与直角三角形有关的折叠问题-2025年中考数学一轮复习（原卷版）

微专题09与直角三角形有关的折叠问题

（7种模型解读+真题训练+模拟预测）

已知在山△ABC中,ZABC=90°，AB=3,BC=4,AC=5

模型一：沿过点A的直线翻折使得点B的对应点B'落在斜边AC上，

折痕为AD,求线段AD,DC,B'C长度。

解法一（勾股定理思路）：

由已知条件可知,AB=AB',BD=B'D

VZABC=90o,AB=3,AC=5

.♦.NAB'D=90°,AB'=3,B'C=2

设BD=x,则B'D=x,DC=4-x

在RtZXDB'C中,由勾股定理可得DB'、B'隹DC?即x'+Z?=（4-x）?解得x=L5

：.B'D=l.5,DC=2.5

同理AD=|d5

解法二（相似三角形思路）:

ADDR，

由已知条件易证△ABCs/iDB'C则黑=骂则B'D=1.5再由勾股定理求解线段AD

BCB，C

长

【模型变形】已知在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,

AD为NBAC的角平分线，求DC长

解法（思路）：过点D作DELAC,垂足为点E

则△ABDgZkAED（AAS）（证明过程略）

/.ZABD=ZAED,BD=DE,AB=AE

剩余步骤参照模型一解法一

模型二：沿过点C的直线翻折使得点B的对应点B'落在斜边AC上,

折痕为CD,求线段AD,DC,AB'长度。

解法一（勾股定理思路）：

由已知条件可知,BD=B'D,BC=B'C

VZABC=90°，BC=4,AC=5

・・・NCB'D=90°,B'C=4,AB'=1

设BD=x,则B'D=x,AD=3-x

在RtZiADB'中，由勾股定理可得DB'2+AB'之=AD?即x?+12=（3-x）?解得

.45

・・・B'AD=-

33

在RtZXDCB，中，由勾股定理可求得CD长

解法二（相似三角形思路）：

ApAR，A

由已知条件易证△ABCs^AB'D则瞿=篝则B'D=:再由勾股定理求解线段CD长

BCB，D3

模型三：沿MN翻折使得点A与点C重合，

求线段AN,BM,MN长度。

解法一（勾股定理思路）：

设BM=x,贝ljMC=AM=4-x,

在RtAABM中，由勾股定理可得BM2+AB2=AM2即x2+32=（4-x）2解得x=-

8

贝l|MC=—

8

在RtAMNC中，由勾股定理可得MN=VMC2-NC2=^-

8

解法二（相似三角形思路）：

由已知条件易证△ABCs/wC则罂=器，%二则MN岑，MC噂/.BM4

BCINCACMLooo

模型四：沿斜边中线BE翻折，使得点A落在点F处，连接AF、FC,AF与BE交于点0,

求线段AF,FC的长

解法（思路）：过点E作DELAB,交AB边于点D

由翻折的性质可知，AE=EF,AF±BE

VBE是RtAABC斜边中线，.*.SAABE=|SAABC=3

.•.SAABE=|A0«BE=3解得A0=£贝I]AF=£

VZFEC=2ZEFA,ZEFC=ZECF

在AEFC中根据三角形内角和定理可得ZFEC+ZEFC+ZECF=180°

.•.ZEFA+ZEFC=90°

在RtAAFC中根据勾股定理可知FC=V-C2-护=（

模型五：沿斜边中线BE翻折，使得点C落在点D处，连接AD、CD

求线段AD,CD的长

解法（思路）：延长BE,交DC边于点F

由翻折的性质可知，DE=EC,BF±CD

,/BE是RtAABC斜边中线，.,.SABEC=|SAABC=3

.•.SABEC=|FC.BE=3解得FC=£则DC]

VZDEA=2ZEDC,ZEAD=ZEDA

在AADE中根据三角形内角和定理可得ZDEA+ZEAD+ZEDA=180°

/.ZEDA+ZEDC=90°

在RtAADC中根据勾股定理可知AD=V^C2-DC2=^

模型六：线段AC上有一点D,沿直线BD翻折，使点A落在BC边上点E处，

求AD,DC,BD

解法（思路）：过点D作DMLBC,DN±AB,分别与BC、AB交于点M,点N

由翻折的性质可知，/ABD=NDBC=45°,则DN=DM

设DN=x贝I]SAABC=SAABD+SABDC=iAB.DN+-BC.DM=6贝I]x=—

227

.\BN=BM=—则AN』,MC0

777

则AD=”，DC丹（可根据勾股定理和相似三角形两种方法求解）

77

在RtABND中根据勾股定理/锐角三角函数可知BD长

模型七：点M和点N分别在AC与BC边上，点C沿MN翻折，使点C落在AB边

中点D处，DC与MN相交于点0,求MN,CM,CD,CN的长度

解法（思路）：由翻折的性质可知，DN=NC,DC±MN

设BN=x,则DN=4-x

在RtADBN中由勾股定理可得BD2+BN=DN2则x=|j所以NC=||

在RtADBC中由勾股定理可得DC」/73则DO=OC」/73

24

在Rtz^NOC中由勾股定理可求得NO,从而求出MN的长

过点D作DHLAC,交AC边于点H

VSAADC=isAABC=3.*.SAADC=-AC*DH=3解得DH=£

225

,AH彳设MC=y,则AM=5-y,HM=AM-AH=^-y

在RtADHM中由勾股定理求得y值

【真题训练】

1.（2023・浙江绍兴•中考真题）如图，在纸片AABC中，NC=90。,n8=60。，点0,E分别在边力8,AC上,

且将AADE沿DE折叠，使点A落在边BC上的点/处，贝i」BD:CE=（）

2.（2023•内蒙古赤峰•中考真题）如图，把一个边长为5的菱形4BCD沿着直线DE折叠，使点C与4B延长线

上的点。重合.DE交BC于点己交力B延长线于点E.DQ交BC于点P,DM14B于点Af,AM=4,则下

列结论，①DQ=EQ,②BQ=3,③BP=@BD||FQ.正确的是（）

O

DC

AMBQE

A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④

3.（2022•贵州黔西•中考真题）在如图所示的RtA48C纸片中，乙ACB=90°,。是斜边的中点，把纸片

沿着C。折叠，点B到点E的位置，连接AE.若4EIIDC,LB=a,则NE4C等于（）

A

1

A.aB.90。-aC.-aD.90。-2a

2

4.（2022•山东济宁・中考真题）如图，三角形纸片ABC中，ZBAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A的直线

将纸片折叠，使点3落在边3C上的点。处；再折叠纸片，使点C与点。重合，若折痕与AC的交点为

则AE的长是（）

13576

A.B.C.D.

6665

5.（2024・四川・中考真题）如图，中，ZC=90°,AC=8,BC=4,折叠△ABC,使点A与点5

重合，折痕DE与48交于点。，与AC交于点E,贝！JCE的长为.

6.（2023•江苏南京・中考真题）如图，在菱形纸片/BCD中，点E在边48上，将纸片沿CE折叠，点5落

在处，CB'1AD,垂足为F若OF=4cm,FB'=1cm,贝=—cm

7.（2023•江苏徐州•中考真题）如图，在RtZk2BC中,4c=90。,C4=CB=3,点。在边BC上.将△2CD沿

4D折叠，使点C落在点C，处，连接BC，，贝UBC，的最小值为

8.（2023・湖北武汉•中考真题）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FD&4C分别与DF,EF相

交于G,H两点.若DG=m,EH=乳,用含m,几的式子表示GH的长是.

9.（2023・四川南充・中考真题）如图，在等边AABC中，过点C作射线CD1BC,点M,N分别在边4B,BC

上，将△48C沿MN折叠，使点2落在射线CD上的点8'处，连接A8',已知48=2.给出下列四个结论：①CN+

NB'为定值;②当8N=2NC时，四边形BMB'N为菱形；③当点N与C重合时，^AB'M=18°；④当AB'最

短时，MN=噜其中正确的结论是（填写序号）

10.（2023•吉林・中考真题）如图，在RtAABC中，NC=90。，BC<AC.点、D,E分别在边AB,BC上,连

接DE,将ABDE沿DE折叠，点B的对应点为点夕.若点出刚好落在边力C上，ACB'E=30°,CE=3,贝的

长为.

11.（2022・四川德阳・中考真题）如图，直角三角形ABC纸片中，“CB=90°,点D是4B边上的中点，连接CD,

将△4CD沿CD折叠，点4落在点E处，止匕时恰好有CE1AB.若CB=1,那么CE=

12.（2022•山东青岛・中考真题）如图，已知△48C,4B=AC,BC=16,4。1

BC/4BC的平分线交AD于点E,且DE=4.将NC沿GM折叠使点C与点E恰

好重合.下列结论正确的有：（填写序号）

①BD=8②点£到4C的距离为3③EM=^®EM||AC

13.（2022.江苏扬州•中考真题）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验.如图，已知三角形纸片ABC,第

1次折叠使点B落在BC边上的点方处，折痕an交BC于点。；第2次折叠使点a落在点。处，折痕MN交a夕于

点、P.若BC=12,则MP+MN=

第1次折叠第2次折叠

14.（2021•四川甘孜・中考真题）如图，腰长为2鱼+2的等腰AABC中，顶角NA=45。，。为腰A8上的一

个动点，将△ACD沿折叠，点A落在点E处，当CE与AABC的某一条腰垂直时，的长为

15.（2021・河南・中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1,在RtAABC中，乙4cB=90。,

NB=30。，AC=1.第一步，在边上找一点D,将纸片沿CD折叠，点4落在4处，如图2,第二步，将纸

片沿C4折叠，点。落在。处，如图3.当点。恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段4。'的长为

BBB

D'

C

图2图3

16.(2024・辽宁・中考真题)如图，在△力BC中，/.ABC=90°,AACB=a(0°<a<45°).将线段C4绕点C顺

时针旋转90。得到线段CD,过点。作DEIBC,垂足为£

⑴如图1,求证:

(2)如图2,NACD的平分线与4B的延长线相交于点F,连接DF,DF的延长线与CB的延长线相交于点P,猜

想PC与PD的数量关系，并加以证明;

(3)如图3,在(2)的条件下，将ABFP沿4F折叠，在a变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF.

①求证：点F是的中点;

②若CD=20,求小CEF的面积.

17.(2023•宁夏・中考真题)综合与实践

问题背景

数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36。的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究.

如图1,在A/IBC中，NA=36。，AB=AC.

A

（1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边84上，点C的对应点是点E,折痕交AC于点D,连接DE,

则=°,设AC=1,BC—%,那么AE=（用含％的式子表示）；

（2）进一步探究发现：黑=誓，这个比值被称为黄金比.在（1）的条件下试证明：鬻=3二；

拓展应用：

当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形.例如，图1中的A/IBC是黄金三角

形.如图2,在菱形48CD中，/.BAD=72°,AB=1.求这个菱形较长对角线的长.

18.（2023・辽宁大连•中考真题）综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质.

已知力B=AC,NA>90。，点E为4C上一动点，将A4BE以BE为对称轴翻折.同学们经过思考后进行如下探

究:

独立思考：小明：”当点。落在BC上时，上EDC=2乙ACB.”

小红：“若点E为AC中点，给出力C与DC的长，就可求出BE的长.”

实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1,请你回答:

图1图3

问题1：在等腰△ABC中，力B=>9（rABDE由AABE翻折得至U.

(1)如图1,当点。落在BC上时，求证：乙EDC=2乙ACB；

(2)如图2,若点E为4C中点，AC=4,CD3,求BE的长.

问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成乙4<90。的等腰三角形，可以将问题进一

步拓展.

问题2：如图3,在等腰△ABC中，ZX<90°,XB=AC=BD=4,2zD=^ABD.若CD=1,则求BC的长.

19.(2023・山东枣庄•中考真题)问题情境：如图1,在△4BC中，AB=AC=17,BC=30,4D是BC边上

的中线.如图2,将A4BC的两个顶点2,C分别沿折叠后均与点。重合，折痕分别交于

点、E,G,F,H.

猜想证明：

(1)如图2,试判断四边形力EDG的形状，并说明理由.

问题解决；

(2)如图3,将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交力B,BC

于点M,N,8M的对应线段交DG于点K,求四边形MKG4的面积.

20.(2022•新疆•中考真题)如图，在A4BC巾，AABC=30°,AB=AC,点。为的中点，点。是线段

OC上的动点(点。不与点。，C重合)，将AACD沿折叠得至必力ED,连接8E.

备用图

(1)当4E1BC时，4AEB=°；

⑵探究NAEB与NC4D之间的数量关系，并给出证明；

(3)设AC=4,△4CD的面积为x,以为边长的正方形的面积为y,求y关于尤的函数解析式.

21.(2021・湖北襄阳•中考真题)在AABC中，A.ACB=90°,—=m,。是边BC上一点，将△ABD沿2。折叠

得至以4£7）,连接BE.

Cl）特例发现：如图1,当zn=l,AE落在直线AC上时，

①求证：/.DAC=^EBC；②填空：称的值为_____；

CE

（2）类比探究：如图2,当m力1,4E与边BC相交时，在力。上取一点G,使乙4CG=NBCE,CG交2E于点

H.探究胎的值（用含小的式子表示），并写出探究过程；

CE

（3）拓展运用：在（2）的条件下，当根=¥，。是8c的中点时，若EB-EH=6,求CG的长.

22.（2021•吉根中考真题）如图①，在Rt△ABC中，^ACB=90°,乙4=60。，CD是斜边AB上的中线，点E为

射线BC上一点，将△BDE沿OE折叠，点B的对应点为点F.

图①图②

（1）若AB=a.直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；

（2）若DF1BC,垂足为G,点F与点D在直线CE的异侧，连接CF,如图②，判断四边形2DFC的形状，并

说明理由；

（3）^DFLAB,直接写出NBDE的度数.

【模拟预测】

1.（2024・湖南长沙•模拟预测）如图是一张三角形纸片，其中48=40=10,BC=12,按如下步骤折纸:

第一步：将该纸片对折，点B与点C重合，折痕为4。；

第二步：展开后，再将该纸片折叠；折痕为BE,点A的对称点4恰好落在力C上

根据以上折纸过程，可以求出折痕BE的长度为（）

A.10B.9.8C.9.7D.9.6

2.（2024・安徽・模拟预测）如图1,E,F分别是等边AABC边上