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文档简介
微专题09与直角三角形有关的折叠问题
(7种模型解读+真题训练+模拟预测)
已知在山△ABC中,ZABC=90°,AB=3,BC=4,AC=5
模型一:沿过点A的直线翻折使得点B的对应点B'落在斜边AC上,
折痕为AD,求线段AD,DC,B'C长度。
解法一(勾股定理思路):
由已知条件可知,AB=AB',BD=B'D
VZABC=90o,AB=3,AC=5
.♦.NAB'D=90°,AB'=3,B'C=2
设BD=x,则B'D=x,DC=4-x
在RtZXDB'C中,由勾股定理可得DB'、B'隹DC?即x'+Z?=(4-x)?解得x=L5
:.B'D=l.5,DC=2.5
同理AD=|d5
解法二(相似三角形思路):
ADDR,
由已知条件易证△ABCs/iDB'C则黑=骂则B'D=1.5再由勾股定理求解线段AD
BCB,C
长
【模型变形】已知在Rt^ABC中,ZABC=90°,AB=3,BC=4,
AD为NBAC的角平分线,求DC长
解法(思路):过点D作DELAC,垂足为点E
则△ABDgZkAED(AAS)(证明过程略)
/.ZABD=ZAED,BD=DE,AB=AE
剩余步骤参照模型一解法一
模型二:沿过点C的直线翻折使得点B的对应点B'落在斜边AC上,
折痕为CD,求线段AD,DC,AB'长度。
解法一(勾股定理思路):
由已知条件可知,BD=B'D,BC=B'C
VZABC=90°,BC=4,AC=5
・・・NCB'D=90°,B'C=4,AB'=1
设BD=x,则B'D=x,AD=3-x
在RtZiADB'中,由勾股定理可得DB'2+AB'之=AD?即x?+12=(3-x)?解得
.45
・・・B'AD=-
33
在RtZXDCB,中,由勾股定理可求得CD长
解法二(相似三角形思路):
ApAR,A
由已知条件易证△ABCs^AB'D则瞿=篝则B'D=:再由勾股定理求解线段CD长
BCB,D3
模型三:沿MN翻折使得点A与点C重合,
求线段AN,BM,MN长度。
解法一(勾股定理思路):
设BM=x,贝ljMC=AM=4-x,
在RtAABM中,由勾股定理可得BM2+AB2=AM2即x2+32=(4-x)2解得x=-
8
贝l|MC=—
8
在RtAMNC中,由勾股定理可得MN=VMC2-NC2=^-
8
解法二(相似三角形思路):
由已知条件易证△ABCs/wC则罂=器,%二则MN岑,MC噂/.BM4
BCINCACMLooo
模型四:沿斜边中线BE翻折,使得点A落在点F处,连接AF、FC,AF与BE交于点0,
求线段AF,FC的长
解法(思路):过点E作DELAB,交AB边于点D
由翻折的性质可知,AE=EF,AF±BE
VBE是RtAABC斜边中线,.*.SAABE=|SAABC=3
.•.SAABE=|A0«BE=3解得A0=£贝I]AF=£
VZFEC=2ZEFA,ZEFC=ZECF
在AEFC中根据三角形内角和定理可得ZFEC+ZEFC+ZECF=180°
.•.ZEFA+ZEFC=90°
在RtAAFC中根据勾股定理可知FC=V-C2-护=(
模型五:沿斜边中线BE翻折,使得点C落在点D处,连接AD、CD
求线段AD,CD的长
解法(思路):延长BE,交DC边于点F
由翻折的性质可知,DE=EC,BF±CD
,/BE是RtAABC斜边中线,.,.SABEC=|SAABC=3
.•.SABEC=|FC.BE=3解得FC=£则DC]
VZDEA=2ZEDC,ZEAD=ZEDA
在AADE中根据三角形内角和定理可得ZDEA+ZEAD+ZEDA=180°
/.ZEDA+ZEDC=90°
在RtAADC中根据勾股定理可知AD=V^C2-DC2=^
模型六:线段AC上有一点D,沿直线BD翻折,使点A落在BC边上点E处,
求AD,DC,BD
解法(思路):过点D作DMLBC,DN±AB,分别与BC、AB交于点M,点N
由翻折的性质可知,/ABD=NDBC=45°,则DN=DM
设DN=x贝I]SAABC=SAABD+SABDC=iAB.DN+-BC.DM=6贝I]x=—
227
.\BN=BM=—则AN』,MC0
777
则AD=”,DC丹(可根据勾股定理和相似三角形两种方法求解)
77
在RtABND中根据勾股定理/锐角三角函数可知BD长
模型七:点M和点N分别在AC与BC边上,点C沿MN翻折,使点C落在AB边
中点D处,DC与MN相交于点0,求MN,CM,CD,CN的长度
解法(思路):由翻折的性质可知,DN=NC,DC±MN
设BN=x,则DN=4-x
在RtADBN中由勾股定理可得BD2+BN=DN2则x=|j所以NC=||
在RtADBC中由勾股定理可得DC」/73则DO=OC」/73
24
在Rtz^NOC中由勾股定理可求得NO,从而求出MN的长
过点D作DHLAC,交AC边于点H
VSAADC=isAABC=3.*.SAADC=-AC*DH=3解得DH=£
225
,AH彳设MC=y,则AM=5-y,HM=AM-AH=^-y
在RtADHM中由勾股定理求得y值
【真题训练】
1.(2023・浙江绍兴•中考真题)如图,在纸片AABC中,NC=90。,n8=60。,点0,E分别在边力8,AC上,
且将AADE沿DE折叠,使点A落在边BC上的点/处,贝i」BD:CE=()
2.(2023•内蒙古赤峰•中考真题)如图,把一个边长为5的菱形4BCD沿着直线DE折叠,使点C与4B延长线
上的点。重合.DE交BC于点己交力B延长线于点E.DQ交BC于点P,DM14B于点Af,AM=4,则下
列结论,①DQ=EQ,②BQ=3,③BP=@BD||FQ.正确的是()
O
DC
AMBQE
A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④
3.(2022•贵州黔西•中考真题)在如图所示的RtA48C纸片中,乙ACB=90°,。是斜边的中点,把纸片
沿着C。折叠,点B到点E的位置,连接AE.若4EIIDC,LB=a,则NE4C等于()
A
1
A.aB.90。-aC.-aD.90。-2a
2
4.(2022•山东济宁・中考真题)如图,三角形纸片ABC中,ZBAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A的直线
将纸片折叠,使点3落在边3C上的点。处;再折叠纸片,使点C与点。重合,若折痕与AC的交点为
则AE的长是()
13576
A.B.C.D.
6665
5.(2024・四川・中考真题)如图,中,ZC=90°,AC=8,BC=4,折叠△ABC,使点A与点5
重合,折痕DE与48交于点。,与AC交于点E,贝!JCE的长为.
6.(2023•江苏南京・中考真题)如图,在菱形纸片/BCD中,点E在边48上,将纸片沿CE折叠,点5落
在处,CB'1AD,垂足为F若OF=4cm,FB'=1cm,贝=—cm
7.(2023•江苏徐州•中考真题)如图,在RtZk2BC中,4c=90。,C4=CB=3,点。在边BC上.将△2CD沿
4D折叠,使点C落在点C,处,连接BC,,贝UBC,的最小值为
8.(2023・湖北武汉•中考真题)如图,DE平分等边△ABC的面积,折叠△BDE得到△FD&4C分别与DF,EF相
交于G,H两点.若DG=m,EH=乳,用含m,几的式子表示GH的长是.
9.(2023・四川南充・中考真题)如图,在等边AABC中,过点C作射线CD1BC,点M,N分别在边4B,BC
上,将△48C沿MN折叠,使点2落在射线CD上的点8'处,连接A8',已知48=2.给出下列四个结论:①CN+
NB'为定值;②当8N=2NC时,四边形BMB'N为菱形;③当点N与C重合时,^AB'M=18°;④当AB'最
短时,MN=噜其中正确的结论是(填写序号)
10.(2023•吉林・中考真题)如图,在RtAABC中,NC=90。,BC<AC.点、D,E分别在边AB,BC上,连
接DE,将ABDE沿DE折叠,点B的对应点为点夕.若点出刚好落在边力C上,ACB'E=30°,CE=3,贝的
长为.
11.(2022・四川德阳・中考真题)如图,直角三角形ABC纸片中,“CB=90°,点D是4B边上的中点,连接CD,
将△4CD沿CD折叠,点4落在点E处,止匕时恰好有CE1AB.若CB=1,那么CE=
12.(2022•山东青岛・中考真题)如图,已知△48C,4B=AC,BC=16,4。1
BC/4BC的平分线交AD于点E,且DE=4.将NC沿GM折叠使点C与点E恰
好重合.下列结论正确的有:(填写序号)
①BD=8②点£到4C的距离为3③EM=^®EM||AC
13.(2022.江苏扬州•中考真题)“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验.如图,已知三角形纸片ABC,第
1次折叠使点B落在BC边上的点方处,折痕an交BC于点。;第2次折叠使点a落在点。处,折痕MN交a夕于
点、P.若BC=12,则MP+MN=
第1次折叠第2次折叠
14.(2021•四川甘孜・中考真题)如图,腰长为2鱼+2的等腰AABC中,顶角NA=45。,。为腰A8上的一
个动点,将△ACD沿折叠,点A落在点E处,当CE与AABC的某一条腰垂直时,的长为
15.(2021・河南・中考真题)小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏,如图1,在RtAABC中,乙4cB=90。,
NB=30。,AC=1.第一步,在边上找一点D,将纸片沿CD折叠,点4落在4处,如图2,第二步,将纸
片沿C4折叠,点。落在。处,如图3.当点。恰好在原直角三角形纸片的边上时,线段4。'的长为
BBB
D'
C
图2图3
16.(2024・辽宁・中考真题)如图,在△力BC中,/.ABC=90°,AACB=a(0°<a<45°).将线段C4绕点C顺
时针旋转90。得到线段CD,过点。作DEIBC,垂足为£
⑴如图1,求证:
(2)如图2,NACD的平分线与4B的延长线相交于点F,连接DF,DF的延长线与CB的延长线相交于点P,猜
想PC与PD的数量关系,并加以证明;
(3)如图3,在(2)的条件下,将ABFP沿4F折叠,在a变化过程中,当点P落在点E的位置时,连接EF.
①求证:点F是的中点;
②若CD=20,求小CEF的面积.
17.(2023•宁夏・中考真题)综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36。的等腰三角形,对此三角形产生了极大兴趣并展开探究.
如图1,在A/IBC中,NA=36。,AB=AC.
A
(1)操作发现:将△ABC折叠,使边BC落在边84上,点C的对应点是点E,折痕交AC于点D,连接DE,
则=°,设AC=1,BC—%,那么AE=(用含%的式子表示);
(2)进一步探究发现:黑=誓,这个比值被称为黄金比.在(1)的条件下试证明:鬻=3二;
拓展应用:
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时,这个三角形叫黄金三角形.例如,图1中的A/IBC是黄金三角
形.如图2,在菱形48CD中,/.BAD=72°,AB=1.求这个菱形较长对角线的长.
18.(2023・辽宁大连•中考真题)综合与实践
问题情境:数学活动课上,王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质.
已知力B=AC,NA>90。,点E为4C上一动点,将A4BE以BE为对称轴翻折.同学们经过思考后进行如下探
究:
独立思考:小明:”当点。落在BC上时,上EDC=2乙ACB.”
小红:“若点E为AC中点,给出力C与DC的长,就可求出BE的长.”
实践探究:奋进小组的同学们经过探究后提出问题1,请你回答:
图1图3
问题1:在等腰△ABC中,力B=>9(rABDE由AABE翻折得至U.
(1)如图1,当点。落在BC上时,求证:乙EDC=2乙ACB;
(2)如图2,若点E为4C中点,AC=4,CD3,求BE的长.
问题解决:小明经过探究发现:若将问题1中的等腰三角形换成乙4<90。的等腰三角形,可以将问题进一
步拓展.
问题2:如图3,在等腰△ABC中,ZX<90°,XB=AC=BD=4,2zD=^ABD.若CD=1,则求BC的长.
19.(2023・山东枣庄•中考真题)问题情境:如图1,在△4BC中,AB=AC=17,BC=30,4D是BC边上
的中线.如图2,将A4BC的两个顶点2,C分别沿折叠后均与点。重合,折痕分别交于
点、E,G,F,H.
猜想证明:
(1)如图2,试判断四边形力EDG的形状,并说明理由.
问题解决;
(2)如图3,将图2中左侧折叠的三角形展开后,重新沿MN折叠,使得顶点B与点H重合,折痕分别交力B,BC
于点M,N,8M的对应线段交DG于点K,求四边形MKG4的面积.
20.(2022•新疆•中考真题)如图,在A4BC巾,AABC=30°,AB=AC,点。为的中点,点。是线段
OC上的动点(点。不与点。,C重合),将AACD沿折叠得至必力ED,连接8E.
备用图
(1)当4E1BC时,4AEB=°;
⑵探究NAEB与NC4D之间的数量关系,并给出证明;
(3)设AC=4,△4CD的面积为x,以为边长的正方形的面积为y,求y关于尤的函数解析式.
21.(2021・湖北襄阳•中考真题)在AABC中,A.ACB=90°,—=m,。是边BC上一点,将△ABD沿2。折叠
得至以4£7),连接BE.
Cl)特例发现:如图1,当zn=l,AE落在直线AC上时,
①求证:/.DAC=^EBC;②填空:称的值为_____;
CE
(2)类比探究:如图2,当m力1,4E与边BC相交时,在力。上取一点G,使乙4CG=NBCE,CG交2E于点
H.探究胎的值(用含小的式子表示),并写出探究过程;
CE
(3)拓展运用:在(2)的条件下,当根=¥,。是8c的中点时,若EB-EH=6,求CG的长.
22.(2021•吉根中考真题)如图①,在Rt△ABC中,^ACB=90°,乙4=60。,CD是斜边AB上的中线,点E为
射线BC上一点,将△BDE沿OE折叠,点B的对应点为点F.
图①图②
(1)若AB=a.直接写出CD的长(用含a的代数式表示);
(2)若DF1BC,垂足为G,点F与点D在直线CE的异侧,连接CF,如图②,判断四边形2DFC的形状,并
说明理由;
(3)^DFLAB,直接写出NBDE的度数.
【模拟预测】
1.(2024・湖南长沙•模拟预测)如图是一张三角形纸片,其中48=40=10,BC=12,按如下步骤折纸:
第一步:将该纸片对折,点B与点C重合,折痕为4。;
第二步:展开后,再将该纸片折叠;折痕为BE,点A的对称点4恰好落在力C上
根据以上折纸过程,可以求出折痕BE的长度为()
A.10B.9.8C.9.7D.9.6
2.(2024・安徽・模拟预测)如图1,E,F分别是等边AABC边上
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