中考数学几何专项冲刺复习：网格中的三角函数（基础）含答案及解析

专题28网格中的三角函数（基础）

一.选择题

1.如图所示的正方形网格中有Na,贝！Jtana的值为（）

2V5

D.2

2.如图，在正方形网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上,则tanNBAC的值是（)

3

D.-

5

3.如图，在5X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,AABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,

34

C.D.

55

4.如图，A,B,。是3义1的正方形网格中的三个格点，贝UtanB的值为（）

5.如图，△A8C的顶点都在正方形网格的格点上，则cosNBAC的值为（)

6.如图，在8X4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan/ACB的值为（）

7.如图，在5X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,AABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,

34

C.D.

55

8.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C都在格点上，则tan/BAC的值为（

9.△A3C在正方形网格中的位置如图所示，则cosa的值是（）

44

C.D.

53

10.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，OO半径为1,圆心。在格点上，则tan/AE。)

11.在正方形网格中，△ABC如图放置，点A,B,C都在格点上，贝Usin/BAC的值为（）

二.填空题

12.如图所示的网格是正方形网格，贝l]tana+tanB=

13.如图，边长为1的小正方形网格中，点A,B,C,D,E均在格点上，半径为2的OA与8C交于点F,

14.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，贝Isina的值是

15.如图所示的网格是正方形网格，贝UNAOBZCOD.（填“>”或“<”）

16.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、。都在这些小正方形的顶点上，AB,CD

都交于0,则sin/AOD=.

17.如图，在正方形网格中，cos/ACB=

18.如图，点A,B,C均在正方形网格点上，贝UtanC=

B

19.如图，在3X3的正方形网格中有一个四边形A8C。，若小正方形的边长为1,则sin/AOB+cos/DBC

20.已知a,0为锐角，tana=:，tan0=2,利用如图所示的网格计算tan（a邛）的值为

三.解答题

21.如图，在正方形网格中每个小正方形的边长均为bAABC的各个顶点都在正方形的顶点上，计算sinA,

cosA,tanA与sinB,cosB,tanB的值.

22.网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC每个顶点都在网格的交点处,

(1)则△ABC的面积为

(2)试求sinA的值.

23.如图，△A8C的顶点是边长为1的正方形网格的格点,

(1)直接写出cosB和tan(ZACB-90°)的值；

(2)求sinA的值.

24.【问题背景】如图1,在边长为1的正方形网格中，连接格点48和C、D,A8和CD相交于点尸，求

tan/CPB的值.小马同学是这样解决的：连接格点8、E可得BE〃CZ),则连接AE,

那么/CPB就变换到RtAABE中.贝！Jtan/CPB的值为.

【探索延伸】如图2,在边长为1的正方形网格中，AB和C£＞相交于点尸，求sin/AP。的值.

25.如图，边长为5km的正方形网格表示海平面示意图，其中阴影部分表示轮船无法通过的海域，甲轮船

从A码头出发沿北偏东45°方向以10切1///的速度行驶20a切1到C地.休息半小时后，再以同样速度

沿正东方向行驶15km,然后沿西北方向行驶10匹的1到达8岛.

(1)在图中画出甲轮船行驶的示意图；

(2)乙轮船比甲轮船从A码头晚出发2/z,并以15切〃/7的速度行驶，途中不休息，问：乙轮船能否先于

甲轮船到达2岛？若能，画出乙轮船航线示意图并说明理由；若不能，请说出为什么.

B

专题28网格中的三角函数（基础）

一.选择题

1.如图所示的正方形网格中有Na,贝I]tana的值为（）

【分析】利用网格特点，构建Rt^ACB,然后利用正切的定义求解.

AD1

【解答】解:如图，在RtzMCB中，tana=^=*.

【点评】本题考查了解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.灵

活应用勾股定理和锐角三角函数.

2.如图，在正方形网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，贝han/BAC的值是（）

【分析】利用网格特点得到/A8C=90°,然后利用正切的定义求解.

【解答】解：VZABC=90°,AB=3,BC=4,

4

/.tanZBAC=2.

故选：C.

【点评】本题考查了解直角三角形:在直角三角形中，由己知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.合

理使用勾股定理和锐角三角函数的定义是解决问题的关键.

3.如图，在5义4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,AABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，

则cos/氏4c的值为（)

A

【分析】过点C作CDLAB于点。，根据勾股定理可求出AC,然后根据锐角三角函数的定义即可求出

答案.

【解答】解：过点C作CDLAB于点D,

"：AD=3,CD=4,

由勾股定理可知：AC=5,

/.cosZBAC=祟=

故选：C.

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于

基础题型.

4.如图，A,B,C是3X1的正方形网格中的三个格点，则tanB的值为（）

BC

1V5275

A.-B.—C.-----

255

【分析】根据锐角三角函数的定义，直接计算得结论.

【解答】解：如图所示，在中，

AD1

tann8=前=才

故选：A.

【点评】本题考查了锐角三角函数.题目比较简单，掌握正切函数的定义是解决本题的关键.

5.如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，贝Ucos/BAC的值为（）

【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案.

【解答】解：过8作交AC的延长线于”,

：.AB=y/AH2+BH2=V32+42=5,AH=3,

AUQ

cosXBAC=彳^=耳，

故选：C.

B

AcH

【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型.

6.如图，在8X4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tanZACB的值为（）

【分析】作A8LCB，交C2延长线于71点，NACB的正切值是与C8的比值.

【解答】解：如图，作交CB延长线于“点，

故选：A.

【点评】本题主要考查正切值的求法，解题的关键是构造直角三角形.

7.如图，在5X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,AABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,

贝！IsinNBAC的值为（）

【分析】过C作COLAB于£）,首先根据勾股定理求出AC,然后在RtZ\ACD中即可求出sin/A4c的

值.

【解答】解：如图，过C作于。，则/A£>C=90°,

：.AC=VXD2+CD2=V32+42=5.

CD4

sinZBAC=

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键.

8.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C都在格点上，贝Utan/A4c的值为（）

【分析】连接BC,先根据勾股定理求出AC?、B&AB2,由勾股定理的逆定理可判断aABC是直角三

角形，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案.

【解答】解：如图，连接8C.

根据勾股定理可得AC2=22+22=8,

BC2=12+12=2,

AB2=l2+32=10,

:.AC2+BC2=AB2,

・•・△ABC是直角三角形，ZACB=90°,

・./口yBC^21

'-tanZBAC=AC=^=2-

故选：B.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，判断△ABC是直角三角形是解题的关键.

9.△A8C在正方形网格中的位置如图所示，则cosa的值是（）

【分析】根据锐角三角函数的定义得出cosa=器进而求出即可.

【解答】解：如图所示：：4。=3,CD=4,

：.AC=5

4

.CD--

..cosa=才下5

故选：C.

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确构造直角三角形是解题关键.

10.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，。。半径为1,圆心。在格点上，则tan/AED=

V21

A.1B.—C.一D,

223

【分析】根据锐角三角函数的定义求出tanNABC,根据圆周角定理得到NABC,得到答案.

【解答】解：・.・AC=1,AB=2,

tanXABC=器=

由圆周角定理得，NAED=NABC,

1

tanXAED—彳

故选：C.

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、圆周角定理的应用，掌握锐角A的对边。与邻边6的比叫

做NA的正切是解题的关键.

)

【分析】在直角△ABC中，首先利用勾股定理求得的长，然后根据正弦的定义求解.

【解答】解：AB=>JAC2+BC2=V32+33=3鱼,

则sin/ZMC嚼=贵=孝’

故选：C.

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻

边比斜边，正切为对边比邻边.

二.填空题

12.如图所示的网格是正方形网格，则tana+tanB=4

【分析】根据题意和图形，可以计算出tana+tanB的值，本题得以解决.

【解答】解：由图可得，

ACAC22

tana+tanp=近+而=耳+j=1+3=4,

故答案为：4.

【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答.

13.如图，边长为1的小正方形网格中，点A,B,C,D,E均在格点上，半径为2的OA与8C交于点R

1

则tanZ£>£F=".

【分析】根据圆周角定理得出进而得出tanNDEF=tan/Z)BC,求出答案即可.

【解答】解：由题意可得：NDBC=NDEF,

nri

贝Utan/D£P=tanN£)BC=蔚=本

故答案为：

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确得出tan/Z)EF=tan/Z)BC是解题关键.

3

14.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sina的值是g.

【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出即可.

【解答】解：如图所示：：AC=3,BC=4,

：.AB=5,

..AC3

••sma=TB=F.

3

故答案为：­.

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确构造直角三角形是解题关键.

15.如图所示的网格是正方形网格，则/A08=/COD.（填“>”，"=”或“<”）

【分析】根据tanZAOB与tanZCOD的大小比较即可求解.

【解答】解：根据题意可知tan/AOB=2,tan/COO=2,

/.ZAOB=ZCOD,

故答案为：=

【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐

角三角函数的增减性是关键.

16.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、。都在这些小正方形的顶点上，AB,CD

2l~E

都交于O,则sinZAOD=—^―.

【分析】直接利用网格结合锐角三角函数关系得出sin/AOO=sin/ABE,即可得出答案.

【解答】解：由网格可得：AAEB是RtA,AE=2V2,AB=710,

DC//BE,且/AOD=/ABE,

=

sin^.A.OD—sin^A.BE~r~n=)—=~F~•

AB7105

故答案为：—

【点评】此题主要考查了解直角三角形，得出sin/A0r>=sinNA8E是解题关键.

V5

17.如图，在正方形网格中，cos/ACB=工.

【分析】过点B作8OLAC,垂足为点。，在RtzXBC。中，利用勾股定理可求出BC的长，结合余弦的

定义可求出cos/ACB的值，此题得解.

【解答】解：过点B作BCAC,垂足为点。，如图所示.

在RtZ\BC£)中，CD=1,BD=2,

：.BC=VBD2+CD2=V5,

cosXACB—

V5

故答案为：—.

【点评】本题考查了解直角三角形，牢记余弦的定义是解题的关键.

【分析】连接A。，如图，利用网格特点得到乙M>C=90。，CD=2AD,然后根据正切的定义求解.

【解答】解：连接A。，如图,

易得NAr)C=90°,

而CD=2AZ)»

g、iAD1

所以tanC=而=g

,,一»,1

故答案为3

【点评】本题考查了解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.解

决此题的关键是灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义.

19.如图，在3X3的正方形网格中有一个四边形ABCD若小正方形的边长为1,则sin/ADB+cos/DBC

【解答】解：如图，AD=sjAE2+DE2=Vl2+22=V5,BC=VBF2+CF2=V22+22=2近.

..AE1V5BF242

,・sinZAZ)B=而=而=亏'cosN08C=反=荻=亍

B

【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理.熟练掌握锐角三角形函数定义即可解答，属于基础题型.

20.已知a,0为锐角，tana=tan0=2,利用如图所示的网格计算tan(a+p)的值为3

【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案.

【解答】解:如图，tana=.，tan[3=2,

tan(a+p)=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，正切函数是对边比邻边，画图准确是解题关键.

三.解答题

21.如图，在正方形网格中每个小正方形的边长均为1,AABC的各个顶点都在正方形的顶点上，计算sinA,

【分析】根据正方形网格中每个小正方形的边长均为1,可以求得边A3、AC、2C的长，然后即可得到

得到CD的长，从而可以求得NsinA,cosA,tanA与sinB,cosB,tanB的值..

【解答】解：：在正方形网格中每个小正方形的边长均为1,

：.AC=712+22=V5,BC=Vl2+32=VlO,AB=V32+42=V25=5,

.ABCD_4x13x14x3

••-2-=4X32227)

解得，CD=1,

22

：.AD=J(V5)-l=2,BD=J(VW-12=3,

...CD1&,22日+.1

••s1nA=*=西=亏'cosA=忑=丁，tanA=2，

.01同R33/10,R

sinB=7To=W->COSB=7TO=^TANB=

即sinA=浸cosA=芈，tanA=sinB=~■，cosB=tanB=

JJ乙.LJLU。

B

C1

/

A

A

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据题意求出各边的长，然后求出各角的余弦值.

22.网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC每个顶点都在网格的交点处，

（1）则△A8C的面积为6；

【分析】（1）根据三角形的面积=正方形的面积-三个角上三角形的面积即可得出结论.

（2）作出AB边的高CE,根据面积相等求出CE,根据正弦是角的对边比斜边，可得答案.

111

【解答】解：(1)SAABC=4X4-1X4X2-1X2X2-^X2X4

=16-4-2-4

=6.

故答案为6.

(2)CE±ABE,

由勾股定理得42=AC=2«,

1

\'-AB'CE^6,

2

,CE~2x6—9

2遮一5Ag’

.人CE研3

‘榜=衣=泰=宁

A

【点评】本题考查勾股定理、锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边,

余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.

23.如图，△ABC的顶点是边长为1的正方形网格的格点,

(1)直接写出cosB和tan(ZACB-90°)的值；

(2)求sinA的值.

【分析】利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答.

【解答】解：(1)如图，过点A作APLBC于RAELCE于E.

在直角AABF中，cosB=黑=最।=孝；

Ap1

在直角中，tan(ZACB-90°)=tan/ACE=釜=京

(2)如图，过点C作CD_L4B于。，

11

■:SAABC=^CDXAB=扣CXAF,

：.CDXAB=BCXAFf

AC£>X3V2=2X3,

/.CD=V2,

在RtZXADC中，sinA=^=叁=电.

力6V105

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的

关键.

24.【问题背景】如图1,在边长为1的正方形网格中，连接格点48和C、D,A8和CD相交于点P,求

tan/CP3的值.小马同学是这样解决的：连接格点8、E可得BE〃CD,则连接AE,

那么/CPB就变换到RlAABE中.贝I]tan/CPB的值为3.

【探索延伸】如图2,在边长为1的正方形网格中，AB和相交于点尸，求sin/AP。的值.

【分析】(1)在Rt^ABE中，利用正切函数的定义求出tan/ABE即可.

(2)如图2,连接CE,OE,作。M_LCE于先证明四边形ABCE是平行四边形，得出CE〃4B,那

11

么NAPD=NECD.利用割补法求出△EC。的面积=今，

由勾股定理求出C£=V17,那么根据三角形的面积公式得出。卫妥，然后利用正弦函数定义求出

sinZECZ)即可.

【解答】解：(1)如图1,

■:BE//CD,

：.NABE=/CPB,

tanZABE=tanZCPB,

VZAEB=90°,

tanZCPB=tanZABE=普=警=3,