用样本估计总体（3种核心题型 基础保分练 综合提升练 拓展冲刺练）-2025年高考数学一轮复习专项突破（原卷版）

考点59用样本估计总体

(3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练)

m【考试提醒】

1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数2能用数字特征估计总体集中趋势和总体离

散程度.

illI【知识点】

1.百分位数

一般地，一组数据的第°百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有呼的数据小于或等于这个值,

且至少有(100—〃)％的数据大于或等于这个值.

2.平均数、中位数和众数

(1)平均数：尤=^(X1+X2d----\-Xn).

(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最空圆的一个数据(当数据个数是奇数时)

或最中间两个数据的壬均数(当数据个数是偶数时).

(3)众数：一组数据中出现次数量多的数据(即频数最大值所对应的样本数据).

3.标准差与方差

如果有"个数据为，%，%3…，%那么平均数…％,标准差为：

n

22-2

S=4/—[(X]—x)~+(x9—X)H----F(xn—X)],方差：S'=—[(%,—%)+(%2—X)'H----(X—X)]

Vn-nn

知识点三：在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值

(1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数；

(2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的；

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横

坐标之和.

4.平均数，方差的线性关系：

数据平均数方差

Xs2

占+Z7,x+Z?,x+Z7•••,

23xn+bx+bs2

ar?…，

ax1,ax2,axnaxa2s2

22

axx+b,ax2+b,ax3+b•••,axn+bax+bas

【常用结论

1.若阳，入2，…，x〃的平均数为％,那么mx2+a,…，加&+口的平均数为机x+Q.

2.数据X1，%2，…，X〃与数据%J=xi+afx2'=x2+a,…，xn'=xn+a的方差相等，即数据经过平移

后方差不变.

3.若％1，X2，…，X〃的方差为$2,那么"1+6,aX2+b,,,,,的方差为〃2s2.

因【核心题型】

题型一样本的数字特征和百分位数的估计

计算一组n个数据第p百分位数的步骤

~~|按从小到大排列原始数凉

—计算i=nxp%

若i不是整数，而大于，•的比邻

-整数为j,则第p百分位数为第j

项数据

、/_若i是整数，则第p百分位数为第

-i项与第（i+1）项数据的平均数

【例题1】（2024・贵州黔南•一模）样本数据：11,12,15,13,17,18,16,22,36,30的第70百分位数

是（）

A.16B.19C.20D.22

【变式1］（2024,浙江绍兴•三模）有一组样本数据：2,3,3,3,4,4,5,5,6,6,则关于该组数据的下

列数字特征中，数值最大的为（）

A.第75百分位数B.平均数C.极差D.众数

【变式2］（2024・上海宝山•一模）某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：

9.6,9.9,9.2,9.4,9.9,10.1,10.2,9.7,9.6,9.3,10.0,10.4,则这组数据的第25百分位数为.

【变式3］（2024•上海徐汇•一模）某景点对30天内每天的游客人数（单位：万人）进行统计，得到样本的

茎叶图（如图所示），则该样本的第75百分位数是.

125

20233

3124489

455577889

50011479

6178

题型二总体集中趋势的估计

频率分布直方图中的数字特征

(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标.

(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.

(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.

【例题2】(2023・四川宜宾・二模)2022年中国新能源汽车销量继续蝉联全球第一，以比亚迪为代表的中国

汽车交出了一份漂亮的〃成绩单〃，比亚迪新能源汽车成为2022年全球新能源汽车市场销量冠军，为了解中

国新能源车的销售价格情况，随机调查了10000辆新能源车的销售价格，得到如图的样本数据的频率分布

⑴估计一辆中国新能源车的销售价格位于区间[5,35)(单位：万元)的概率，以及中国新能源车的销售价格

的众数；

⑵现有6辆新能源车，其中2辆为比亚迪新能源车，从这6辆新能源车中随机抽取2辆，求至少有1辆比

亚迪新能源车的概率.

【变式1](2024•陕西渭南・三模)某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了〃创建文明城市〃知识竞赛,

从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90]分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.

⑴请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

和中位数；

⑵该市决定表彰知识竞赛成绩排名前30%的市民，某市民知识竞赛的成绩是78,请估计该市民能否得到表

彰.

【变式2】（2024•全国•模拟预测）两家传媒公司联合开展了某市消费者2024年春节年货消费行为调查，从

调查对象中随机抽取1000名消费者，统计他们购置年货的预算（单位：元.这1000名消费者的预算都不

超过6000元），得到如下频数分布表：

预算/元(0,1000](1000,2000](2000,3000](3000,4000](4000,5000](5000,6000]

人数46027618460164

⑴根据样本估计总体，估计该市消费者2024年春节购置年货预算的平均数及中位数（结果四舍五入取整数）

（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）;

（2）利用分层抽样法从样本中购置年货预算在区间（1000,2000］,（2000,3000］的消费者中抽取5人，再从这5

人中随机抽取3人，求抽取的3人中购置年货预算在区间（1000,2000］的至少有2人的概率.

【变式3］（2024•四川•模拟预测）某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名

学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图.直方图

中a,6,c成等差数列，时长落在区间［80,90）内的人数为200.

频率/组距

a

b

0.005

O5060708090100时4/分钟

⑴求出直方图中〃，上。的值;

⑵估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）;

⑶从参加课外兴趣班的时长在［60,70）和［80,90）的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查,

再从这6人中随机抽取2人进行参加兴趣班情况的深入调查，求被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在

［60,70）和［80,90）恰好各一人的概率.

题型三总体离散程度的估计

总体离散程度的估计

标准差（方差）反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差（方差）越大，数据的离散程度越大；标

准差（方差）越小，数据的离散程度越小.

【例题3】（2024•全国•模拟预测）某厂为提高工作效率，将全厂分为甲、乙2个车间，每个车间分别设有A,

B,C,D,E5组.下表为该厂某日生产订单情况统计表，请据表解答下列问题：

ABCDE

甲车间100120150180200

乙车间50120200150180

⑴求甲、乙2个车间该日生产订单的平均数与方差，并根据方差判断哪一个车间工作效率比较稳定？

(2)设甲车间合格率为0.54,乙车间合格率为0.57,求甲、乙2个车间都不合格的概率；

⑶你认为哪个车间工作效率更高？请从平均数、方差、合格率的角度分析.

【变式11(2024•陕西安康•模拟预测)首届中国航协航空大会的一个鲜明的特色是在各个展区中设置了多项

互动体验活动，吸引了很多的中小学生，其中模拟飞行体验区是让这些中小学生戴上眼镜模拟从起飞到

降落，大大激发了他们的兴趣爱好.现从某个有互动体验的展区中随机抽取60名中小学生，统计他们的参观

时间(从进入该展区到离开该展区的时长，单位：分钟，时间取整数)，将时间分成[4。,50),[50,60),…,[90,100]

六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）由频率分布直方图，估计样本的平均数元和方差S；;（每组数据以区间的中点值为代表）

⑵为对比展区是否有体验区对中小学生的吸引程度，某工作人员给出了一份该展区中没有体验区的参观时

间的随机数据，经计算得到该组数据参观时长平均值为9=65分钟，方差为y=178,试判断有体验区的参

观时长均值比没有体验区的参观时长均值是否有显著提高？（如果了一了则认为有显著提高,

否则不认为有显著提高）

⑶利用（2）中的结果，你认为展区是否应该设置互动体验展区？请说明理由.

【变式2］（2023•河南信阳•三模）信阳市旅游部门为了促进信阳生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙，丙

三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传.该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调

查，得到了这三家民宿的"综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”

的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

。甲、乙两家民宿"综合满意度”评分的折线图：

C.甲、乙、丙三家民宿"综合满意度”评分的平均数、中位数:

⑴表中机的值是,n的值是

⑵设甲、乙、丙三家民宿"综合满意度”评分的方差分别为谓、S/、S=试比较其大小.

⑶根据"综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会

将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）.

【变式3］（2023•江西赣州•一模）双减政策落地后，五项管理原则出台.某学校为了加强落实其中的"读物管

理"，鼓励优质读物进校园，营造学校良好的阅读氛围，充分发挥课外读物帮助学生开阔视野、陶冶情操、增

长知识、启迪智慧、塑造良好品质和健康人格等方面的积极作用，决定举办"阅读经典•收获未来"知识竞赛.

班主任张老师拿到班委推选的参赛名单后，按要求需从甲、乙两人中先淘汰一人，为此特意调取了甲、乙两

人5次模拟大赛的成绩，统计结果如下茎叶图：

甲

乙

80734

5481

3902

⑴你认为派谁去参赛合适？请用统计知识说明理由：

（2）据悉，知识大赛现场有一个观众互动游戏环节：将四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水

浒传》及作者用红线连起来，求观众丙恰好连对1个的概率.

口【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

L（2024•西藏拉萨•一模）已知一组数据3,7,11,7,13,15,则该组数据的第40百分位数为（）

A.7B.9C.11D.12

2.（2022・上海松江•二模）在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给A选手打出了6

个各不相同的原始分，经过"去掉其中一个最高分和一个最低分"处理后，得到4个有效分.则经处理后的4

个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

3.（2024・四川南充・一模）甲同学近10次数学考试成绩情况如下：103,106,113,119,123,118,134,

118,125,121,则甲同学数学考试成绩的第75百分位数是（）

A.118B.121C.122D.123

二、多选题

4.（2023・海南海口,模拟预测）随着社会的发展，人们的环保意识越来越强了，某市环保部门对辖区内A、

B,C、。四个地区的地表水资源进行检测，按照地表水环境质量标准，若连续10天，检测到地表水粪大肠

菌群都不超过200个/L,则认为地表水粪大肠菌群指标环境质量稳定达到团类标准，否则不能称稳定达到回

类标准.已知连续10天检测数据的部分数字特征为：A地区的极差为20,75%分位数为180；8地区的平均

数为170,方差为90；C地区的中位数为150,极差为60；。地区的平均数为150,众数为160.根据以上数

字特征推断，地表水粪大肠菌群指标环境质量稳定达到团类标准的地区是（）

A.A地区B.8地区C.C地区D.。地区

5.(2024•广东•模拟预测)已知样本数据7,3,5,3,10,8,则这组数据的()

A.众数为3B.平均数为6.5

C.上四分位数为8D.方差为三20

三、填空题

6.(2024•陕西西安•一模)某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后

期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直

方图(如图).其中，成绩分组区间为[60,70),[70,80),区0,90),[90,100),

[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150].用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值

四、解答题

7.(高三上•黑龙江•期末)本小题满分12分)

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录

如下：

甲8281797895889384

乙9295807583809085

(0)用茎叶图表示这两组数据；

(0)现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由.

8.在十四运射击选拔赛中，某代表队甲、乙两人所得成绩如下表所示:

甲10.31010.59.9

乙9.910.110.210.1

⑴分别求出甲、乙两人成绩的平均数与方差；

⑵根据（1）的结果，你认为甲、乙两人中谁更适合参加最终比赛?

9.（2024•内蒙古赤峰•模拟预测）为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界,

赤峰市教育局组织了书香校园知识大赛，全市共有500名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间

[50,100]内，组委会将初赛成绩分成5组：[50,60b[60,70b[70,80）,[80,90）,[90,100]加以统计，得到如图所

（1）试估计这500名学生初赛成绩的平均数最及中位数（同一组的数据以该组区间的中间值作为代表）；（中位

数精确到0.01）

⑵组委会在成绩为[60,80）的学生中用分层抽样的方法随机抽取5人，然后再从抽取的5人中任选取2人进行

调查，求选取的2人中恰有1人成绩在[60,70）内的概率.

10.（2024・四川成都•模拟预测）课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重

要作用.某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒

假期间每天课外阅读平均时长/（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期

间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟.

时长f[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

学生人数5010020012525

（1）估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表）；

⑵若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在［0,20）和［20,40）的两组中共抽取

6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均

时长在［0,20）的概率.

【综合提升练】

一、单选题

L（2024•全国•模拟预测）某市2024年深入实施创新驱动发展战略，新产业新产品增势良好.调研统计了8

家企业，得到了他们的科技创新月平均新增收益如下：7.8,7.9,8.1,8.1,8.3,8.5,8.7,8.9（单位：百万元），则

其60百分位数是（）

A.8.1B.8.2C.8.3D.8.4

2.（2024•浙江宁波•一模）研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复

习时间，按照时长（单位：小时）分成五组：[2,4）,[4,6）,[6,8）,[8,10）,[10,12）,得到如图所示的频

3.（2024・吉林长春•一模）一组数据1,1,3,4,5,5,6,7的第25百分位数是（）

A.1B.2C.3D.6

4.（2024•山东荷泽•一模）已知样本数据为4、/、%、Z、4、/、处,去掉一个最大值和一个最小值

后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（）

A.极差B.平均数C,中位数D.方差

5.（23-24高三下•河南•阶段练习）高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在[50,100]

内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（）

6.（2024・甘肃白银•一模）2014年1月至9月全国城镇调查失业率依次为

5.2%,5.3%,5.2%,5.0%,5.0%,5.0%,5.2%,5.3%,5.1%,贝I］（）

A.这组数据的众数为5.3%

B.这组数据的极差为0.2%

C.这组数据的40%分位数为5.2%

D.这组数据的平均数大于5.1%

7.（2024•黑龙江哈尔滨•三模）如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图（1）形成对称形

C.图（2）的平均数（众数〈中位数D.图（3）的中位数＜平均数＜众数

8.（2023・上海普陀•一模）己知一组数据3、1、5、3、2,现加入P,4两数对该组数据进行处理，若经过

处理后的这组数据的极差为则经过处理后的这组数据与之前的那组数据相比，一定会变大的数字特

征是（）

A.平均数B.方差C.众数D.中位数

二、多选题

9.（2024・广东佛山•一模）现有甲、乙两组数据，甲组数据为：玉,马，…，玉6；乙组数据为：

3%-9,3%-9,…,3占6-9,若甲组数据的平均数为机，标准差为〃，极差为第60百分位数为6,则下列

说法一定正确的是（）

A.乙组数据的平均数为3%-9B.乙组数据的极差为3a

C.乙组数据的第60百分位数为36-9D.乙组数据的标准差为〃

10.（2024•广东,模拟预测）为了弘扬奥运会中我国射击队顽强拼博的布斗精神，某校射击兴趣小组组织了

校内射击比赛，得到8名同学的射击环数为：6,6,7,8,9,9,9,10（位：环），则这组样本数据的（）

A.极差为4B.平均数是8

C.75%分位数是9D.方差为4

11.（2024•广东•模拟预测）降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面

上积聚的水层深度，一般以毫米为单位.降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对

农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响.如图，这是两地某年上半年每月降雨量的折线统

计图.

木量米

—A地

--B地

0：：：：；；-►

0一月二月三月四月五月六月月份

下列结论正确的是（）

A.这年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大

B.这年上半年A地月降雨量的中位数比8地月降雨量的中位数大

C.这年上半年4地月降雨量的极差比8地月降雨量的极差大

D.这年上半年A地月降雨量的80%分位数比B地月平均降雨量的80%分位数大

三、填空题

12.（2024・上海普陀•模拟预测）下列说法正确的序号是.

①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本,则某个个体被抽到的概率是

0.1

②已知一组数据1,2,m,6,7的平均数为4,则这组数据的方差是5

③数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23

④若样本数据再，孙…，税的方差为4,则数据2%-1,2尤2-1,...,2%-1的方差是16

13.（2024•四川成都•模拟预测）某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取〃个学

生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），估计该校高三学生此项体育成绩的中位数

为.（结果保留整数）

14.（2024•甘肃庆阳•一模）已知一组数据1,2,3,3,5,1,6,8,则这组数据的第60百分位数为；

若从这组数据中任意抽取2个数据，则这2个数据不相等的概率为.

四、解答题

15.（2024•全国•模拟预测）某杨梅种植户从购买客户中随机抽取20位客户做质量随访调查，其中购买A系

列（大棚种植）的10位，购买3系列（自然种植）的10位，从杨梅的大小、口感、水分、甜度进行综合

打分（满分100分），打分结果记录如下：

A系列（大棚种植）：84817976958893868692

8系列（自然种植）：92958075838790808593

（1）分别写出这两个系列综合打分的中位数.

⑵分别求出这两个系列综合打分的平均数与方差，通过上述数据结果进行分析，你认为推广哪种系列种植

更合适？

16.（2024•全国•模拟预测）某市物理教研员在一次高二全市统考后为了了解本市物理考试情况，从全市高

二学生中随机抽取50名对其物理成绩（单位：分，成绩都在［30,100］内）进行统计，制成频率分布直方图

①求机的值，并以样本估计总体，求本次全市统考物理成绩的中位数；

⑵从样本中物理成绩在［30,40）与［90,100］的学生中随机抽取2人，求这2人的物理成绩均不低于90分的概

率.

17.（2024・四川德阳•二模）某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问"名学生，并对这〃

名学生的个性化作业进行评分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成[40,50）,[50,60）,[60,70）,

[70,80）,[80.90）,[90,100]六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在[70,80）的学生人数为30人.

⑴求a,”的值；

（2）估计这〃名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数.

18.（2020•重庆九龙坡•模拟预测）为应对新冠疫情，重庆市于2020年1月24日启动重大突发公共卫生事

件一级响应机制，要求市民少出门，少聚集，于是快递业务得到迅猛发展.为满足广大市民的日常生活所

需，某快递公司以优厚的条件招聘派送员，现给出了两种日薪薪酬方案，

甲方案：底薪100元，每派送一单奖励I元；

乙方案：底薪150元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励10元.

（E）请分别求出这两种薪酬方案中日薪V（单位：元）与送货单数"的函数关系式；

（0）根据该公司所有派送员10天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：

日均派送单数5054565860

频数（天）23221

回答下列问题：

①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出这10天中甲、乙两种方案的日薪X

的平均数及方差；

②结合①中的数据，根据统计学的思想，若你去应聘派送员，选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理

由.（参考数据：172=289,372=1369）

【拓展冲刺练】

一、单选题

1.（2024•贵州遵义•二模）样本数据11,12,13,15,16,13,14,15,11的第一四分位数为（）

A.11.5B.12C.12.5D.13

2.（2024・全国•二模）样本数据12,8,32,10,24,22,12,33的第60百分位数为（）

A.8B.12C.22D.24

3.（2022•黑龙江•一模）下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物（PM”）的观测值：

396275268225168166176173188168141157

若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征没有改变的是（）

A.极差B.中位数C.众数D.平均数

4.（2022・湖北荆州•模拟预测）酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区（甲、

乙、丙、丁）的酒驾治理情况进行检查督导，若"连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10",则认为"该地

区酒驾治理达标"，根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是（）

A.甲地：均值为7,方差为2B.乙地：众数为3,中位数为2

C.丙