PB+PM的值最小时，的长是.

三、解答题

18.如图，在R3ABC中，ZACB=90°,ZABC^30°,AC=2,以8c为边向左作等边△BCE,点、D为AB

中点，连接CD,点P、。分别为CE、C。上的动点.

(1)求证：AAOC为等边三角形；

(2)求尸。+PQ+QE的最小值.

7

19.如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、8两点，其中。A=

2,S/ABC=12,点C在x轴的正半轴上，且0c=02.

(1)求直线AB的解析式；

(2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线乙，直线。与y轴交于点E,与直线C8交于点过点E作

y轴的垂线氏若点尸为y轴上一个动点，0为直线/2上一个动点，求尸。+尸。+。。的最小值；

(3)若点M为直线上的一点，在y轴上是否存在点N,使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边

形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

20.如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，

则称该直线为三角形的“自相似分割线”.如图1,在AABC中，AB=AC=1,ZBAC=IO8°,OE垂直平分AB,

且交于点。，连接AD

(1)证明直线AD是小ABC的自相似分割线；

(2)如图2,点尸为直线。E上一点，当点P运动到什么位置时，B4+PC的值最小？求此时%+PC的长度.

(3)如图3,射线CF平分/AC8,点。为射线C尸上一点，当AQ+1二'c。取最小值时，求/QAC的正弦

8

值.

21.在长方形ABC。中,AB=4,BC=8,点尸、。为BC边上的两个动点(点尸位于点。的左侧，P、。均

不与顶点重合)，PQ=2

图③

(1)如图①，若点E为C£)边上的中点，当。移动到BC边上的中点时，求证：AP=QE；

(2汝口图②，若点E为边上的中点，在P。的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求8尸的长;

(3)如图③，若M、N分别为边和边上的两个动点(M、N均不与顶点重合)，当2尸=3,且四边形

PQNM的周长最小时，求此时四边形PQMW的面积.

22.在AABC中，?B90?,。为延长线上一点，点E为线段AC,CD的垂直平分线的交点，连接EA,

EC,ED.

图1图2图3

(1)如图1,当N54c=50。时，则NA£E>=°；

(2)当ZBAC=60。时，

①如图2,连接A。，判断△破)的形状，并证明；

②如图3,直线CE与即交于点孔满足NCED=NC4E.P为直线CF上一动点.当PE-PD的值最大时,

用等式表示PE,尸。与AB之间的数量关系为,并证明.

23.已知如图，在YABCD中，点E是AD边上一点，连接BE,CE,BE=CE,BE上CE,点、F是EC上一动点,

连接3F.

(1)如图1,当时，连接。尸，延长BE,CD交于点K,求证：FD=DK-,

(2)如图2,以所为直角边作等腰及△FBG,NEBG=90。，连接GE,若DE=五,CD=5当点F在运

动过程中，求ABEG周长的最小值.

9

图2

10

专题17最值问题中的将军饮马模型

【模型展示】

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马

将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，

先到河边饮(yin)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传。

▲1

XP

匕心人

t•t

-Ii111111

特点

三三

实际问题：应该怎样走才能使路程最短？

C

作图问题：在直线1上求作一点C,

使AC+BC最短问题.

结论AC+BC最短

【模型证明】

(1)现在假设点A,B分别是直线1异侧的两个点，如何在1上找到一个点，使得这

个点到点A,点B的距离的和最短？

一

解决方

案

连接AB,与直线1相交于一点C.

AC+BC最短(两点之间线段最短)

(2)现在假设点A,B分别是直线1同侧的两个点，如何在1上找到一个点，使得这

个点到点A,点B的距离的和最短？

11

作法：

(1)作点B关于直线1的对称点B，；

(2)连接AB，，与直线1相交于点C.

则点C即为所求.

所作的AC+BC最短吗？请说明理由？

【证明】

如图，在直线1上任取一点C(与点C不重合)，

连接AC,BC;B，C.由轴对称的性质知，

BC=BC,BC,=B,C,.

AC+BC=AC+BC=AB;

AC,+BC,=AC,+B,C,.

在△ABC，中，

ABYAC+BC,

AAC+BC<AC,+BC,.

即AC+BC最短.

【题型演练】

一、单选题

1.如图，正方形ABC。的边长是4,点E是。C上一个点，且。E=l,尸点在AC上移动,

则PE+P。的最小值是()

12

A.4B.4.5C.5.5D.5

【答案】D

【分析】连接BE,交AC于点N,连接。N,N即为所求的点，则BE的长即为。尸+PE的

最小值，利用勾股定理求出2E的长即可.

【详解】解：如图,

:四边形ABCD是正方形，

.,.点2与点D关于直线AC对称，

连接BE,交AC于点N,连接ZW,

:.DN=BN,

DN+EN=BN+ENNBD,

贝1」BE的长即为DP+PE的最小值，

.••AC是线段BD的垂直平分线，

又；CE=C»£）E=4-1=3,

在RtABCE中，

BE2=CE2+BC2=25,

'：BE>0,

：.BE=5,

即OP+PE的最小值为5,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知

识，将PE+PD的最小值转化为BE的长是解题的关键.

2.如图，正方形A8CZ）的边长为4,点M在。C上，且。M=l,N是AC上一动点，则DN+MN

的最小值为（）

13

A.4B.4A/2C.2A/5D.5

【答案】D

【分析】由正方形的对称性可知点8与。关于直线AC对称，连接交AC于V,M即为

所求在RtA8cM中利用勾股定理即可求出的长即可.

【详解】•••四边形ABC。是正方形，

...点2与。关于直线AC对称，

：.DN=BN,

连接BZ）,BM交AC于N,连接。V,

...当2、N、M共线时，OV+MV有最小值，则的长即为OV+MN的最小值，

•••AC是线段BD的垂直平分线，

又：CD=4,DM=1

：.CM=CD-DM=4-l=3,

在RSBCM中，BM=y]cM2+BC2="+不=5

故DN+MN的最小值是5.

故选：D.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出。关于直线AC的对

称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键.

3.如图，矩形A3CD中，AB=4,BC=6,点p是矩形A5C。内一动点，且％＞他=gS.。，

则PC+PD的最小值是（）

B.4A/5

14

C.2V13D.2A/29

【答案】B

【分析】作于M,作点。关于直线PM的对称点E,连接PE,EC.设由

PM垂直平分线段DE,推出PD=PE,推出PC+PZAPC+P股EC,利用勾股定理求出EC的

值即可.

【详解】解：如图，作于作点。关于直线的对称点E,连接PE,EC.设

AM=x.

・・,四边形ABC都是矩形，

：.AB//CD,AB=CD=4,BC=AD=6,

'：SAPAB=-SAPCD,

2

—x4xx=—x—x4x(6-x),

222

.*.x=2,

：.AM=2,DM=EM=4,

在RtXECD中，EC=yJcD2+DE2=46，

：PM垂直平分线段DE,

：.PD=PE,

：.PC+PD=PC+PE>EC,

：.PD+PC>4y/5,

.♦.PO+PC的最小值为4君.

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的

性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

4.如图，等边AABC的边长为6,是BC边上的中线，〃是AD上的动点，E是边AC上

一点，若AE=2,则EM+CM的最小值为()

15

A

C.2不D.4五

【答案】C

【分析】连接BE,交AO于点M,过点E作ERLBC交于点R此时EM+CM的值最小,

求出BE即可.

【详解】解：连接BE,交AD于点M,过点E作所，2C交于点尸,

「△ABC是等边三角形，A。是BC边上的中线,

点与C点关于A。对称,

：.BM=CM,

：.EM+CM=EM+BM=BE,止匕时EM+CM的值最小,

\'AC=6,AE=2,

；.EC=4,

在尸C中，NECF=60°,

：.FC=2,EF=26,

在RtXBEF中，BF=4,

:.BE=2不，

故选：C.

【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定

理是解题的关键.

5.已知线段AB及直线/,在直线/上确定一点尸，使上4+PB最小，则下图中哪一种作图方

法满足条件（）.

16

B

【答案】C

【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题.

【详解】解：•••点A,B在直线/的同侧，

作B点关于I的对称点B,,连接A8与I的交点为P,由对称性可知BP=B'P,

：.%为最小

故选：C.

【点睛】本题考查轴对称求最短距离，掌握两点在直线同侧时，在直线上找一点到两点距离

最短的方法是解题的关键.

6.如图，点M是菱形ABC。的边8C的中点，P为对角线BD上的动点，若AB=2,NA=

120°,则PM+PC的最小值为（）

A.2B.&C.72D.1

【答案】B

【分析】连接AM、AC,AM交于P,此时尸M+PC最小，连接CP,由菱形的性质可知

C和A关于2。对称,4P=CP,由条件易证△A3C是等边三角形，根据三线合一可知

再根据勾股定理可求4W的值，即可求解.

【详解】解：连接AM、AC,AM交BD于P,

此时PM+PC最小，连接CP,

17

AD

:四边形ABC。是菱形，

/.OA=OC,ACLBD,

，C和A关于BD对称，

：.AP=PC,

'：ZA=120°,

ZABC=60°,

...△ABC是等边三角形，

AC=AB=2,

是BC的中点，

C.AMLBC,

：.ZBAM=30°,

：.AM=yjAB2-BM2=73，

：.PM+PC=AM=y/3.

故选B.

【点睛】本题考查了将军饮马类型的求最小值问题，涉及菱形的性质、等边三角形的判定与

性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确找到尸的位置.

7.如图，在△ABC中，AB=2,ZABC=60°,ZACB=45°,。是BC的中点，直线/经过

点、D,AE±l,BFLI,垂足分别为E,F,则AE+BF的最大值为（）

A.76B.272C.2cD.30

【答案】A

【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进

行计算即可.

【详解】解：如图，过点C作CKL1于点K,过点A作AHLBC于点H,

18

在RtAAHB中，

,.,ZABC=60°,AB=2,

.••BH=1,AH=5

在RtAAHC中，/ACB=45°,

AC=^AH2+CH2=J（同+（百升=屈，

:点D为BC中点，

；.BD=CD,

在ABFD与ACKD中，

'NBFD=NCKD=90。

<NBDF=ZCDK,

BD=CD

/.△BFD^ACKD（AAS）,

；.BF=CK,

延长AE,过点C作CNLAE于点N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RSACN中，AN<AC,

当直线1_LAC时，最大值为后，

综上所述，AE+BF的最大值为".

故选：A.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形

是解答此题的关键.

8.如图，凸四边形ABCD中，ZA=90°,ZC=90°,ZD=60°,AD=3,AB=s/3,若点A/、N

分别为边CD,/⑦上的动点，贝葭的周长最小值为（）

【答案】C

19

【分析】由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明37r最短，

多次用勾股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出

的周长最小值为6.

【详解】解：作点3关于CO、AD的对称点分别为点B'和点B",

连接8岁交。C和AD于点M和点N,DB,连接MB、NB；

再。C和AO上分别取一动点AT和N'（不同于点M和N）,

连接M'B,MP,N'B和N'B"，如图1所示：

B'M'=BM',B"N'=BN',

BM'+MN+BN'>B'B",

又；B'B"=B'M+MN+NB",

MB=MB',NB=NB",

:.NB+NM+BM<BM'+M'N'+BN',

：.I^MN=NB+NM+BM时周长最小；

连接DB,过点B'作B'H±DB"于B"D的延长线于点H,

如图示2所示：

,在比中，AD=3,AB=0,

DB=y/Alf+AB2=旧+电¥=24,

.-.Z2=30o,

20

.-.Z5=30°,DB=DB",

又♦.,ZA£)C=Z1+N2=6O。，

.1/I=30。，

.-.Z7=30°,DB'=DB,

ZB'DB"=Z1+Z2+Z5+Z7=120°,

DB'=DB"=DB=2«，

又ZB'DB"+Z6=180°,

.-.Z6=60°,

HD=y/3,HB'=3,

在瓦△B'HB"中，由勾股定理得：

B'B"=ylHB'2+HB"2=由2+(3舟=逝7+9=6.

1&BMH=NB+NM+BM=6,

故选：C.

【点睛】本题综合考查了轴对称一最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最

短等相关知识点，解题的关键是掌握轴对称-最短路线问题，难点是构建直角三角形求两点

之间的长度.

二、填空题

9.在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，

其实这些矩形的长与宽之比都为行:1,我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准

矩形"ABCD中，如图所示，点。在。C上，且若G为BC边上一动点，当A4G。

的周长最小时，则=的值为.

【分析】先设出矩形的边长，将A。和C。表示出来，再通过作对称点确定AAG。的周长最

小时的G点位置后，利用平行线分线段成比例的基本事实的推论建立等式求解即可.

【详解】解：设DC=6x，DQ=AD=x,

•.•矩形A8CD

21

/.ZD=ZDCB=ZB=90°,AB=DC=y[ix,BC=AD^x，

AQ=y]AD2+DQ2=瓜,

如图，作。点关于2C的对称点E,连接AE交2C于点M,

GQ=GE,CQ=CE=(42-\)X

AQ+QG+AG=思+AG+EG2思+AE，

...当A、G、E三点共线时，△AG。的周长最小，

此时G点应位于图中的M点处；

:矩形ABC。中，ZQCG=90°,

；.E点位于QC的延长线上，

J.CE//AB,

...CM__CE2一直

即四="克，

GB2

故答案为：生史.

【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、最短路径、平行线分线段成比例的基本事实的

推论等内容，解题关键是能正确找到满足题意的G点位置，同时要牢记平行线分线段成比

例的推论，即平行于三角形的一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段

成比例.

10.如图，点尸是内任意一点，OP=3cm,点M和点N分别是射线。4和射线。3上

的动点，ZAOB=30°,则APMN周长的最小值是.

【答案】3

【分析】根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到

周长的最小的位置，作出图示，充分利用对称性以及4408=30。，对线段长度进行等

量转化即可.

22

B

N

【详解】

解：如图所示，过点P分别作P点关于OB、OA边的对称点P'、P",连接PP"、PP、PP"、

OP'、OP",其中P产分别交。8、于点N、M,根据“两点之间线段最短”可知，止匕时点

M,N的位置是使得APMN周长的最小的位置.

由对称性可知：PN=P'N,PM=P"M,ZP'OB=NPOB,ZPOA=NP"OA

OP=OP"=OP=3,

NPOA+NPOB=ZAOB=30°

ZP"OA+ZP'OB=30°

NPOA+NPOB+NPOA+NPOB=NPOP"=60°

△P'OP"为等边三角形

PP"=OP=OP'=3

△PMN的周长=PN+PA/+政V=PN+P"M+MN=P'P"=3

故答案为：3

【点睛】本题是典型的的最短路径问题，考查了最短路径中的“将军饮马”模型，能够熟练利

用其原理“两点之间线段最短”作出最短路径示意图是解决本题的关键.

11.如图，等边AABC的边长为4,点E是AC边的中点，点P是AABC的中线AD上的动点,

则EP+CP的最小值是

【答案】2百

【分析】当连接3E,交AD于点尸时，EP+CP=EP+P8=EB取得最小值.

【详解】解：连接8E

23

A

「△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，

：.AD1BC,

：.AD是BC的垂直平分线，

，点C关于AD的对应点为点B,

ABE就是EP+CP的最小值.

•..△A8C是等边三角形，E是AC边的中点，

ABEMAABC的中线，

：.CE=^AC=2,

BE=^BC2-CE2=2A/3

即EP+CP的最小值为2道，

故答案为：2vL

【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌

握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键.

12.如图，正方形4BC。的边长为8,点M在DC上且DM=2,N是AC上的一动点，贝|

【分析】要求。N+MN的最小值，DN,MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化。N,

的值，从而找出其最小值求解.

【详解】解：:正方形是轴对称图形，点2与点。是关于直线AC为对称轴的对称点，

连接BN,BD,

24

KD

,BN=ND,

：.DN+MN=BN+MN,

连接8M交AC于点P,

•.•点N为AC上的动点，

由三角形两边和大于第三边，

知当点N运动到点尸时，BN+MN=BP+PM=BM,

BN+MN的最小值为BM的长度，

:四边形A2CO为正方形，

：.BC=CD=8,CM=8-2=6,ZBCM=90°,

BM='6?+8?=10,

.•.ON+MN的最小值是10.

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用.

13.如图所示，在44BC中，AB=AC,直线是A8的垂直平分线，。是BC的中点，M

是跖上一个动点，AABC的面积为12,BC=4,则ABAM周长的最小值是.

【答案】8

【分析】连接A£),AM,由EF是线段AB的垂直平分线，得到则△8DM的周长

=BD+BM+DM=AM+DM+BD,要想△8ZJM的周长最小，即要使4W+OM的值最小，故当A、

M、。三点共线时，AM+CM最小，即为4D,由此再根据三线合一定理求解即可.

【详解】解：如图所示，连接A。，AM,

:E尸是线段AB的垂直平分线，

：.AM=BM,

：.ABDM的周长

要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，

25

.•.当A、M、O三点共线时，4M+DM最小，即为AD,

'：AB=AC,Q为BC的中点，

：.AD1BC,BD」BC=2,

2

ZABC=]-BC=12,

.".AD=6,

：.ABDM的周长最小值=4。+2。=8,

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据

题意得到当A、M、。三点共线时，AM+Z5M最小，即为AD

14.如图，在四边形ABCD中，ZBCD=5Q°,ZB=ZD=90°,在BC、CD上分别取一点

M、N,使AAMN的周长最小，则NAMN=°.

【分析】作点A关于BC、CD的对称点4、A2,根据轴对称确定最短路线问题，连接4、

上分别交BC、DC于点M、N,利用三角形的内角和定理列式求出/A/+NA2，再根据轴对

称的性质和角的和差关系即可得/AMN.

【详解】如图，作点A关于BC、C。的对称点4、A2,连接4、4分别交BC、0c于点M、

N,连接AM、AN,则此时△AMN的周长最小，

26

,：ZBCD^50°,ZB=ZD=90°,

：.ZBAD=360°-90°-90°-50°=130°,

/.ZA7+ZA2=180°-130°=50°,

:点A关于BC、CD的对称点为4、A2,

：.NA=NA2,MA^MAt，

：.ZA2=ZNAD,ZAI^ZMAB,

：.ZNAD+ZMAB=ZA；+ZA2=50°,

ZMAN=ZBAD-(NNAD+/MAB)

=130°-50°

=80。，

故答案为：80.

【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线

段最短问题是解决本题的关键.

15.如图，在矩形A8C。中，AB=15,8c=20,把边AB沿对角线8。平移，点4,9分别

对应点A,2给出下列结论：

①顺次连接点4,B',C,。的图形是平行四边形；

②点C到它关于直线的对称点的距离为50；

③4C-&C的最大值为15；

®A'C+B'C的最小值为9#7.

其中正确结论的序号是

27

【答案】③④

【分析】①根据平行四边形的判定定理判断即可；②作点C关于直线A4,的对称点E,交直

线44,于点T,交直线3。于点。，贝I|CE=4OC,利用等面积法求出0C即可；③根据

A'C-B'C<AB'，当线段A8平移至夕与。点重合，即：4,夕,C三点共线时，AC-B'C=AB'

即可判断;④作D关于直线4V的对称点D0,连接DZX交直线44吁点J,过点皿作D'E±CD,

交延长线于E点，连接CD,交直线4V于点4,此时满足4C+QC的值最小，即为CO

的长度，结合相似三角形的判定与性质求解即可.

【详解】解：①由平移的性质可知：AB/ZAB',AB^AB，

由矩形的性质可知：AB//CD,AB=CD,

:.A!B'//CD,AB'=CD,

，四边形AB'CO为平行四边形，

当点才与。重合时，四边形不存在，

故①错误；

②如图1所示，作点C关于直线A4'的对称点£,交直线4V于点T,交直线8。于点。，则

CE=4OC,

:四边形4BCD为矩形，

/.ZBCD=90°,CD=AB=15,

BD=A/BC2+CD2=25，

,/SZ.ADRCcZnJ=-2BC.CD2^~BD.OC,

;.£C=4x12=48,故②错误;

28

E.

如图2所示，当线段AB平移至夕与。点重合，即：4,—C三点共线时，AC-B'C=A0=15,

AC-aC最大值为15,故③正确；

④如图2所示，由①可知，B'C=AD,

：.AC+B'C=AC+AD,

作D关于直线AA，的对称点讯连接DD交直线AV于点J,

过点。，作DELCD,交C。延长线于E点，连接CD',交直线44,于点4,

此时满足4C+QC的值最小，即为CD的长度，

由对称的性质可知：ZAJD=90°,

由平行的性质可知：ZBDJ=18Q°-ZAJD=90°,

即：ZADJ+ZADB=90°,

,?ZABD+ZADB=9Q°,

：.ZABD=ZADJ,

：.LABDsAJDA,

.DJAD

"AB~BD'

DJ20

a即n：——=——，

1525

:.DJ=n,

：.DD'=2DJ=24,

又：D'EHAD,

：.NED'D=ZADJ,

AEDD=ZABD,

:ZE=ZBAD=90°,

AABD^^ED'D,

,D'EEDD'D

29

DrEED24

lF-^6--25

72

DrE=-ED=—

55

/.EC=ED+DC=—+15=——,

55

由勾股定理：CD'=yjD'E2+EC2=9A^7＞故④正确,

【点睛】本题考查矩形的性质，平移的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定

与性质等，理解并掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定与性质，熟练运用相似三角形的

判定与性质是解题关键.

16.如图，。为矩形ABC。对角线AC,BD的交点，AB=S,M,N是直线BC上的动点，且

MN=2,则OM+ON的最小值是.

【答案】2厉

【分析】根据题意，过。作OH〃BC,且令OH=2,连接NH,作。点关于8c的对称点K,

连接OK,KH,则OM+ON=NH+ON=NH+NKNHK,当H、N、K三点共线的时候，OM+ON

有最小值，最小值为”的长.根据矩形性质及图形的对称性，易知/KO〃=90。，在

放中，运用勾股定理求得”的长即可.

【详解】解：过。作OH〃BC,且令。层2,连接NH,作。点关于BC的对称点K,连接

OK,KH,

30

AD

'：OH//BC,0H=MN=2,

：.四边形OMNH是平行四边形，

/.OM=NH,

：.OM+ON=NH+ON.

1/O点关于BC的对称点是点K,

：.ON=NK,

：.OM+ON=NH+ON=NH+NK,

,：NH+NK>HK,

.,.当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为的长.

•JOH//BC,。点关于2C的对称点是点K,

NKOH=90°.

为矩形A8CD对角线AC,80的交点，O点关于BC的对称点是点K,

OK=AB=8.

'：OH=2,/KO"=90。，

HK=力OH〜OK。=2万，

•••OM+ON的最小值是2Ji7.

【点睛】本题考查了最短路径问题，矩形性质，勾股定理求直角三角形的边长，其中熟练画

出0M+0N取最小值时所对应的线段，是解题的关键.

17.如图，菱形ABC。的边长为6,ZABC=120°,M是BC边的一个三等分点，P是对角

线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，的长是.

【分析】如图，连接。尸，BD,作DHLBC于H.当。、P、M共线时，PB+P'M=DM值最

31

小，利用勾股定理求出。再利用平行线的性质即可解决问题.

【详解】解：如图，连接QP,8。，作DH_LBC于

:四边形ABC。是菱形，

J.ACLBD,B、。关于AC对称，

：.PB+PM=PD+PM

当。、P、/共线时，*?+9以=我的值最小,

'：CM=-BC=2

3

"：ZABC=120°,

：.ZDBC=ZABD=60°

...△DBC是等边三角形，

•；BC=6,

：.CM=2,HM=1,£）/7=373，

在RtADMH中，

DM=4DH2+W2=7（3A/3）2+12=2A/7

•?CM//AD

.P'MCM_2

••

DP'AD63

P'M=-DM=—

42

故答案为：立.

2

【点睛】本题考查轴对称一最短问题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、

平行线线段成比例定理等知识,解题的关键是灵活用所学知识解决问题,属于中考常考题型.

三、解答题

18.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=2,以BC为边向左作等边4BCE,

点。为AB中点，连接。，点、P、。分别为CE、上的动点.

(1)求证：AAOC为等边三角形；

(2)求尸。+PQ+QE的最小值.

32

【答案】（1）证明见解析；（2）4.

【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得ZBAC=60。,AO=CD,再根据等边三角形的判

定即可得证；

（2）连接尸先根据等边三角形的性质可得ZACE=：NAC£）,再根据等腰三角形的

三线合一可得CE垂直平分的）,然后根据线段垂直平分线的性质可得出=尸£>,同样的方

法可得。8=。“，nTWPD+PQ+QE=PA+PQ+QB,最后根据两点之间线段最短即

可得出答案.

【详解】证明：（1）,••在RSABC中，NACB=90o,NABC=30o,AC=2,

ABAC=60°,AB=2AC=4,

•••点。是RUABC斜边的中点，

.-.AD=AC=2,

是等边三角形；

（2）如图，连接

QVBCE和AADC都是等边三角形，

:.NBCE=60。,ZACD=60°,

:.ZACE=ZACB-ZBCE=30°=-ZACD,

2

.♦.CE垂直平分AD,

:.PA=PD,

同理可得：CD垂直平分3E,

QB=QE,

:.PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,

由两点之间线段最短可知，当点4尸,。,8共线时，PA+PQ+QB取得最小值

故PO+PQ+QE的最小值为4.

33

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30。角的直角三角形的性质等知识点，熟

练掌握等边三角形的性质是解题关键.

19.如图，在平面直角坐标系中，直线A8分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、8两

点，其中。4=2,S/ABC=12,点C在x轴的正半轴上，MOC=OB.

(1)求直线AB的解析式；

⑵将直线向下平移6个单位长度得到直线"，直线//与y轴交于点E,与直线C8交于

点