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文档简介

专题07直线与圆

一、多选题

1.(2024新高考n卷JO)抛物线C:9=4尤的准线为/,尸为c上的动点,过尸作

OA:Y+(y-4/=1的一条切线,。为切点,过P作/的垂线,垂足为8,贝IJ()

A.1与。A相切

B.当尸,A,8三点共线时,|尸。|=后

C.当|P3|=2时,PA±AB

D.满足IPARPBI的点尸有且仅有2个

近年真题精选

一、单选题

1.(2023新高考I卷-6)过点(0,-2)与圆尤2+丁一以-1=0相切的两条直线的夹角为a,则

sina=()

A.1B.巫C.叵D.逅

444

2.(2022新高考H卷-3)图1是中国古代建筑中的举架结构,碗,8瓦《',">'是桁,相

邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中

。2(£,3稣明是举,O2,DG,C"%是相等的步,相邻桁的举步之比分别为

DD,_CC[.BB[.AA.

舟=°5£=匕,景=月,会=%3.已知心白«3成公差为。」的等差数列,且直线Q4

"JCz?!n/lj

的斜率为0.725,则匕=()

G

O

图1图2

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

二、填空题

3.(2022新高考I卷14)写出与圆x2+/=l和(尤-3>+(y-4)2=16都相切的一条直线的

方程.

4.(2022新高考H卷•15)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于V对称的直线与圆

(尤+3)2+(y+2y=1有公共点,则a的取值范围是.

5.(2023新高考H卷•15)已知直线/:尤一殴+1=0与。(7:(工-1)2+/=4交于A,B两点,

Q

写出满足“AABC面积为的m的一个值____.

必备知识速记

一、直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角

若直线/与x轴相交,则以x轴正方向为始边,绕交点逆时针旋转直至与/重合所成的角称

为直线/的倾斜角,通常用a,4,…表示

(1)若直线与x轴平行(或重合),则倾斜角为0

(2)倾斜角的取值范围ae[0,万)

2、直线的斜率

设直线的倾斜角为a,则a的正切值称为直线的斜率,记为左=tanfz

(1)当&=工时,斜率不存在;所以竖直线是不存在斜率的

2

(2)倾斜角a与斜率左的关系

当左=0时,直线平行于轴或与轴重合;

当左>0时,直线的倾斜角为锐角,倾斜角随左的增大而增大;

当上<0时,直线的倾斜角为钝角,倾斜角随左的增大而增大;

3、过两点的直线斜率公式

已知直线上任意两点,4(%,%),B(X2,%)则%=上——

x2-x1

(1)直线的斜率是确定的,与所取的点无关.

(2)若占=%,则直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为90°

4、三点共线

两直线AB,AC的斜率相等-4B、C三点共线;反过来,4B、C三点共线,则直线

AB,AC的斜率相等(斜率存在时)或斜率都不存在.

二、直线的方程

1、直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y-y^k(x-x^不含垂直于x轴的直线

斜截式y=kx+b不含垂直于X轴的直线

y—y二x—Xi

两点式不含直线x=%a和直线>=>](%工%)

%—必々一%

截距式w不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

Ax+Bj+C=0

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

(A2+4H0)

2、求曲线(或直线)方程的方法

在已知曲线类型的前提下,求曲线(或直线)方程的思路通常有两种:

(1)直接法:寻找决定曲线方程的要素,然后直接写出方程,例如在直线中,若用直接法

则需找到两个点,或者一点一斜率

(2)间接法:若题目条件与所求要素联系不紧密,则考虑先利用待定系数法设出曲线方

程,然后再利用条件解出参数的值(通常条件的个数与所求参数的个数一致)

3、线段中点坐标公式

若点片,£的坐标分别为(占,%),(乙,%)且线段耳外的中点M的坐标为(X,>),贝U

X+x

x=-----9

<2,此公式为线段的中点坐标公式.

12

4、两直线的夹角公式

若直线y与直线y=的夹角为。贝|Jtana-

三、两直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现,如表所示.

两直线方程平行垂直

4:4%+与y+G=04鸟—4耳=o且

44+B'B2-0

l2:A2x+B2y+C2=0gG—B?Gw。

(斜率存在)

《=k2,b}Wb2或匕叱=-1或人与心中有一个为0,

"(斜率不存在)X=Xy,X=X2,XyW/另一个不存在.

l2:x=x2

四、三种距离

1,两点间的距离

平面上两点或占,%),£(%,%)的距离公式为I4写|=J<X-W)2+(乂一%)2.

特别地,原点。(0,0)与任一点P(无,

2、点到直线的距离

点心(尤。,%)到直线l-.Ax+By+C=0的距离d=—+8%+-

A/A2+B2

特别地,若直线为/:x=m,则点心(与,为)到/的距离d=|机-无0|;若直线为/:y=n,则点

£,(飞,%)到/的距离d=旧一%|

3、两条平行线间的距离

已知44是两条平行线,求3间距离的方法:

(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.

(2)设4:Ax+By+C1=0,4:Ac+By+C?=0,则乙与I、之间的距离d=隼二

22

'—'一VA+B

注:两平行直线方程中,x,y前面对应系数要相等.

4、双根式

双根式加0="%£+3+4±*2/+3+。2型函数求解,首先想到两点间的距离,或者

利用单调性求解.

五、圆

1、圆的四种方程

(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-6)2=产,圆心坐标为(a,b),半径为'(厂>0)

(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F^0(D2+E2-4F>0),圆心坐标为

(3)圆的直径式方程:若A(%丹),3(々,当),则以线段A8为直径的圆的方程是

("玉)0:-%2)+(y-%)(>-%)=。

2、点与圆的位置关系判断

22

⑴点P(x0,%)与圆(x-。)2+(y-b)=r的位置关系:

①(尤-a)。+(y-b)2>产o点P在圆外;

②(尤一。)2+(y-b)2=/o点尸在圆上;

③(尤-a)。+(y-b)2</o点P在圆内.

(2)点P(x。,%)与圆^+产+以+切+歹=0的位置关系:

①考+y+£>龙。+幼。+尸>0O点P在圆外;

②^+¥+£>/+号()+歹=00点/在圆上;

:)

③片+¥+£>尤()+号()+产<00点7在圆内.

六、直线与圆的位置关系

1,直线与圆的位置关系判断

(1)几何法(圆心到直线的距离和半径关系)

圆心(°力)到直线Ac+为+C=0的距离,则4=*+班+口:

VA2+B-

d<ro直线与圆相交,交于两点尸,Q,\PQ\=Ur2-d-.

d=ro直线与圆相切;

d>ro直线与圆相离

(2)代数方法(几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数)

JAx+By+C=O

由|(x-6z)2+(j-Z?)2=r2,

消元得到一元二次方程px2+qx+/=0,px2+qx+Z=0判别式为△,贝u:

A>0o直线与圆相交;

A=0o直线与圆相切;

A<0o直线与圆相离.

七、两圆位置关系的判断

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定,具体是:

设两圆0,q的半径分别是凡厂,(不妨设R>r),且两圆的圆心距为d,贝的

d<R+r=两圆相交;

d=R+r=两圆外切;

R-r<d<R+rO两圆相离

d=R—r<=>两圆内切;

0<d<R-ro两圆内含(d=0时两圆为同心圆)

设两个圆的半径分别为R,r,R>r,圆心距为d,则两圆的位置关系可用下表来表示:

位置关系相离外切相交内切内含

几何特征d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

公切线条数43210

【直线与圆常用结论】

一、直线

1、点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式:设点P(不,%)关于点Q(x0,为)的对称点为

-xx+x2

则根据中点坐标公式,有°丁

P®,y2)-

K+%

%=

2

可得对称点P(%2,%)的坐标为(2%-%,2%-%)

2、点关于直线对称

点P(%,%)关于直线/:Ax+互y+C=O对称的点为PT%,%),连接PP,交/于加点,

则/垂直平分pp,所以PPJL/,且M为PP中点,又因为M在直线/上,故可得

k[,kppi——1

,,产+马।z+y21co'解出(%,%)即可.

,22

3、直线关于点对称

法一:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再

由两点式求出直线方程;

法二:求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.

4、直线关于直线对称

求直线4:办+6y+c=0,关于直线6:公+ey+/=O(两直线不平行)的对称直线《

第一步:联立4算出交点尸(七,%)

第二步:在4上任找一点(非交点)Q(%,%),利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称

点Q'(X2,为)

第三步:利用两点式写出《方程

5、常见的一些特殊的对称

点(x,y)关于不轴的对称点为(%,-y),关于y轴的对称点为(-%,y)-

点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,%),关于直线y=r的对称点为(-,,-

点(x,y)关于直线%=。的对称点为(2。,y),关于直线y=Z;的对称点为(%,lb—y)•

点(%,y)关于点(a,〃)的对称点为(2a-尤,2b-y)-

点(%,y)关于直线x+y=k的对称点为(女-y,k—x)^关于直线%-y二左的对称点为

(左+y,x—k)•

6、过定点直线系

过已知点P(尤0,%)的直线系方程y—%=左(彳-毛)(人为参数).

7,斜率为定值直线系

斜率为左的直线系方程ynfct+b是参数).

8、平行直线系

与已知直线Ax+为+C=0平行的直线系方程Ax+By+2=0(%为参数).

9、垂直直线系

与已知直线Ar+胡+C=0垂直的直线系方程&-Ay+2=0(2为参数).

10、过两直线交点的直线系

过直线4:Ax+4y+G=0与/2:4元+员丁+。2=0的交点的直线系方程:

/4|X+4y+G+几(&X+B2y+)—0(4为参数•)•

二、圆

1、圆的参数方程

①/+产=/S>0)的参数方程为尸rcosO(。为参数);

[y=rsinO

@(x-<2)2+(y-Z?)2=r2(r>0)的参数方程为一:+(。为参数).

[y=。+rsm。

注意:对于圆的最值问题,往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为

(a+rcos0,b+rsinO)(6为参数,(a,6)为圆心,r为半径),以减少变量的个数,建立三

角函数式,从而把代数问题转化为三角问题,然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解

最值.

2、关于圆的切线的几个重要结论

(1)过圆Y+/=/上一点尸(灰,为)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.

(2)过圆(x—a)?+(y-b)2=/上一点尸(加,%)的圆的切线方程为

(%一。)(丈一。)+(%-bXy-b)=r2

(3)过圆Y+y2+Dx+@+尸=0上一点尸(%,%)的圆的切线方程为

xox+yoy+D-+E-21A+F=O

(4)求过圆/+/=/外一点尸(X。,打)的圆的切线方程时,应注意理解:

①所求切线一定有两条;

②设直线方程之前,应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为

y_yo=k{x_Xo),利用圆心到切线的距离等于半径,列出关于左的方程,求出k值.若求

出的女值有两个,则说明斜率不存在的情形不符合题意;若求出的上值只有一个,则说明斜

率不存在的情形符合题意.

名校模拟探源

一、单选题

1.(2024・江西新余•二模)己知直线*一0=。交圆C:/+/一2&一2y=0于M,N两

点,则“AMC7V为正三角形”是“4=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.(2024.陕西西安.三模)若过点尸(0,1)可作圆f+y2-2x-4y+a=0的两条切线,则。的取

值范围是()

A.(3,+oo)B.(-1,3)C.(3,5)D.(5,+oo)

3.(2024•北京•三模)已知A(T0),8(1,0),若点尸满足以,依,则点尸到直线

/:7“(X-A/§)+〃GT)=0的距离的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

4.(2024・四川成都・三模)已知直线4:x-ay+l=0©C:(x-a)*12+3456(y-l)2=1相交于

A3两点,若AABC是直角三角形,则实数a的值为()

A.1或一1B.6或YC.或-1D.或_拒

5.(2024.湖南邵阳.三模)已知直线/:x-y-2=0与圆。:f+y=1,过直线/上的任意

一点尸作圆0的切线R4,PB,切点分别为A,B,则NAP3的最大值为()

3兀-2兀一兀一兀

A4.—B.—C.—D.一

4326

6.(2024.重庆•二模)已知圆。:1+炉=3,尸是圆。外一点,过点p作圆0的两条切线,切

—..9।I

点分别为A,8,若PA.PB=;,则|OP|=()

A.76B.3C.2拒D.V15

7.(2024.北京.三模)已知圆C:(x-必/+仃一行:]和两点4_/,0),3«,0)«>0),若圆

C上存在点P,使得中.而=0,贝!k的取值范围为()

A.(0,1]B.[1,3]C.[2,3]D.[3,4]

8.(2024.山东烟台•三模)若圆尤2+9+办+省y+2。-3=0与%轴没有交点,则实数。的

取值范围为()

A.(2,6)B.(3,5)

C.(2,3)U(5,6)D.(2,3)U(6,y)

9.(2024.北京三模)已知直线/:依+(a+l)y+2=0,圆O:V+^=骁,下列说法错误的

是()

A.对任意实数。,直线/与圆。有两个不同的公共点;

B.当且仅当“=-;时,直线/被圆。所截弦长为4立;

C.对任意实数。,圆。不关于直线/对称;

D.存在实数。,使得直线/与圆。相切.

10.(2024•江西鹰潭•三模)已知机ER,直线4:M+y+2机=。与4:%-畋+4机=。的交点

尸在圆C:(*-3)2+(丁-4)2=/上>0)上,贝"的最大值是()

A.4&B.3亚C.2斯D.3A/5

二、多选题

11.(2024・湖南长沙•三模)已知圆C:(x+2)?+y2=4,直线

/:(机+l)x+2y-l+机=0。九eR),贝U()

A.直线/恒过定点(-1,1)

B.当加=0时,圆C上恰有三个点到直线/的距离等于1

C.直线/与圆c可能相切

D.若圆C与圆d+y2-2x+8y+a=0恰有三条公切线,则a=8

12.(2024.山西临汾.三模)已知瓦产是以C。,2)为圆心,行为半径的圆上任意两点,且

满足CELCF,P是斯的中点,若存在关于(3,0)对称的AB两点,满足西.方=0,则

线段A3长度的可能值为()

A.3B.4C.5D.6

13.(2024•河南郑州•三模)已知直线/:依+勿+1=0(。/不同时为0),圆

C:x2+y2-2x=0,贝!]()

A.当62-2a=l时,直线/与圆C相切

B.当a+b=-2时,直线/与圆C不可能相交

C.当时,与圆C外切且与直线/相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线

D.当=时,直线/与坐标轴相交于A,8两点,则圆C上存在点P满足

PAPB=0

14.(2024.山东青岛•三模)已知动点N分别在圆G:(x—iy+(y-2]=l和

C2:(尤-3)2+(y-4)2=3上,动点尸在x轴上,则()

A.圆C?的半径为3

B.圆G和圆C?相离

C.|PM|+|PN|的最小值为2&U

D.过点P做圆G的切线,则切线长最短为指

15.(2024•浙江温州•二模)己知圆G:X?+V=6与圆C?:/+J?+2x-a=0相交于A,B两

点.若以GAB=2SAQAB,则实数a的值可以是()

2214

A.10B.2C.—D.—

33

16.(2024•浙江绍兴•三模)已知N为圆/+)?=4上的两个动点,点尸且

PMLPN,

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