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文档简介
1/12022北京八十中初三3月月考数学一、选择题(本题共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.如图是某几何体的三视图,则该几何体是【】A.圆锥 B.圆柱 C.三棱柱 D.三棱锥2.为阻断新冠疫情传播,我国政府积极开展新冠疫苗接种工作.截止到2022年3月5日,全国接种疫苗累计超过31亿剂次.把3100000000用科学记数法表示为().A.31×108 B.3.1×109 C.31×109 D.0.31×10103.若正多边形的一个内角是135°,则该正多边形的边数是().A.6 B.7 C.8 D.94.下列各式计算正确的是().A. B.C D.5.德育处王主任将份奖品分别放在个完全相同不透明礼盒中,准备将它们奖给小明等位获“科技节活动先进个人”称号的同学.这些奖品中有份是学习文具,份是科普读物,份是科技馆通票.小明同学从中随机取一份奖品,恰好取到科普读物的概率是()A. B. C. D.6.实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是()A.bc>0 B.a+d<0 C.|a|<|c| D.b<﹣27.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,点C为⊙O上一点,若∠P=40°,则∠ACB的度数为().A.70° B.50° C.20° D.40°8.如图1,矩形的一条边长为x,周长的一半为y,定义(x,y)为这个矩形的坐标.如图2,在平面直角坐标系中,直线x=1,y=3将第一象限划分成4个区域,已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上,矩形2的坐标的对应点落在区域④中,则下面叙述中正确的是()A.点A的横坐标有可能大于3B.矩形1正方形时,点A位于区域②C.当点A沿双曲线向上移动时,矩形1的面积减小D.当点A位于区域①时,矩形1可能和矩形2全等二、填空题(本题共16分,每题2分)9.若分式有意义,则x的取值范围是___.10.分解因式:______.11.如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC边上,且,如果AD∶DB=3∶2,那么DE∶BC等于__________.12.介于两个连续整数a和a+1之间,a=________.13.如果m=n+4,那么代数式的值是__.14.某函数的图象上有两个点,,并且,写出一个满足条件的函数解析式:________.15.某校八年级有600名学生,为了解他们对安全与环保知识的认识程度,随机抽取了30名学生参加安全与环保知识问答活动.此活动分为安全知识和环保知识两个部分.这30名学生的安全知识成绩和环保知识成绩如图所示.根据下图,判断安全知识成绩的方差和环保知识成绩的方差的大小:________(填“>”,“=”或“<”).16.为方便市民出行,2019年北京地铁推出了电子定期票,电子定期票在使用有效期限内,支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网(不含机场线)所有线路,电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类,价格如下表:种类一日票二日票三日票五日票七日票单价(元/张)2030407090某人需要连续6天不限次数乘坐地铁,若决定购买电子定期票,则总费用最低为____元.三、解答题(本题共68分,第17-23题每题5分,第24、25、27题每题6分,第26题7分,第28题8分).17.计算:()﹣2﹣(π+)0+﹣4cos45°.18.解不等式组:19.已知关于x的一元二次方程mx2+nx-2=0.(1)当n=m-2时,证明方程有两个实数根;(2)若方程有两个不相等的实数根,写出一组满足条件的m,n的值,并求出此时方程的根.21.下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.已知:如图1,直线l及直线l外一点A.求作:直线AD,使得AD//l.作法:如图2,①在直线l上任取两点B,C,连接AB;②分别以点A,C为圆心,线段BC,AB长为半径画弧,两弧在直线l上方相交于点D;③作直线AD.直线AD就是所求作的直线.根据小明设计的尺规作图过程,(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);(2)完成下面的证明.证明:连接CD.∵AB=________,BC=________,∴四边形ABCD为平行四边形(_________)(填推理的依据).∴AD//l.22.如图,△ABC中,AB=12,BC=15,∠ABC=60°.求tanC的值.23.如图,AB为⊙O直径,点C在AB延长线上,CD与⊙O相切于点D,,交⊙O于E,连AD,BE,若∠CAD=22.5°,(1)求∠EAB的大小;(2)若AE=,求BC长.25.如图,菱形ABCD中,AE⊥BC于E,CF⊥AB于F(1)求证:AF=CE;(2)延长CF,DA交于点G,若∠B=30°,求AG:AD的值.27.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx(k≠0)与双曲线y=(x>0)交于点A(2,n).(1)求n及k的值;(2)点B是y轴正半轴上的一点,且△OAB是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点B的坐标.28.如图,AB为直径,弦BC平分∠DBA,BD与⊙O交于点E,过点C作BD的垂线于D.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)如果,OA=2,求DE的长.30.在平面直角坐标系xOy中,抛物线的表达式为,线段AB的两个端点分别为,.(1)求抛物线顶点C的坐标(用含有m的代数式表示);(2)若,且对于该抛物线上的两点,,当,时,均满足,求t的取值范围;(3)若抛物线与线段AB恰有一个公共点,结合函数图象,直接写出m的取值范围.31.如图,在等边三角形ABC中,点D为BC边上一点,点D关于直线AB的对称点为点E,连接AD、DE,在AD上取点F,使得∠EFD=60°,射线EF与AC交于点G.(1)设∠BAD=α,求∠AGE的度数(用含α的代数式表示);(2)用等式表示线段CG与BD之间的数量关系,并证明.32.在平面直角坐标系xOy中,给定⊙C,若将线段AB绕原点O逆时针旋转α(0°<α<180°),使得旋转后对应的线段A′B′所在直线与⊙C相切,并且切点P在线段A′B′上,则称线段AB是⊙C的旋转切线段,其中满足题意的最小的α称为关于⊙C和线段AB的最小旋转角.已知C(0,2),⊙C的半径为1.(1)如图1,A(2,0),线段OA是⊙C的旋转切线段,写出关于⊙C和线段OA的最小旋转角为°;(2)如图2,点A1,B1,A2,B2,A3,B3的横、纵坐标都是整数.在线段A1B1,A2B2,A3B3中,⊙C的旋转切线段是;(3)已知B(1,0),D(t,0),若线段BD是⊙C的旋转切线段,求t的取值范围;(4)已知点M的横坐标为m,存在以M为端点,长度为的线段是⊙C的旋转切线段,直接写出m的取值范围.
参考答案一、选择题(本题共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.如图是某几何体的三视图,则该几何体是【】A.圆锥 B.圆柱 C.三棱柱 D.三棱锥【1题答案】【答案】A【解析】【详解】由三视图判断几何体.【分析】主视图和左视图都是等腰三角形,那么此几何体为锥体,由俯视图为圆,可得此几何体为圆锥.故选A.2.为阻断新冠疫情传播,我国政府积极开展新冠疫苗接种工作.截止到2022年3月5日,全国接种疫苗累计超过31亿剂次.把3100000000用科学记数法表示为().A.31×108 B.3.1×109 C.31×109 D.0.31×1010【2题答案】【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表现形式为的形式,其中,n为整数,确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同,当原数绝对值大于等于10时,n是正数,当原数绝对值小于1时n是负数;由此进行求解即可得到答案.【详解】解:故选B.【点睛】本题主要考查了科学记数法,解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义.3.若正多边形的一个内角是135°,则该正多边形的边数是().A.6 B.7 C.8 D.9【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据正多边形的一个内角是135°,则知该正多边形的一个外角为45°,再根据多边形的外角之和为360°,即可求出正多边形的边数.【详解】解:∵正多边形的一个内角是135°,∴该正多边形的一个外角为45°,∵多边形的外角之和为360°,∴边数==8,∴这个正多边形边数是8.故选:C.【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点,解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°,此题难度不大.4.下列各式计算正确的是().A. B.C. D.【4题答案】【答案】A【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、积的乘方运算法则分别化简得出答案,进行判断即可.【详解】解:A.,故选项正确,符合题意;B.,故选项错误,不符合题意;C.,故选项错误,不符合题意;D.,故选项错误,不符合题意.故选:A.【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、积的乘方运算法则,正确掌握相关运算法则是解题关键.5.德育处王主任将份奖品分别放在个完全相同的不透明礼盒中,准备将它们奖给小明等位获“科技节活动先进个人”称号的同学.这些奖品中有份是学习文具,份是科普读物,份是科技馆通票.小明同学从中随机取一份奖品,恰好取到科普读物的概率是()A. B. C. D.【5题答案】【答案】D【解析】【分析】根据根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率即可求出答案.【详解】解:小明同学从中随机取一份奖品,恰好取到科普读物的概率是.故选D.【点睛】此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.6.实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是()A.bc>0 B.a+d<0 C.|a|<|c| D.b<﹣2【6题答案】【答案】B【解析】【分析】观察数轴,找出a、b、c、d四个数的大概范围,再逐一分析四个选项的正误,即可得出结论.详解】A、∵b<0,c>0,∴bc<0,结论A错误;B、∵a<﹣4,d=4,∴a+d<0,结论B正确;C、∵a<﹣4,0<c<1,∴|a|>|c|,结论C错误;D、﹣2<b<﹣1,结论D错误.故选B.【点睛】本题考查了实数与数轴以及绝对值,观察数轴,逐一分析四个选项的正误是解题的关键.7.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,点C为⊙O上一点,若∠P=40°,则∠ACB的度数为().A.70° B.50° C.20° D.40°【7题答案】【答案】A【解析】【分析】首先连接OA,OB,由PA,PB为⊙O的切线,根据切线的性质,即可得∠OAP=∠OBP=90°,由四边形内角和求出∠AOB,又由圆周角定理,可求得∠ACB的度数,继而可求得答案.【详解】解:连接OA,OB,
∵PA,PB为⊙O的切线,
∴∠OAP=∠OBP=90°,∴∠AOB=360°-∠P-∠OAP-∠OBP=140°
∴.
故选:A.【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理,四边形内角和,注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用.8.如图1,矩形的一条边长为x,周长的一半为y,定义(x,y)为这个矩形的坐标.如图2,在平面直角坐标系中,直线x=1,y=3将第一象限划分成4个区域,已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上,矩形2的坐标的对应点落在区域④中,则下面叙述中正确的是()A.点A的横坐标有可能大于3B.矩形1是正方形时,点A位于区域②C.当点A沿双曲线向上移动时,矩形1的面积减小D.当点A位于区域①时,矩形1可能和矩形2全等【8题答案】【答案】D【解析】【分析】A、根据反比例函数k一定,并根据图形得:当x=1时,y<3,得k=xy<3,因为y是矩形周长一半,即y>x,可判断点A的横坐标不可能大于3;B、根据正方形边长相等得:y=2x,得点A是直线y=2x与双曲线的交点,画图,如图2,交点A在区域③,可作判断;C、先表示矩形面积S=x(y-x)=xy-x2=k-x2,当点A沿双曲线向上移动时,x的值会越来越小,矩形1的面积会越来越大,可作判断;D、当点A位于区域①,得x<1,另一边为:y-x>2,矩形2的坐标的对应点落在区域④中得:x>1,y>3,即另一边y-x>0,可作判断.【详解】如图,设点A(x,y),A、设反比例函数解析式为:y=(k≠0),由图形可知:当x=1时,y<3,∴k=xy<3,∵y>x,∴x<3,即点A的横坐标不可能大于3,故选项A不正确;B、当矩形1为正方形时,边长为x,y=2x,则点A是直线y=2x与双曲线的交点,如图2,交点A在区域③,故选项B不正确;C、当一边为x,则另一边为y-x,S=x(y-x)=xy-x2=k-x2,∵当点A沿双曲线向上移动时,x的值会越来越小,∴矩形1的面积会越来越大,故选项C不正确;D、当点A位于区域①时,∵点A(x,y),∴x<1,y>3,即另一边为:y-x>2,矩形2落在区域④中,x>1,y>3,即另一边y-x>0,∴当点A位于区域①时,矩形1可能和矩形2全等;故选项④正确;故选D.【点睛】本题考查了函数图象和新定义,有难度,理解x和y的意义是关键,并注意数形结合的思想解决问题.二、填空题(本题共16分,每题2分)9.若分式有意义,则x的取值范围是___.【9题答案】【答案】【解析】【分析】根据分母不等于零分式有意义,可得答案.【详解】解:∵分式有意义,∴解得,故答案为:【点睛】本题考查的是分式有意义的条件,熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键.10.分解因式:______.【10题答案】【答案】【解析】【分析】先提取公因式m,再利用平方差公式因式分解即可.【详解】.故答案为:.【点睛】本题考查了因式分解,分解因式时要注意把每个因式都分解到不能够再分解为止.11.如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC边上,且,如果AD∶DB=3∶2,那么DE∶BC等于__________.【11题答案】【答案】【解析】【分析】先证明,可得,再利用AD∶DB=3∶2,求解,从而可得答案.【详解】解:,,,AD∶DB=3∶2,,.故答案为:【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质,证明是解本题的关键.12.介于两个连续整数a和a+1之间,a=________.【12题答案】【答案】5【解析】【分析】先估算出的值,然后进行计算即可解答.【详解】解:,,又介于两个连续整数a和a+1之间,,故答案为:5.【点睛】本题考查了无理数的估算,熟练掌握平方数是解题的关键.13.如果m=n+4,那么代数式的值是__.【13题答案】【答案】8【解析】【分析】先化简分式,然后将m﹣n的值代入计算即可.【详解】解:原式===2(m﹣n),∵m=n+4,∴m﹣n=4,∴原式=2×4=8,故答案为8.【点睛】本题考查了分式的化简求值,熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.14.某函数的图象上有两个点,,并且,写出一个满足条件的函数解析式:________.【14题答案】【答案】y=-x(答案不唯一)【解析】【分析】若选择一次函数,根据自变量变大,函数值变小,说明k<0,任选一个函数即可.【详解】设要写的函数是一次函数,∵1<3,m>n,∴y随x的增大而减小,∴k<0,故答案为:y=-x(答案不唯一).【点睛】本题考查了函数的性质,熟练掌握所学的一次函数、二次函数及反比例函数的性质是解题的关键.15.某校八年级有600名学生,为了解他们对安全与环保知识的认识程度,随机抽取了30名学生参加安全与环保知识问答活动.此活动分为安全知识和环保知识两个部分.这30名学生的安全知识成绩和环保知识成绩如图所示.根据下图,判断安全知识成绩的方差和环保知识成绩的方差的大小:________(填“>”,“=”或“<”).【15题答案】【答案】【解析】【分析】根据方差越大数据波动程度越大,方差越小数据越稳定,波动程度越小即可判断.【详解】由图像可以看出,安全知识出成绩最小值约60分,最大值约100分;环保知识成绩,最小值约67分,而最大值约92分;因此,可以得出安全知识成绩分布相较于环保知识成绩更分散,数据波动程度更大,所以方差较大;故答案为:>.【点睛】本题考查了根据散点图判断方差的大小,方差越大数据波动程度越大越分散.16.为方便市民出行,2019年北京地铁推出了电子定期票,电子定期票在使用有效期限内,支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网(不含机场线)所有线路,电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类,价格如下表:种类一日票二日票三日票五日票七日票单价(元/张)2030407090某人需要连续6天不限次数乘坐地铁,若决定购买电子定期票,则总费用最低为____元.【16题答案】【答案】80【解析】【分析】根据题意算出5种方案的钱数,故可求解.【详解】解:连续6天不限次数乘坐地铁有5种方案方案①:买一日票6张,费用20×6=120(元)方案②:买二日票3张:30×3=90(元)方案③:买三日票2张:40×2=80(元)方案④:买一日票1张,五日票1张:20+70=120(元)方案⑤:买七日票1张:90元故方案③费用最低:40×2=80(元)故答案为80.【点睛】此题主要考查有理数运算的应用,解题的关键是根据题意写出各方案的费用.三、解答题(本题共68分,第17-23题每题5分,第24、25、27题每题6分,第26题7分,第28题8分).17.计算:()﹣2﹣(π+)0+﹣4cos45°.【17题答案】【答案】3【解析】【分析】按顺序先分别进行负指数幂的运算、0指数幂的运算、二次根式的化简、代入特殊角的三角函数值,然后再按运算顺序进行计算即可得.【详解】()﹣2﹣(π+)0+﹣4cos45°=4-1+2=3.【点睛】本题考查了实数的运算,涉及了负指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值等知识,熟练掌握相关的运算的运算法则是解题的关键.18.解不等式组:【18题答案】【答案】【解析】【分析】先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集即可.【详解】解不等式①:,得,解不等式②:,得,不等式组的解集是.【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组,掌握同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到是解题的关键.19.已知关于x的一元二次方程mx2+nx-2=0.(1)当n=m-2时,证明方程有两个实数根;(2)若方程有两个不相等的实数根,写出一组满足条件的m,n的值,并求出此时方程的根.【19题答案】【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)直接根据一元二次方程根的判别式求解即可;(2)先根据一元二次方程根的判别式得到,然后代入合适的值求解即可.【小问1详解】解:∵,∴当时,,∴当n=m-2时,证明方程有两个实数根;【小问2详解】解:∵方程有两个不相等的实数根,∴,若n=1,m=1,则方程变形为x2+x﹣2=0,解得x1=1,x2=﹣2.【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,解一元二次方程,熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键.21.下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.已知:如图1,直线l及直线l外一点A.求作:直线AD,使得AD//l.作法:如图2,①在直线l上任取两点B,C,连接AB;②分别以点A,C为圆心,线段BC,AB长为半径画弧,两弧在直线l上方相交于点D;③作直线AD.直线AD就是所求作的直线.根据小明设计的尺规作图过程,(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);(2)完成下面的证明.证明:连接CD.∵AB=________,BC=________,∴四边形ABCD为平行四边形(_________)(填推理的依据).∴AD//l.【21题答案】【答案】(1)见解析;(2),,两组对边分别相等的四边形是平行四边形【解析】【分析】(1)根据作法画出图形即可;(2)根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行证明即可.【详解】(1)如图所示,(2)证明:连接CD.∵AB=CD,BC=AD,∴四边形ABCD为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)(填推理的依据).∴AD//l.故答案为:,,两组对边分别相等的四边形是平行四边形.【点睛】本题考查了作图-复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了平行四边形的判定.22.如图,△ABC中,AB=12,BC=15,∠ABC=60°.求tanC的值.【22题答案】【答案】【解析】【详解】过点A作AD⊥BC于点D,如图所示:∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,∵△ABC中,AB=12,∴,,∵BC=15,∴,∴=.【点睛】本题考查了解直角三角形,解题的关键是计算出题目中各边的长,找出所求问题需要的条件.23.如图,AB为⊙O直径,点C在AB延长线上,CD与⊙O相切于点D,,交⊙O于E,连AD,BE,若∠CAD=22.5°,(1)求∠EAB的大小;(2)若AE=,求BC长.【23题答案】【答案】(1)45°(2)【解析】【分析】(1)如图所示,连接OD,由切线的性质得到∠ODC=90°,由圆周角定理得到∠BOD=45°,从而求出∠C=45°,再由平行线的性质即可得到∠EAB=∠C=45°;(2)先证AE=BE,然后求出AB=2,从而得到OD=CD=1,即可求出OC的长,由此即可求解.【小问1详解】解:如图所示,连接OD,∵CD是圆O的切线,∴∠ODC=90°,∵∠CAD=22.5°,∴∠BOD=2∠CAD=45°,∴∠C=45°,∵,∴∠EAB=∠C=45°;【小问2详解】解:由(1)得∠EAB=45°,∠DOC=∠C=45°,∴OD=CD,∵AB是圆O的直径,∴∠AEB=90°,∴∠ABE=45°,∴,∴,∴OD=1,∴CD=OD=1,∴,∴.【点睛】本题主要考查了切线的性质,圆周角定理,平行线的性质,等腰直角三角形的性质与判定,勾股定理等等,熟知切线的性质是解题的关键.25.如图,菱形ABCD中,AE⊥BC于E,CF⊥AB于F(1)求证:AF=CE;(2)延长CF,DA交于点G,若∠B=30°,求AG:AD的值.【25题答案】【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)如图所示,连接AC,只需要利用“HL”证明即可得到AF=CE;(2)先证明,∠GCD=90°,得到,设AG=x,AD=CD=y,则,由此即可得到答案.【小问1详解】解:如图所示,连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∵AE⊥BC,CF⊥AB∴,∠AFC=∠AEC=90°,∴AE=CF,又∵AC=CA,∴(HL),∴AF=CE;【小问2详解】解:∵四边形ABCD是菱形,∴,∠B=∠D=60°,∴,∵CF⊥AB,∴∠AFG=90°,∴∠G=60°,∴∠GCD=90°,∴,∴,设AG=x,AD=CD=y,∴,∴,∴,∴.【点睛】本题主要考查了菱形的性质,全等三角形的性质与判定,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理等等,熟知菱形的性质是解题的关键.27.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx(k≠0)与双曲线y=(x>0)交于点A(2,n).(1)求n及k的值;(2)点B是y轴正半轴上的一点,且△OAB是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点B的坐标.【27题答案】【答案】(1)n=4,k=2;(2)点B的坐标为(0,8),(0,2),(0,).【解析】【分析】(1)由点A的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出n值,进而可得出点A的坐标,由点A的坐标利用待定系数法可求出k值;(2)分AB=AO,OA=OB,BO=BA三种情况考虑:①当AB=AO时,利用等腰三角形的性质可求出CB1的长度,结合点C的坐标可得出点B1的坐标;②当OA=OB时,由点A的坐标利用勾股定理可求出OA的长度,利用等腰三角形的性质可得出OB2的长度,进而可得出点B2的坐标;③当BO=BA时,设OB3=m,则CB3=4﹣m,AB3=m,在Rt△ACB3中利用勾股定理可得出关于m的方程,解之即可得出点B3的坐标.综上,此题得解.【详解】(1)∵点A(2,n)在双曲线y=上,∴n==4,∴点A的坐标为(2,4).将A(2,4)代入y=kx,得:4=2k,解得:k=2.(2)分三种情况考虑,过点A作AC⊥y轴于点C,如图所示.①当AB=AO时,CO=CB1=4,∴点B1的坐标为(0,8);②当OA=OB时,∵点A的坐标为(2,4),∴OC=4,AC=2,∴OA=,∴OB2=2,∴点B2的坐标为(0,2);③当BO=BA时,设OB3=m,则CB3=4﹣m,AB3=m,在Rt△ACB3中,AB32=CB32+AC2,即m2=(4﹣m)2+22,解得:m=,∴点B3的坐标为(0,).综上所述:点B的坐标为(0,8),(0,2),(0,).【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理以及解一元一次方程,解题的关键是:(1)利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标;(2)分AB=AO,OA=OB,BO=BA三种情况,利用等腰三角形的性质求出点B的坐标.28.如图,AB为直径,弦BC平分∠DBA,BD与⊙O交于点E,过点C作BD的垂线于D.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)如果,OA=2,求DE的长.【28题答案】【答案】(1)见解析(2)1【解析】【分析】(1)如图所示,连接OC,根据等腰三角形的性质和角平分线的定义推出∠OCB=∠DBC,即可证明,得到∠D+∠OCD=180°,再由BD⊥CD,即可推出∠OCD=90°,即OC⊥CD,则CD是圆O的切线;(2)如图所示,连接AC,AE,由AB是圆O的直径,得到∠ACB=∠AEB=90°,再由,得到∠ABD=60°,则,求出∠ABC=∠DBC=30°,则,即可求出,由此即可得到答案.【小问1详解】解:如图所示,连接OC,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∵BC平分∠ABD,∴∠OBC=∠DBC,∴∠OCB=∠DBC,∴,∴∠D+∠OCD=180°,∵BD⊥CD,∴∠D=90°,∴∠OCD=90°,即OC⊥CD,∴CD是圆O的切线;【小问2详解】解:如图所示,连接AC,AE,∵AB是圆O的直径,∴∠ACB=∠AEB=90°,∵,∴∠ABD=60°,∴∠BAE=30°,∴,∵BC平分∠ABD,∴∠ABC=∠DBC=30°,∴,∵BD⊥CD,∴∠D=90°,∴,∴.【点睛】本题主要考查了圆切线的证明,解直角三角形,等腰三角形的性质,平行线的性质与判定,特殊角三角函数值求角的度数,角平分线的定义等等,正确作出辅助线求解是关键.30.在平面直角坐标系xOy中,抛物线的表达式为,线段AB的两个端点分别为,.(1)求抛物线顶点C的坐标(用含有m的代数式表示);(2)若,且对于该抛物线上的两点,,当,时,均满足,求t的取值范围;(3)若抛物线与线段AB恰有一个公共点,结合函数图象,直接写出m的取值范围.【30题答案】【答案】(1)抛物线顶点C(m,3m);(2)综合得总有;(3)m的取值范为或.【解析】【分析】(1)把抛物线配方为顶点式即可得出顶点坐标;(2)先求出m=4时,二次函数解析式,再求出当x=6时,函数值,求出函数值为8时的自变量的值为2与6,只要x1在2≤x1≤6变化,,求出t的范围;当x1>6时,根据函数性质对称轴的右侧,函数值随自变量x的增大而减小,t+1≤x2,可得即可;(3)先求出抛物线顶点轨迹函数y=3x,根据点A在抛物线上和点B在抛物线上,解关于m的一元二次方程,去掉交于两点的情况即可.【详解】解:(1),∴抛物线顶点C(m,3m),(2)当时,,当x=6时,,,解得,∵抛物线开口向下,抛物线对称轴为x=4,∴离抛物线对称轴越近函数值越大,∵,y2≤8,∴,∴2≤x1≤6,∴,∴,当x1>6时,只要x1<x2根据函数的性质,在对称轴的右侧,函数值随自变量x的增大而减小,∴t+1≤x2,∴t≤x2-1,综合得总有;(3)抛物线顶点所在解析式为y=3x,当点A(1,3)在抛物线上时,把点A代入解析式得:,整理得,解得,当点B(7,3)在抛物线上时,把点B代入抛物线解析式得:,整理得,解得,∴当m=4时A、B两点都在抛物线上,抛物线与线段AB恰有一个公共点,∴m的取值范为或.【点睛】本题考查抛物线综合,抛物线化为顶点式,二次函数性质,一元二次方程的解法,抛物线与线段的公共交点问题,掌握抛物线综合,抛物线化为顶点式,二次函数的性质,一元二次方程的解法,抛物线与线段的公共交点,利用一元二次方程的解确定自变量的范围是解题关键.31.如图,在等边三角形ABC中,点D为BC边上的一点,点D关于直线AB的对称点为点E,连接AD、DE,在AD上取点F,使得∠EFD=60°,射线EF与AC交于点G.(1)设∠BAD=α,求∠AGE的度数(用含α的代数式表示);(2)用等式表示线段CG与BD之间的数量关系,并证明.【31题答案】【答案】(1)60°+α;(2)CG=2BD,证明见解析.【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得结论;
(2)作辅助线,构建全等三角形,证明四边形EBPG是平行四边形,得BE=PG,再证明△ABD≌△BCP(AAS),可得结论.【详解】解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∵∠BAD=α,∴∠FAG=60°-α,∵∠AFG=∠EFD=60°,∴∠A
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