直线与圆（学生版）

专题07直线与圆

一、多选题

1.(2024新高考n卷JO)抛物线C：9=4尤的准线为/,尸为c上的动点，过尸作

OA:Y+(y-4/=1的一条切线，。为切点，过P作/的垂线，垂足为8,贝IJ()

A.1与。A相切

B.当尸，A,8三点共线时，|尸。|=后

C.当|P3|=2时，PA±AB

D.满足IPARPBI的点尸有且仅有2个

近年真题精选

一、单选题

1.(2023新高考I卷-6)过点(0,-2)与圆尤2+丁一以-1=0相切的两条直线的夹角为a,则

sina=()

A.1B.巫C.叵D.逅

444

2.(2022新高考H卷-3)图1是中国古代建筑中的举架结构，碗,8瓦《',">'是桁，相

邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中

。2(£,3稣明是举，O2，DG，C"%是相等的步，相邻桁的举步之比分别为

DD,_CC[.BB[.AA.

舟=°5£=匕，景=月，会=%3.已知心白«3成公差为。」的等差数列，且直线Q4

"JCz?!n/lj

的斜率为0.725,则匕=()

G

O

图1图2

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

二、填空题

3.（2022新高考I卷14）写出与圆x2+/=l和（尤-3＞+（y-4）2=16都相切的一条直线的

方程.

4.（2022新高考H卷•15）设点A（-2,3）,B（0,a）,若直线AB关于V对称的直线与圆

（尤+3）2+（y+2y=1有公共点，则a的取值范围是.

5.（2023新高考H卷•15）已知直线/:尤一殴+1=0与。（7:（工-1）2+/=4交于A,B两点，

Q

写出满足“AABC面积为的m的一个值____.

必备知识速记

一、直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角

若直线/与x轴相交，则以x轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与/重合所成的角称

为直线/的倾斜角，通常用a,4，…表示

（1）若直线与x轴平行（或重合），则倾斜角为0

（2）倾斜角的取值范围ae[0,万）

2、直线的斜率

设直线的倾斜角为a,则a的正切值称为直线的斜率，记为左=tanfz

（1）当&=工时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的

2

（2）倾斜角a与斜率左的关系

当左=0时，直线平行于轴或与轴重合；

当左＞0时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随左的增大而增大;

当上＜0时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随左的增大而增大;

3、过两点的直线斜率公式

已知直线上任意两点，4（%,%）,B（X2,%）则％=上——

x2-x1

（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关.

（2）若占=%，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°

4、三点共线

两直线AB,AC的斜率相等-4B、C三点共线；反过来，4B、C三点共线，则直线

AB,AC的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在.

二、直线的方程

1、直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y-y^k(x-x^不含垂直于x轴的直线

斜截式y=kx+b不含垂直于X轴的直线

y—y二x—Xi

两点式不含直线x=%a和直线＞=＞］（%工%）

%—必々一%

截距式w不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

Ax+Bj+C=0

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

(A2+4H0)

2、求曲线（或直线）方程的方法

在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：

（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法

则需找到两个点，或者一点一斜率

（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方

程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）

3、线段中点坐标公式

若点片，£的坐标分别为（占，%）,（乙，%）且线段耳外的中点M的坐标为（X，＞），贝U

X+x

x=-----9

<2，此公式为线段的中点坐标公式.

12

4、两直线的夹角公式

若直线y与直线y=的夹角为。贝|Jtana-

三、两直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示.

两直线方程平行垂直

4:4%+与y+G=04鸟—4耳=o且

44+B'B2-0

l2:A2x+B2y+C2=0gG—B?Gw。

（斜率存在）

《=k2,b}Wb2或匕叱=-1或人与心中有一个为0,

"（斜率不存在）X=Xy,X=X2，XyW/另一个不存在.

l2:x=x2

四、三种距离

1,两点间的距离

平面上两点或占,%）,£（%,%）的距离公式为I4写|=J<X-W）2+（乂一%）2.

特别地，原点。（0,0）与任一点P（无,

2、点到直线的距离

点心（尤。,%）到直线l-.Ax+By+C=0的距离d=—+8%+-

A/A2+B2

特别地，若直线为/：x=m,则点心（与,为）到/的距离d=|机-无0|；若直线为/：y=n,则点

£,（飞,%）到/的距离d=旧一%|

3、两条平行线间的距离

已知44是两条平行线，求3间距离的方法:

（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.

（2）设4:Ax+By+C1=0,4：Ac+By+C?=0,则乙与I、之间的距离d=隼二

22

'—'一VA+B

注：两平行直线方程中，x,y前面对应系数要相等.

4、双根式

双根式加0="%£+3+4±*2/+3+。2型函数求解，首先想到两点间的距离，或者

利用单调性求解.

五、圆

1、圆的四种方程

（1）圆的标准方程：（x-a）2+（y-6）2=产，圆心坐标为（a,b）,半径为'（厂＞0）

（2）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F^0（D2+E2-4F＞0）,圆心坐标为

（3）圆的直径式方程：若A（%丹）,3（々,当），则以线段A8为直径的圆的方程是

（"玉）0：-%2）+（y-%）（＞-%）=。

2、点与圆的位置关系判断

22

⑴点P（x0,%）与圆（x-。）2+（y-b）=r的位置关系：

①（尤-a）。+（y-b）2＞产o点P在圆外;

②（尤一。）2+（y-b）2=/o点尸在圆上；

③（尤-a）。+（y-b）2＜/o点P在圆内.

（2）点P（x。,%）与圆^+产+以+切+歹=0的位置关系:

①考+y+£＞龙。+幼。+尸＞0O点P在圆外；

＞

②^+¥+£＞/+号（）+歹=00点/在圆上；

:）

③片+¥+£＞尤（）+号（）+产＜00点7在圆内.

六、直线与圆的位置关系

1,直线与圆的位置关系判断

（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

圆心（°力）到直线Ac+为+C=0的距离，则4=*+班+口：

VA2+B-

d<ro直线与圆相交，交于两点尸,Q,\PQ\=Ur2-d-.

d=ro直线与圆相切；

d>ro直线与圆相离

（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

JAx+By+C=O

由|（x-6z）2+（j-Z?）2=r2，

消元得到一元二次方程px2+qx+/=0，px2+qx+Z=0判别式为△,贝u：

A>0o直线与圆相交；

A=0o直线与圆相切；

A<0o直线与圆相离.

七、两圆位置关系的判断

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆0，q的半径分别是凡厂，（不妨设R>r），且两圆的圆心距为d,贝的

d<R+r=两圆相交；

d=R+r=两圆外切；

R-r<d<R+rO两圆相离

d=R—r<=>两圆内切；

0<d<R-ro两圆内含（d=0时两圆为同心圆）

设两个圆的半径分别为R,r，R>r,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表示:

位置关系相离外切相交内切内含

几何特征d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

公切线条数43210

【直线与圆常用结论】

一、直线

1、点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P(不，%)关于点Q(x0，为)的对称点为

-xx+x2

则根据中点坐标公式，有°丁

P®,y2)-

K+%

%=

2

可得对称点P(%2,%)的坐标为(2%-%，2%-%)

2、点关于直线对称

点P(%，%)关于直线/:Ax+互y+C=O对称的点为PT%，%)，连接PP，交/于加点，

则/垂直平分pp,所以PPJL/，且M为PP中点，又因为M在直线/上，故可得

k[,kppi——1

,,产+马।z+y21co'解出(％，%)即可.

,22

3、直线关于点对称

法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再

由两点式求出直线方程；

法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.

4、直线关于直线对称

求直线4:办+6y+c=0，关于直线6：公+ey+/=O(两直线不平行)的对称直线《

第一步：联立4算出交点尸(七,%)

第二步：在4上任找一点(非交点)Q(%,%)，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称

点Q'(X2，为)

第三步：利用两点式写出《方程

5、常见的一些特殊的对称

点(x,y)关于不轴的对称点为(％,-y)，关于y轴的对称点为(-％,y)-

点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,%),关于直线y=r的对称点为(-，，-

点(x,y)关于直线％=。的对称点为(2。,y),关于直线y=Z;的对称点为(％,lb—y)•

点(％,y)关于点(a,〃)的对称点为(2a-尤，2b-y)-

点(％,y)关于直线x+y=k的对称点为(女-y,k—x)^关于直线％-y二左的对称点为

(左+y,x—k)•

6、过定点直线系

过已知点P（尤0,%）的直线系方程y—%=左（彳-毛）（人为参数）.

7,斜率为定值直线系

斜率为左的直线系方程ynfct+b是参数）.

8、平行直线系

与已知直线Ax+为+C=0平行的直线系方程Ax+By+2=0（%为参数）.

9、垂直直线系

与已知直线Ar+胡+C=0垂直的直线系方程&-Ay+2=0（2为参数）.

10、过两直线交点的直线系

过直线4：Ax+4y+G=0与/2：4元+员丁+。2=0的交点的直线系方程：

/4|X+4y+G+几（&X+B2y+）—0（4为参数•）•

二、圆

1、圆的参数方程

①/+产=/S>0）的参数方程为尸rcosO（。为参数）；

[y=rsinO

@（x-<2）2+（y-Z?）2=r2（r>0）的参数方程为一：+（。为参数）.

[y=。+rsm。

注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为

（a+rcos0,b+rsinO）（6为参数，（a,6）为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三

角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解

最值.

2、关于圆的切线的几个重要结论

（1）过圆Y+/=/上一点尸（灰,为）的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.

（2）过圆（x—a）?+（y-b）2=/上一点尸（加,%）的圆的切线方程为

（%一。）（丈一。）+（%-bXy-b）=r2

（3）过圆Y+y2+Dx+@+尸=0上一点尸（%,%）的圆的切线方程为

xox+yoy+D-+E-21A+F=O

（4）求过圆/+/=/外一点尸（X。,打）的圆的切线方程时，应注意理解:

①所求切线一定有两条；

②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为

y_yo=k{x_Xo）,利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于左的方程，求出k值.若求

出的女值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的上值只有一个，则说明斜

率不存在的情形符合题意.

名校模拟探源

一、单选题

1.（2024・江西新余•二模）己知直线*一0=。交圆C：/+/一2&一2y=0于M,N两

点，则“AMC7V为正三角形”是“4=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024.陕西西安.三模）若过点尸（0,1）可作圆f+y2-2x-4y+a=0的两条切线，则。的取

值范围是（）

A.（3,+oo）B.（-1,3）C.（3,5）D.（5,+oo）

3.（2024•北京•三模）已知A（T0）,8（1,0）,若点尸满足以，依，则点尸到直线

/：7“（X-A/§）+〃GT）=0的距离的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2024・四川成都・三模）已知直线4：x-ay+l=0©C:（x-a）*12+3456（y-l）2=1相交于

A3两点，若AABC是直角三角形，则实数a的值为（）

A.1或一1B.6或YC.或-1D.或_拒

5.（2024.湖南邵阳.三模）已知直线/：x-y-2=0与圆。：f+y=1,过直线/上的任意

一点尸作圆0的切线R4,PB,切点分别为A,B,则NAP3的最大值为（）

3兀-2兀一兀一兀

A4.—B.—C.—D.一

4326

6.（2024.重庆•二模）已知圆。:1+炉=3,尸是圆。外一点，过点p作圆0的两条切线，切

—..9।I

点分别为A,8,若PA.PB=；,则|OP|=（）

A.76B.3C.2拒D.V15

7.（2024.北京.三模）已知圆C:（x-必/+仃一行:]和两点4_/,0）,3«,0）«>0）,若圆

C上存在点P,使得中.而=0，贝!k的取值范围为（）

A.（0,1]B.[1,3]C.[2,3]D.[3,4]

8.（2024.山东烟台•三模）若圆尤2+9+办+省y+2。-3=0与％轴没有交点，则实数。的

取值范围为（）

A.（2,6）B.（3,5）

C.（2,3）U（5,6）D.（2,3）U（6,y）

9.（2024.北京三模）已知直线/:依+（a+l）y+2=0,圆O:V+^=骁，下列说法错误的

是（）

A.对任意实数。，直线/与圆。有两个不同的公共点；

B.当且仅当“=-；时，直线/被圆。所截弦长为4立；

C.对任意实数。，圆。不关于直线/对称；

D.存在实数。，使得直线/与圆。相切.

10.（2024•江西鹰潭•三模）已知机ER,直线4：M+y+2机=。与4：%-畋+4机=。的交点

尸在圆C：（*-3）2+（丁-4）2=/上>0）上，贝"的最大值是（）

A.4&B.3亚C.2斯D.3A/5

二、多选题

11.（2024・湖南长沙•三模）已知圆C:（x+2）?+y2=4,直线

/:（机+l）x+2y-l+机=0。九eR）,贝U（）

A.直线/恒过定点（-1,1）

B.当加=0时，圆C上恰有三个点到直线/的距离等于1

C.直线/与圆c可能相切

D.若圆C与圆d+y2-2x+8y+a=0恰有三条公切线，则a=8

12.（2024.山西临汾.三模）已知瓦产是以C。,2）为圆心，行为半径的圆上任意两点，且

满足CELCF,P是斯的中点，若存在关于（3,0）对称的AB两点，满足西.方=0,则

线段A3长度的可能值为（）

A.3B.4C.5D.6

13.（2024•河南郑州•三模）已知直线/：依+勿+1=0（。/不同时为0）,圆

C:x2+y2-2x=0,贝！]（）

A.当62-2a=l时，直线/与圆C相切

B.当a+b=-2时，直线/与圆C不可能相交

C.当时，与圆C外切且与直线/相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线

D.当=时，直线/与坐标轴相交于A,8两点，则圆C上存在点P满足

PAPB=0

14.（2024.山东青岛•三模）已知动点N分别在圆G：（x—iy+（y-2]=l和

C2:（尤-3）2+（y-4）2=3上，动点尸在x轴上，则（）

A.圆C?的半径为3

B.圆G和圆C?相离

C.|PM|+|PN|的最小值为2&U

D.过点P做圆G的切线，则切线长最短为指

15.（2024•浙江温州•二模）己知圆G：X?+V=6与圆C?:/+J?+2x-a=0相交于A,B两

点.若以GAB=2SAQAB,则实数a的值可以是（）

2214

A.10B.2C.—D.—

33

16.（2024•浙江绍兴•三模）已知N为圆/+）?=4上的两个动点，点尸且

PMLPN,