直线的交点坐标与距离公式-2024-2025学年高二数学复习讲义（人教A版选择性必修第一、二册）

第06讲直线的交点坐标与距离公式

【人教A版2019】

目录

r模块一：两条直线的交点坐标

夯基期知识侬卜一模块二：距离公式

J模块三：点、线间的又端关系

r题型1直线的交点坐标问题

一题型2直线系方程

-题型3点到直线的距离公式的应用

直线的交点坐标与距离公式一题型4两条平行直线间的距离公式的应用

■—提升必考题型归纳--题型5与距离有关的最值问题

题型6点（或直线）关于点对称

J题型7点关于直缴揄

题型8直线关于直线的对称问题

课后提升练（19题）

模块一两条直绘的交点坐标

►知识梳理

1.两条直线的交点坐标

（1）两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组，/产）,了彳2=：,若方程组有唯一解，则两条直线相

交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多

解，则两条直线重合.

（2）两条直线的位置关系与方程组的解的关系

设两直线6：4x+Biy+G=0（4+母网），直线+B2y+C2=0（4+屋户。）.

方程组｛4%+屋5y+G&==0。的解

一组无数组无解

直线/1和/2的公共点个数一个无数个零个

直线1\和/2的位置关系相交重合平行

2.直线系方程

过直线/i：4x+3j+G=0与l2-.A2x+B2y+C2^0的交点的直线系方程为

4x+8j+G+M/2x+82y+C2）=0/eR,但不包括直线/2.

►题型归纳

【题型1直线的交点坐标问题】

【例1」】（23-24高二下•全国•课堂例题）直线3x-（fc+2）y+fc+5=0与直线kx+（2k—3）y+2=。相

交，则实数k的值为（）

A.k中1或kH9B.k手1或kW-9

C.kH1且/cW9D.kH1且kH-9

【例1.2］（2024高三.全国.专题练习）若直线上y=k%-遮与直线2%+3丫-6=0的交点位于第一象限,

则直线/的倾斜角的取值范围是（

A•展)B.71It

,6,2.

C.TTTTD.TT71

3‘2,、6'2,

【变式L1】（23-24高二上•重庆渝中•期中）已知直线2%+y+5=0与直线—+2y=。互相垂直，则它们

的交点坐标为（）

A.(-1,-3)B.(-2,-1)

C.JiD.(―1,—2)

【变式1.2](23-24高二下•上海•期中)直线7%+2y+1=0,2：mx+y=0,%：%+my—1=0，若三条

直线无法构成三角形，则实数血可取值的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【题型2直线系方程】

【例2.1】（23-24高二上•全国•课后作业）过两直线L：x-3y+4=0和02%+y+5=0的交点和原点的直

线方程为（）

A.3x-19y=0B.19x-3y=0

C.19x+3y=0D.3%+19尸0

【例2.2］（23-24高二上.重庆•阶段练习）经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标

轴上的截距相等的直线方程为()

A.%+y+1=0B.x—y+1=0

C.%+y+1=0或3%+4y=0D.x—y+1=0或第+y+1=0

【变式2.1](23-24高二上•全国•课后作业)经过点P(LO)和两直线k：%+2y-2=0；Z2:3x-2y+2=0交

点的直线方程为.

【变式2.2X23-24高二上.安徽马鞍山•期中)平面直角坐标系％Oy中,过直线匕:7%一3y+1=0与％：久+4y-

3=0的交点，且在y轴上截距为1的直线1的方程为.(写成一般式)

模块二N距离公式。|

►知识梳理

1.两点间的距离公式

22

平面内两点尸1,尸2(X2J2)间的距离公式为IBBI=\/(x2—x,)+(y2—Pl).

特别地，原点0到任意一点P(x,y)的距离为|。尸|=，龙2+了2.

2.点到直线的距离公式

⑴定义：

点尸到直线/的距离，就是从点尸到直线/的垂线段尸。的长度，其中。是垂足.实质上，点到直线的

距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

(2)公式：

已知一个定点尸(x。,外)，一条直线为Z:/k+Bv+C=0,则定点P到直线/的距离为心邑之普苧.

\/A2-\-B2

3.两条平行直线间的距离公式

⑴定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

(2)公式

设有两条平行直线+为+G=0,l,：Ax+By+C2=0,则它们之间的距离为无吉.

4.中点坐标公式

IX}+x2

“。=一

公式：设平面上两点尸1(修,必)，「2(%2,乃)，线段尸1尸2的中点为"(xojo)，则Jy+y.

A题型归纳

【题型3点到直线的距离公式的应用】

【例3.1】(23-24高二上.四川绵阳.期末)已知4(—2,0),B(4,m)两点到直线I：x—y+1=0的距离相等,

则m=()

A.-2B.6C.-2或4D.4或6

【例3.2]（23-24高二下•福建泉州.期中）曲线C：孙=1（%>0）上到直线x+16y+2=0距离最短的点坐

标为（）

【变式3.1]（23-24高二上・重庆・期末）己知直线。:小久—y—2zn+4=0（?n6R）与直线12：%+见^一2m—

4=0（meR）相交于点P,则P到直线x+y=0的距离d的取值范围是（）

A.[2V2,4V2]B.[2V3,4V3）C.（2加,4阀D.12Vx3企]

【变式3.2]（23-24高三上.陕西西安•期中）费马点是法国著名数学家费马于1643年提出的，根据费马的

结论可得：当AABC的三个内角都小于120。时，在AABC内部存在唯一的点P,使P到三角形三个顶点距离

之和最小,且点P满足:乙4PB=NBPC=N4PC=120。.在直角坐标系xOy内，4（2,0）,B（l,2）,△力OB的费马

点为P,则点B到直线P4的距离为（）

【题型4两条平行直线间的距离公式的应用】

【例4.1]（23-24高二上•新疆昌吉•阶段练习）两平行直线人:x-2y-V10=0,Z2:4y-2x-3V10=0之间

的距离为（）

A.芋B.3C.V5D.2V2

【例4.2】（23-24高二上•福建福州•期末）已知直线3x-4y+6=。与直线3x-4y+m=。间的距离为2,

则m=（）

A.—8或4B.4C.-4或6D.-4或16

【变式4.1]（23-24高二上.河南洛阳•阶段练习）已知点42分别是直线g2x+y—2=0与直线占4x+2y+

1=0上的点，则|4B|的最小值为（）

A.0B.V5

C.—D.-

24

【变式4.21（23-24高二上•天津和平•开学考试）已知直线久—2y+m=0（m>0）与直线％+ny—3=。互

相平行，且两者之间的距离是遮，则租十九等于（）

A.-1B.0C.1D.2

【题型5与距离有关的最值问题】

【例5.1](23-24高二上•全国•课后作业)若动点4(久1，%),8。2，%)分别在直线G：x+y—7=0^Z2：x+y-

5=0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为()

A.3V2B.2C.V2D.4

【例5.2](2024.江西上饶•模拟预测)已知a+b-7=0,c+d-5=0,则J(a+c)2+(6+d)2的最小

值等于()

A.V3B.6C.4V2D.6^/2

【变式5.1](23-24高二上•天津武清•阶段练习)已知直线方程为(2-m)x+(2m+l)y+3m+4=0.

(1)证明：直线恒过定点，并求定点坐标；

(2)加为何值时，点Q(3,4)到直线的距离最大，并求最大值.

【变式5.2](23-24高二下•上海•阶段练习)已知AABC的三个顶点的坐标分别是点4(5,1)、B(4,3)与C(0,-1),

直线m:(fc+2)x+(fc—l)y+/c-1=0(kER).

(1)求边AC所在直线I1的倾斜角和边AC上的高所在直线办的方程；

(2)记d为点4到直线小的距离，试问:d是否存在最大值?若存在，求出d的最大值:若不存在，说明理由；

模块三a点、线间的对称关系(

►知识梳理

i.点关于点的对称

求点尸关于点NM的对称点尸'的问题，主要依据/是线段尸p的中点来求解.

设尸(尤0,珀,对称中心为/(。㈤,则尸关于工的对称点为P(2a—Xo,26—

2.直线关于点的对称

求直线/关于点N46)对称的直线/'的步骤：

(1)由平行直线系设出直线/’的方程；

(2)在/上任取一点尸(X”)，求尸关于/的对称点P(2a-x,2b-yy,

⑶将P的坐标代入直线/'的方程，求出参数，得到/'的方程.

3.两点关于某直线对称

设点/(X。,外)关于直线/的对称点为B(x,y).

x+Xo=

{y=yo

x=x0

{F-

⑶直线/的斜率存在且不为0时，设点/(沏,珀关于直线//x+与+C=0的对称点为6(x,y).

kAB-ki=-\

x+x.y+y,八，由此可求出5(xj).

/A•-y-Q+p8,^—0+C=°

(4)几种特殊位置的对称:

点对称轴对称点坐标

X轴

y轴(“力)

P(a,b)

y二x(b,a)

y=-x(也-〃)

x=m(m^O)(2m-a,b)

)=〃(〃#))

4.直线关于直线的对称

直线关于直线对称有两种类型：

⑴若已知直线。与对称轴/相交于点尸，则交点尸必在(关于/对称的直线右上，再求出力上除点尸外

任意一个已知点B关于/对称的点2，那么经过交点P及点A的直线就是12.

(2)若已知直线人与对称轴/平行，贝北关于/对称的直线右到直线/的距离和乙到直线/的距离相等，由

平行直线系和对称点即可求出A关于/对称的直线".

O

5.六种常用对称关系

⑴点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为

(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(龙,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).

(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为关于直线尸-x的对称点为(-%-尤).

(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-尤,y),关于直线y=b的对称点为(无,2b-y).

(5)点(尤,y)关于点3力)的对称点、为Qa-x,2b-y).

(6)点(无,y)关于直线x+y=k的对称点为尤)，关于直线x-y=k的对称点为(Z+y,x-Z).

►题型归纳

【题型6点(或直线)关于点对称】

【例6.1](23-24高二.全国.单元测试)直线2x+3y-6=0关于点(1,1)对称的直线方程为()

A.3%—2y+2=0B.2%+3y+7=0

C.3%—2y—12=0D.2%+3y—4=0

【例6.2](23-24高二上•全国•期末)点P(l,2)在直线I上，直线人与/关于点(0,1)对称，则一定在直线人上的

点为()

A.&|)B.(-1,|)C.(-1,0)D.(1,0)

【变式6.1](23-24高二上.全国•课后作业)直线Z:2x—3y+l=0关于点2(-1,—2)对称的直线，的方程

为.

【变式6.2］（19-20高二•全国•课后作业）已知直线匕:2x+y+2=0与%：4%+by+c=0关于点P（l,0）对

称，则6+c=.

【题型7点关于直线对称】

【例7.1］（23-24高二上•山东泰安.期末）点P（2,3）关于直线x+y+2=0的对称点的坐标为（）

A.（—3,—2）B.（—2,—3）C.（—5,—4）D.（—4,—5）

【例7.2］（23-24高二上•河南•阶段练习）在△ABC中，已知4（1,1）,B（-3,-5）,若直线2%+y+6=0为

乙4cB的平分线，则直线4C的方程为（）

A.x—2y+1=0B.6x+7y—13=0

C.2%+3y-5=0D.%=1

【变式7.1］（23-24高二上•河南洛阳•期中）已知直线3%+2、-6=0分别与居丫轴交于418两点，若直线x+

y-1=0上存在一点C,使|C川+|CB|最小，则点C的坐标为（）

A.（|（）B.C.g,-|）D.

【变式7.2］（23-24高二.全国•课后作业）唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄

昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从

山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，己知军营

所在的位置为B（-2,0）,若将军从山脚下的点4Q,0）处出发，河岸线所在直线方程为x+2y=3,则“将军

饮马”的最短总路程为（）

A.叵B.5C.叵D.

333

【题型8直线关于直线的对称问题】

【例8.1］（23-24高二上•陕西西安・期中）设直线k：3x—2y—6=0,直线5％—y—4=0,贝明关于"对

称的直线方程为（）

A.3x+2y-14=0B.2%—3y—14=0

C.3x+2y—6=0D.2x—3y—6=0

【例8.2］（23-24高二上•湖北黄石•阶段练习）若两条平行直线4：久-2y+m=0（m>0）与％：2x+ny-6=

0之间的距离是2逐，则直线4关于直线"对称的直线方程为（）

A.%—2y—13=0B.x—2y+2=0

C.x—2y+4=0D.%—2y—6=0

【变式8.1］（23-24高二.全国•课后作业）已知直线—y-1=0,Z1：x-y+3=0,Z2:2x-y-1=0.

（1）求直线关于直线/的对称直线4'的方程;

（2）求直线G关于直线Z的对称直线的方程•

【变式8.2]（23-24高二上.广东广州朝中）已知直角坐标平面比Oy内的两点2（8,—6）,B（2,2）.

（1）求以向量荏为方向向量且过点P（2,-3）的直线/的方程；

（2）一束光线从点8射向y轴，反射后的光线过点A,求反射光线所在的直线方程.

A课后提升练（19题）

一、单选题

1.（23-24高二上•广东深圳•阶段练习）已知直线2%+y-3=0与直线4%-my-3=0平行，则它们之间

的距离是（）

3A/5V5厂3%n%

AA.o.—C.U.—

510105

2.（23-24高二上•四川凉山・期末）经过两条直线2%-3y+10=0和3%+4y-2=。的交点，且垂直于直

线2%-y-1=0的直线方程为（）

A.%—2y—6=0B.%+2y—2=0

C.2x—y-3=0D.2.x+y-2=0

3.（23-24高二上•湖南•期末）若三条不同的直线":ax+y+2=0,l2-.x+y-l=0,/3：久一丫+3=0不

能围成一个三角形，则a的取值集合为（）

A.{-1,1}B.{4,1}C.D.[4,-1,1）

4.（23-24高二上•四川内江•阶段练习）点P（—2,-1）到直线/：mx+y-爪一1=0的距离最大时，其最大

值以及此时的直线方程分别为（）

A.V13；3%+2y—5=0B.V1T;3%+2y—5=0

C.V13；2x—3y+1=0D.VT1；2x—3y+1=0

5.（24-25高三上・江苏苏州・开学考试）已知直线小久+y+C=O与直线久+By+C=O交于（1,1）,则

原点到直线）距离的最大值为（）

A.2B.V2C.—D.1

2

6.（23-24高二上•山东枣庄.阶段练习）已知点4（4,1）,8（0,4）,直线Z:3x—y—1=0,点P在直线I上，贝”|PB|—

|P*|的最大值为（）

A.V2B.2V2C.V5D.2

7.（23-24高三上.河南三门峡.阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，4B=2C=4,点尸是边上异于

A,8的一点，光线从点P出发经BC,CA反射后又回到点P,若光线经过△ABC的重心，则APQR的周

长等于（）

B.第

C.4V15D.也

8.（23-24高二上•上海奉贤•阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热

情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，

艺术性最强的一部分，唐代诗人李顽的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交

河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边

饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是力（2,4）,军营所在位

置为8（6,2）,河岸线所在直线的方程为x+y-3=0,若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮

马”）的总路程最短，则（）

A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x-y-8=0

B,将军在河边饮马的地点的坐标为（蔡，蓝）

C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x-6y+6=0

D.“将军饮马”走过的总路程为5

二、多选题

9.（23-24高二上•贵州铜仁•阶段练习）已知两条平行直线m,n,直线3久+4y+2=0,直线n:6x+8y+

a=0,直线小，几之间的距离为1,贝b的值可以是（）

A.-8B.-6C.12D.14

10.（23-24高二上•福建莆田•期中）以下四个命题叙述正确的是（）

A.直线2x-y+1=0在支轴上的截距是1

B.直线x+ky=0和2久+3y+8=0的交点为P,且P在直线x-y-1=0上，贝味的值是一杯

C.设点M（x,y）是直线比+y-2=0上的动点，。为原点，则|。”|的最小值是VI

D.直线L：a%+3y+1=0,L2'2%+（a+l）y+1=0,若LJ/L2，则a=-3或2

11.（23-24高二上.山西太原.期中）已知直线k：%+y=0/2：