中考数学几何专项冲刺复习：三角形的内切圆（基础）含答案及解析

专题27三角形的内切圆（基础）

一.选择题

1.如图，在△ABC中，AO,B0分别平分NBAC,ZABC,则点。是△ABC的（）

A

A.夕卜心B.内心C.中线交点D.高线交点

b+c—CL

2.已知AC_L8C于C,BC=a,CA=b,AB=c,下列选项中。。的半径为一--的是（）

AA

B"

B.3C

az6

aD."C

3.如图，。/为△ABC的内切圆，AB=9,3c=8,CA=10,点。，E分别为AB,AC上的点，且0E与。/

相切，DE//BC,则DE的长（）

BC

8873

A.3.6B.—C.3D.—

2727

4.如图，在△ABC中，/是△ABC的内心,。是A3边上一点，。。经过8点且与A/相切于/点.若tan

74

，则sin/C的值为（）

A

o.

5.如图，O。截△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（）

A.点。是△ABC的内心B.点。是AABC的外心

C.ZiABC是正三角形D.△ABC是等腰三角形

6.三角形的内心是（）

A.三条中线的交点

B.三条高的交点

C.三边的垂直平分线的交点

D.三条角平分线的交点

7.如图，在△A2C中，点/为△ABC的内心，点D在BC上，且〃）_L3C,若NABC=44°,ZC=56°,

则的度数为（）

C.178°D.180°

8.如图，△ABC是一张三角形纸片，。。是它的内切圆，点。、E是其中的两个切点，已知AO=6aw,小

明准备用剪刀沿着与。。相切的一条直线剪下一块三角形（△AMN）,则剪下的△AMN的周长是（）

C.15cmD.18cm

9.如图，正△ABC的三边上有三点D,E,F,且AD=BE=CR设A3=x,DE=y,△AD尸的内切圆的半

径为遮，则关于x的函数关系式为（）

B.y=%

A.y=x-6C.y=x-3D.y=—

JX

10.如图，RtZ\ABC顶点A,2分别在〉轴，x轴上，ZABC=90°,且A3=20,AC=10V5.将△ABC沿

AC折叠，B点落在D处，NBAD+NCBX=9Q°,则△AOB的内心的坐标是（）

(4.5,4.5)C.(6,6)D.(6,8)

11.如图所示，△ABC的内切圆。。与AB、BC、AC分别相切于点。、E、F,若/£>E『=55°,则/A的

度数是（）

C.70°D.125°

12.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接2D,BE,CE,若/

CBD=32°,则NBEC的大小为（）

A.64°B.120°C.122°D.128°

二.填空题

13.如图，已知正方形A2CZ）的边长为m正方形EPG8的边长为6,则△4跖的内切圆半径为

14.如图，点。是△A2C的内切圆的圆心，若NBAC=80°,则/BOC=（填度数）.

15.等腰△ABC中，ZA=60°,其面积为----，它的内切圆面积为

27-------------

16.如图，是△ABC的内切圆，与AB,BC,CA分别切于点O,E,F,ZDOE=120°,ZEOF=110°,

则乙4=,/B=,ZC=.

17.在RtzMBC中，ZC=90,AC=6,BC=8,且△ABC的三边都与圆O相切，则圆O的半径r=

18.如图，内切于△ABC,切点依次为£＞、E、F,若AB=5,BC=1,AC=8,那么AD=,BE

=,CF=.

19.如图，ZVIBC的三边分别切OO于。、E、F,若/A=50°,则

A

20.如图，在△ABC中，点。是△ABC的内心，ZA=48°,ZBOC=

21.如图，ZVIBC的内切圆与三边分别相切于点。、E、F,若48=50°,则/EOE=度.

22.如图，△A2C的周长为24c〃z,AC=8cm,。。是△ABC的内切圆，。。的切线MN与A3、BC分别交

于点M、N,则△BMN的周长为cm.

23.如图，。0是等边△ABC的内切圆，分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是丽上一点，则/EPF的

度数是.

三.解答题

24.如图，△A2C中，AC=BC,/为△ABC的内心，。。经过2,/两点，且。在2C边上，。0与BC交

于点D.

(1)求证：C/为。。的切线;

1

(2)若tanZCBI=j,AB=6,求BC的长.

25.如图1,O。为aABC的外接圆，点。在圆上，AD为△A2C中NCAB的外角平分线.

(1)如图1,证明：DB=DC；

D

(2)如图2,延长ZM交BC的延长线于/点，△CZJM的内心尸在死■上，若tan/M=求tan/DCB

的值.

图1图2

26.在△ABC中，M是BC边的中点，/是内切圆的圆心，A〃_LBC于点”，E是直线与A”的交点，求

证：AE=r.其中r是内切圆的半径.

27.如图，点E是AABC的内心，AE的延长线和AABC的外接圆。。相交于点。，求证：DE=DB.

28.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D

(1)若求NDBC；

(2)求证：BD=DE.

29.如图，△ABC外切于OO,切点分别为。、E、F,BC=7,OO的半径为百，

(1)ZA=60°,求△A2C的周长.

(2)若/A=70°,点M为。0上异于RE的动点，则/FME的度数为

RDC

30.如图，出是0。的切线，切点为A,AC是。。的直径，连接O尸交。。于E.过A点作于点

D,交。。于8,连接BC,PB.

(1)求证：PB是的切线；

(2)求证：E为△E4B的内心；

/Tn

(3)若cos/P4B=)岑，BC=\,求PO的长.

专题27三角形的内切圆（基础）

一.选择题

1.如图，在△ABC中，AO,B0分别平分NBAC,ZABC,则点。是△ABC的（）

bC

A

A.外心B.内心C.中线交点D.高线交点

【分析】根据三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点即可得结论.

【解答】解：：A。，8。分别平分NBAC,ZABC,

.•.点。是AABC的内心.

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是区分三角形的内切圆与外接圆的定义.

b+c—a

2.已知ACL8C于C,BC=a,CA=b,AB=c,下列选项中O。的半径为一--的是（）

【分析】根据圆切线的性质和相似三角形的性质分别进行判定即可.

【解答】解：A、设圆的半径是尤，圆切AC于E,切于。，切于R如图（1）,

同样得到正方形OECD,AE=AF,BD=BF,贝Ua-尤+b-x=c,

故本选项错误;

B、设圆切A3于尸，圆的半径是》连接。尸，如图(2),

图（2）

,OFAO

则—=—,

BCAB

yb-y

ac

ab

）y="a+：-c,

故本选项错误;

C、连接OE、OD,

BD^C

图（3）

VAC>3C分别切圆。于E、D,

；・/OEC=NODC=NC=90°,

*：OE=OD,

・・・四边形OECO是正方形，

：.OE=EC=CD=OD,

设圆。的半径是r,

*：OE//BC,

：.NAOE=NB,

/AEO=/ODB,

...△OD5s△AEO,

OEAE

OD

b-r

a-rr

故本选项错误;

D、从上至下三个切点依次为D,E,F；并设圆的半径为x；

,:BD=BF,

.,.AD=BD-BA=BF-BA=a+x-c；

又,:b-;c=AE=AO=a+x-c；

b+c—a

所以尤=

2

故本选项正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内切

圆与内心，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键.

3.如图，为△ABC的内切圆，AB=9,BC=8,CA=10,点。，E分别为AB,AC上的点，且。E与

相切，DE//BC,则DE的长（

8873

A.3.6B.—C.3D.—

2727

【分析】如图，O/与AB、AC、DE的切点为/、N、G,DG=DM=x,EG=EN=y.首先求出AM、

4EDE

期的长’由皿得到而=就=靛'列出方程组即可解决问题•

【解答】解：如图，。/与AB、AC、OE的切点为M、N、G,设OG=OM=x,EG=EN=y.

AB+AC-BC11

\*AM=AN=

2

1111

■:DE〃BC,

.ADAEDE

AB~AC~BC'

1111

•4F-一xF乙-一yx+，y

••—,

9108

解得x=S产告

.11,77_88

..OE=x+y=/+互=斤

故选：B.

【点评】本题考查三角形内切圆与内心，切线长定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是

学会利用方程的思想思考问题，属于中考常考题型.

4.如图，在△A2C中，/是△ABC的内心，。是边上一点，。。经过2点且与4相切于/点.若tan

74

，则sin/C的值为（）

D心

3

【分析】延长4/交BC于O,连接O/,作BHLAC于H,如图，根据内心的性质得/。8/=/DB/,则

可证明。/〃BD,再根据切线的性质得OLA/,则加上4/平分NBAC,所以△ABC为等腰三

角形，得至!JAB=4C,接着在中，利用正切的定义得到tan/54H=^=,,于是可设BH=

24x,AH=lx,利用勾股定理得到AB=25x,贝UAC=AB=25x,CH=AC-AH=l8x,然后在Rt2\BC//

中，利用勾股定理计算出BC=30x,再利用正弦的定义计算sinC的值.

【解答】解：延长A/交BC于。，连接O/,作B"L4C于”，如图，

:/是△ABC的内心，

JBI平分NA3C,即Z0BI=Z.DBI,

•：OB=OI,

：.ZOBI=ZOIB,

ZDBI=ZOIB9

：.OI//BD,

；A/为。。的切线，

OI±AI,

：.BD±AD,

平分NBAC,

...△ABC为等腰三角形，

：.AB=AC,

在RtZvlBH中，tan/BAH=端=竿

设2H=24尤，AH=lx,

：.AB=y/BH2+AH2=25x,

.•.AC=A3=25x,

・•・CH=AC-AH=25x-7x=18x,

在RtZXBCH中，BC=VCH2+BH2=30x,

..「BH24%4

..smc=—=—=-.

故选：B.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内

切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角

平分线的交点.也考查了等腰三角形的判定与性质.

5.如图，截AABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（）

A.点。是△ABC的内心B.点。是aABC的外心

C.ZVIBC是正三角形D.△A2C是等腰三角形

【分析】过。作OM_LAB于M,ONLBC于N,OQLAC于Q,连接OK、OD、OF,根据垂径定理和

已知求出DM=KQ=7W,根据勾股定理求出OM=ON=O。，根据三角形内心的定义求出即可.

【解答】解:

过。作0M_L42于M,ONLBC于N,OQ_LAC于。，连接OK、OD、OF,

111

由垂径定理得：DM=KQ=]KH,FN—FG,

"：DE=FG=HK,

：.DM=KQ=FN,

'：OD=OK=OF,

...由勾股定理得：OM=ON=OQ,

即0到三角形ABC三边的距离相等，

是△ABC的内心，

故选：A.

【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的内心的应用，注意：三角形的内心到三角形三边的

距离相等.

6.三角形的内心是（）

A.三条中线的交点

B.三条高的交点

C.三边的垂直平分线的交点

D.三条角平分线的交点

【分析】根据三角形的内心的性质解答即可.

【解答】解：因为三角形的内心为三个内角平分线的交点，

故选：D.

【点评】此题主要考查了三角形内切圆与内心，解题的关键是要熟记内心的定义和性质.

7.如图，在△ABC中，点/为△ABC的内心，点。在BC上，且">_LBC,若NABC=44°,ZC=56°,

则的度数为（)

A

A.174°B.176°C.178°D.180°

【分析】先利用三角形内角和得到/BAC=80°,再根据三角形内心性质得到/AB/=NDB/=22°,Z

BAI=40°,则可计算出NA/B=118°,48/0=68°,然后根据周角的定义计算NA/D的度数.

【解答】解：•.•/ABC=44°,ZC=56°,

AZBAC=180°-44°-56°=80°,

•.•点/为AABC的内心，

11

ZABI=ZDBI=^ZABC=22°,ZBAI=^ZBAC=40°,

AZA/B=180°-22°-40°=118°,

\'ID±BC,

：.ZBID=90°-22°=68°,

AZAID=36Q°-118°-68°=174°.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与

三角形顶点的连线平分这个内角.

8.如图，△ABC是一张三角形纸片，。。是它的内切圆，点。、E是其中的两个切点，已知AZ)=6C7W,小

明准备用剪刀沿着与。。相切的一条直线剪下一块三角形(△AMN),则剪下的△AMN的周长是()

A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm

【分析】利用切线长定理得出MF,FN=EN,AD=AE,进而得出答案.

【解答】解：如图所示：

「△ABC是一张三角形的纸片，OO是它的内切圆，点。是其中的一个切点，AD=6cm,

设尸是。。的切点，

故。FN=EN,AD=AE,

：.丛AMN的周长=AM+AN+MN=AD+AE=6+6=12(cm).

【点评】此题主要考查了三角形的内切圆、切线长定理；由切线长定理得出AM+AN+MN=AD+4E是解

题关键.

9.如图，正△ABC的三边上有三点O,E,F,S.AD=BE=CF,设AB=无，DE=y,△AOF的内切圆的半

径为痣，则关于x的函数关系式为（）

A.y=x-6B.y=-^-xC.y=x-3D.y=—

11

【分析】首先证明△DEb是等边三角形，由SMDF=SABDE=SAEFC=2(AD+AF+DF)*V3=,(x+y)•遮,

根据S丛ABC一SAEDF=3°SAADF,可得f丁2_亨/2=3・5・(]+,)・百，化简后即可解决问题.

【解答】解：•:△ABC为等边三角形，且AD=BE=b

：.AF^BD=CE,

又・.・/4=/3=/。=60°,

:・△ADF/dBED/ACFE(SAS),

：.DF=ED=EF,

・・・&DEF是一个等边三角形，

11

.：SAADF=SABDE=SAEFC=2(AD+AF+DF)•V3=々(x+y)*V3,

***S/\ABC-SAEDF=3°SAADF，

••¥/=3(x+y)*V3,

(x2-^2)=6(x+y),

(x+y)(x-y)=6(x+y),

•:x+yWO,

••x-y=6,

*.y=x-6.

故选：A.

【点评】题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定及三角形面积公式，根据已知得出△

1

AD尸丝八8即丝△CFE是解题关键，解题的突破点是记住SAABC=±Q+b+cAr。是△A2C内切圆的半

径）.

10.如图，Rt^ABC顶点A,B分别在y轴，x轴上，ZABC=90°,且AB=20,AC=10V5.将△ABC沿

AC折叠，2点落在。处，ZBAD+ZCBX^90°,则△498的内心的坐标是（）

【分析】延长。C交x轴于E点，如图，先利用勾股定理计算出3c=10和证明AD〃。5再根据折叠的

性质得/■D=/4BC=90°,AD=AB=20,接着判断四边形AOED为矩形，然后判断△AOBs/^EC,

利用相似比得到生=—=—=2,设OB=t,则CE=%,BE=20-t,在RtACBE中利用勾股定理得

BECEBC2

1

到（20-t）12+（T）2=102,解方程得到03=12,则。4=16,然后计算出AAOB的内切圆的半径，从

2

而得到△A03的内心的坐标.

【解答】解：延长。C交x轴于E点，如图，

VZABC=90°,

ZABO+ZCBE=90°,BC=y/AC2-AB2=J(10V5)2-202=10,

而/BAD+/CBE=90°,

ZBAD=ZABO,

J.AD//OE,

「△ABC沿AC折叠，3点落在。处,

AZD=ZABC=90a,AZ)=AB=20,

ZBEC=90°,

四边形AOE。为矩形,

：.OE=AD=20.

VZABO+ZBAO=90°,ZABO+ZCBE=90°,

・•・ZBAO=ZCBE,

1^ZAOB=ZBEC,

：.AAOBsABEC,

・OAOBAB20

••BE-CE-BC_1。一'

设OB=t,则CE=3,BE=20-t,

1

在RtzXCBE中，(20-r)2+(r)2=102,

2

整理得P-32什240=0,解得九=12,♦2=20(舍去),

.*.05=12,

：.OA=7AB2-OB2=V202-122=16,

设△A08的内切圆的半径为r,则，=12+片。=4,

.♦.△A02的内心的坐标为(4,4).

故选:A.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与

三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了勾股定理、折叠的性质和相似三角形的判定与性质.

11.如图所示，△A2C的内切圆O。与A3、BC、AC分别相切于点£＞、E、F,若/DEF=55°,则/A的

度数是（）

A.35°B.55°C.70°D.125°

【分析】根据三角形的内切圆与圆心和圆周角定理即可求解.

【解答】解：连接OO,OF,OA,如下图所示，

A

BEC

：△ABC的内切圆O。与A3、BC、AC分别相切于点D、E、F,

VZDEF=55°,

AZDOF=2ZDEF=2X55°=110°（圆心角是圆周角的2倍），

:在三角形AOD与三角形AOF中，

VZA+ZADO+ZAFO+ZDOF='360o,

VAD,A尸是圆的切线，

AZADO=ZAFO=90°,

—360°-90°-90°-110°=70°,

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与圆心和圆周角定理，解题关键根据圆周角求出圆心角/QOF即可

得出答案.

12.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点。，连接BO,BE,CE,若/

CBD=32°,则NBEC的大小为（）

D

A.64°B.120°C.122°D.128°

【分析】根据圆周角定理可求NCAD=32°,再根据三角形内心的定义可求/BAG再根据三角形内角

和定理和三角形内心的定义可求/EBC+NECB,再根据三角形内角和定理可求N8EC的度数.

【解答】解：在OO中，•.•NCBD=32°,

AZCAD=32°,

:点E是△ABC的内心，

ZBAC=M0,

:.NEBC+/ECB=（180°-64°）+2=58°,

AZBEC=180°-58°=122°.

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到/EBC+/ECB的度数.

二.填空题

a—b

13.如图，已知正方形A5CD的边长为〃，正方形EFGH的边长为。，则AAE尸的内切圆半径为―r

【分析】根据正方形的性质可以证明A4跖&ZX3尸G,得AE=BF,再根据直角三角形内切圆的半径等于

两条直角边的和减去斜边的差的一半进行计算.

【解答】解：,・•四边形ABCO和四边形EFGH都是正方形,

AZA=ZB=ZEFG=90°,EF=FG,

：.ZAFE=NBGF,

：.AAEF^ABFG(A4S),

：.AE=BF,

.\AE+AF=AB=a,

a-b

：.AAEF的内切圆半径——，

2

a—b

故答案为——

2

【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形内切圆的半径公式：直角

三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半.

14.如图，点。是AABC的内切圆的圆心，若/BAC=80°,则/BOC=130°（填度数）.

【分析】运用三角形内角和定理得出/ABC+/ACB的度数，再根据点。是△A2C的内切圆的圆心，得

出/OBC+/OCB=50°,从而得出答案.

【解答】解：•••/54C=80°,

ZABC+ZACB=180°-80°=100°,

•..点。是△ABC的内切圆的圆心,

：.B0,CO分别为NA2C,的角平分线,

：.ZOBC+ZOCB=5Q°,

AZBOC=130°.

故答案为：130°.

【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，能求出

ZOBC+ZOCB的度数是解此题的关键.

7IA/Q7/QIqQ

15.等腰△A2C中，ZA=60°,其面积为丁一，它的内切圆面积为，一一工.

【分析】根据有一个角等于60°的三角形是等腰三角形，得到△ABC是等边三角形，设它的内切圆的半

径为r,求出三角形的边长和高代入三角形的面积公式解得r=誉或，于是得到内切圆面积为:名詈m

olV3243

【解答】解：•:△ABC是等腰三角形.

VZA=60°,

：.AABC是等边三角形,

设它的内切圆的半径为八

.\BC=2y/3r,高=3r,

S/\ABC=2x2V3r*3r=

解得：勺警，

olV3

.•・内切圆面积为：誉导碧4K

81V3SD

，……，7V3+12

故答案为：------IT.

243

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的面积，圆的面积，熟练掌握三角形内切圆的

性质是解题的关键.

16.如图，。。是△ABC的内切圆，与AB,BC,CA分别切于点DE,F,ZD0E=120°,Z£0F=110°,

则/A=50°,ZB=60°,ZC=70°

【分析】利用切线的性质得出班=NOEC=NOPC=90°,进而利用四边形内角和定理以

及三角形内角和定理得出答案.

【解答】解：是AABC的内切圆，与AB,BC,C4分别切于点。，E,F,

，ZODB=ZOEB=ZOEC=NOFC=90°,

又•.,/£>OE=120°,ZEOF=110°,

AZB=360°-120-90°-90°=60°,

ZC=360°-110°-90°-90°=70°,

AZA=180°-ZB-ZC=50°.

故答案为：50°,60°,70°.

【点评】此题主要考查了切线的性质以及四边形内角和定理以及三角形内角和定理，熟练应用切线的性

质定理是解题关键.

17.在Rt/XABC中，ZC=90,AC=6,BC=8,且△ABC的三边都与圆。相切，则圆O的半径r=2.

【分析】设O。半径是r,连接04、OB、OC、OD,OE、OF,根据勾股定理求出AB,根据三角形的面

积公式得出S^CB—SAOAC+S^OBC+SAOAB>代入求出即可.

【解答】解：设O。半径是r,

连接OA、OB、OC、OD、OE、OF,

：OO为△ABC的内切圆，切点是E、F,

：.OD±AB,OEA.CB,OF±AC,OD=OE=OF=r,

"：AC=6,BC=8,由勾股定理得：AB=1Q,

根据三角形的面积公式得：S^ACB=S^OAC+SAOBC+S^OAB，

/.ACXBC=ACXr+BCXr+ABXr,即：6X8=6厂+8日lOr,

.*.r=2.

故O。半径是2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了切线的性质，三角形的内切圆与内心，三角形的面积等知识点的理解和掌握，

能得出S/^CB=S^OAC+SAOBC+S^OAB是解止匕题的关键.

18.如图，内切于△ABC,切点依次为£>、E、F,若AB=5,BC=Q,AC=8,那么">=3,BE

=2,CF=5.

【分析】根据切线长定理求出AD=ARFC=EC,BD=BE,设AD=无，进而用x表示出2C的长，即

可求出答案.

【解答】解：:。。内切于△ABC,切点依次为E、F,AB=5,BC=1,AC=8,

：.AD=AF,FC=EC,BD=BE,设贝UAF=尤，

.*.FC=8-x,BE=BD=AB-AD—5-x,

:.EC+BE=8-x+5-x=BC=J,

解得：x=3,

.,.FC=8-3=5,BE=BD=5-3=2,

故答案为：3,2,5.

【点评】此题主要是考查了切线长定理.要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题.

19.如图，△A2C的三边分别切O。于D、E、F,若NA=50°,则/£>所=65°.

【分析】连O£>,OF.则得到/与/。跖的数量关系.而/OOP与是互补的，因此先求出/

DOF,再就能得到角DEE

【解答】解：连OD,OF,如图，

贝l]ODLAB,OFLAC；

：.ZDOF=180°-ZA=180°-50°=130°,

ii

又,：NDEF="DOF=/130。=65°,

故填65°.

【点评】熟练掌握切线的性质定理和圆周角定理.记住四边形的内角和为360。.

20.如图，在△ABC中，点。是△ABC的内心，NA=48°,NBOC=114°.

【分析】利用内心的定义，OB,OC都是角平分线，因此可求出NOBC与/0C8的和，从而得到/BOC

的度数.

【解答】解：是△ABC的内心，

：.OB,OC分别平分NA2C,ZACB,

11

/.ZOBC+ZOCB=(ZABC+ZACB)=工(180°-48°)=66。,

AZBOC=180°-66°=114°.

故答案为：114.

【点评】此题主要考查了三角形的内心性质，理解三角形内心的定义，记住三角形内角和定理是解题的

关键.

21.如图，△ABC的内切圆与三边分别相切于点。、E、F,若乙8=50°,则65度.

【分析】设的内切圆圆心为O,连接OE,OF,根据△ABC的内切圆与三边分别相切于点。、E、

F,可得OF±BC,再根据四边形内角和可得/EOE的度数，再根据圆周角定理即可得结论.

【解答】解：如图，设△ABC的内切圆圆心为。，连接OE,OF,

：△ABC的内切圆与三边分别相切于点。、E、F,

J.OELAB,OF±BC,

：./OEB=/OFB=9Q°,

VZB=50°,

AZEOF=180°-50°=130°,

:.NEDF="EOF=65。.

故答案为：65.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质，解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心.

22.如图，△A2C的周长为24c〃z,AC=8cm,。。是△ABC的内切圆，。。的切线与A3、BC分别交

于点M、N,则△BMN的周长为8cm.

【分析】设。。与△ABC与各边的切点分别为。、E、F,。。与MN相切于G点，如图，利用切线长定

理得到AD=AF,BD=BE,CF=CE,MD=MG,NG=NE,则可计算出AD+CE=S,接着利用AB+BC

=16得到BD+BE=8,然后利用等线段代换得到的周长二^^山丘

【解答】解：设。。与△4BC与各边的切点分别为。、E、F,。。与MN相切于G点，如图，

：.AD=AF,BD=BE,CF=CE,

VAC=8,BPAF+CF=8,

：.AD+CE=S,

,/AABC的周长为24,

：.AB+BC+AC=24,

：.AB+BC=16,

即BD+AD+BE+CE=\6,

：.BD+BE=8,

•；OO的切线MN与AB、2C分别交于点M、N,

：.MD=MG,NG=NE,

:ABMN的周长=BM+BN+MN=BM+BN+MG+NG=BM+BN+MD+NE=BD+BE=8(cm).

故答案为8.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与

三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了切线长定理.

23.如图，是等边△A2C的内切圆，分别切AB,BC,AC于点£,F,D,P是丽上一点，则NEPF的

度数是60。.

【分析】连接OE、OF,如图，根据三角形内切圆的定义和切线的性质得到OF±BC,则利用

四边形的内角和得到/8+/EOF=180°,则可求出/EOF=120°,然后根据圆周角定理得到/EPF的

度数.

【解答】解：连接。尾OF,如图，

•；OO是等边△ABC的内切圆，

：.OE±AB,OF±BC,

：.ZBEO=ZBFO=90a,

：.ZB+ZEOF=ISQ°,

,/△ABC为等边三角形，

AZB=60°,

：.Z£OF=180°-ZB=120°,

1

AZEPF=^ZEOF=60°.

故答案为600.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆.三角形的内

心就是三角形三个内角角平分线的交点.也考查了切线的性质、等边三角形的性质和圆周角定理.

三.解答题

24.如图，△ABC中，AC=BC,/为△ABC的内心，经过8,/两点，且。在8C边上，与BC交

于点D.

(1)求证：C/为的切线；

1

(2)若tanNC3/=争AB=6,求5c的长.

【分析】(1)连接C7延长C7交A3于连接0/,作。石_13/于只要证明CH_L43,OI//AB,即

可推出OILCh

(2)想办法求出。£即可解决问题；

【解答】(1)证明：连接C/延长C/交A3于“，连接0/,作OEL3/于E.

•:/是内心，

・・・ZIBH=/IBO,

♦：OB=OI,

：,/0BI=/0IB,

：.ZIBH=Z0IB,

：.OI//AB,

9

：CA=CBf/HCA=/HCB,

：.CH上AB,

：.CHLOI

，/c是。。的切线.

1

(2),?tanZCBI=tanZIBH=1,

【点评】本题考查三角形的内心与内切圆、等腰三角形的性质、切线的判定、勾股定理，平行线的性质

等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练应用内心的性质解决问题，学会利用参数解决问题，

属于中考常考题型.

25.如图1,。。为△ABC的外接圆，点。在圆上，AO为△ABC中/CAB的外角平分线.

(1)如图1,证明：DB=DC；

D

(2)如图2,延长ZM交BC的延长线于/点，△CZJM的内心尸在前■上，若tan/M=],求tan/DCB

的值.

【分析】(1)如图1中，只要证明/。BC=/3即可解决问题；

(2)如图2中，作尸尸_LBM于F,PELDM于E,连接PD、PM、PC、PA.首先证明肱1=MC,作AH

QAU

_LCM于H,由tan/AMC=1=瑞，设A”=3Z,HM=4k,则AM=CM=5Z,CF=k,推出tan/AC”=

Au2卜

器=*=3,由/04加=/05。=/£)。3=/4。3,可得tanNOC8=3.

【解答】(1)证明：如图1中，

VZ2+Z£>AC=180°,ZDBC+ZDAC=1SO°,

：.Z2=ZDBCf

VZ1=Z3,N1=N2,

・•・ZDBC=Z3,

：.DB=DC.

(2)解：如图2中，作尸口L3M于尸，PELDM于E,连接尸。、PM、PC、PA.

D

•・•尸是△OCM的内心，

AZPMA=ZPMC,NPDA=/PDC,

：.PE=PF,PA=PC,

易证丝△尸/C,APEM^APFM,

：.AE=CFfEM=FM,

：.AM=CM,

作AH_LCM于H,

QAU

VtanZAMC=4=

设A”=3Z,HM=4k,则AM=CM=5Z,CF=k,

tanZAC//==半=3,

•/ZCAM=ZDBC=ZDCB=ZACB,

tanZDCB=3.

【点评】本题考查三角形的内心、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判

定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

26.在△ABC中，〃是边的中点，/是内切圆的圆心，于点“，E是直线与A”的交点，求

证：AE=r.其中r是内切圆的半径.

【分析】设圆/与8C相切于P,连接/P,设AB=c,AC=b,BC=a,根据已知条件得到BM=去根据

切线的性质得到尸2=丐心，根据三角函数的定义得到B〃=c・cos/B=g/，根据相似三角形的

h-4-r

性质得到EH=r-----①

a

根据三角形的面积公式得到AH=吐泮于是得到结论.

【解答】证明：设圆/与BC相切于尸，连接"，

设A8=c,AC=b,BC=a,

EHn”ann。+。一6nr」/ntt2+C2—Z)2

则BM=2，PB=——，BH=c・cosNB=,

LlPMs^MEH,

aa2+c2-b2

EHHMBM-BH万一2ab+c

IP-PM-BM-BP—a_a+c-b-

22a

：.EH=i-——①

CL

三角形的面积公式知a*AH=(a+A+c),

.ga+b+c

..AH=----a----

a+b+c

结合①，②可得AE=A”-EH=-r-r«—=r

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅

助线是解题的关键.

27.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆。。相交于点。，求证：DE=DB.

【分析】根据内心的概念得到乙钻E=/CBE,/BAO=ND4C,根据圆周角定理得到/C4O=/CB£>,

根据三角形的外角的性质、等腰三角形的判定定理证明即可.

【解答】证明：•.•点E是△ABC的内心,

:./ABE=NCBE,ZBAD=ZDAC,

由圆周角定理得，ZCAD