中考数学复习专练：圆的基本性质（学生版）

专题31圆的基本性质【二十个题型】

►题型梳理

【题型1圆的周长与面积相关计算】.............................................................1

【题型2圆中的角度、线段长度计算1.........................................................................................3

【题型3求一点到圆上一点的距离最值】........................................................5

【题型4利用垂径定理结合全等、相似综合求解】................................................6

【题型5在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】..................................................7

【题型6垂径定理在格点中的应用】............................................................8

【题型7垂径定理的实际应用】................................................................10

【题型8利用垂径定理求取值范围】...........................................................12

【题型9利用弧、弦、圆心角关系求角度、线段长、周长、面积、弧的度数】......................13

【题型10利用弧、弦、圆心角关系比较大小】...................................................14

【题型11利用弧、弦、圆心角关系求最值】.....................................................15

【题型12利用弧、弦、圆心角关系证明］.......................................................17

【题型13利用圆周角定理求解】................................................................18

【题型14利用圆内接四边形求角度】...........................................................20

【题型15利用圆的有关性质解决翻折问题】.....................................................21

【题型16利用圆的有关性质解决最值问题】.....................................................22

【题型17利用圆的有关性质求取值范围】.......................................................24

【题型18利用圆的有关性质解决多结论问题】...................................................25

【题型19圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距】........................................27

【题型20圆有关的常见辅助线-遇到有直径时，常添加（画）直径所对的圆周角】...................28

〉举一反三

【知识点圆的基本性质】

1.圆

在一个平面内，线段。4绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点/所形成的图形叫做圆。固定

的端点。叫做圆心，线段ON叫做半径，以点O为圆心的圆，记作OO,读作“圆

连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧

都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧。大于半圆的弧叫做优弧。

能够重合的两个圆叫做等圆。

在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。

2.垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

3.弧.弦.圆心角之间的关系

定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

注：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧.两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其

余各组量也分别相等

4.圆周角

定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

【题型1圆的周长与面积相关计算】

【例1】（2023•福建泉州•南安市实验中学校考二模）适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的

仙法•白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，BC=400像素，AABC=90°,那么周

围圆环面积约为（）

A.40000兀B.1600兀C.64000兀D.160000TT

【变式1-1]（2023•山东德州•统考二模）《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆,

感悟数学之美.如图，正方形4BCD的面积为2,以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形4BC

D,,若4夕48=2:1,则四边形的外接圆的周长为.

【变式1-2］（2023•山东潍坊•中考真题）《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆,

感悟数学之美.如图，正方形4BCD的面积为4,以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形4BC

D',若4夕48=2:1,则四边形的外接圆的周长为.

【变式1-3】（2023•湖北武汉•华中科技大学附属中学校考模拟预测）如图，一个较大的圆内有15个半径为

1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为（）

.22+1675-T，20+1675“c22+14V3„「20+14V3„

A•-TTB.-ITC.-7TD•-IT

3333

【题型2圆中的角度、线段长度计算】

【例2】（2023•广东清远•统考二模）如图，在边长为4正方形力BCD中，点E在以8为圆心的弧4C上，射

线DE交4B于尸，连接CE,若则。E=（）.

D

A.2B.C.D.

【变式2-1]（2023•江苏南京•统考二模）如图，在。。中，C是通上一点，。41。8,过点。作弦CO交。8

于E,若。4=DE,则NC与乙40C满足的数量关系是（）

1123

A.ZC=-^AOCB.ZC=-^AOCC.zC=-^AOCD./-C=^AOC

32.34

【变式2-2]（2023•湖南益阳・统考二模）如图，在Rt^ABC中，90。，点。在斜边48上，以BD为直

径的。。经过边4C上的点£,连接BE,且BE平分N4BC,若。。的半径为3,AD=2,则线段BC的长为

（）

4024

A.-y-B.8C.yD.6

【变式2-3]（2023•吉林长春•统考一模）如图，点尸是。。外一点，分别以。、尸为圆心，大于g0P长为

半径作圆弧，两弧相交于点M和点N,直线MN交0P于点C,再以点C为圆心，以。C长为半径作圆弧，交

。。于点/,连接PA交MN于点2,连接。4、0B.若乙P=26°,则N40B的大小为（）

A.26°B.38°C.52°D.64°

【题型3求一点到圆上一点的距离最值】

【例3】（2023•江苏宿迁•统考中考真题）在同一平面内，已知。。的半径为2,圆心。到直线/的距离为

3,点尸为圆上的一个动点，则点P到直线/的最大距离是（）

A.2B.5C.6D.8

【变式3-1］（2023•广东茂名•统考二模）如图，在乙4cB=90。，E为AC边上的任意一点，把△BCE

沿BE折叠，得到aBFE,连接4F.若BC=6/C=8,皿4尸的最小值为—.

【变式3-2］（2023•湖南永州•校考三模）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫

做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到

这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，

最短线段的长度，叫做点到曲线的距离.依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点4（2,1）到以原点为圆心,

以1为半径的圆的最短距离为.最长距离为.

【变式3-3］（2023•河南焦作・统考二模）如图，在Rt△ABC中，48=3,BC=4,=90。，正方形CDEF

的边长为1,将正方形CDEF绕点。旋转一周，点G为EF的中点，连接AG,则线段AG的取值范围是.

【题型4利用垂径定理结合全等、相似综合求解】

【例4】（2023•广东湛江•统考一模）如图，在△4BC中，乙4cB=90。，以直角边8C为直径的。。交于

点D,连接CD,NCZB的角平分线交CD于点M交BC于点F,交。。于点尸.

P

AECF

（1）求证:~AF~BF；

⑵若tan/C4B=*求sin/CAP的值;

（3）连接PC、PB,若N2BC=30。，AB=2值，求△PCF的面积.

【变式4-1］（2023•江苏泰州•二模）如图，在。。中，弦力。、BC相交于点E,连接OE,已知而=而.

⑴求证：BE=DE；

（2）如果。。的半径为5,AD1CB.DE=1,求力E的长.

【变式4-2］（2023・陕西西安•高新一中校考一模）如图，2B是的直径，弦CD14B于点£,点尸在O。上,

zl=zC.

(2)若BC=3,ZC=3O°,求。。的直径.

【变式4-3](2023•云南德宏•统考一模)如图，是。。的直径，弦CD14B于点E,点F是。。上一点,

且灰=而，连接FB,FD,FD交AB于点N.

(1)若力E=l,CD=6,求。。的半径；

(2)连接FC并延长，交B4的延长线于点P,过点。作。。的切线，交B4的延长线于点M.求证：

ON-OP=OE-OM.

【题型5在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】

【例5】(2023•浙江宁波・统考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，OM与久轴相切于点4与y轴分别

交点为B,C,圆心M的坐标是(4,5),则弦BC的长度为.

【变式5-1](2023•广东深圳•统考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线丫=-久+3与x轴交于

点力，与y轴交于点B,G>M经过原点。及4、B两点.

⑴求。M的半径；

⑵点C为弧。力上的一点，且满足NCOA=NCB。，求C点坐标.

(3)直线y=x与OM交于点。、N两点，求线段ON的长.

【变式5-2](2023•湖北黄冈•统考一模)如图，在平面直角坐标系中，OP的圆心坐标是(3,a)(a>3),

半径为3,函数y=x的图象被OP截得的弦力B的长为4vL贝i|a的值是.

【变式5-3](2023•黑龙江齐齐哈尔•模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，以点C(l,l)为圆心，2为半径

作圆，交x轴于4B两点，点P在OC上.

⑴求出48两点的坐标；

(2)试确定经过4、B两点且以点P为顶点的抛物线解析式；

(3)在该抛物线上是否存在一点D,使线段0P与CD互相平分？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明

理由.

【题型6垂径定理在格点中的应用】

【例6】(2023•天津河西・天津市新华中学校考二模)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点4

点3,点。均在格点上，并且在同一个圆上，取格点连接4M并延长交圆于点C,连接4D.

⑴AM=:

（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段力P,使4P平分NC4D,且点尸在圆上，并简要说明

点尸的位置是如何找到的（不要求证明）.

【变式6-1］（2023•天津东丽•统考二模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的

顶点称为格点，点4B,M均为格点，以格点。为圆心，4B为直径作圆，点M在圆上.

（I）线段力B的长等于；

（II）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在丽上找出一点P,使丽=丽，并简要说明画图方法

（不要求证明）______________________________

【变式6-2］（2023•山东淄博•统考二模）如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧

经过格点B,C,CE的延长线经过格点。，则弧标的长为（）

A.当B.C.?D.李兀

4284

【变式6-3］（2023・天津•校联考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点/,B,C,D均为

格点，且点N,8在圆上.

（1）线段4C的长等于；

（2）过点。作DFII力C,直线DF与圆交于点M,N（点M在N的左侧），画出MN的中点P,简要说明点P的位置

是如何找到的（不要求证明）.

【题型7垂径定理的实际应用】

【例7】（2023•湖南•统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，

明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）.假定在水流量稳定的情况

下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒.

问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的。。.如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米.当t=0

时，某盛水筒恰好位于水面/处，此时乙4OM=30。，经过95秒后该盛水筒运动到点8处.（参考数据，

V2«1.414,V3»1.732)

图①图②

问题解决：

（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，NBOM的度数；

（2）求该盛水筒旋转至8处时，它到水面的距离.（结果精确到0.1米）

【变式7-1］（2023•北京西城•统考一模）圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图,

某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m,地面入口宽为1m,求该门洞的半径m.

【变式7-2］（2023•宁夏中卫•统考二模）在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监

测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标。（0,0）,/1（0,10）,B（20,0）,由三个监测点确定的圆

形区域是安全警戒区域.（单位：海里）

（1）某天海面上出现可疑船只C,在监测点/测得C位于南偏东45。，同时在监测点。测得C位于南偏东

60°,求监测点。到C船的距离.（结果精确到整数，参考数据：V2«1.4,V3«1.7,V5«2.2）

（2）当可疑船只C由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答.

【变式7-3］（2023•广东佛山•校考三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通,

便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河

北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古

代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形.

（1）某桥/主桥拱是圆弧形（如图①中痂），已知跨度力C=40m,拱高BD=10m,则这条桥主桥拱的半

径是m；

（2）某桥3的主桥拱是抛物线形（如图②）,若水面宽MN=10m,拱顶P（抛物线顶点）距离水面4m,求

桥拱抛物线的解析式；

（3）如图③，某时桥/和桥2的桥下水位均上升了2m,求此时两桥的水面宽度.

【题型8利用垂径定理求取值范围】

【例8】（2023•浙江宁波•一模）如图，A8为O。的直径，弦CD1A8于点£OE=AE=2,尸为而上一点,

CF与AB交于点G,若FG>CG,贝的长的范围为（）

A.4<BF<4V2B.4<BF<4V3

C.4V2<BF<4V3D.4V2<BF<8

【变式8-1］（2023•四川绵阳•二模）已知。。的弦AB=1.6,优弧上的点到AB的最大距离为1.6,直线

HAB,若。。上有4个不同的点到/的距离等于0.4,则点。至h的距离d的范围为.

【变式8-2］（2023•广东佛山・统考二模）如图，。。的半径为5cm,弦4B=8cm,P是弦4B上的一个动点,

则。P的长度范围是（）

A.8<OP<10B.5<OP<8C.4<OP<5D.3<OP<5

【变式8-3］（2023・广东广州・华南师大附中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xQy中，半径为4的

O。与x轴的正半轴交于点/，点5是。。上一动点，点C为弦48的中点，直线>=产-6与x轴、〉轴分别

交于点。、E,若△CDE面积为S,则S的范围是

【题型9利用弧、弦、圆心角关系求角度、线段长、周长、面积、弧的度数】

【例9】（2023・四川成都・统考二模）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△4BC；分别以点

A,B,C为圆心，以N8的长为半径作前，AC,AB,三条弧所围成的图形就是一个曲边三角形.如果

AB=3,那么这个曲边三角形的周长是（）.

9

A.7iB.27rC.-JiD.37r

【变式9-1］（2023•江苏泰州•二模）如图，已知A3、CD是。。的两条直径，且乙4。。=50。，过点A作AE||

CD交O。于点E,则弧4E的度数为.

----/

【变式9-2］（2023•上海宝山•一模）如图，已知圆。的弦4B与直径CD交于点E,且CD平分4B.

（1）已知4B=6,EC=2,求圆。的半径；

（2）如果DE=3EC,求弦所对的圆心角的度数.

【变式9-3］（2023•安徽合肥•一模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的

图形.

图1图2

(1)已知：如图1,OA=OB=0C,请利用圆规画出过4、B、C三点的圆.若/力。8=70。，贝此4CB=

（2）已知，如图2,中，N4BC=90。，^BCA=30°,4B=2.点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平

移2个单位长度，点4、P、C的对应点分别为点D、E、F,求四边形8DFC的面积和NBEA的大小.

（3）如图3,将4C边沿BC方向平移a个单位至DF,是否存在这样的a,使得直线。尸上有一点Q,满足NBQ4=45。

且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a,若不存在，说明理

由.

【题型10利用弧、弦、圆心角关系比较大小】

【例10】（2023•河北•统考中考真题）如图,点P1〜P8是。。的八等分点.若4P1P3P7,四边形p3P4P6P7

的周长分别为a,b,则下列正确的是（）

a

Ps

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,6大小无法比较

【变式10-1】（2023•甘肃平凉•三模）如图，在。。中，AB=BC=CD,连接NC,CD,则/C与CD的关

系是（）.

B

A.AC=2CDB.AC<2CD

C.AC>2CDD.无法比较

【变式10-2］（2023•甘肃平凉•二模）如图所示，在O。中，AB^2CD,那么（）

A.AB>2CDB.AB<2CDC.AB=2CDD.无法比较

【变式10-3】（2023•河北秦皇岛•统考一模）如图，在扇形中，^AOB=90°,C、。是费上两点，过

点。作DEIIOC交。5于£点，在。。上取点尸，使。F=DE,连接CF并延长交。5于G点.

⑴求证：△OCFmADOE；

⑵若C、。是48的三等分点，。4=2板：

①求NOGC；

②请比较GE和8E的大小.

【题型11利用弧、弦、圆心角关系求最值】

【例11】（2023•江苏泰州•二模）如图，AB是。0的直径，AB=4,C为近的三等分点（更靠近A点），

点P是OO上一个动点，取弦AP的中点D,则线段CD的最大值为（）

C.2V3D.V3+1

【变式11-1】（2023•江苏泰州•一模）如图，CD是。。的直径，CD=8,AACD=20°,点B为弧力。的中点,

点P是直径CD上的一个动点，则P4+PB的最小值为.

【变式11-2］（2023•河南焦作•统考一模）如图，在扇形30C中，乙8。。=60。，点。是读的中点，点E,F

分别为半径OC,Q8上的动点.若OB=2,则△。防周长的最小值为.

【变式11-3］（2023•河南•三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形.

（1）已知：如图1,OA=OB=OC,请利用圆规画出过4、B、。三点的圆.若N4OB=70。，贝此2CB=

（2）已知，如图2,中，N4BC=90。，Z.BCA=30°,4B=2.点P为AC边的中点，将2C沿BA方向平

移2个单位长度，点4、P、C的对应点分别为点D、E、F,求四边形8DFC的面积和NBEA的大小.

(3)如图3,将力C边沿BC方向平移a个单位至DF,是否存在这样的a,使得直线OF上有一点Q,满足NBQ4=45。

且此时四边形B4DF的面积最大？若存在，求出四边形B4DF面积的最大值及平移距离a,若不存在，说明理

由.

【题型12利用弧、弦、圆心角关系证明】

【例12】(2023•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测)如图1,圆。中，48为弦，C为弧48中点，连接。C交力B于

D.

⑴求证：OC1AB；

(2)如图2,弦EFII弦GH,连接EG、FH,求证：EG=FH；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接BC、FG,若FG平分NEFH,OD=3,GH=WGBC=2近,求EF长.

【变式12-1】(2023•湖北武汉•校考模拟预测)如图，。。经过△ABC的顶点4C及的中点D,且D是公

的中点.

⑴求证：△ABC是直角三角形；

(2)若。。的半径为1,求力/BC的值.

【变式12-2】(2023•广东江门•统考二模)如图，点/、B、C在。。上，是直径，NABC的角平分线8。

与O。交于点。，与4C交于点M,且=连接。D,交4c于点N.

(2)试猜想48与。。之间的数量关系，并证明.

【变式12-3](2023•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测)如图1,为。。直径，点E是弦47中点，连接。E并

延长交O。于点D,

(1)求证：AD=CD；

(2)如图2,连接BD交AC于点尸，求证：DE2=EF-EC；

(3)如图3,在(2)条件下，延长82至点G,连接GF,若NDFG=45。，XG=V2CF=4,求。。的周长.

【题型13利用圆周角定理求解】

【例13】(2023•湖北武汉•校考一模)如图，BC是。。的直径，。为。。上一点，/为演的中点，AE1BC

于，并交O。于点£，若CD=3DF,AC=4,则。。的半径长为()

A.1B.-^VTsC.D.

【变式13-1](2023•安徽•模拟预测)如图，在。。中，直径4B=4,弦CD=2,连接4D,BC相交于点E,

则乙4EC的度数是.

c

D

【变式13-2】(2023•天津滨海新•统考二模)如图，。。是△/8C的外接圆，/£切。。于点/,/£与直径

图①图②

(1)如图①，若NC=71。，求的大小;

(2)如图②，当AE=AB,。£=2时，求乙E的大小和。。的半径.

【变式13-3】(2023•广东河源•三模)【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：

如图①，点。为坐标原点，。。的半径为1,点4(3,0).动点B在。。上，连接AB,作等边△ABC(4B,C

为顺时针顺序)，求。。的最大值；

【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接。8,以。B为边在的左

侧作等边△BOE,连接力E.

(1)请你找出图中与。C相等的线段，并说明理由；

(2)线段OC的最大值为.

【灵活运用】

(3)如图②，在平面直角坐标系中，点4的坐标为(3,0),点B的坐标为(5,0),点P为线段4B外一动点，且

PA=2,PM=PB,乙BPM=90°,求线段长的最大值及此时点P的坐标.

【迁移拓展】

(4)如图③，BC=4V3,点。是以BC为直径的半圆上不同于8、C的一个动点，以BD为边作等边△4BD,

请直接写出4C的最值.

【例14】（2023•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测）如图，若乙40B=70。，贝比228的度数为（）

A.110°B.145°C.135°D.160°

【变式14-1］（2023•陕西西安•校考二模）如图，四边形4BCD是。。的内接四边形，BE是。。的直径，连

接AE,OD,若4EII0D,且4E=。。，贝UNBCD的度数为（）

A.100°B.105°C.110°D.120°

【变式14-2］（2023•江西九江•校考二模）如图，直线48,4。与O。分别相切于点B,D,C为O。上一点,

且N8CD=125°,贝|乙4的度数是.

【变式14-3】（2023•黑龙江哈尔滨•统考模拟预测）如图，四边形4BCD内接于O。，48为O。的直径,

BC=CD=AD,则NC的大小为

【题型15利用圆的有关性质解决翻折问题】

【例15】（2023•湖北武汉•统考中考真题）如图，48是。。的直径，BC是。。的弦，先将沅沿翻折交4B

于点，再将而沿4B翻折交8C于点E.若前=砺，设N2BC=a,贝ija所在的范围是（）

A.21.9°<a<22.3°B.22,3°<«<22.7°

C.22.7。<a<23.1。D.23.1。Va<23.5。

【变式15-1]（2023•江苏泰州•统考二模）如图，在。。中，力B为直径，C为圆上一点，将劣弧4C沿弦4C

翻折，交2B于点。，连接CD,若点。与圆心。不重合，NB4C=25。，则NDCA=

【变式15-2]（2023•江苏苏州•苏州市立达中学校校考二模）如图，E为正方形48CD的边CD上一点（不与

C、D重合）,将aBCE沿直线BE翻折到aBFE,延长EF交4E于点G,点。是过B、E、G三点的圆劣弧EG上

一点，则NEOG=°.

【变式15-3】（2023•安徽淮南•校联考一模）如图，已知，AB是。。的直径，点C为圆上一点.

①

（1）如图①，将就沿弦力C翻折，交力B于。，若点。与圆心。重合，AC=2V3,则。。的半径为；

（2）如图②，将前沿弦BC翻折，交力B于。，把而沿直径4B翻折，交BC于点£

（I）若点E恰好是翻折后的丽的中点，贝此B的度数为；

（II）如图③，连接DE,若48=10,OD=1,求线段DE的长.

【题型16利用圆的有关性质解决最值问题】

【例16】（2023•广东清远•统考模拟预测）如图，4B是半。。的直径，点C在半。。上，XB=2V13cm,AC=6

cm.D是前上的一个动点，连接力D,过点C作CE14D于E,连接BE.在点。移动的过程中，BE的最小值为

A.V13-2B.V13C.V3D.2

【变式16-1】（2023•河北保定•统考二模）嘉嘉与淇淇在讨论下面的问题：

如图，Rt/XABC中，48=60,4C=45,zBXC=90°.D,£分别是AC,48边上的动点，DE=52,以。E

为直径的。。交BC于点P,。两点，求线段PQ的最大值.

嘉嘉：当点。，E分别在AC,4B上移动时，点。到点/的距离为定值；

淇淇：当PQ为圆。的直径时，线段PQ的长最大.

关于上述问题及两人的讨论，下列说法正确的是（）

A.两人的说法都正确，线段PQ的最大值为52

B.嘉嘉的说法正确，淇淇的说法有问题，线段PQ长度的最大值为48

C.淇淇的说法有问题，当DEIIBC时，线段PQ的长度最大

D.这道题目有问题，PQ的长度只有最小值，没有最大值

【变式16-2】（2023•浙江湖州•统考中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的

顶点称为格点.如图，在6x6的正方形网格图形4BCD中，M,N分别是AB,2c上的格点，BM=4,BN=

2.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM,PN,则所有满足乙W7W=45。的中，边的长的最

大值是（）

A.4V2B.6C.2V10D.3亚

【变式16-3】（2023•浙江宁波・统考一模）已知：如图1,在平面直角坐标系中，A（2,一1）,以M（-

1,0）为圆心，以AM为半径的圆交y轴于点B,连结BM并延长交OM于点C,动点P在线段BC上运

动，长为弓的线段PQIIx轴（点Q在点P右侧），连结AQ.

（1）求OM的半径长和点B的坐标；

（2）如图2,连结AC,交线段PQ于点N,

①求AC所在直线的解析式；

②当PN=QN时，求点Q的坐标；

（3）点P在线段BC上运动的过程中，请直接写出AQ的最小值和最大值.

【题型17利用圆的有关性质求取值范围】

【例17】（2023•湖北武汉•校考一模）在。。中，弦2。与弦CE相交于点RADFC=105°,BC=4DE,延

长EC至点连接D4,设乙4=a,则a所在范围可能是（）

A.12°<ct<16°B.15°<ct<18°C.17°<a<20°D.190<a<22°

【变式17-1】（2023•浙江杭州•三模）如图，C、。是以48为直径的圆。上的两个动点（点C、。不与/、

3重合），〃是弦CD的中点，过点C作CP14B于点尸.若CD=3,AB=5,则的范围是.

【变式17-2］（2023・江苏南京•二模）在RtzXABC中，^ACB=90°,点。是4B边上的动点，AC=6,

BC=8,经过C、。的。。交AC边于点交BC边于点N,且点M、N不与点C重合.

cc

Mi

(A/)

③

①②

（1）若点D运动到4B的中点.

①如图①，当点〃与点/重合时，求线段MN的长；

②如图②，连接MN,若MNIIA8,求线段MN的长；

（2）如图③，点。在运动过程中，。。半径，的范围为

【变式17-3】（2023•浙江宁波•一模）如图，E点为支轴正半轴上一点，OE交无轴于4B两点，交y轴于C、

。两点，P点为劣弧前上一个动点，连接P4PC,且4（-1,0）,F（l,0）.

（1）如图1,求点C的坐标和NP的度数；

（2）如图2,若CQ平分NPCD交P4于Q点，当P点在运动时，线段4Q的长度是否发生变化；若不变求出其

值，若发生变化，求出变化的范围；

（3）如图3,连接PD,当P点在运动时（不与B、C两点重合）,求蟹^的值.

【题型18利用圆的有关性质解决多结论问题】

【例18】（2023•湖北襄阳•二模）如图，在半径为6cm的。。中，点/是劣弧前的中点，点。是优弧前上

一点，且ND=30。，下列四个结论：①。41BC；②BC=6限m；③弦与O。直径的比为多④四边

形AB。。是菱形.其中正确结论的序号是（）

A.①③B.①②③④C.②③④D.①③④

【变式18-1]（2023•山东济南・统考一模）如图，在半径为6cm的。0中，点A是劣弧BC的中点，点D

是优弧BC上一点，且ND=30。，下列四个结论：①OA1BC；②BC=6gcm；③sinNAOB=§；④四边

形ABOC是菱形.其中正确结论的序号是（）

A.①③B,①②③④C.②③④