中考数学复习重难点强化训练：平面直角坐标系与函数概念（知识串讲+12大考点）解析版

专题01平面直角坐标系与函数概念

厂考点类型

考点7：函数的定义

考点8：函数的关系式

考点9：自变量的取值范围

模块三函数

01讲平面直角坐标系与函数

考点10：函数值计算

考点5：坐标与图形考点11：实际问题与函数图像

考点6：坐标规律考点12：动点问题

知识一遍过

（-）平面直角坐标系中点的坐标特征

（1）各象限点的特征：

第一象限（+,+）；

第二象限（一，+）；

第三象限（一，一）；

第四象限（+,一）.

（2）特殊位置点的特征：

若点，在x轴上，则空；

若点户在y轴上，则更2；

若点尸在一、三象限角平分线上，则空；

若点?在二、四象限角平分线上，则a+斤0.

（3）坐标的对称点特征

点P（a,b）关于x轴的对称点P'（a,一b）

点尸（a,b）关于y轴的对称点P（一a,b）

点PQa,6）关于原点的对称点产（一a,一b）.

（4）点尸（a,6）、点〃（c,d）坐标关系变化

①点尸到y轴的距离为时，到y轴的距离为何.到原点的距离为，/+汁2.

②将点户沿水平方向平移"（〃〉0）个单位后坐标变化情况为:

点?沿水平向右方向平移加（勿〉0）个单位后坐标为（a+0，6）;

点户沿水平向左方向平移"（勿〉0）个单位后坐标为（a-0,6);

③将点尸沿竖直方向平移〃（〃〉0）个单位后坐标变化情况为:

点尸沿竖直方向向上平移A(72>0)个单位后坐标为（a,八A）;

点户沿竖直方向向下平移〃(Z2>0)个单位后坐标为（a,b~n）.

④若直线掰平行X轴，则为d；若直线9平行y轴，则军C；

⑤点尸到点〃的距离：巴沪-c）?+（b-d）?

⑥线段，〃的中点坐标：（专，售）

（-）函数及自变量的取值范围

（1）常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量.

（2）函数的定义：一般的，在某个变化过程中如果有两个变量无、y,对于尤的每一个取值，y都有唯一确

定的值与之对应，那么x是自变量，y是x的函数.

（3）函数的表示方法：①解析式法；②图象法；③列表法.

（4）函数解析式（用来表示函数关系的数学式子叫做解析式）与变自量的取值范围：

（5）描点法画图像的一般步骤：列表、撞点、连线

（6）函数自变量取值范围

①函数表达式是整式，自变量的取值是全体实数一；

②函数表达式是分式，自变量的取值要使得一分母不等于0.；

③函数表达式是偶次根式，自变量的取值要使得.被开方数.为非负数;

④来源于实际问题的函数，自变量的取值要使得实际问题有意义、式子有意义.

函数的有关知识及其图象：

（三）函数图像的分析与判断

分析实际问题判断函数图象的方法：

①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；

②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；

③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.

（J考点一遍过

考点1:用坐标表示位置

典例1:（2022下•河北邯郸•七年级统考期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，

成为流行极为广泛的益智游戏.如图，是一局象棋残局，已知表示棋子"焉"和"隼"的点的坐标分别为（4,3）,

（-2,1）,则表示棋子"炮"的点的坐标为（）

【答案】D

【分析】根据棋子"焉"和"隼"的点的坐标可得出原点的位置，建立起平面直角坐标系，进而得出答案.

【详解】解：回表示棋子"身和"章’的点的坐标分别为(4,3),(-2,1),

团可得平面直角坐标系如图所示：

团棋子"炮"的点的坐标为：(1,3).

故选：D.

【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键.

【变式1】(2023上•浙江嘉兴・九年级校考开学考试)若正整数x,y满足，=64,则这样的正整数

对O,y)有()对

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由平方差公式可知/-y2=(x+y)(x-y),(x+y)与(x-y)同为奇数或偶数，将64分为两个偶

数的积，分别解方程组即可.

【详解】解：Ex2-y2=(%+y)(x—y),64=32x2=16X4,

喂乙¥或｛？箕？

解瞰二或作If，

团满足条件的正整数对⑶y)的个数是2,

故选:B.

【点睛】本题考查平方差公式的应用、解二元一次方程组，应明确两整数之和与两整数之积的奇偶性相同

是解题的关键.

【变式2](2023下,四川泸州,七年级统考期末)如图是某校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单

位长度的正方形，每个主要位置恰好落在整格点，若实验楼的坐标为(-1,3),校门的坐标为(-6,0).则图书

馆的坐标是()

A.(-3,-3)B.(-2,-3)C.(0,-3)D.(1,-3)

【答案】B

【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系即可解答.

【详解】解：由实验楼的坐标为(-L3),校门的坐标为(-6,0),可建立如图所示坐标系:

桎门

则图书馆的坐标是(-2,-3).

故选B.

【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置并建立直角坐标系是解题关键.

【变式3](2022下•湖北恩施•七年级统考期中)如图，己知0AOC=3O。，勖OC=150。，OD平分勖。4,若点

A可表示为（2,30。），点8可表示为（3,150。），则点。可表示为（）

A.(4,75°)B.(75°,4)C.(4,90°)D.(4,60°)

【答案】C

【分析】根据角平分线的性质得出她。。=&8。。=60。，进而得出SDOC的度数，利用A,2两点坐标得出2,

4代表圆环上数字，角度是与c。边的夹角，根据aooc的度数，以及所在圆环位置即可得出答案.

【详解】解：aaBOC=150°,EAOC=30°,

0EL4OB=12O",

为I3BOA的平分线,

SEAOD=S\BOD=60°,

EBOOC=EAOr>+0AOC=6O°+3O°=9O°,

财点可表示为（2,30。），8点可表示为（3,150。），

回。点可表示为：（4,90°）.

故选：C

【点睛】此题主要考查了点的坐标性质以及角平分线的性质，根据已知得出A点，2点所表示的意义是解决

问题的关键.

考点2：求点的坐标

典例2：（2023上•四川达州•八年级校考期中）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点（1,-3）上，"相"位于点

（3,-3）上，则"炮"位于点（）

A.(—1,1)B.(-1,2)C.(-2,0)D.(一2,2)

【答案】C

【详解】此题主要考查了建立平面直角坐标系，根据"帅"与"相"所在位置的坐标可建立直角坐标系，然后写

出"炮"所在位置的点的坐标即可，解题的关键是正确理解平面直角坐标系中，点与有序实数对一一对应.

【点睛】根据"帅"位于点(1,-3)上，“相〃位于点(3,-3)上可建立如图的直角坐标系，

回"炮"位于点(-2,0),

故选：C.

【变式1](2023上,四川德阳•八年级统考期中)如图,在AABC中，点力的坐标为(0,1),点B的坐标为(0,4),

点C的坐标为(4,3),且AABD与AABC全等，点。的坐标是()

C.(一4,2)或(一4,3)D.(4,2)或(一4,2)或(一4,3)

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角坐标系中的轴对称问题，根据对称性分情况讨论即可，掌握

数形结合的思路是解题的关键.

【详解】解：当△ABD1三AABC时，△48。和△力关于y轴对称，如下图所示：

团点5的坐标是(一4,3),

当△ABD2三△B4C,过。2作。2G1AB,过C点作CH14B,如上图所示,

△AB4边2B上的高即与八B4C的边28上高CH相等，

0D2G=CH=4,AG=BH=1,

HOG=2,

回点。2的坐标是（一4,2）,

ABD3=A1AB,如上图所示，

△4BD3边2B上的高£）36与4B4C的边4B上高CH相等,

团。3G=CH=4,AG=BH=1,

ISOG=2,

回点名的坐标是（4，2）,

综上所述，点。的坐标是2（一4,3）,4（—4，2）或。3（4,2）,

故选：D.

【变式2］（2022下,上海嘉定,七年级校考期末）如图，卡通形象"大白"深受大家喜爱，将"大白"放在平面直

角坐标系xOy中，如果右眼B的坐标是（-3,3）,那么这只"大白"的左眼4的坐标是（）

【答案】C

【分析】根据右眼B的坐标是（-3,3）,向左平移一格即可得出点4的坐标.

【详解】解：•••B的坐标是（-3,3）,左移1个单位得到点4的坐标

力（—4,3）,

故选：C.

【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的确定，从平移角度考虑点的坐标更简便.

【变式3］（2022上•陕西宝鸡,八年级统考期中）在平面直角坐标系中放置了一个面积为5的正方形，如图

所示，点B在y轴上，且坐标是（0,2）,点C在式轴上，则点。的坐标为（）

y

A.(2,1)B.(3,1)C.(1,3)D.(1,2)

【答案】B

【分析】如图，作辅助线；证明AOBC三△ECD,得到DE=OC,CE=OB；求出。C、OB的长度，即可解

决问题.

【详解】解：如图，过点。作DE1”轴于点E；

••・四边形4BCD为正方形，

.­.乙BCD=90°,而N80C=90°,

Z.OBC+Z.OCB=Z.OCB+Z.DCE,

••・乙OBC=Z.DCE；

在△与△ECO中，

Z.OBC=4ECD

Z.BOC=Z.CED,

BC=CD

・•.△OBC=AECD(AAS),

DE=OC,CE=OB；

由题意得：BC2=OB2+OC2,而。8=2,BC=V5,

・•.OC=1,DE=1,CE=2,

.,・点。的坐标为(3,1).

故选：B.

【点睛】该题以平面直角坐标系为载体，以坐标与图形的关系、全等三角形的判定及其性质的应用为考查

的核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求.

考点3：判断点所在的象限

典例3：(2023上•辽宁沈阳•八年级统考期中)下列结论正确的是()

A.点P(—1,2023)在第四象限

B.点M在第二象限，且到x轴和y轴的距离分别为4和3,则点M的坐标为(-4,3)

C.平面直角坐标系中，点P(x,y)位于坐标轴上，那么xy=0

D.已知点P(—5,6),<2(-3,6),则直线PQIIy轴

【答案】C

【分析】本题考查了点所在的象限、点到坐标轴的距离、点的坐标与图形，熟练掌握点的坐标特征是解题

关键.根据点所在的象限、点到坐标轴的距离、点的坐标与图形的特点逐项判断即可得.

【详解】解：A、点P(-L2023)在第二象限，则此项错误，不符合题意；

B、点M在第二象限，且到％轴和y轴的距离分别为4和3,则点M的坐标为(-3,4),则此项错误，不符合题

思；

C、平面直角坐标系中，点P(x,y)位于坐标轴上，那么xy=0,则此项正确，符合题意；

D、已知点P(—5,6),<2(-3,6),则直线PQ||x轴，则此项错误，不符合题意；

故选：C.

【变式1](2023上•北京•九年级北京八中校考期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(cz丰0)的图象如图所示,

则点(a,6c)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】直接根据函数图象，可以判断开口方向，对称轴的位置和抛物线与y轴交点位置，

记忆方法：开口向下，a<0,开口向上，a>0,b的符号结合对称轴位置即可判定，c的符号可直接读取.

【详解】由题可知，抛物线开口向下；

团a<0；

团对称轴式=--->0,结合a<0；

2a

配>0；

团抛物线交y轴负半轴；

0c<0；

0a<0,be<0；

团点(a,be)位于第三象限；

故选C

【变式2](2023上•福建福州•八年级校考阶段练习)在平面直角坐标系中，点P(a,b)关于y轴对称的点

Q(-2,3),点尸所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】先根据点坐标的轴对称变换可得P(2,3),再根据横坐标大于0、纵坐标大于0即可得.

【详解】解：•••在平面直角坐标系中，点P(a,b)关于y轴对称的点Q(-2,3),

.­.P(2,3),

又•••点P的横坐标2>0,纵坐标3>0,

回点P所在的象限是第一象限，

故选：A.

【点睛】本题考查了点所在的象限、点坐标的轴对称变换，熟练掌握点坐标的轴对称变换规律是解题关键.

【变式3](2023下•辽宁盘锦•七年级校考期末)点a(x,y)满足二元一次方程组\；7：[二；3的解，则点

在第()象限

A.-B.~C.三D.四

【答案】C

【分析】先解方程组，后根据点的坐标特征，确定位置即可.

【详解】电：1二3

解得,

EL4(-l,-3),

故选C.

【点睛】本题考查了解方程组，点的坐标与象限，熟练掌握解方程组，坐标与象限的关系是解题的关键.

考点4：象限点的应用一一含参

典例4：(2023上•安徽黄山•九年级统考期中)若抛物线y=-2(%+m-1)2-3租+6的顶点在第二象限，

则租的取值范围是()

A.m<1B.m<2C.m>1D.1<m<2

【答案】D

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能够熟练的利用二次函数的顶点式，得到顶点坐标是解题的关

键，利用y=-2(%+m-1尸一3血+6,可得顶点坐标为(1一TH,-3血+6),根据顶点在第二象限，即可得

到m的取值范围.

【详解】解：=-2(x+m-l)2-3m+6,

团顶点为(1-m,-3m+6),

团顶点在第二象限，

01—?71<0,-3771+6>0,

01<m<2,

故选：D.

【变式1](2023下•山东德州•七年级校考期中)已知点时(25-529-3。)在第四象限，化简-5尸+

|a—3|=()

A.8B.2aC.2D.-2

【答案】c

【分析】根据题意列出不等式组求出。的范围，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案.

【详解】解：由题意可知：

J25-5a>0

I9-3a<0'

团3VaV5,

团a—5V0,CL—3>0,

团原式=5—a+a—3

=2,

故选：C.

【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练正确求出〃的范围，本题属于基础题型.

【变式2](2023上,四川达州•八年级校考期中)已知点P(2,-3)与点QQ,y)在同一条平行于y轴的直线上,

且。在第四象限，它到x轴的距离为5,则。关于y轴的对称点坐标为()

A.(2,-5)B.(2,5)C.(—2,5)D.(—2,—5)

【答案】D

【分析】本题考查了点的坐标特征，以及点到坐标轴的距离，根据平行于于y轴的直线上的点横坐标相同，

得到x=2,再根据点到坐标轴的距离以及点的象限特征，得到丫=-5,最后利用关于y轴对称的点纵坐标

不变，横坐标互为相反数，即可得到答案.

【详解】解：•••点P(2,-3)与点Q(x,y)在同一条平行于y轴的直线上，

x-2>

•••Q(x,y)在第四象限，它到x轴的距离为5,

y——5,

<2(2,-5),

Q(2,-5)关于y轴的对称点坐标为(―2,—5),

故选：D.

【变式3](2023上.广东深圳.八年级深圳实验学校中学部校考期中)已知尸点坐标为(a,2a-6),且点尸到

两坐标轴的距离相等，则a的值是()

A.2B.6C.2或6D.-2或一6

【答案】C

【分析】根据到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程再解方程即可.

【详解】解：回尸点坐标为(a,2a-6),且点尸到两坐标轴的距离相等，

团|a|=|2a—6|,

[Ea=2a—6或a=6—2a,

解得：a=6或a=2,

故选：C.

【点睛】本题考查了点的坐标，是基础题，列出绝对值方程是解题的关键.

考点5：坐标与图形

典例5：(2023上•辽宁铁岭•八年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，4(0,-2),5(2,-4),C(4,-l).

⑴在图中作出△ABC关于％轴对称的△&&&(不写画法)；

⑵求△ABC的面积；

⑶在x轴上求作一点P,使得P4+PB的值最小.画出图形，不写画法.

【答案】⑴画图见解析

(2)5

⑶画图见解析

【分析】本题考查作图一轴对称变换，轴对称最短问题，解题的关键是：

(1)利用轴对称变换的性质作出A,B,C的对应点B],6，再依次连接即可；

(2)利用割补法列式计算；

(3)作点A关于尤轴的对称点连接B公交无轴于点P,连接P4点P即为所求.

【详解】(1)解：如图，A&B1G即为所求作的三角形；

/、111

(2)SAABC=3X4——x2x3——x1x4——x2x2=12—3—2—2=5；

(3)如图，连接a/,交汇轴于点产即可.

【变式1](2023上•辽宁沈阳•八年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，已知4(0,1),B(2,0),C(4,3).

⑴画出△4BC关于x轴对称的△&&C1；

(2)已知点P为X轴上一点，若A4BP的面积为|,求点P的坐标；

⑶若△ABD是第一象限内以4B为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点。的坐标.

【答案】⑴见解析

(2)点P的坐标为(—1,0)或(5,0)

(3)点D的坐标(3,2)或(1,3)

【分析】本题主要考查轴对称变换，等腰直角三角形的判定，以及三角形的面积：

(1)直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案；

(2)先确定AABP的高为1,根据面积为右由三角形面积公式可得底边长为3,从而可确定点P的坐标;

(3)先作出以为腰的等腰直角三角形，从而可确定点。的坐标

【详解】(1)如图，△4%的即为所作;

【变式2］（2023上・江苏•八年级专题练习）在平面直角坐标系久Oy中，对于P,。两点给出如下定义：若点

产到x、y轴的距离中的最大值等于点0到x、y轴的距离中的最大值，则称尸，。两点为"等距点”.下图中

的尸，。两点即为"等距点”.

备用图

（1）已知点A的坐标为（一3,1）,

①在点E(0,3),F(3,—3),G(2,-5)中,为点A的"等距点”的是.

②若点8的坐标为以叫小+6）,且A,B两点为"等距点"，则点B的坐标为.

(2)若A(-1,—k-3),T2(4,4fc-3)两点为“等距点”，求k的值.

【答案】⑴①E、F；@(-3,3)

(2)1或2

【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂"等距点"的定义，而后根

据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力.

(1)①找到x、y轴距离最大为3的点即可；

②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据"等距点"概念进行解答即可；

(2)先分析出直线上的点到尤、y轴距离中有4的点，再根据"等距点"概念进行解答即可.

【详解】(1)①•••点力(一3,1)到小y轴的距离中最大值为3,

•・•与A点是"等距点"的点是E、F.

②当点B坐标中到无、y轴距离其中至少有一个为3的点有(3,9)、(-3,3),(-9,-3),

这些点中与A符合"等距点"的是(-3,3).

故答案为①E、F-,②(-3,3)；

(2)丁式-1,一k-3),T2(4,4fc-3)两点为"等距点”，

①若|4k-3|<4时，则4=—k—3或一4=—k一3

解得k=—7(舍去)或k=1.

②若|4卜一3|>4时，则|4k-3|=|-k-3|

解得k=2或k=0(舍去).

根据"等距点”的定义知，卜=1或/£=2符合题意.

即左的值是1或

【变式3](2023上•四川成都•八年级校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，已知三点分别是4(0,5),

5(-5,3)，C(-3,l).

⑴试在图中作出AaBC关于x轴对称的△4/16，并写出点Bl坐标;

⑵在图中作出点尸，使PB+PC的值最小，且点尸在y轴上.

⑶已知点D(-2a-l,3a+1),且直线BD||y轴，求。点的坐标.

【答案】⑴8式一5,-3),见解析

⑵见解析

⑶£>(—5,7)

【分析】本题考查了坐标的对称及其作图，线段和最小值的作图，平行坐标轴的点的坐标计算,

(1)根据横不变，纵坐标相反，确定对称点，后依次连接即可.

(2)作出点2关于y轴的对称点连接CM,交y轴于点尸，点尸即为所求.

(3)根据直线BDIIy轴，得到—2a—l=—5,计算即可.

【详解】(1)财(0,5),8(—5,3),C(-3,l).

041(0,-5),B](—5,-3),G(-3,—S).

画图如下：

则A&B1G即为所求,且当(—5,—3).

(2)04(0,5),B(-5,3),C(-3,l).

回点8关于y轴的对称点M(5,3),

连接CM,交y轴于点P,

则点P即为所求.

(3)00(-20-1,30+1),5(-5,3),直线8。||y轴，

0-2a-1=一5,

解得a=2.

故点。(—5,7).

考点6：坐标规律

典例6：(2023上•黑龙江绥化•九年级统考期末)如图，有一系列有规律的点，它们分别是以。为顶点，边

长为正整数的正方形的顶点，4式0,1)>A2(l,1),4(1，0)、4(2,0)、4(2，2)、A6(O,2)、

4（0,3）、4（3,3）....,依此规律，点420的坐标为

【答案】（7,7）

【分析】本题考查了规律型-点的坐标：通过特殊到一般解决此类问题，利用前面正方形的边长与字母A的

脚标数之间的联系寻找规律.

根据已知条件得出坐标之间每三个增加一次，找出第20个所在位置即可得出答案.

【详解】解：•.•4式0,1）,4。，1）、4（1，0）、4（2,0）,4（2，2）、X6（0,2）、A7（0,3）、

3）....

数据每隔三个增加一次，20+3得6余2,

故第20个数据坐标一定有7,且正好是3个数据中中间那一个，

依此规律，点—o的坐标为（7,7）,

故答案为：（7,7）.

【变式1］（2023下•七年级课时练习）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与坐标轴平行，从内

至矽卜，它们的边长依次为2,4,6,8,顶点依次为&,4，&，人4,…，则顶点4024的坐标是.

A15

*

x

【答案】（506,-506）

【解析】略

【变式2］（2023上•黑龙江佳木斯•九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的边力B

与y轴正半轴重合，顶点C在%轴正半轴上，AB=2,将正六边形4BCDEF绕坐标原点。顺时针旋转，每次旋

转90。，那么经过第2023次旋转后，顶点E的坐标为.

【答案】（-3,28）

【分析】本题考查了正多边形的性质，旋转的性质以及旋转引起的坐标变化规律问题，根据正六边形的性

质及它在坐标系中的位置，求出点£的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2023次后顶点E

的坐标即可.

【详解】解：延长ED交x轴于点。,如图，

在正六边形4BCDEF中，AB=BC=CD=DE=2,AD=2,4BCD=120°,

EIZFCO=乙DCQ=30°,

0BO=DQ=1

0OC=QC=V3,

00（2=OC+QC=2A/3,EQ=ED+DQ=2+1=3,

回点E的坐标为（2次,3）,

将正六边形48CDEF绕坐标原点。顺时针旋转，第一次旋转90。后，点E的坐标为（3,-2旧）；第二次旋转90。

后，点E的坐标为（-2百,-3）,第三次旋转90。后，点E的坐标为（-3,2百），第四次旋转90。后，点E的坐

标为（2次,3）,

由此可得点E每旋转四次即回到原来位置，即四次一循环，

2023+4=505…3,

所以，正六边形经过第2023次旋转后，点E的坐标为（-3,2百），

故答案为：（-3,273）

【变式3］（2023上•江苏常州•八年级校考阶段练习）如图，弹性小球从P（2,0）出发，沿所示方向运动，每当

小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为B，

第二次碰到正方形的边时的点为P2...；第n次碰到正方形的边时的点为七，贝加2023的坐标是—.

5口丁公「6

4十二「夫

2,十一十一力

［十/%,

。|12345£

【答案】（0,2）

【分析】本题考查的是点的坐标、坐标与图形变化-对称，根据轴对称的性质分别写出点匕的坐标为、点P2

的坐标、点P3的坐标、点的坐标，从中找出规律，根据规律解答，正确找出点的坐标的变化规律是解题的

关键.

【详解】由题意得，

点Pi的坐标为（5,3）,

点P2的坐标为（3,5）,

点「3的坐标为（。，2），

点P4的坐标为（2,0），

点P5的坐标为（5,3）,

132023+4=505…3,

回点「2023的坐标为（。，2），

故答案为：（0,2）.

考点7：函数的定义

典例7:（2024下•全国•八年级假期作业）下列是关于变量的关系式:①4x-3y=2②y=|幻；③y=

④2x-y2=o.其中y是光的函数的是（）

A.①②③④B.①②③C.①③D.②④

【答案】B

【解析】略

【变式1］（2023上•安徽合肥•八年级合肥38中校考阶段练习）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（）

【答案】D

【分析】根据函数的概念即可解答.

【详解】解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的

值与其对应，那么就说y是x的函数.则只有D选项符合题意

故选：D.

【点睛】题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中有两个变量尤与y对于龙的每一个确定的值，y都有

唯一本的值与其对应，那么就说y是x的函数.

【变式2】（2022上•山东聊城・九年级统考期末）下列式子：①y=3万一5久②y=j（3）y=-1④*=

=\x\.其中y是x的函数的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】根据以下特征进行判断即可：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而

发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应.

【详解】解：①y=3%-5x,y是x的函数；

②y=5y不是x的函数；

（3）y=>Jx-1,y是x的函数；

④y2=x,当x取一个值时，有两个y值与之对应，故y不是x的函数；

（5）y=\x\.y是x的函数；

所以其中y是x的函数的个数是3,

故选：B

【点睛】本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键.

【变式3］（2022下•山东济南•七年级济南育英中学校联考期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长

度武。力与所挂的物体的重量x（像）间有下面的关系：

x(kg)012345

y(cm)1010.51111.51212.5

下列说法不正确的是（）

A.x与y都是变量，且光是自变量，y是因变量B.物体质量每增加以g,弹簧长度y增加0.5c机

C.所挂物体质量为7依时，弹簧长度为13.5cmD.y与x的关系表达式是y=0.5x

【答案】D

【分析】由表中的数据进行分析发现x与y满足一次函数关系，根据图表求出表达式，然后逐个分析四个选

项，可得出最终结果.

【详解】•••根据图表观察x与y满足一次函数关系，

二设y=kx+b,

代入（0,10）和（2,人）两点,

4B[b=10

侍：血+6=11'

解得:忆需

•••y与尤的关系表达式是y=0.5x+10,

A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故A选项正确，不符合题意；

B、由图表知，物体质量每增加1依，弹簧长度y增加0.5cm,故B选项正确，不符合题意；

C、由表达式知，当x=7时，y=13.5,即所挂物体质量为7依时，弹簧长度为13.5c如故C选项正确，不

符合题意；

D、y与尤的关系表达式是y=0.5x+10,D选项错误，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了一次函数的概念，属于基础题，能够根据所给的表进行分析变量的值的变化情况，同

时求出表达式是解题的关键.

考点8：函数的关系式

典例8：（2023下•天津滨海新•八年级统考期末）若点P（x,0）是无轴上的一个动点，它与x轴上表示3的点的

距离是y,则y关于x的函数解析式为（）

A.y=x—3B.y—3—xC.y——x—3D.y=|x—3|

【答案】D

【分析】根据距离的非负性判断即可.

【详解】根据题意，y关于x的函数解析式为y=忱-3|,

故选D.

【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，距离的非负性，熟练掌握距离的非负性是解题的关键.

【变式1】（2023下•陕西榆林•七年级统考期末）如图，在△力BC中，已知BC=8,8c边上的高线2D=5,

动点L由点C沿C8向点8移动（不与点8重合），设CC，的长为x,△4BC，的面积为S,则S与龙之间的关

525

A.S=-xB.S=5%C.S=-X+20D.S=20—x

252

【答案】D

【分析】首先设的长为》,得出BC，的长为（8-x）,然后再根据三角形的面积公式列出关系式即可.

【详解】解：设CC，的长为x,则的长为（8—x）,

■:S^ABC'=5"BCxAD,

■■-s=|x（8-x）x5=20-|x,

故选：D.

【点睛】本题考查了求函数关系式，根据实际问题确定函数关系式的关键是读懂题意，建立函数的数学模

型来解决问题.

【变式2］（2023下•福建厦门•八年级厦门市槟榔中学校考期中）已知两个变量x和y,它们之间的三组对应

值如下表所示：

X-202

y31-1

那么y关于x的函数解析式可能是（）

01

A.y=—X+1B.y=xz+x+1C.y=——D.y=—2x

JJ'x+317

【答案】A

【分析】根据函数的定义以及函数图象上点的坐标特征逐项进行判断即可.

【详解】解：A.表格中的三组％、y的对应值均满足y=-乂+1,因此选项A符合题意；

B.表格中x=0,y=1满足y=/+%+1,但％=-2,y=3与工=2,y=—1不满足y=/+乂+1,因

此选项B不符合题意;

C.表格中的三组x、y的对应值均不满足y=瞑，因此选项C不符合题意；

D.表格中的三组％、y的对应值均不满足y=-2%,因此选项D不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查函数关系式，理解函数的定义以及函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提.

【变式3］（2023・重庆•统考一模）油箱中存油40升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，剩余油量（升）

与流出时间f（分钟）的函数关系是（）

A.Q=0.2tB.<2=40-0.2tC.Q=0.2t+40D.Q=0.2t-40

【答案】B

【分析】利用油箱中存油量减去流出油量等于剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可.

【详解】解：由题意得：流出油量是0.23

则剩余油量：Q=40—0.23

故选：B.

【点睛】此题主要考查了列函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.

考点9：自变量的取值范围

典例9：（2023上•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）函数y=等的自变量尤的取值范围

是.

【答案】x>—2/—2<x

【分析】本题考查了函数的自变量、二次根式的被开方数的非负性，熟练掌握二次根式的被开方数的非负

性是解题关键.根据二次根式的被开方数的非负性求解即可得.

【详解】解：TX+Z20,

x>—2,

即函数y=等的自变量X的取值范围是X2一2,

故答案为：x>-2.

【变式1］（2023上•上海长宁•八年级上海市西延安中学校考期中）函数y=备的定义域是—.

【答案】%>3/3<x

【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等

式组，解不等式组即可求解，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键.

【详解】解：由丫=信，

0X-3>0,解得：x>3,

故答案为：x>3.

【变式2](2022下•湖北武汉•九年级校考自主招生)已知y=爷茎，求自变量式取值范围___________.

VX+6

【答案】x>一6且汽W1

【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0,零指数幕的底数不等于0列式求解即可.

【详解】解：根据题意得：(x-°,

5+6>0

解得：x>一6且无W1,

故答案为：x>—6且％H1.

【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可

取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;当函数表达式是二次根式时，考虑被开方

数为非负.

【变式3】(2022•湖北襄阳•统考一模)函数y=71』+普自变量x的取值范围是.

【答案】一2<xW1

【分析】由分母不为0结合被开方数为非负数可得｛:再解不等式组即可得到答案.

【详解】解：由题意得：f1-x-0®

%+2>0(2)

由①得：%<1,

由②得：x>-2,

所以不等式组的解集为：-2<xWl.

所以函数y=+自变量x的取值范围是—2<xW1.

故答案为：-2<%W1.

【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握"求解函

数自变量的取值范围的方法”是解本题的关键.

考点10：函数值计算

典例10:(2023上,安徽合肥•八年级合肥38中校考期中)我们有时会将关于万的函数表示为f(x)=F，其

中f⑴就表示当x=1时的函数值，即"1)=^=1-则fC)="⑴+f⑵+/(1)+/(3)+fG)+

…"m+/(；)=(结果用含〃的代数式表示，其中〃为正整数)

【答案】|/0.2n—1

【分析】本题主要考查了数字的变化规律，求函数值，求代数式的值；

(1)将x=]弋入求解即可；

(2)根据x=71和工时函数值的和，得出算式的规律，然后进行计算即可；

n

明确X=71和工时函数值的和是定值，是本题解题的关键.

n

【详解】必》=熹

1

=22+1

_1

-59

故答案为：

⑵/⑺+%)

n2(!)2

n21

=-------1------

1+n2n2+1

n2+1

n2+1

=1,

•••f⑴+A2)+f(|)+f(3)+f©)+-••+/(n)+/(i)

=/(I)+1x(n—1)

1

=-+n—1

=n——1，

2

故答案为：n—

【变式1](2022上•上海•八年级校考期中)如果f(x)=小尸，那么"4)=

yJ3—\X

【答案】-V3-2

【分析】将X=4代入f(乃=无彳计算即可得.

V3—VX

【详解】解：•."(>)=某产

V3—V%

•••f(4)=/广=-p--=(/-弋；~~T=—V3—2，

V3-V4V3-2(V3+2)(V3-2)

故答案为：一百一2.

【点睛】本题考查了求函数的值、二次根式的分母有理化，熟练掌握求函数值的方法是解题关键.

【变式2](2022上•浙江杭州•八年级校考期中)若函数y='则当函数值V=20时，自变量

%的值为.

【答案】一VT7或5

【分析】将y=20分别代入函数解析式，求出x的值，然后根据取值范围得出x的值.

【详解】解：当XW4时，贝反2+3=20时，

解得：x=±V17,

0V17>4,

0%=-V17；

当x>4时，4x=20时，

解得：%=5,符合题意，

团综上所述：x=-VI7或x=5.

故答案为：-g或5.

【点睛】本题主要考查的是求解函数自变量值，属于基础题型.根据取值范围确定自变量的值是解题的关

键.

【变式3](2022上•安徽合肥•八年级校考阶段练习)函数3),当函数自变量％=一1时，/=_；

当y=6时，x=.

【答案】61或一1/—1或1

【分析】根据函数自变量的范围，将x=-l代入2/+4,根据y=6,分别解方程6=2/+4,6=3X,结合自变

量的取值范围即可求解.

【详解】解：当函数自变量％=—1时，ffl-l<3

0y=2x2+4=2x(-l)2+4=6,

当xW3时，y=6时，6=2/+4,

解得：x=l或x=-L

当久>3,6=3支解得：x=2,舍去

取=1或x=-1,

故答案为：40,1或-1.

【点睛】本题考查了求函数自变量的值或函数值，根据平方根的定义解方程，注意自变量的取值范围是解

题的关键.

考点11:实际问题与函数图像

典例11:（2022下•甘肃白银•七年级统考期末）金鱼公园是白银市的主要城市公园，是白银市市民和外来游

客健身、休闲、娱乐的主要场所.周末小斌在这个公园里某笔直的道路上骑车游玩，先前进了。千米，休

息了一段时间，又原路返回b（6<a）千米，再前进c千米，则他离起点的距离s与时间f的关系的示意图是

（）

【答案】D

【分析】根据前进时离起点的距离S增加，休息时离起点的距离S不变，返回时离起点的距离S减少，再前

进时路程增加，即可求解.

【详解】解：由题意得，离起点的距离S先增加，然后不变，再减少，最后又增加，

故选：D.

【点睛】本题考查函数图象，理解题意，掌握路程与时间的关系是解题的关键.

【变式11（2023上•辽宁锦州•八年级统考期中）小明和小张是邻居，某天早晨，小明7：40先出发去学校，

走了一段后，在途中停下吃早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小张比小明晚出发5分钟，

乘公共汽车到学校.如图是他们从家到学校已走的路程y（米）和小明所用时间无（分钟）的函数图象.则

下列说法中不正确的是（）

A.小张乘坐公共汽车后7：48与小明相遇

B.小张到达学校时，小明距离学校400米

C.小明家和学校距离1000米

D.小明吃完早餐后，跑步到学校的速度为80米/分

【答案】A

【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象中各拐点的实际意义求解可得.

【详解】解：A、小张乘公共汽车的速度为：1000+（15-5）=100（米/分），

360+100=3.6（分）,

故小张乘坐公共汽车后7点48分36秒与小明相遇，故此选项符合题意；

B、小张到达学校时，小明距离学校1000—360—80x（15—12）=400（米），故此选项不符合题意.

C、由图象可知，小明家和学校距离1000米，故此选项不符合题意；

D、小明吃完早餐后，跑步到学校的速度为：（1000-360）4-（20-12）=80（米/分），故此选项不符合题

忌;

故选：A.

【变式2］（2022下•福建福州・八年级统考期中）函数y=㈤-1的图像大致是（）

【答案】C

【分析】根据画图像的基本步骤，画图判断即可.

【详解】回函数y=|x|-1的图像大致是

y

1X

故选c.

【点睛】本题考查了图像的画法，熟练掌握画图像的基本步骤是解题的关键.

【变式3］（2023•黑龙江绥化•统考模拟预测）一段笔直的公路2C长20千米，途中有一处休息点B,2B长15

千米，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B,原地休息半小时后，再以10千米/小时的速度匀速跑至终点C；

乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C,下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y（千

米）与时间久（小时）函数关系的图象是（

A.B.

C.

【答案】A

【分析】分别求出甲乙两人到达C地的时间,再结合已知条件即可解决问题.

【详解】解；由题意得：甲跑到8地所花费的时间为：15+15=lh,甲在B地休息的时间为0.5h,甲从B地

跑到。地花费的时间为：（20-15）4-10=0.5h,总共花费时间