2022年北京市八十中初三3月月考数学试卷及答案

1/12022北京八十中初三3月月考数学一、选择题（本题共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.如图是某几何体的三视图，则该几何体是【】A.圆锥 B.圆柱 C.三棱柱 D.三棱锥2.为阻断新冠疫情传播，我国政府积极开展新冠疫苗接种工作．截止到2022年3月5日，全国接种疫苗累计超过31亿剂次．把3100000000用科学记数法表示为（）．A.31×108 B.3.1×109 C.31×109 D.0.31×10103.若正多边形的一个内角是135°，则该正多边形的边数是（）．A.6 B.7 C.8 D.94.下列各式计算正确的是（）．A. B.C D.5.德育处王主任将份奖品分别放在个完全相同不透明礼盒中，准备将它们奖给小明等位获“科技节活动先进个人”称号的同学．这些奖品中有份是学习文具，份是科普读物，份是科技馆通票．小明同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是（）A. B. C. D.6.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A.bc＞0 B.a+d＜0 C.|a|＜|c| D.b＜﹣27.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠P=40°，则∠ACB的度数为（）．A.70° B.50° C.20° D.40°8.如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y，定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域，已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中，则下面叙述中正确的是（）A.点A的横坐标有可能大于3B.矩形1正方形时，点A位于区域②C.当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D.当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等二、填空题（本题共16分，每题2分）9.若分式有意义，则x的取值范围是___．10.分解因式：______．11.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且，如果AD∶DB=3∶2，那么DE∶BC等于__________．12.介于两个连续整数a和a+1之间，a=________．13.如果m＝n+4，那么代数式的值是__．14.某函数的图象上有两个点，，并且，写出一个满足条件的函数解析式：________．15.某校八年级有600名学生，为了解他们对安全与环保知识的认识程度，随机抽取了30名学生参加安全与环保知识问答活动．此活动分为安全知识和环保知识两个部分．这30名学生的安全知识成绩和环保知识成绩如图所示．根据下图，判断安全知识成绩的方差和环保知识成绩的方差的大小：________（填“＞”，“＝”或“＜”）．16.为方便市民出行，2019年北京地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：种类一日票二日票三日票五日票七日票单价（元/张）2030407090某人需要连续6天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为____元．三、解答题（本题共68分，第17-23题每题5分，第24、25、27题每题6分，第26题7分，第28题8分）．17.计算：（）﹣2﹣（π+）0+﹣4cos45°．18.解不等式组：19.已知关于x的一元二次方程mx2+nx-2=0．（1）当n=m-2时，证明方程有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的实数根，写出一组满足条件的m，n的值，并求出此时方程的根．21.下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点A．求作：直线AD，使得AD//l．作法：如图2，①在直线l上任取两点B，C，连接AB；②分别以点A，C为圆心，线段BC，AB长为半径画弧，两弧在直线l上方相交于点D；③作直线AD．直线AD就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接CD．∵AB＝________，BC＝________，∴四边形ABCD为平行四边形（_________）（填推理的依据）．∴AD//l．22.如图，△ABC中，AB=12，BC=15，∠ABC=60°．求tanC的值．23.如图，AB为⊙O直径，点C在AB延长线上，CD与⊙O相切于点D，，交⊙O于E，连AD，BE，若∠CAD=22.5°，（1）求∠EAB的大小；（2）若AE=，求BC长．25.如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于E，CF⊥AB于F（1）求证：AF=CE；（2）延长CF，DA交于点G，若∠B=30°，求AG：AD的值．27.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝（x＞0）交于点A（2，n）．（1）求n及k的值；（2）点B是y轴正半轴上的一点，且△OAB是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标．28.如图，AB为直径，弦BC平分∠DBA，BD与⊙O交于点E，过点C作BD的垂线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）如果，OA=2，求DE的长．30.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为，线段AB的两个端点分别为，．（1）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；（2）若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求t的取值范围；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．31.如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD、DE，在AD上取点F，使得∠EFD=60°，射线EF与AC交于点G．（1）设∠BAD=α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；（2）用等式表示线段CG与BD之间的数量关系，并证明．32.在平面直角坐标系xOy中，给定⊙C，若将线段AB绕原点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°），使得旋转后对应的线段A′B′所在直线与⊙C相切，并且切点P在线段A′B′上，则称线段AB是⊙C的旋转切线段，其中满足题意的最小的α称为关于⊙C和线段AB的最小旋转角．已知C（0，2），⊙C的半径为1．（1）如图1，A（2，0），线段OA是⊙C的旋转切线段，写出关于⊙C和线段OA的最小旋转角为°；（2）如图2，点A1，B1，A2，B2，A3，B3的横、纵坐标都是整数．在线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙C的旋转切线段是；（3）已知B（1，0），D（t，0），若线段BD是⊙C的旋转切线段，求t的取值范围；（4）已知点M的横坐标为m，存在以M为端点，长度为的线段是⊙C的旋转切线段，直接写出m的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.如图是某几何体的三视图，则该几何体是【】A.圆锥 B.圆柱 C.三棱柱 D.三棱锥【1题答案】【答案】A【解析】【详解】由三视图判断几何体．【分析】主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选A．2.为阻断新冠疫情传播，我国政府积极开展新冠疫苗接种工作．截止到2022年3月5日，全国接种疫苗累计超过31亿剂次．把3100000000用科学记数法表示为（）．A.31×108 B.3.1×109 C.31×109 D.0.31×1010【2题答案】【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：故选B．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．3.若正多边形的一个内角是135°，则该正多边形的边数是（）．A.6 B.7 C.8 D.9【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．【详解】解：∵正多边形的一个内角是135°，∴该正多边形的一个外角为45°，∵多边形的外角之和为360°，∴边数＝＝8，∴这个正多边形边数是8．故选：C．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°，此题难度不大．4.下列各式计算正确的是（）．A. B.C. D.【4题答案】【答案】A【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、积的乘方运算法则分别化简得出答案，进行判断即可．【详解】解：A．，故选项正确，符合题意；B．，故选项错误，不符合题意；C．，故选项错误，不符合题意；D．，故选项错误，不符合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、积的乘方运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.德育处王主任将份奖品分别放在个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小明等位获“科技节活动先进个人”称号的同学．这些奖品中有份是学习文具，份是科普读物，份是科技馆通票．小明同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是（）A. B. C. D.【5题答案】【答案】D【解析】【分析】根据根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可求出答案．【详解】解：小明同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是．故选D．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．6.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A.bc＞0 B.a+d＜0 C.|a|＜|c| D.b＜﹣2【6题答案】【答案】B【解析】【分析】观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．详解】A、∵b＜0，c＞0，∴bc＜0，结论A错误；B、∵a＜﹣4，d＝4，∴a+d＜0，结论B正确；C、∵a＜﹣4，0＜c＜1，∴|a|＞|c|，结论C错误；D、﹣2＜b＜﹣1，结论D错误．故选B．【点睛】本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．7.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠P=40°，则∠ACB的度数为（）．A.70° B.50° C.20° D.40°【7题答案】【答案】A【解析】【分析】首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，由四边形内角和求出∠AOB，又由圆周角定理，可求得∠ACB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA，OB，

∵PA，PB为⊙O的切线，

∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°-∠P-∠OAP-∠OBP=140°

∴．

故选：A．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，四边形内角和，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．8.如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y，定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域，已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中，则下面叙述中正确的是（）A.点A的横坐标有可能大于3B.矩形1是正方形时，点A位于区域②C.当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D.当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等【8题答案】【答案】D【解析】【分析】A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x=1时，y＜3，得k=xy＜3，因为y是矩形周长一半，即y＞x，可判断点A的横坐标不可能大于3；B、根据正方形边长相等得：y=2x，得点A是直线y=2x与双曲线的交点，画图，如图2，交点A在区域③，可作判断；C、先表示矩形面积S=x（y-x）=xy-x2=k-x2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；D、当点A位于区域①，得x＜1，另一边为：y-x＞2，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：x＞1，y＞3，即另一边y-x＞0，可作判断．【详解】如图，设点A（x，y），A、设反比例函数解析式为：y=（k≠0），由图形可知：当x=1时，y＜3，∴k=xy＜3，∵y＞x，∴x＜3，即点A的横坐标不可能大于3，故选项A不正确；B、当矩形1为正方形时，边长为x，y=2x，则点A是直线y=2x与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③，故选项B不正确；C、当一边为x，则另一边为y-x，S=x（y-x）=xy-x2=k-x2，∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，∴矩形1的面积会越来越大，故选项C不正确；D、当点A位于区域①时，∵点A（x，y），∴x＜1，y＞3，即另一边为：y-x＞2，矩形2落在区域④中，x＞1，y＞3，即另一边y-x＞0，∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；故选项④正确；故选D．【点睛】本题考查了函数图象和新定义，有难度，理解x和y的意义是关键，并注意数形结合的思想解决问题．二、填空题（本题共16分，每题2分）9.若分式有意义，则x的取值范围是___．【9题答案】【答案】【解析】【分析】根据分母不等于零分式有意义，可得答案．【详解】解：∵分式有意义，∴解得，故答案为：【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．10.分解因式：______．【10题答案】【答案】【解析】【分析】先提取公因式m，再利用平方差公式因式分解即可．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，分解因式时要注意把每个因式都分解到不能够再分解为止．11.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且，如果AD∶DB=3∶2，那么DE∶BC等于__________．【11题答案】【答案】【解析】【分析】先证明，可得，再利用AD∶DB=3∶2，求解，从而可得答案.【详解】解：，，，AD∶DB=3∶2，，．故答案为：【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键.12.介于两个连续整数a和a+1之间，a=________．【12题答案】【答案】5【解析】【分析】先估算出的值，然后进行计算即可解答．【详解】解：，，又介于两个连续整数a和a+1之间，，故答案为：5．【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．13.如果m＝n+4，那么代数式的值是__．【13题答案】【答案】8【解析】【分析】先化简分式，然后将m﹣n的值代入计算即可．【详解】解：原式＝＝＝2（m﹣n），∵m＝n+4，∴m﹣n＝4，∴原式＝2×4＝8，故答案为8．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．14.某函数的图象上有两个点，，并且，写出一个满足条件的函数解析式：________．【14题答案】【答案】y=-x（答案不唯一）【解析】【分析】若选择一次函数，根据自变量变大，函数值变小，说明k＜0，任选一个函数即可．【详解】设要写的函数是一次函数，∵1＜3，m＞n，∴y随x的增大而减小，∴k＜0，故答案为：y=-x（答案不唯一）．【点睛】本题考查了函数的性质，熟练掌握所学的一次函数、二次函数及反比例函数的性质是解题的关键．15.某校八年级有600名学生，为了解他们对安全与环保知识的认识程度，随机抽取了30名学生参加安全与环保知识问答活动．此活动分为安全知识和环保知识两个部分．这30名学生的安全知识成绩和环保知识成绩如图所示．根据下图，判断安全知识成绩的方差和环保知识成绩的方差的大小：________（填“＞”，“＝”或“＜”）．【15题答案】【答案】【解析】【分析】根据方差越大数据波动程度越大，方差越小数据越稳定，波动程度越小即可判断．【详解】由图像可以看出，安全知识出成绩最小值约60分，最大值约100分；环保知识成绩，最小值约67分，而最大值约92分；因此，可以得出安全知识成绩分布相较于环保知识成绩更分散，数据波动程度更大，所以方差较大；故答案为：＞．【点睛】本题考查了根据散点图判断方差的大小，方差越大数据波动程度越大越分散．16.为方便市民出行，2019年北京地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：种类一日票二日票三日票五日票七日票单价（元/张）2030407090某人需要连续6天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为____元．【16题答案】【答案】80【解析】【分析】根据题意算出5种方案的钱数，故可求解.【详解】解：连续6天不限次数乘坐地铁有5种方案方案①：买一日票6张，费用20×6＝120（元）方案②：买二日票3张：30×3＝90（元）方案③：买三日票2张：40×2＝80（元）方案④：买一日票1张，五日票1张：20+70＝120（元）方案⑤：买七日票1张：90元故方案③费用最低：40×2＝80（元）故答案为80．【点睛】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意写出各方案的费用.三、解答题（本题共68分，第17-23题每题5分，第24、25、27题每题6分，第26题7分，第28题8分）．17.计算：（）﹣2﹣（π+）0+﹣4cos45°．【17题答案】【答案】3【解析】【分析】按顺序先分别进行负指数幂的运算、0指数幂的运算、二次根式的化简、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可得.【详解】（）﹣2﹣（π+）0+﹣4cos45°=4-1+2=3．【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、0指数幂、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握相关的运算的运算法则是解题的关键.18.解不等式组：【18题答案】【答案】【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【详解】解不等式①：，得，解不等式②：，得，不等式组的解集是．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．19.已知关于x的一元二次方程mx2+nx-2=0．（1）当n=m-2时，证明方程有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的实数根，写出一组满足条件的m，n的值，并求出此时方程的根．【19题答案】【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）直接根据一元二次方程根的判别式求解即可；（2）先根据一元二次方程根的判别式得到，然后代入合适的值求解即可．【小问1详解】解：∵，∴当时，，∴当n=m-2时，证明方程有两个实数根；【小问2详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，若n＝1，m＝1，则方程变形为x2+x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝﹣2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．21.下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l外一点A．求作：直线AD，使得AD//l．作法：如图2，①在直线l上任取两点B，C，连接AB；②分别以点A，C为圆心，线段BC，AB长为半径画弧，两弧在直线l上方相交于点D；③作直线AD．直线AD就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接CD．∵AB＝________，BC＝________，∴四边形ABCD为平行四边形（_________）（填推理的依据）．∴AD//l．【21题答案】【答案】（1）见解析；（2），，两组对边分别相等的四边形是平行四边形【解析】【分析】（1）根据作法画出图形即可；（2）根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行证明即可．【详解】（1）如图所示，（2）证明：连接CD．∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．∴AD//l．故答案为：，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定．22.如图，△ABC中，AB=12，BC=15，∠ABC=60°．求tanC的值．【22题答案】【答案】【解析】【详解】过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵△ABC中，AB＝12，∴，，∵BC＝15，∴，∴＝．【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是计算出题目中各边的长，找出所求问题需要的条件．23.如图，AB为⊙O直径，点C在AB延长线上，CD与⊙O相切于点D，，交⊙O于E，连AD，BE，若∠CAD=22.5°，（1）求∠EAB的大小；（2）若AE=，求BC长．【23题答案】【答案】（1）45°（2）【解析】【分析】（1）如图所示，连接OD，由切线的性质得到∠ODC=90°，由圆周角定理得到∠BOD=45°，从而求出∠C=45°，再由平行线的性质即可得到∠EAB=∠C=45°；（2）先证AE=BE，然后求出AB=2，从而得到OD=CD=1，即可求出OC的长，由此即可求解．【小问1详解】解：如图所示，连接OD，∵CD是圆O的切线，∴∠ODC=90°，∵∠CAD=22.5°，∴∠BOD=2∠CAD=45°，∴∠C=45°，∵，∴∠EAB=∠C=45°；【小问2详解】解：由（1）得∠EAB=45°，∠DOC=∠C=45°，∴OD=CD，∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=45°，∴，∴，∴OD=1，∴CD=OD=1，∴，∴．【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知切线的性质是解题的关键．25.如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于E，CF⊥AB于F（1）求证：AF=CE；（2）延长CF，DA交于点G，若∠B=30°，求AG：AD的值．【25题答案】【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）如图所示，连接AC，只需要利用“HL”证明即可得到AF=CE；（2）先证明，∠GCD=90°，得到，设AG=x，AD=CD=y，则，由此即可得到答案．【小问1详解】解：如图所示，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵AE⊥BC，CF⊥AB∴，∠AFC=∠AEC=90°，∴AE=CF，又∵AC=CA，∴（HL），∴AF=CE；【小问2详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴，∠B=∠D=60°，∴，∵CF⊥AB，∴∠AFG=90°，∴∠G=60°，∴∠GCD=90°，∴，∴，设AG=x，AD=CD=y，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，熟知菱形的性质是解题的关键．27.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝（x＞0）交于点A（2，n）．（1）求n及k的值；（2）点B是y轴正半轴上的一点，且△OAB是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标．【27题答案】【答案】（1）n=4，k=2；（2）点B的坐标为（0，8），（0，2），（0，）．【解析】【分析】（1）由点A的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法可求出k值；（2）分AB＝AO，OA＝OB，BO＝BA三种情况考虑：①当AB＝AO时，利用等腰三角形的性质可求出CB1的长度，结合点C的坐标可得出点B1的坐标；②当OA＝OB时，由点A的坐标利用勾股定理可求出OA的长度，利用等腰三角形的性质可得出OB2的长度，进而可得出点B2的坐标；③当BO＝BA时，设OB3＝m，则CB3＝4﹣m，AB3＝m，在Rt△ACB3中利用勾股定理可得出关于m的方程，解之即可得出点B3的坐标．综上，此题得解．【详解】（1）∵点A（2，n）在双曲线y＝上，∴n＝＝4，∴点A的坐标为（2，4）．将A（2，4）代入y＝kx，得：4＝2k，解得：k＝2．（2）分三种情况考虑，过点A作AC⊥y轴于点C，如图所示．①当AB＝AO时，CO＝CB1＝4，∴点B1的坐标为（0，8）；②当OA＝OB时，∵点A的坐标为（2，4），∴OC＝4，AC＝2，∴OA＝，∴OB2＝2，∴点B2的坐标为（0，2）；③当BO＝BA时，设OB3＝m，则CB3＝4﹣m，AB3＝m，在Rt△ACB3中，AB32＝CB32+AC2，即m2＝（4﹣m）2+22，解得：m＝，∴点B3的坐标为（0，）．综上所述：点B的坐标为（0，8），（0，2），（0，）．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标；（2）分AB＝AO，OA＝OB，BO＝BA三种情况，利用等腰三角形的性质求出点B的坐标．28.如图，AB为直径，弦BC平分∠DBA，BD与⊙O交于点E，过点C作BD的垂线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）如果，OA=2，求DE的长．【28题答案】【答案】（1）见解析（2）1【解析】【分析】（1）如图所示，连接OC，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义推出∠OCB=∠DBC，即可证明，得到∠D+∠OCD=180°，再由BD⊥CD，即可推出∠OCD=90°，即OC⊥CD，则CD是圆O的切线；（2）如图所示，连接AC，AE，由AB是圆O的直径，得到∠ACB=∠AEB=90°，再由，得到∠ABD=60°，则，求出∠ABC=∠DBC=30°，则，即可求出，由此即可得到答案．【小问1详解】解：如图所示，连接OC，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC=∠DBC，∴∠OCB=∠DBC，∴，∴∠D+∠OCD=180°，∵BD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠OCD=90°，即OC⊥CD，∴CD是圆O的切线；【小问2详解】解：如图所示，连接AC，AE，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=∠AEB=90°，∵，∴∠ABD=60°，∴∠BAE=30°，∴，∵BC平分∠ABD，∴∠ABC=∠DBC=30°，∴，∵BD⊥CD，∴∠D=90°，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆切线的证明，解直角三角形，等腰三角形的性质，平行线的性质与判定，特殊角三角函数值求角的度数，角平分线的定义等等，正确作出辅助线求解是关键．30.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为，线段AB的两个端点分别为，．（1）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；（2）若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求t的取值范围；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【30题答案】【答案】（1）抛物线顶点C（m，3m）；（2）综合得总有；（3）m的取值范为或．【解析】【分析】（1）把抛物线配方为顶点式即可得出顶点坐标；（2）先求出m=4时，二次函数解析式，再求出当x=6时，函数值，求出函数值为8时的自变量的值为2与6，只要x1在2≤x1≤6变化，，求出t的范围；当x1＞6时，根据函数性质对称轴的右侧，函数值随自变量x的增大而减小，t+1≤x2，可得即可；（3）先求出抛物线顶点轨迹函数y=3x，根据点A在抛物线上和点B在抛物线上，解关于m的一元二次方程，去掉交于两点的情况即可．【详解】解：（1），∴抛物线顶点C（m，3m），（2）当时，，当x=6时，，，解得，∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为x=4，∴离抛物线对称轴越近函数值越大，∵，y2≤8，∴，∴2≤x1≤6，∴，∴，当x1＞6时，只要x1＜x2根据函数的性质，在对称轴的右侧，函数值随自变量x的增大而减小，∴t+1≤x2，∴t≤x2-1，综合得总有；（3）抛物线顶点所在解析式为y=3x，当点A（1，3）在抛物线上时，把点A代入解析式得：，整理得，解得，当点B（7，3）在抛物线上时，把点B代入抛物线解析式得：，整理得，解得，∴当m=4时A、B两点都在抛物线上，抛物线与线段AB恰有一个公共点，∴m的取值范为或．【点睛】本题考查抛物线综合，抛物线化为顶点式，二次函数性质，一元二次方程的解法，抛物线与线段的公共交点问题，掌握抛物线综合，抛物线化为顶点式，二次函数的性质，一元二次方程的解法，抛物线与线段的公共交点，利用一元二次方程的解确定自变量的范围是解题关键．31.如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD、DE，在AD上取点F，使得∠EFD=60°，射线EF与AC交于点G．（1）设∠BAD=α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；（2）用等式表示线段CG与BD之间的数量关系，并证明．【31题答案】【答案】（1）60°+α；（2）CG=2BD，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得结论；

（2）作辅助线，构建全等三角形，证明四边形EBPG是平行四边形，得BE=PG，再证明△ABD≌△BCP（AAS），可得结论．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵∠BAD=α，∴∠FAG=60°-α，∵∠AFG=∠EFD=60°，∴∠A