直线与圆锥曲线的位置关系-2025年高考数学一轮复习专项突破

考点53直线与圆锥曲线的位置关系

（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

m【考试提醒】

1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.

2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.

3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题

皿【知识点】

1.直线与圆锥曲线的位置判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或x）,得到关于尤（或y）的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交

生生0；直线与圆锥曲线相切0/三0；直线与圆锥曲线相离0/00.

特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.

②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.

2.弦长公式

已知A（xi,yi）,B（X2,m），直线AB的斜率为网左W0）,

则\AB\=M（xi—vG+Ui—”）2

=、1+42出一刈

=71+网（xi+X2）2—4X1X2

或|AB|={1+（〃-y2|

因【核心题型】

题型一直线与圆锥曲线的位置关系

（1）直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.

（2）直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行（或重合）.

2

【例题11（2023・重庆・二模）已知点尸（1,2）和双曲线C:V-5=L过点尸且与双曲线C只有一个公共点的

直线有（）

A.2条B.3条C.4条D.无数条

【变式1］（2022•北京房山•一模）已知直线/被圆C：f+丁=2所截的弦长不小于2,则下列曲线中与直

线/一定有公共点的是()

A.y=x2-lB.(x-1)2+y2=1

22

C.一+y2=iD.x-y=1

27'

【变式2】(2024•上海浦东新•三模)已知点A、B位于抛物线y2=2px(p＞0)上"AB|=20,点M为线段A5

的中点，记点M到y轴的距离为d.若d的最小值为7,则当d取该最小值时，直线的斜率左(左＞0)为.

【变式3](2022•陕西榆林•模拟预测)已知椭圆C的焦点坐标为(±1,0),且过点尸卜,

(1)求椭圆C的标准方程；

3

⑵已知直线/：尤=〃2y-l与椭圆C交于A、8两点，若弦A3中点在直线＞=g上，求直线/的方程.

O

题型二弦长问题

(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求.

(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|=xi+x2+p.

⑶设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.

【例题2】(2022•河南郑州•三模)斜率为1的直线/与椭圆工+丁=1相交于A,8两点，则IA例的最大值

2

为()

A)n2A/3r2瓜c4布

333

22

【变式1](2024•陕西西安•模拟预测)已知双曲线C:=1(。＞0,b＞0)的左焦点为%圆O:f+V=〃.

ab

若过K的直线分别交C的左、右两支于A,B两点，且圆。与48相切，C的离心率为3,4到c的渐近线的

距离为20,则1钻1=()

【变式2](2023・四川绵阳•三模)已知尸为抛物线C：V=2x的焦点，过尸作两条互相垂直的直线4，3直

线4与C交于A,B两点，直线4与C交于RE两点，则|阴+|小|的最小值为

【变式3](2024•陕西安康•模拟预测)已知动点A(x,y)到点的距离与到直线/：y=-：的距离相等,

记动点A的轨迹为。.

⑴过点(3,0)且斜率为-2的直线/'与。交于尸,Q两点,求「0的值；

⑵已知是。上不同的三点，直线A®,ME与以坐标原点为圆心的单位圆相切，切点分别为G,H,若

直线OE的倾斜角为120。，求点M的坐标.

题型三中点弦问题

(1)解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路

①根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的

关系及中点坐标公式求解.

②点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(xi,ji),8(X2,y2),将这两点坐标分别代入圆锥曲

线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和直线斜率有关的式子，可以大大减少计算量.

(2)点差法常用结论

已知AQ1,州)，8(X2,")为圆锥曲线E上的两点，A8的中点为c(xo,声)，直线A8的斜率为上

22

若E的方程为

则—黑

若石的方程为宏一为=1(〃>0,/?>0),

则仁鬻

若£的方程为产2px(p>0),则k=^.

TT丫？

【例题3](2024•甘肃张掖•三模圮知倾斜角为二的直线/与椭圆C:上+/=1交于42两点，P为A8中点,

44­

0为坐标原点，则直线。尸的斜率为（

22

【变式1］（2023,陕西宝鸡•模拟预测）已知双曲线-2=l（a>0,b>0）的右焦点为网5,0）,过点厂的

ab

直线交双曲线E于A、B两点.若48的中点坐标为（6,-2）,则E的方程为（）

【变式2］（2023•贵州遵义•三模）已知抛物线V=2y上两点A,3关于点“（2"）对称，则直线的斜率

为.

22

【变式3］（2024•陕西西安•模拟预测）已知椭圆C：A+2=l（a>b>0）的一个焦点与抛物线V=4x的焦点

ab

重合，离心率为3.

⑴求椭圆C的方程；

⑵过点尸，作斜率为|的直线交椭圆C于P,Q两点，求弦尸。中点坐标.

【基础保分练】

一、单选题

22

1.（2024•湖南长沙三模）已知双曲线C：3-2=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳（-c,0）,月（c,0）,尸为C

ab

的渐近线上一点.若/耳F?的面积为6c2,尸耳.尸耳=302,则C的离心率为（）

A.aB.2C.6D.75

22

2.（2024・全国•模拟预测）已知直线x-gy-2=0与椭圆C：—+——=1(〃>4)交于N两点，椭圆C

cia—4

的左、右焦点分别为耳工，若/4邛1/+/与鸟M=N邛明，则。的值为（）

A.4+百B.4+2港C.5+3D,5-3

22

222

3.（2024•山西临汾•三模）已知椭圆G：〉齐=1（。>6>0）与椭圆。2：；+丁=1有相同的焦点，且C1与直

线/»-y+3=0相切，则椭圆G的离心率为（）

A百R石c及J_

,----D♦----C..---nU.

5322

4.（2024•云南大理•模拟预测）已知抛物线C：/=4丫上存在两点4（和%），3（%，%）关于直线/：丫=一工+。

对称，若再々=-2,贝!J"=（）

97

A.5B.-C.4D.-

22

二、多选题

2

5.（2024・四川巴中•模拟预测）已知A,8为双曲线C:f-工=1的左，右顶点，居，工分别为双曲线C的左，

2

右焦点.下列命题中正确的是（）

A.若R为双曲线C上一点，且|明卜4,则|R段=6

B.居到双曲线C的渐近线的距离为四

C.若尸为双曲线C上非顶点的任意一点，则直线上4、尸3的斜率之积为2

D.双曲线C上存在不同两点M,N关于点Q（l,l）对称

6.（2024•河南新乡•一模）已知抛物线C:;/=8x的焦点为歹，过点f的直线/的斜率为左,且/与C交于A,B

两个不同的点（点A在x轴的上方），下列说法正确的是（）

A.若k=2,则|AB|=10B.若同=2忸2，贝也=20

C.点A,2的纵坐标之积与上有关D.若|。4|=2]。理（。为坐标原点），贝1AF|<2忸同

三、填空题

22

7.（2024・浙江绍兴•模拟预测）双曲线C:'-3=l,过点尸（CU）作直线/,与双曲线只有一个交点M,贝I]/

的斜率为—.

8.（2024•内蒙古呼和浩特•一模）已知椭圆C，+}1与直线2y-4=0交于48两点，且线段的

中点为〃（2,1）,则椭圆C的方程为.

9.（2024•湖南长沙•三模）已知椭圆C:=+1=l（a>b>0）的离心率为过C的左焦点且斜率为1的直线

ab2

与C交于A8两点.若|ABk12,则C的焦距为.

四、解答题

10.(2024・贵州六盘水•模拟预测)已知双曲线。:，-%=1(“>0*>0)的虚轴长为2,离心率为手，AA

分别为C的左、右顶点，直线丁=履-1交C的左、右两支分别于D,E两点.

⑴求C的方程;

⑵记AO&E斜率分别为若勺+2%=0,求上的值.

11.(2024•浙江•模拟预测)已知双曲线C:无2一y=8,圆A：(x-2)2+(y-2)2=/,其中厂>0.圆A与双曲

线C有且仅有两个交点2E,线段。E的中点为G.

⑴记直线AG的斜率为《，直线OG的斜率为心，求口.

(2)当直线DE的斜率为3时，求G点坐标.

【综合提升练】

一、单选题

22

1.(2024・广东广州•模拟预测)已知点A,8是椭圆工+上=1上不关于长轴对称的两点，且A,8两点到

1612

点M(m,0)的距离相等，则实数机的取值范围为()

1133

A.B.(-U)C.D.(-2,2)

„2

2.(2024・全国•模拟预测)已知椭圆的右焦点是尸，直线/:xcos6+ysinO=l(OwR)交椭圆C

于A、B两点，则A4B尸周长的最大值为()

A.6B.8C.6^/^D.80

3.（2024•湖南益阳•一模）已知抛物线G：y2=4x,G：V=8x的焦点分别为片、F2,若尸、。分别为

G上的点，且线段A3平行于x轴，则下列结论错误的是（）

14

A.当|尸。1=］时，.当尸。是直角三角形B.当|尸。|=耳时，△耳PQ是等腰三角形

C.存在四边形耳与PQ是菱形D.存在四边形耳鸟尸。是矩形

2

4.（2024・陕西安康•模拟预测）已知双曲线C:/-上=1,。为坐标原点，若直线y=x+2与双曲线C的两条

3

渐近线分别交于点A8,则△OAB内切圆的半径等于（）

A.72-1B.2-73C.2-72D.73-1

5.（2024・四川内江•模拟预测）已知双曲线C的方程为5/一V=i,过点PQ-1）作直线/与双曲线左右两支

分别交于点M,N.若MP=2PN，则直线/的方程为（）

11-1,

A.y=-x-lB.y=-x-l^（iy=-—x-l

C.y=x-l^y=-x-lD.y=x-l

2

6.（2024・广东广州•模拟预测）若双曲线/一］=1（。＞0）的右支上存在两点A,8使直线A3垂直于双曲线

在点A处的切线，则。的取值范围是（）

A.（l,+oo）B.（0,72）C.（0,1］D.（0,1）

22

7.（2022・浙江•模拟预测）已知椭圆=+1=1（稣6＞0）右顶点为42,0）,上顶点为3,该椭圆上一点P与

ab

A的连线的斜率《=-；,"的中点为E,记OE的斜率为的E，且满足BE+4K=0,若C、。分别是x轴

、了轴负半轴上的动点，且四边形ABCD的面积为2,则三角形COD面积的最大值是（）

A.3—2A/2B.3+2\/2C.2—A/2D.—^―-

22

8.（2024•四川绵阳•模拟预测）过双曲线C:与-2=1（。＞0,。＞0）的左焦点4的直线/（斜率为正）交双曲

ab

线于A,3两点，满足片B=3耳A,设M为AB的中点，则直线ON（0为坐标原点）斜率的最小值是（）

A.2遍B.73C.4石D.百

二、多选题

9.（2024•广西柳州•一模）过抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点尸作倾斜角为。的直线交E于A,B两点,

经过点A和原点。的直线交抛物线的准线于点。，则下列说法正确的是（）.

A.BD//OFB.OA±OB

2

C.以AF为直径的圆与y轴相切D.AFBF

\'\\"\1^-si^n2-0

2

10.（2024•宁夏吴忠・一模）过双曲线C:x?-乙=1的右焦点厂作直线/,交双曲线C于A,8两点，则（）

2

A.双曲线C的实轴长为2

B.当/_Lx轴时，|AB|=4

C.当|AB|=3时，这样的直线/有3条

D.当时，这样的直线/有4条

22

11.（2023•浙江嘉兴•模拟预测）已知椭圆C:土+匕=1,A，4分别为椭圆C的左右顶点，B为椭圆的上

43

顶点.设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线AB与直线4M交于点P,直线A"与直线交于

点Q,则（）

3

A.若直线&W与4M的斜率分别为左，右，则勺乂=-1

B.直线P。与x轴垂直

c.\BP\=\BQ\

D.\MP\^\MQ\

三、填空题

丫2

12.（2024•全国•模拟预测）过双曲线C:工-丁=1的右焦点厂的直线与C的右支交于48两点，。为原点，

3

线段0M的中点与线段AB的中点重合，则四边形OAWB面积的取值范围是.

22

13.（2024•河北衡水三模）已知椭圆C:++斗=l（a>6>0）的左、右焦点分别为耳，且，焦距为6,点"（LD,

直线g与C交于A,2两点，且加为AB中点，则的周长为.

14.（2024・湖南郴州•模拟预测）已知抛物线y=4x,从抛物线内一点A（2,0）发出平行于龙轴的光线经过

掩物线上点3反射后交抛物线于点C,则VA3C的面积为.

四、解答题

1T

15.（2024•河南郑州•模拟预测）已知倾斜角为a（0<dz<-）的直线/与抛物线C：y2=2px（p>0）只

有1个公共点A,C的焦点为区直线AF的倾斜角为夕.

⑴求证：B=2a；

（2）若。=1,直线/与直线x=交于点尸，直线AF与C的另一个交点为8,求证：PAVPB.

22

16.（2024・安徽•一模）已知双曲线C：・-4=：1（4>0,6>0）的离心率为2.且经过点（2,3）.

cib

⑴求C的方程；

⑵若直线/与C交于A,B两点,且0408=0（点。为坐标原点），求的取值范围.

17.（2024•广东韶关•一模）已知抛物线x?=8y的焦点为产，其准线与>轴相交于点知.动点尸满足直线

PRPM的斜率之积为-（，记点P的轨迹为「

（1）求r的方程；

⑵过点4（0,1）且斜率为左的直线/与X轴相交于点B,与r相交于C,。两点，若能=茂.求上的值.

18.（2024•浙江金华•模拟预测）在直角坐标系xOy中，圆「的圆心尸在y轴上（尸不与。重合），且与双曲

22

线。:♦-当=1的右支交于A,B两点.B^]|R4|2+|PB|2=|OA|2+|OB|2.

ab

⑴求Q的离心率；

⑵若。的右焦点为尸（2,0）,且圆「过点片求IE4I+IFBI的取值范围.

19.（2022•山东临沂•二模）已知抛物线H:V=2px（p>0）的焦点为F,抛物线H上的一点M的横坐标为5,

2

0为坐标原点，cosZOFM

⑴求抛物线H的方程；

⑵若一直线经过抛物线〃的焦点R与抛物线〃交于A,B两点，点C为直线％=上的动点.

①求证：ZACB<1.

②是否存在这样的点C,使得S4BC为正三角形?若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由,

【拓展冲刺练】

一、单选题

22

1.（2024•河南濮阳•模拟预测）点M是椭圆亍+%=1,>。>0）上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭

圆的焦点尸，圆M与y轴相交于尸，。两点，若二尸。河是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.（2-73,1）

y/6—5/2（^6—A/2-y/5—1

C.-----------,1D.-----------,--------

272

2.（2024•四川宜宾•模拟预测）已知抛物线C：V=6x,过动点尸作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C相

切于点A,2,则皿面积的最小值是（）

A.6B.9C.12D.18

3.（2023・广东广州•一模）双曲线C:。一「=4的左,右焦点分别为耳F2,过尸2作垂直于x轴的直线交双

曲线于A,8两点，4K月,,8月工”耳48的内切圆圆心分别为。1,。2。3，贝八。。2。3的面积是（）

A.6A/2-8B.6A/2-4C.8-40D.6-40

二、多选题

22

4.（2023•湖南•模拟预测）已知O为坐标原点，6,尸2分别是双曲线E：点一我=1（。>0/>0）的左、右焦

点，P是双曲线E的右支上一点，若俨胤一户局=8,双曲线E的离心率为手，则下列结论正确的是（）

22

A.双曲线E的标准方程为土一二=1

164

B.双曲线£的渐近线方程为2x土y=0

C.点P到两条渐近线的距离之积为为

D.若直线尸耳与双曲线E的另一支交于点点N为的中点，则瓦N

5.（2024,河北唐山•二模）设抛物线C：y2=©的焦点为产，准线为/,过点（4,0）的直线与C交于A&,%）,

两点，则下列说法正确的是（）

A.%％=16B.以为直径的圆与/相切

C.以A8为直径的圆过坐标原点