中考数学几何专项冲刺复习：正方形存在性问题巩固练习（提优）含答案及解析

正方形存在问题巩固练习

1.己知抛物线y=a/+bx+5经过点A(1,0),B(5,0)两点，顶点为。，设点E(x,y)是抛物线上一

动点，且在x轴下方.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,①当点E(尤，y)运动时，试求三角形。E8的面积S与尤之间的函数关系式，并求出面积

S的最大值？

②在y轴上确定一点使点M到。、B两点的距离之和最小，求点M的坐标.

(3)如图2,若四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形.是否存在这样的点E,使平行四边形OEBF

为正方形？若存在，求£点的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图1,对称轴为直线尤=:的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).

(1)求抛物线的解析式及抛物线与无轴的另一交点C的坐标；

(2)。为坐标平面上一点，且以A、B、C、。为顶点的四边形是平行四边形，写出点。的坐标；

(3)如图2,点EG,y)是抛物线上位于第四象限的一点，四边形OEAE是以OA为对角线的平行四

边形.

①当团OEAF的面积为24时，请判断团。EAE是矩形吗？是菱形吗？

②是否存在点E,使团OEA尸为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，抛物线y=/+Zzr+c与无轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，顶点M关于无轴的对称点是.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若直线AM'与此抛物线的另一个交点为C,求△CA8的面积；

(3)是否存在过A,2两点的抛物线，其顶点尸关于x轴的对称点为。，使得四边形AP80为正方形?

若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

4.如图，尸为外一点，PA.PB为。。的切线，A、B为切点,AC为O。的直径，尸。交于。。于点E.

(1)试判断/APB与N8AC的数量关系；

(2)若。。的半径为4,尸是。。外一动点，是否存在点P,使四边形以。2为正方形？若存在，请求

出P。的长，并判断点尸的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由.

5.如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为6,点2是线段上一动点，过点8作直线MV

〃了轴，设分别交射线与x轴所成的两个角的平分线于点E、F.

(1)求证：EB=BF；

OB

(2)当二为何值时，四边形AEOP是矩形？证明你的结论；

0A

(3)是否存在点A、B,使四边形AEOF为正方形？若存在，求点A与8的坐标；若不存在，说明理由.

6.如图，在平面直角坐标系中，函数y=-2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交

y正半轴于点且点M为线段08的中点.

(1)求直线AM的函数解析式.

(2)试在直线AM上找一点P,使得SMBP=S^AOM,请直接写出点尸的坐标.

(3)点C在直线AM上，在坐标平面内是否存在点。，使以A、0、C、。为顶点的四边形是正方形？

若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

7.如图1,以一块等腰直角三角板的两条直角边为坐标轴建立直角坐标系，。4=。2=3,过点A,8的抛

物线对称轴为直线x=l,抛物线与x轴的另一交点为点D.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图2,如果将三角板的直角顶点C在x轴上滑动，一直角所在的直线过点8,另一条直角边与抛

物线交点为£,其横坐标为4,试求点C的坐标；

(3)如图3,点P为抛物线对称轴上一动点，M为抛物线在x轴上方图象上一点，N为平面内一动点，

是否存在P、M、N,使得以A、P、M、N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出M的坐标；若不存

在，说明理由.

8.如图，已知在平面直角坐标系中，直角梯形ABCDAB//CD,AD=CD,ZABC^9Q°,A、3在x轴

上，点。在y轴上，若tan/04）=$8点的坐标为（5,0）.

（1）求直线AC的解析式；

（2）若点Q、尸分别从点C、A同时出发，点。沿线段C4向点A运动，点尸沿线段A8向点8运动,

。点的速度为每秒遮个单位长度，尸点的速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，△PQE的面积

为S,求S与/的函数关系式（请直接写出自变量f的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，过尸点作尸。的垂线交直线CD于点M,在P、。运动的过程中，是否在平面

内有一点N,使四边形QPMN为正方形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

9.如图，在平面直角坐标系中，A（-1,0）,B（0,2）且之RtZ\CD4,抛物线了二一+以-2经

过点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点尸是无轴上一点，且PCLPB,求P点的坐标；

（3）在抛物线上是否存在两点E、R使四边形A2EF是正方形？若存在，求点E、歹的坐标；若不存在，

请说明理由.

10.如图，已知抛物线y=(a+2)/+4办+°2-1经过坐标原点，交尤轴的正半轴于点。.

(1)求。的值；

(2)设抛物线的顶点为利用尺规，在抛物线的对称轴上，作点N,使得△OMN为等腰三角形.若

不止一个，则分别记作M、加、N3、…；

(3)若点尸为抛物线对称轴右侧部分上的一点，过点尸作无轴于点A,尸2〃％轴交抛物线左侧部分

于点8,过点8作BCLx轴于点C,问：是否存在这样的点尸，使得矩形小恰好为正方形？若存在，

请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

11.如图，点2、C分别在x,y轴的正半轴上，OB,0c的长分别为/-8x+12=0的两个根，MOC>OB,

将△COB绕点。逆时针旋转90°,点C落在x轴负半轴上的点A处，点8落在y轴正半轴的点。处,

连接AC.

(1)求过A,B,C三点的抛物线的函数解析式；

(2)直接写出tan/C4。的值；

(3)点尸从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A,点Q从点0以每秒1个单位长度的速

度沿OC运动到点C,连接PQ.求&CPQ的最大值，及此时点P的坐标；

(4)M是第二象限内一点，在平面内是否存在点N,使得以A,D,M,N为顶点的四边形是正方形？

若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

12.矩形AO8C在平面直角坐标系中的位置如图所示，点4在x轴的负半轴上，点8在y轴的正半轴上，

连接AB,平分交y轴于点。，线段。。的长是方程/-2x-3=0的一个根，sinZDAO=

请解答下列问题：

（1）求点C的坐标；

（2）过点8作垂足为点E,若双曲线y=（的一个分支经过点E,求上的值；

（3）点尸在x轴上，点尸在直线AB上，坐标平面内是否在点。，使以3,F,P,。为顶点的四边形为

正方形？若存在，请写出满足条件的点。的个数，并直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

正方形存在问题巩固练习

1.己知抛物线y=a/+bx+5经过点A(1,0),B(5,0)两点，顶点为。，设点E(x,y)是抛物线上一

动点，且在x轴下方.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,①当点E(尤，y)运动时，试求三角形。E8的面积S与尤之间的函数关系式，并求出面积

S的最大值？

②在y轴上确定一点使点M到。、B两点的距离之和最小，求点M的坐标.

(3)如图2,若四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形.是否存在这样的点E,使平行四边形OEBF

【分析】(1)把42两点坐标代入二次函数表达式，即可求解；

(2)①设点E的坐标为(x,/-6x+5),S=SAOEB=/o8・yE=—|(/-6x+5),即可求解；②连接3'

。交y轴于点此时，最小，即可求解；

(3)当四边形。仍尸为正方形，则点E的坐标为(|,-1),当三飘，y=x1-6x+5^-|,即可求解.

【解答】解：(1)抛物线y=a/+bx+5经过点A(1,0),B(5,0)两点，

则函数表达式为：y—a(x-xi)(x-X2)=a(x-1)(x-5)=a(x2-6x+5),

贝Ij5〃=5,即”=1,

故抛物线的表达式为：y=/-6x+5；

(2)①设点E的坐标为(羽?-6x+5)

1

S=SAOEB=2*OB*yE=—)(x2-6x+5),

'：a=-|<0,故函数有最大值，

当天=一为=3时，函数最大值为5=10；

②找到点B关于y轴的对称点8'(-5,0),连接夕。交y轴于点M,

此时，M到。、3两点的距离之和1=加0+河8最小,

y=x1-6x+5,顶点。坐标为(3,-4),

设直线3，。的表达式为：y=mx+几，

将点)、。的坐标代入上式得：仁4=,士小，解得：m

(0=—5m4-n_

n

则直线"£)的表达式为：y=—ix—I，

(3)当四边形。班/为正方形，则点E的坐标为(|,

q,05cq1qr

当时，y=x1-6x4-5=(-)2-6x5+5=一丁H—5,

22242

即点E不在抛物线上，

故不存在点E,使平行四边形。即尸为正方形.

【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到三角形的面积计算、特殊四边形基本性质等知识点，

是一道中等难度的题目.

2.如图1,对称轴为直线的抛物线经过点A(6,0)和2(0,4).

(1)求抛物线的解析式及抛物线与x轴的另一交点C的坐标；

(2)。为坐标平面上一点，且以A、B、C、。为顶点的四边形是平行四边形，写出点。的坐标；

(3)如图2,点EG,y)是抛物线上位于第四象限的一点，四边形OE4B是以为对角线的平行四

边形.

①当团OEA尸的面积为24时，请判断团。EAE是矩形吗？是菱形吗？

②是否存在点E,使团。E4尸为正方形？若存在,求出点£的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)先利用抛物线的对称性确定C(1,O),然后利用交点式求出抛物线解析式为＞=|/-竽.什4；

(2)分类讨论，根据平行四边形的性质利用平移确定。点坐标；

(3)如图2,连结EF,①根据二次函数图象上点的坐标特征，设点E(x,|/-争+4),禾!|用回OEAF

12c14

的面积为24和三角形面积公式得到一X6X[-(-X2-^X+4)]=12,解得XI=3,X2=4,则E(3,-4)

或(4,-4),

分类讨论：当E点坐标为(3,-4)时，易得F(3,4),于是得到EPWOA,0E与0A互相垂直平分，

根据特殊平行四边形的判定方法得到平行四边形OEA尸不是矩形，而是菱形；

当E点坐标为(4,-4)时，易得尸(2,4),于是有EPW04,0E与0A不垂直，则可判断平行四边

形OE4尸不是矩形，也不是菱形；

②根据正方形的判定方法，当OALEF且时，平行四边形。胡尸是正方形，此时点E的坐标

只能是(3,-3),由于坐标为(3,-3)的点不在抛物线上，所以不存在这样的点E使平行四边形0E4F

为正方形.

【解答】解：(1);•对称轴为直线尤=；的抛物线经过点A(6,0),

抛物线过点C(1,0),

设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-6),

把8(0,4)代入得6〃=4,解得〃=|.

工抛物线解析式为y=1(x-1)(x-6)=,/-竽x+4,

(2)如图1,AC=6-1=5,

V

当以4B为对角线时，Di(5,4)；

当以BC为对角线时，02(-5,4)；

当以AC为对角线时，由于2(0,4)点向下平移4个单位，向右平移1个得到C(l,0),则A(6,0)

点向下平移4个单位，向右平移1个得到得到。3(7,-4),

即点D的坐标为(5,4)或(-5,4)或(7,-4)；

(3)如图2,连接ER

①点E(x,-X2--^-x+4),

•・,团。E4厂的面积为24,

••S/\AOE~12,

12c14.

x6X[-(一x2—丁x+4)]=12,解得xi=3,%2=4,

233

：.E(3,-4)或(4,-4),

当£(3,-4)时，则尸(3,4),贝UEFWOA,OE与。4互相垂直平分，所以平行四边形OEA尸不是矩

形，而是菱形；

当£(4,-4)时，则尸(2,4),则EFWOA,OE与。4不垂直，所以平行四边形OEA尸不是矩形，也

不是菱形；

②不存在.理由如下：

当。4J_EH且。4=EF时，LIOEAF是正方形，此时点E的坐标只能是(3,-3),而坐标为(3,-3)

的点不在抛物线上，故不存在这样的点E使口0胡尸为正方形.(9分)

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平

行四边形与特殊平行四边形的判定方法判定方法；会利用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式；

理解坐标与图形性质.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性

质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

3.如图，抛物线ynW+Zzr+c与无轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，顶点M关于无轴的对称点是.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若直线与此抛物线的另一个交点为C,求△CAB的面积；

(3)是否存在过A,B两点的抛物线，其顶点尸关于无轴的对称点为。，使得四边形AP20为正方形？

若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式；

(2)根据轴对称，可得的坐标，根据待定系数法，可得AM'的解析式，根据解方程组，可得C点

坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；

(3)根据正方形的性质，可得P、。点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式.

【解答】解：(1)将A、8点坐标代入函数解析式，得已=°0，

解得上二工

抛物线的解析式y=f-2x-3；

(2)将抛物线的解析式化为顶点式，得

产(x-1)2-4,

M点的坐标为(1,-4),

点的坐标为(1,4),

设AM'的解析式为丁=丘+/?,

将A、点的坐标代入，得

(—k+b=0①

Ifc+Z)=4②

解得｛道,

AM'的解析式为y=2x+2,

联立AM'与抛物线，得

fy=2%+2

[y=x2—2x—3"

解得心=/匕=;

(.71=0iy2=12

C点坐标为(5,12).

1

SAABC=2><4X12=24；

(3)存在过A,B两点的抛物线，其顶点尸关于x轴的对称点为Q,使得四边形AP2Q为正方形,

由A8P。是正方形，A(-1,0)B(3,0),得

P(1,-2),Q(1,2),或尸(1,2),Q(1,-2),

①当顶点P(1,-2)时，设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-2,

将A点坐标代入函数解析式，得

4(-1-1)2-2=0,

1

解得a=2，

抛物线的解析式为产号(X-1)2-2,

②当P(1,2)时，设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2,将

A点坐标代入函数解析式，得

a(-1-1)2+2=0,

解得a=一*,

抛物线的解析式为尸(X-1)2+2,

综上所述：y=*(X-1)2-2或尸—称(X-1)2+2,使得四边形AP8Q为正方形.

【点评】本题考查了二次函数综合题，(1)利用待定系数法求函数解析式；(2)利用轴对称的性质得出

的解析式，利用待定系数法得出AM'的解析式，利用解方程组得出C点坐标是解题关键；(3)利

用正方形的性质得出P、Q点坐标是解题关键，又利用待定系数法求函数解析式，注意要分类讨论，以

防遗漏.

4.如图，P为。。外一点，PA,P8为。。的切线，A、8为切点，AC为OO的直径，PO交于于点E.

(1)试判断/AP2与NBAC的数量关系；

(2)若。。的半径为4,尸是O。外一动点，是否存在点P,使四边形B4O8为正方形？若存在，请求

出尸。的长，并判断点尸的个数及其满足的条件；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)连接8A,如图1,先根据切线的性质得二/。42=/。8「=90°,再根据四边形内角和得

至!J/APB+/AOB=180°,而/AO8+NBOC=180°,贝！J/BOC=NAPB,利用三角形外角性质得NBOC

=2ABAC,^^XZAPB=2ZBAC,

(2)由B4、PB为。。的切线得/。4尸=NO8P=90°,所以当。4_LO8时，四边形R10B为矩形，加

±OA^OB,于是可判断四边形B40B为正方形，根据正方形的性质得0P=/。4=4鱼；由此得到这

样的点尸有无数个，当点P在以。点为圆心，4企为半径的圆上时，四边形以为正方形.

【解答】解：(1)连接24如图1,

'：PA,为。。的切线，

C.OALPA,OBLPB,

.../。4尸=/02尸=90°,

Z.ZAPB+ZAOB=180°,

而NAOB+/BOC=180°,

：.ZBOC=ZAPB,

ZBOC=ZOAB+ZOBA,

而OA=OB,

J.ZOAB^ZOBA,

：.NBOC=2/BAC,

：.ZAPB=2ZBAC；

(2)存在.

,：PA.PB为。。的切线，

：.OA±PA,OBLPB,

：.ZOAP=ZOBP=90a,

；.0A_L08时，四边形B4O8为矩形，

而OA^OB,

...四边形以。8为正方形，

OP=V2OA=4V2；

这样的点尸有无数个，当点P在以。点为圆心，4或为半径的圆上时，四边形B40B为正方形.

图2

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了正方形的判定.

5.如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为6,点8是线段04上一动点，过点8作直线MN

〃彳轴，设分别交射线与x轴所成的两个角的平分线于点E、F.

(1)求证：EB=BF；

OB

(2)当一为何值时，四边形AE0P是矩形？证明你的结论；

0A

(3)是否存在点4B,使四边形AE。尸为正方形？若存在，求点A与3的坐标；若不存在，说明理由.

【分析】（1）证明：由。尸平分0A与x轴正方向的夹角得/1=/3,由用"〃式轴，根据平行线的性质

得Nl=/2,所以/2=/3,则根据等腰三角形的判定得BO=BF,同样的方法可得BE=BO,于是有

BE=BF；

（2）由于MN分别交射线04与x轴所成的两个角的平分线于点E、F,根据平角的定义得到

90°,根据矩形的判定方法得当四边形AEOB为平行四边形时，四边形AEOP为矩形，而BE=BF,根

据平行四边形的判定，当。时，四边形AE。尸为平行四边形，于是得到”=工时，四边形4£。尸

OA2

是矩形；

（3）由于四边形4£。尸是矩形，根据正方形的判定方法，当。4，£尸时，四边形AE。尸为正方形，而

跖〃x轴，则。轴，所以点A在y轴上，易得点A的坐标为（0,6）,利用8。=氏4可得B点坐标

为（0,3）.

【解答】（1）证明：尸平分OA与x轴正方向的夹角，

.,.Z1=Z3,

轴，

/.Z1=Z2,

/.Z2=Z3,

：.BO=BF,

同理可得8£=B0,

：.BE=BF；

（2）当要的值为:时，四边形AEO厂是矩形.理由如下：

OA2

OB1遁

*.*—=一，即BO=BA,

OA2

而BE=BF,

・•・四边形AEOF为平行四边形，

〈MN分别交射线OA与1轴所成的两个角的平分线于点E、F.

1

：.ZEOF==90°,

・•・四边形AEOF是矩形；

（3）存在.

•・,四边形AEOF是矩形，

・••当O4_L跖时，四边形AE。b为正方形，

而轴，

・・・O4_Lx轴，

.•.点A在y轴上，

.,.点A的坐标为（0,6）,

"：BO=BA,

.••■8点坐标为(0,3).

【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形、矩形和正方形的判定与性质是解题的关键；

同时会运用等腰三角形的判定与性质、平行线的性质；记住坐标轴上点的坐标特征.

6.如图，在平面直角坐标系中，函数y=-2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、8两点，过点A的直线交

y正半轴于点M,且点/为线段的中点.

（1）求直线AM的函数解析式.

（2）试在直线AM上找一点P,使得SAABP=SAA。”，请直接写出点尸的坐标.

（3）点C在直线AM上，在坐标平面内是否存在点。，使以A、O、C、D为顶点的四边形是正方形?

若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）通过函数y=-2x+12求出A、8两点坐标，又由点M为线段。2的中点，即可求得点M的

坐标，然后由待定系数法求得直线4/的函数解析式；

（2）设出P点坐标，由两点间的距离公式，可求得AP的长，然后由等腰直角三角形的性质，求得8点

到AM的距离，然后由S^ABP=S^AOM,可得方程5Xy/2\x-6IX3V2=18,解此方程即可求得答案；

（3）分OA是正方形的一条边和OA是正方形的一条对角线两种情况讨论可得点D的坐标.

【解答】解：（1）.••直线A8的函数解析式y=-2尤+12,

"（6,0）,B（0,12）.

又为线段的中点,

：.M(0,6).

设直线AM的解析式为：y=kx+b,则

(6k+6=0

U=6'

解得：*=[1，

3=6

故直线AM的解析式y=-x+6；

(2)设点尸的坐标为：(x,-x+6),

：.AP=JO—6/+(一久+6尸=V2|x-6|,

过点8作AM于点从

\,0A=0M,NAOM=90°,

AZAMO=45°,

：.ZBMH=45°,

/.BH=BM-sin45°=6x辛=3企，

•S/\ABM=S/\AOM9

11

SAAOM=-^OA*OM=2x6X6=18,

SAABP=IxV2|x-6|X3vx

A|xV2|x-6|X3V2=18,

解得：x=0或12,

故点尸的坐标为：(0,6)或(12,-6).

（3）当0A是正方形的一条边，以A、。、C、。为顶点的四边形是正方形时，点。的坐标为（6,6）；

当OA是正方形的一条对角线，以A、。、C、。为顶点的四边形是正方形时，点。的坐标为（3,-3）.

【点评】此题考查了待定系数法求函数的一次解析式、等腰直角三角形的性质、正方形的性质以及三角

形的面积问题.此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程

思想的应用.

7.如图1,以一块等腰直角三角板的两条直角边为坐标轴建立直角坐标系，。4=。2=3,过点A,8的抛

物线对称轴为直线x=l,抛物线与x轴的另一交点为点D.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图2,如果将三角板的直角顶点C在％轴上滑动，一直角所在的直线过点3,另一条直角边与抛

物线交点为E，其横坐标为4,试求点C的坐标；

（3）如图3,点尸为抛物线对称轴上一动点，M为抛物线在x轴上方图象上一点，N为平面内一动点，

是否存在P、M.N,使得以A、P、M、N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出M的坐标；若不存

在，说明理由.

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）如答图2所示，作辅助线，构建相似三角形，列方程求出点C的坐标;

（3）存在.本问分为5种情形，需要分类讨论，分别计算，如答图3所示.

【解答】解：（1）:抛物线对称轴为直线尤=1,

设抛物线解析式为：y=a（x-1）2+k

由题意可知：A（3,0）、B（0,3）,代入上式得：

C4a+/c=0

ta+k=3'

解得：a=-1,k=4,

；・y=-（x-1）2+4=-%2+2X+3.

(2)令x=4,贝。y=-7+2尤+3=-5,：.E(4,-5).

如答图2,过点E作E/Ux轴于点R则所=5,。尸=4.

设C(根，0)(m<0),贝I]OC=-m,CF=OF+OC=4-m.

,OBOC3-771

易证△BOCsZ^CPE,则有——=—,即----=——，

CFEF4—m5

解得：mi=2—V19,m2=2+V19,

Vm<0,

.*.m=2—VT9,

：.C(2-V19,0).

(3)存在.

⑴若以ARAM为正方形的两边:

①若点M在对称轴右侧，如答图3-1所示.

设M(尤，y)(y>0)

过M作MFLx轴于点F,易证△MRlg/VlCP,

：.MF^AC^2,

：.-X2+2X+3=2,解方程得：x=l±V2(负值舍去),

：.M(1+V2,2)；

②若点M在对称轴左侧，如答图3-2所示.

同理可求得：M(1-V2,2)；

(n)若以MP、MA为正方形的两边:

①若点M在对称轴右侧，如答图3-3所示.

设M(x,y)(y>0)

过M作MFLx轴于点F,易证丝△MGP,

：.MF=MG,：.OF=CF+OC=MG+OC=MF+OC,BPx=y+\.

：.x=(-/+2尤+3)+1,解方程得：.一与同(负值舍去)，

1+V17-1+V17

：.M(------,------------)；

22

②若点M在对称轴左侧，如答图3-4所示.

同理可求得：M(上月，士巨)；

22

(m)若以AM为正方形的对角线：

如答图3-5所示，可求得M(2,3).

*11_-1

综上所述，存在满足题意的点.点M的坐标为(1+&，2),(1-V2,2),(------,2------),(2,

22

3-V17-1+V17

3),(------,-------).

22

【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数、相似三角形、正方形等知识点，涉及考点众多，

计算量大，有一定的难度.本题难点在于第(3)问，需要具备较强的分类讨论思维以及空间想象能力,

避免漏解.

8.如图，已知在平面直角坐标系中，直角梯形ABCQ,AB//CD,AD=CD,ZABC=90°,A、8在无轴

上，点。在y轴上，若tan/OA£>=$2点的坐标为（5,0）.

（1）求直线AC的解析式；

（2）若点Q、尸分别从点C、A同时出发，点。沿线段C4向点A运动，点P沿线段A2向点8运动,

。点的速度为每秒遍个单位长度，尸点的速度为每秒2个单位长度，设运动时间为/秒，△尸。£的面积

为S,求S与/的函数关系式（请直接写出自变量f的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，过尸点作PQ的垂线交直线CD于点在P、。运动的过程中，是否在平面

内有一点N,使四边形。为正方形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）根据正切值表示出AO、DO,由勾股定理求出A。，由条件可以表示出CD,由CD=OB,

求出点A、点C的坐标，由待定系数法就可以求出直线AC的解析式；

（2）先求出N8AC的正弦值，然后根据三角形的面积公式分段进行计算就可以表示出S与f的函数关系

式，而求出结论；

【解答】解：⑴VtanZOAD=1,且tanNOAZH器,

.DO4

AO-3,

设。O=4x,AO=3x,在RtZiAOZ）中，由勾股定理得：

AD=4x.

•；AD=CD,

.\CD=5x,

AB//CD,ZABC=90°,

:・ND0B=/ODC=/DCB=90°,

J四边形03co是矩形，

/.OB=CD=5x,

VB（5,0）,

・•・03=5,

••5x=5，

•1,

・・AO=3,£)0=4,

二•A(-3,0),C(5,4).

设直线AC的解析式为，y=kx+b,由题意得

故直线AC的解析式为：y=5%+亍

(2)・・,当％=0时，y=|,

3

：.E(0,-),

2

・・.OE=|,

：.DE=1.

在RtACZ)E和RtAAOE中由勾股定理得：

「5-/5,3/5

CE=-2-，AE=-2~，

：.AC=44S.

VOA=3,OB=5,

：.AB=S,

VBC=4,

AtanZBAC=J,sinZBAC=

,z5i2t(4；5-V5t)^2txj05

.•.当0</<r|时，S=~~~2~---^，=-广+|f;

,5i2txf2t(4V5-V5t)^、5

当一〈忘4时，S=———-~~二=尸一之；

22252

综上所述，

(-/+—<t<2)

(七2-<4)

(3)①如图1,作NH_LCD与H,MG_LA3与G,QR_LA8与H,

・・•四边形QPMN为正方形,

：.MP=MN=PQfNNMP=NMPQ=94°,

・•・ZNMH=ZGMP=ZQPR,

•・•在△MHN和△PRQ中，

(/MHN=NPRQ

]乙NMH=Z.QPR，

[MN=QP

:AMHNQ^PRQ(AAS).

：.NH=QR.

在△GMP和△RPQ中，

(NMGP=NPRQ

\/.GMP=jQPR

(MP=PQ

：./\GMP^ARPQ(A4S),

：.GM=RP.GP=QR.

GM=0D=4cm,

/.RP=4cm.

..AR4V5

*4V5-V5t-8'

.,.AT?=8-2t,

:,PR=8-2-4,

At=1,

：.AR=6,AP=2,

・••尸0=1,

,.QR_1

9AR~2

・・・QH=3,

・•・GO=4,

:・HN=3,MH=4,,

:・H、。在同一直线上,

：.N(0,7)

:・/NSM=/QHP=/PRM=90°,

,/四边形PQNM是正方形，

：・/QPM=NPMN=90°,PQ=PM=MN,

：.ZHPQ=NPMR=ZNMS,

：.同①可以得出△NSMgZk。“尸丝

：.NS=QH=PR,HP=MR=SM=4,

ttAH8

*AQ—4后

.AH8

**4V5-V5t_4VT

：.AH=8-2t,

：.2t-(8-2?)=4,

/.t=3f

：.AH=2,〃0=1,

：.QH=SN=1,OR=4,

:・SM=OR,

・・・S在y轴上，

：.N(0,5)

综上所述，N点的坐标为：(0,7)或(0,5)

【点评】本题是一道一次函数的综合试题，考查了特殊角的三角函数值的运用，矩形的性质的运用，全

等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用.

9.如图，在平面直角坐标系中，A（-1,0）、B（0,2）B.RtAAOB^RtACDA,抛物线y=a?+ax-2经

过点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点尸是无轴上一点，且PCLPB,求P点的坐标；

（3）在抛物线上是否存在两点E、F,使四边形A8EF是正方形？若存在，求点E、尸的坐标；若不存在，

请说明理由.

【分析】（1）已知RtZXAOBqRtz\CZM,因此OB=AZ>=2,OA=CD=1,据此可求出C点坐标，然后

将C点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式.

（2）连接BC,点尸是无轴上一点，贝樱0P=尤，若PCLPB则NCPB=90°,所以三角形2PC是直角

三角形，由勾股定理可得PC2+PB2=5C2,求出OP的值进而得到P的坐标；

（3）存在，可以为边在抛物线的右侧作正方形ABE凡过E作轴，过尸作FG垂直x轴于G,

不难得出三角形480和三角形8HE和三角形AFG都全等，据此可求出E,尸的坐标，然后将两点坐标

代入抛物线的解析式中即可判断出£、尸是否在抛物线上.

【解答】解：(1)VA(-1,0)、B(0,2)5.RtAAOB^RtACDA,

：.OA=1,AD=BO=2,

：.OD=AO+AD=2+1=3,

VZD=90°,

：.CD±OD

：.CD=l,

点坐标为(-3,1),

...抛物线经过点C,

/.1=a(-3)^+a(-3)-2,

.1

•々=2'

二抛物线的解析式为＞=#+%-2；

(2)设OP=x,

'：RtAAOB^RtACDA,

：.ZCAD=ZABO,

,：ZBAO+ZABO=90°,

：.ZCAD+ZBAO=90°,

：.ZCAB=90°,

.•.△ACS是直角三角形，

：.BC=yjAC2+AB2=V10,

"：PC1PB,

：.ZCPB=90°,

.♦.△BPC是直角三角形，

：.PB1+PC1=BC1,

■：PB2=OP2+BO2,PC2=CD2+DP2,

：.OP2+BO2+CD2+DP-=BC-,

BP.r+22+l2+(3-x)2=10,

解得：x=l或2,

由题意可知：尸在x的负半轴，

；.尸的坐标为(-1,0)或(-2,0)；

（3）存在，

在抛物线上存在点E、F,使四边形A2EF是正方形.

以AB为边在AB的右侧作正方形ABEF,过E作EHLOB于H,FGVx轴于G,可证△EHB四△APG丝

△BAO,

：.HE=AG=B0=2,BH=FG=AO=l,

点坐标为（2,1）,P点坐标为（1,-1）.

由⑴抛物线尸吴+1-2,当尤=2时，y=l；当x=l时，y=-1.

:.E、尸在抛物线上.

故在抛物线上存在点E（2,1）、尸（1,-1）,使四边形A2P。是正方形.

【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、正方形的判定、全等三角形的判定和性质等知

识点.综合性强，涉及的知识点多，难度较大.

10.如图，已知抛物线y=（a+2）X2+4G+J-1经过坐标原点，交x轴的正半轴于点D

（1）求。的值；

（2）设抛物线的顶点为M,利用尺规，在抛物线的对称轴上，作点N,使得为等腰三角形.若

不止一个，则分别记作M、N2、N3、…；

（3）若点尸为抛物线对称轴右侧部分上的一点，过点尸作无轴于点A,尸2〃％轴交抛物线左侧部分

于点8,过点B作BCLx轴于点C,问：是否存在这样的点P,使得矩形R1C8恰好为正方形？若存在，

请求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）抛物线＞=（4+2）W+4ax+/-I经过坐标原点，把坐标（0,0）代入抛物线解析式，求出

。的值即可；

（2）在抛物线的对称轴上作出所有使得△OMV为等腰三角形的N点即可；

（3）假如存在，设点尸G,y）,分别讨论点尸在第一象限和第四象限时，矩形B4cB恰好为正方形得

PA^PB,得到关于尤的一元二次方程，解出x的值即可.

【解答】解：（1）:抛物线＞=（。+2）/+4"+。2-1经过坐标原点，

...把（0,0）代入y=（o+2）f+4"1,

解得。=±1,

•••抛物线的对称轴尤大于0,经检验，。=1不合题意，舍去；。=-1符合题意，

••d~~~1;

（2）•；＞=/-4x=（x-2）2-4

：.M（2,-4）,

：.OM=2瓜

符合题意的点N共有4个，M等腰三角形N1OM的顶点，（2,-1.5）,

N2是等腰三角形MOM底边上的点，（2,4）；

N3是等腰三角形OMN3底边上的点，（2,-4-2V5）；

N4是等腰三角形OMN4底边上的点，（2,2V5-4）.

如图：

(3)设尸(x,y).

①当点尸在第一象限，如图1,

由题意矩形恰好为正方形，则PB=PA,

PA=j?-4x,PB=2(x-2),得x2-4x=2(x-2),

解得x=3+V^,x=3—V5(舍去).

：.P(3+V5,2+2V5)；

②当点尸在第四象限，如图2：

由题意矩形依C3恰好为正方形，则PB=PA,

得4x-f=2(尤-2),

解得彳=1+遮，x=l-V5(舍去)，

：.P(1+V5,2-2V5),

存在为(3+V5,2+2而)、P2(1+V5,2-2V5),使得矩形P4CB恰好为正方形.

图1图2

【点评】本题主要考查了二次函数、正方形性质等知识点，解答本题的关键是掌握二次函数的性质，会

求二次函数的对称轴、熟练掌握正方形的性质，此题难度一般.

11.如图，点2、C分别在x,y轴的正半轴上，OB,0c的长分别为/-8x+12=0的两个根，且0003,

将△COB绕点。逆时针旋转90°,点C落在x轴负半轴上的点A处，点B落在y轴正半轴的点。处,

连接AC.

Cl)求过A,B,C三点的抛物线的函数解析式；

(2)直接写出tan/C4。的值；

(3)点尸从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A,点Q从点0以每秒1个单位长度的速

度沿0C运动到点C,连接PQ.求&CPQ的最大值，及此时点P的坐标；

(4)M是第二象限内一点，在平面内是否存在点N,使得以A,D,M,N为顶点的四边形是正方形？

若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

【分析】(1)解/-8x+12=0得：尤=6或2,故点8(2,0)、点C(0,6),由图象的旋转知，点A、D

的坐标分别为(-6,0)、(0,2)；再用待定系数法即可求解；

(2)由SAACD=4xCDXAO=4xACXHD,即一x4X6=4xV62+62xHD,解得HD=2五,贝UsinZ

2222

HD2-72y[S―ATJ

CAD=即Rn可r求解；

j62+22

(3)由S&CPQ=xCQX|诩=xV2t(6-t)=—孝(户-6f),即可求解；

(4)分A。是正方形的对角线、是正方形的边两种情况，利用三角形全等即可求解.

【解答】解:(1)解/-8x+12=0得：x=6或2,

故点B(2,0)、点C(0,6),

由图象的旋转知，点A、。的坐标分别