指对幂函数期末复习十五大题型（原卷版）

重难点16指对幕函数期末复习十五大题型汇总

题型解读

1^/满分技巧

技巧一根式与分数指数幕互化依据：

(1)在解决根式与分数指数幕互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幕的转化式子：湍=师和a营

=W=击，其中字母a要使式子有意义.

anva

(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幕的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幕；二是由外向里

化为分数指数幕.

口诀：内子外母

技巧二.指数幕的一般运算步骤：

有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.

负指数幕化为正指数幕的倒数.

底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数

底数(较大的整数分解质因数)化成指数幕

然后要尽可能用幕的形式表示，便于用指数幕的运算性质.

技巧三.指数式与对数式互化的方法：

(1)将指数式化为对数式，只需要将幕作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；

(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幕，对数作为指数，底数不变，写出指数式.

技巧四.求对数式logaN(a>0，且。打，N>0)的值的步骤

(7)1§logaN=m；

(2)将log“N=m写成指数式十=N；

(3)将N写成以a为底的指数幕N=aJ贝!|加=Z?,即logaN=b.

技巧五.对数的运算法则的证明：

l.loga(MN)=logaM+logaN;

2.loga^=logaM-logaN;

3.logaMn=nlogaM.(其中a>0,a/1,M>0,N>0,neR)

技巧六.对数化简求值

1•利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系.

2.对于复杂的运算式，可先化简再计算.化简问题的常用方法：

(1)"拆"：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；

(2)"收"：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.

技巧七.求对数型函数的定义域时应遵循的原则

(1)分母不能为0.

(2)根指数为偶数时，被开方数非负.

(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.

技巧八.处理指数函数图象问题的策略

1.抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0,求出对应

的y的值，即可得函数图象所过的定点.

2.巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).

3利用函数的性质:奇偶性与单调性.

技巧九.形如指数型函数_y=Aaf(x)+B求定点：

1.求x,令f(x)=O求解x;

2.求y=A+B

技巧十.对数函数图像过定点问题

y-logaX(a>0,且存〃图象过定点亿S,即无=I时，y=0

技巧十一.比较幕的大小的方法：

1.同底数幕比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.

2.指数相同底数不同时分别画出以两幕底数为底数的指数函数图象，当x取相同幕指数时可观察出函数值的

大小.

3.底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幕与两数比较，或借助"1"与两数比较.

4.当底数含参数时，要按底数a>l和0<8<1两种情况分类讨论.

技巧十二.比较对数值大小的常用方法

L同底数的利用对数函数的单调性.

2.同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.

3.底数和真数都不同，找中间量.

注意：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.

技巧十三.解简单指数不等式问题的注意点

1.形如/>/的不等式，可借助y=>的单调性求解.如果a的值不确定，需分0<a<l和>1两种情况进

行讨论.

2.形如>>6的不等式，注意将6化为以a为底的指数幕的形式，再借助y=/的单调性求解.

3.形如>>小的不等式，可借助图象求解.

技巧十四.解对数不等式问题的注意点

1.形如logax>logab的不等式，借助V=/ogd的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<l两种

情况进行讨论.

b

2.形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(6=logaa),再借助y=logax的单调性求

解.

3.形如logf(x)a>logg(x)a(f(x),g㈤>0且不等于1,的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解,

或利用函数图象求解.

却覆题型提分练

题型1指对号混合运算

_1

【例题1](2022上•辽宁铁岭•高一校考期末)(1)已知aW2,化简：J(a-2尸++3尸+Q)";

(2)求值:3-g+log610-(lg2+lg3)+log927

【变式1-1]1.(2021上•广东清远•高一校考期末)化简或求值

(1)(0.064)-3-(-^)°+e)，+I-0.1|

(2)lgl4-21g|+lg7-lgl8

(3)J(3—兀尸+在可

【变式1-1]2.(2023上福建莆田•高一莆田第五中学校考期末)化简求值：

_2

(1)0.252*0.5-4一(3§3-(V3-n)°+0.064号+V(-2)4；

log23_1

⑵log遮9+jlg25+lg2—log49xlog38+2+InVe.

【变式1-1]3.(2023上•辽宁营口•高一校联考期末)(1)当a<0时，求2|a|+四+3府的值.

4

(2)化简求值："咒鬻：蓝‘侬+61og32-log3小

【变式1-1]4.(2023上•湖北襄阳•高一统考期末)求下列各式的值：

(1)已知a,b是方程/+6比+3=。的两个实根，求"卸值；

（2）化简]湛一（1明2510尸+4bg/+J41g?2—4lg2+l,并求值.

题型2指对藉求值问题

【例题2]（2022上新疆乌鲁木齐•高一新疆农业大学附属中学校考期末）若'=log25，则25m+5-6的

值为（）

A.-B.-C.-D.-

3255

【变式2-111.（2022上•陕西西安•高一期末）若。嗨7=3,hlog72=7,pll|2alog37+blog74=

2

【变式2-1】2.（2023上•四川成都・高一石室中学校考期中）（1）计算e嗤-2义（23尸-联-黑;

\Z//10g31U

1133

（2）已知疾+x~2=4,求%5+的值.

【变式2-1]3.（2022上•辽宁阜新•高一校考期末）（1）已知2机=5"=10,求'+抑值；

（2）已知x<0,求2+3久+或勺最大值；

（3）已知成+a-2=3,求°的值.

a+ax+2

【变式2-1]4.（2023上•江苏徐州•高一统考阶段练习）已知2a=5,样=3,则2由3b的值为（）

A.25B.5C.-D.-

93

题型3已知对数表示其他数

【例题3】（2024上•上海浦东新•高一统考期末）若lg2=a，则lg5=.（用a表示）

【变式3-1]1（多选I2023上•四川南充•高一四川省南充高级中学校考阶段练习）已知a=log62,36〃=9,

则下列结论正确的是（）

A.b=log63B.ab=1

C.log618=2-aD.^=log32

【变式3-1]2.（2023下•上海宝山・高一统考期末）若1唯2=m,则1哂96=（用含m的式子表示）.

【变式3-1]3.（2023上•上海•高一校考阶段练习）若正实数a,b满足lg（a+b）=Iga+Igb,可以用匕的代

数式表示。，即a=

【变式3-1J4.(2023上•河南•高一校联考期中)若2工=3y=4z=a,H-+--i=|，则实数a=.

xyz2

题型4指对指函数的解析式

【例题4](2023上•湖南娄底•高一校考期末)若幕函数f。)的图象关于V轴对称，且与x轴无公共点,则

f(x)的解析式可能为()

A./(%)=x2B./(%)=xC./(%)=%-1D./(%)=x~2

【变式4-1]1.(2022上•上海徐汇・高一上海市第二中学校考期末)若指数函数的图像经过点(|,27),则

其解析式为八式)=

【变式4-1]2.(2023下•吉林长春•高二长春外国语学校校考期末)设函数f⑶=faXJ°,其中a>

ICvf九wu

0且a71,且f(2)=9,/(-l)=/(l),则/(x)的解析式为

【变式4-1]3.(2022上新疆阿克苏•高一校考期末)已知指数函数f⑺=3一。一i)a工.

Q)当a=2时,求f(1)的值；

(2)若f(%)是指数函数，求f(x)解析式.

【变式4-1】4.(2023下•辽宁•高一校联考期末已知定义在R上的奇函数八比)满足当x>。时,/(%)=铲+1.

(1)求f0)的解析式；

(2)若/(Int)=-3,求珀勺值.

题型5指对赛函数的图像

【例题5](2022上•黑龙江大庆•高一大庆外国语学校校考期末)已知函数/(乃=loga(x+6)的图象如图，

贝!jab=

1

【变式5-1]1.（2020浙江杭州•高一期末）有四个幕函数：①f⑺=%-1；②f⑺=%-2；③/（久）=;

④f。）=%3■某同学绘制了这四个函数的图象如图所：则函数①②③④对应图象序号为

【变式5-1]2.（2022下•湖南•高一校联考期末）已知函娄好⑴=1叫0-6）（a>0且a41,a,b为常

数）的图象如图，则下列结论正确的是（）

C.0<a<l,b<-lD.0<a<l,-l<Z?<0

【变式5-1]3.（2023上•山东德州•高一统考期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人

所推崇.他曾说："数缺形时少直观，形缺数时难入微”.告知我们把"数"与"形"，"式"与"图"

结合起来是解决数学问题的有效途径.若函数/（久）=loga（%+b）（a>0且a41,6eR）的大致图象如图，

则函数g（x）=a--b的大致图象是（）

..................

-ioi*-\oi*

-1

A.rB.

ykyn

W2ix-io1~x

-i--i-

C.「D.1

【变式5-1]4.2021•全国•高一专题练习）如图是指数函数①y=a，；@y=bx;③y=cx;©y=dx的图象,

则a,b,c,d与1的大小关系是（）

①弋『夕④

A.a<b<l<c<dB.b<a<l<d<cC.l<a<b<c<dD.a<b<l<d<c

题型6定点问题

【例题6](2024上•内蒙古呼和浩特•高一统考期末)函数y=/菖_2

4(a>0,且a41)的图象恒过

定点A,且点4在黑函数f(x)的图象上，则/(4)=.

【变式6-1]1.(2023上•广东佛山・高一统考期中)函数y=loga(2x-3)+a的图象恒过定点P,P在幕

函数fO)的图象上，则/(3)=

【变式6-1]2.(2023下•江西南昌•高二南昌二中校考期末)已知函数f(%)=谈+5+4(a>0,a力1)

恒过定点MO，n),则函数。(久)=m+n*的图像不经过第象限.

【变式6-1]3.(2021上•黑龙江大庆・高一大庆一中阶段练习)已知函数f⑺=loga(x+3)-在a>0,a力

1)的图象恒过定点A.若点A也在函数g(x)=+6的图象上，则g(log32)=

【变式6-1]4.(2023上•山东临沂•高一统考期末)一次函数y-mx+n(m>0,n>0)的图象经过函数

f(x)=loga(x-1)+1的定点，则A+司勺最小值为

题型7函数定义域问题

【例题7](2024上•云南曲靖・高一校考期末)函数/(久)=1%(3尢-9)+中的定义域为()

A.(2,3)B.(3,4]

C.(2,4]D.(2,3)U(3,4]

【变式7-1]1.(2022上•黑龙江大庆•高一校考期末)函数y=小装下的定义域为()

A.(O,3B,(O,|]C.[|,I)D.(I,+8)

【变式7-1]2.(2023上•上海奉贤•高一校考期末)函数y=求的定义域为.(用区间表示)

【变式7-1]3.(2024上•黑龙江哈尔滨•高一统考期末)函数f(x)=1g(%+3)+圭的定义域为.

【变式7-1]4.(2023上•云南・高一云南师大附中校考期末)已知函数人万)=log3(x+a)-log3(5-2x),

且f(2)=1.

⑴求a的值及f(x)的定义域;

(2)求不等式f(%)>1的解集.

题型8比较大小问题

【例题8](2022上•上海徐汇・高一上海市第二中学校考期末)如痴>1,那么a。？,0.7。，log。,7a的大小

顺序为().

a0,7a0,7

A.0.7<logo,7a<aB.0.7<a<log07a

a0,70,7a

C.log07a<0.7<aD.log07a<a<0.7

【变式8-1]1.(2023上•内蒙古乌兰察布•高一校考期末)已知函数f(x)=2⑶，其中a=/(©),b=

f(log41),c=/(log工5),则判断a,b,c的大小是().

.b>a>cB.c>b>aC.a>b>cD.c>a>b

2

【变式8-1]2.(2023上•新疆乌鲁木齐•高一校考期末)设a=log052,b=0.5,c=2。占，贝M、b、c的大

小顺序是()

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.a<c<b

【变式8-1]3.(2023上•黑龙江哈尔滨•高一统考期末)已知定义在R上的函数/(%)满足(/-%2)[/(%1)-

3

/(4)]>0，设。=0.32,b=log20.3,c=2。3,则f(a)〉(b)J(c)的大小顺序是.(用">"号连

接)

【变式8-1]4.(2024上•辽宁大连•高一大连二十四中校考期末)已知函数/0)=3x+2x+l,g(x)=

3

log3x+2x+l,h(x)=X+2X+1的零点分别是a,b,c,则a,b,c的大小顺序为()

A.a>c>bB.b>c>aC.b>a>cD.a>b>c

题型9单调性问题

2

【例题9](2023上•甘肃天水・高一统考期末)已知函数/((=log2(x-4).

⑴求函数f(x)的定义域；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)求不等式f(%)>3的解集.

【变式9-1]1.(2022上・安徽合肥・高一校考期末)已知f⑴=>o'

(1)作出函数“功的图象；

(2)写出函数f(x)的单调区间；

(3)若函数y=f(x)_爪有两个零点，求实数m的取值范围.

【变式9-1]2.(2023上•浙江杭州•高一校考期末)已知函数/⑺=log。(久2+2ax+2a-1).

(1)当a=泄，求函初3的单调区间；

⑵若f(x)在(-8,-2)上单调递减，求a的取值范围.

【变式9-1]3.(2023上河南•高一校联考期末)已知"X-1)=x2-1.

⑴求函数;■⑺的解析式；

⑵若函数g(x)=ln/(x),求g(x)的单调区间.

【变式9-1]4.(2023上•广东广州•高一华南师大附中校考期末)已知两个变量>。且x丰1)满足关

系式%'=e,且y是%的函数.

%

4-

3-

2-

1-

Q)写出该函数的表达式y=/(%),值域和单调区间(不必证明)；

(2)在坐标系中画出该函数的图象(直接作图，不必写过程及理由).

题型10值域问题

【例题10](2023上•辽宁锦州•高一统考期末^XER用㈤表示不超过工的最大整数，例如：[-2.1]=-3,

[2.1]=2,,则丫=[灯称为高斯函数.已知函数八比)=[一捻，则函数y=[/(%)]+[/(—x)]的值域是()

A.{-1,0}B.{0}C.{0,1}D.{-1,0,1)

【变式10-1】1.(2024上甘肃定西•高一统考期末)已知函数f⑴=妥的图象经过点(1,?

(1)求实数a的值；

(2)求函数/(为的定义域和值域.

2

【变式10-D2.(2023上•山西太原•高一山西大附中校考阶段练习)已知函数"%)=(log2x)+2mlog2x+

2—m,xE[2,8].

(1)当血=-2时，求/(%)的值域；

(2)设/(%)的最小值为以血)，求九(血)的解析式.

【变式10-1】3.(2022上•甘肃兰州•高一校考期末)已知函数/(%)=l+a+弓广

(1)当a=1时,求的值域；

(2)若f(x)>-3对任意x£[0,+8)恒成立，求实数a的取值范围.

【变式10-1]4.(2022上•云南红河・高一校考期末)已知函数/0)=logax(a>0且aK1).

Q)当0<a<1时,若f(2a+2)</(5a),求a的取值范围；

(2)若y=/(%2+%+J的最大值为2,求了(久)在区间L，可上的值域.

题型11不等式问题

【例题11](2024上•上海静安•高三统考期末)不等式log2%+|<4的解集为

【变式(2023上•上海奉贤•高一校考期末)不等式27工+71og5(36x+1)<23的解集为.

【变式11-1】2.(2021上•上海嘉定•高一统考期末)在区间(0,+8)上，不等式蓝210-久的解集为.

(用区间表示)

【变式11-1】3.(2024上•云南昆明•高一统考期末)已知函数/(%)=寡-1+log3亲.

⑴求f(乃的定义域，并证明f(%)是奇函数；

(2)求关于久的不等式一5%+3)+f(x)>。的解集.

【变式11-1]4.(2023上河北石家庄•高一石家庄二中校考阶段练习)已知函数f⑺=器是奇函数.

(1)求实数血的值；

(2)若对任意的t£[0,5],不等式f(/+2t+k)+f(一2t2+2t-5)>0恒成立，求实数k的取值范围.

题型12零点个数问题

【例题12](2023上•云南・高一云南师大附中校考期末)函数f(乃=/-孑的零点个数是()

A.0B.1C.2D.3

【变式12-1J1.(2020上•陕西延安•高一校考期末)已知“乃=｛嗯，则函数V=2/2(x)-3/(x)+

1的零点个数是()

A.5B.4C.3D.2

【变式12-1】2.(2022上•新疆乌鲁木齐•高一新疆农业大学附属中学校考期末)已知函娄好0)是定义在R

上的偶函数，且/,当时，/(%)=x,设函数则函数的

'(X+2)=f(x)0W%W1g(x)=/(%)-log4|x|,g(x)

零点个数为()

A.6B.8C.12D.14

【变式12-1】3.(多选X2023上辽宁大连•高一西南大学附中校考期末)函数f(x)=L/二肾Rn

的零点个数可能为()

A.1B.2C.3D.4

【变式12-1]4.(2023上•上海松江•高一校考期末)已知函数/0)=2x+言-l(x力0).

I巾

(1)当爪=3时，求解f(X)的零点；

(2)若对任意的xeR,不等式fe支)<0恒不成立，求实数小的取值范围；

(3)讨论函娄好(为的零点个数.

题型13零点个数与取值范围

【例题13](2023上河南洛阳•高一校联考阶段练习)若函娄好⑺=[2有3个零点，

1%—4771%十J7?l,X1

则实数小的取值范围是()

A.L，1)B.(—00,0)u[1,+8)

C.[1,2)D.良1)U[2,+8)

【变式13-1]1.(多选)(2023上•广东广州•高一广州市南武中学校考期末)已知函数f(x)=

IIn(^)1°•函数y=f(x)-"有四个不同的零点%1，久2,久3,久4,且与〈久2(久3,久4，则()

A.a的取值范围是(0,1)B.%1%2=1

C.久3+%4=2D.%i(久3+X4)2—<—2V2

石犯

【变式13-1]2.(2024上•辽宁沈阳•高一统考期末)若函数f⑺=/一2ax+1在(0,2)上有2个零点，

则a的取值范围是

【变式13-1J3.(2023上•江苏•高一期末股函数f(x)是定义在R上的奇函数对任意xeR都有/(I+%)=

/(I一万),且当xG[0,1]时,/(x)=2》一1,若函数g(x)=f(x)-logax(其中a>1)恰有3个不同的零

点，则实数a的取值范围为

【变式13-1】4.(2023上广东广州•高一广州市南武中学校考期末)已知函数“X)=谟-*(a>。，且

aW1).

Q)当。>1时，/(/+4%)+f{-mx+1)>0在％eR上恒成立，求实数机的取值范围；

⑵若f(l)=|,且g(x)=t/(2x)-a，+2在区间(-1,1)内恰有一个零点，求实数t的取值范围.

【变式13-1】5.(2022上•安徽宿州•高一校联考期末)函数“")=4"—3•2*+a-1,

(1)当a=3时,解不等式f(X)<0；

(2)若函数y=/(%)有两个零点，求实数a的取值范围.

题型14奇偶性问题

【例题14](2023上•上海闵行•高一统考期末)下列函数中既是偶函数，又在区间(0,+8)上是严格减函数

的是()

2i

A.y=%3B.y=——

J/x2+l

C.y=ln|x|D.y=2~x—2X

【变式14-1】1.(2024上•甘肃定西•高一统考期末)已知/(%)是定义在R上的奇函数，当％>0时，/(%)=

:log2%-1,则不等式(％-1)/(%)>0的解集为()

A.(—2,0)U(1,2)B.(—8,—2)U(2,+8)

C.(—8,—2)U(1,2)D.(—2,0)U(2,+8)

【变式14-1]2.(2024上•甘肃定西•高一统考期末)若幕函娄好㈤=xa(aGR)是奇函数，且在(0,+8)上

单调递减，贝以的值可以是•(只要写一个即可).

【变式14-1]3.(2024上•辽宁大连•高一大连二十四中校考期末)已知函数/⑺=--lg(l(T+1).

⑴当k=1时，判断/(久)的单调性，并用定义加以证明；

(2)当/(比)是偶函数时,