一元二次方程根的分布问题38题（解析版）-2024-2025学年高一数学

一元二次方程根的分布问题精炼38题

一、单选题

1.（23-24高一上,福建厦门•阶段练习）关于x的一元二次方程/+（加-2）x-2机=0有两个不相等的正实数根，则加

的取值范围是（）

A.（-叫-2）U（-2,0）B.（-叫2）C.（0,2）U（2,+8）D.（-2,+<»）

【答案】A

【分析】利用一元二次方程根的分布可得答案.

【详解】因为方程%2+（m-2）x-2m=0有两个不相等的正实数根，

（W-2）"+8m>0

所以一加+2>0,解得加<0且加7-2.

-2m>0

故选：A.

2.（24-25高一上•全国裸堂例题）已知二次函数夕=（左-3）/+2x+l的图象与无轴有交点，则上的取值范围是（）

A.左<4B.k<4C.%<4且%w3D.左44且左73

【答案】D

【分析】由条件可得二次方程（左-3）尤2+2苫+1=0有解，列不等式求左的范围即可.

【详解】由已知二次方程（左-3）/+2天+1=0有解，

所以左一3x0,且4-4（"3）20,

所以上«4且4W3.

故选：D.

3.（22-23高一上•江苏扬州•阶段练习）已知一元二次方程/一加工+1=0的两根都在（0,2）内，则实数加的取值范围

是（）

A.Jg］B.2,累c.（一名一2］。2,0D.一2］口（2,||

【答案】B

【分析】设/（x）=x2-优x+1,根据二次函数零点分布可得出关于实数用的不等式组，由此可解得实数加的取值范

围.

A=m2-4>0

0<—<2解得2<m<|.

【详解】设〃x）=x2-s+l,由题意可得■2

〃0)=l>0

/⑵=-2加+5>0

因此，实数用的取值范围是2,1

故选：B.

4.（23-24高一上•甘肃武威•开学考试）关于x的一元二次方程（加-2）/+（2加+l）x+加-2=0有两个不相等的正实

数根，则加的取值范围是（）

3

A.m>—

4

B.—<m<2

4

1「

C.——<m<2

2

D.冽〉一且加。2

4

【答案】B

【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理即可求解.

【详解】根据题意可知；相-2w0=>mw2,

m—2„

---->0

m-2

2m+1八3

由韦达定理可得・------>0，解得*<2,

m-24

A=(2m+1)2-4(m-2)2>0

故选：B

5.（23-24高三上•四川•阶段练习）若关于x的方程，一2"+0+2=0在区间（-2,1）上有两个不相等的实数解，贝匹

的取值范围是（）

A.CT

c"-CO,--1^0(-1,+<»)

【答案】A

A>0

—2<〃<1

【分析】令8（力=/-2如+。+2,依题意可得，g(一2)3解得即可.

g⑴>。

【详解】令g（X）=/-2ax+a+2,因为方程x?-2赤+a+2=0在区间（一2,1）上有两个不相等的实数解,

A>0A=4a2-4(o+2)>0

—2<〃<1—2<Q<1

所以g(-2)>。,即'，解得一不＜。＜-1，

4+4a+a+2>0

g(l)>01—2a+Q+2〉0

所以a的取值范围是'gT；

故选：A.

6.（23-24高一上•河南郑州,阶段练习）已知对于实数或关于x的方程f-6+1=0有实数根,

则a是夕成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求出力的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】B：关于龙的方程/一G+I=O有实数根,

贝IJA=Q2—4>0,解得QN2或2.

因为力所表示的集合是。所表示的集合的真子集,

・•.a是分成立的必要不充分条件,

故选：B.

7.（23-24高一上•四川绵阳•阶段练习）关于工的方程――4加x+2机+6=0至少有一个负根的充要条件是（）

A.加二

B.m<—l

2

3一

C.—-1D.m<—3

【答案】B

【分析】根据题意可先求得关于％的方程——4加x+2加+6=0没有一个负根时，加的取值范围，即可得出满足题意

的小的范围.

【详解】当方程没有根时，A=16m2-8m-24＜0,即-加一3＜0,

3

解得一1＜加＜5；

A=16m2—8m—24>0

3

当方程有根，且根吃,尤2都不为负根时，可得xl+x2=4m>0,解得m>—,

xxx2=2m+6>0

综上可知加〉-1,

即关于x的方程x?-4%x+2加+6=0没有一个负根时，比>-1,

所以x?-4/MX+2"?+6=0至少有一个负根的充要条件是"74-1.

故选：B

8.（23-24高一上•山东淄博•阶段练习）已知方程2》2_（仅+1卜+加=0有两个不等正实根，则实数〃?的取值范围为

（）

A.0<m<3—35/2m>3+3^2B.m>—1

C.m>0D.0<%<3-2行或机>3+2行

【答案】D

【分析】应用二次方程根的分布等价于对应二次函数零点的分布问题，求解实数〃?的取值范围即可.

【详解】因为方程2——（机+1）》+加=0有两个不等正实根，设两根为七户2，

则等价于函数/'（x）=2x2-（加+l）x+%有两个不相等且大于0的零点,

A=(m+1)~-8m＞0

山＞0

所以=0＜切＜3-20或加＞3+2夜，

4

/(0)＞0

故选：D

二、多选题

9.（21-22高一上•江苏南通・阶段练习）一元二次方程f-4x+冽=0有正数根的充分不必要条件是（）

A.m=4B.m=5C.m=1D.m=-12

【答案】ACD

【分析】由题意利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，逐一检验各个选项，从而得出结论.

【详解】解：设f（x）=x2-4x+加，则二次函数“X）的图象的对称轴为x=2.

当加=4时，方程即X2-4X+4=（X-2）2=0,求得X=2,满足方程有正根，

但由方程,-4x+加=0有正数根,可得〃2）=吁4工0,即加W4,

故加=4是方程/-4x+加=0有正数根的充分不必要条件，故A满足条件；

当机=5时，方程即/-4X+5=（X-2）2=T,求得不满足方程有正实数根，

故机=5不是方程x2-4x+m=0有正数根的充分条件，故排除B.

当机=1时，方程即/-4工+1=（尤-2）2=3,求得X=2±VL满足方程有正根，

但由方程f-4x+根=0有正数根，可得/（2）=〃.4V。，即加（4,

故机=1方程f-4x+根=0有正数根的充分不必要条件，故C满足条件；

当加=-12时，方程即x?-4x-12=0,求得x=-2,或x=6,满足方程有正根，

但由方程/一—+根=0有正数根，可得/（2）=〃?-4<0,即〃叱4,

故爪=-12方程尤2一人+冽=0有正数根的充分不必要条件，故D满足条件，

故选：ACD.

10.（23-24高一上•吉林长春•阶段练习）已知函数了="2+瓜-3,则下列结论正确的是（）

A.关于x的不等式“+加一3<0的解集可以是何x>-3}

B.关于x的不等式办2+区一3<0的解集可以是卜|x>2或x<l}

C.函数>=0^+云一3的图象与x轴有一个交点时，/+12.可能大于0

D."关于x的方程af+6x-3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是<0"

【答案】ABC

【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，由韦达定理得到台<0,故D错误.

a

【详解】A选项，当。=0,6=-1时，一、一3<0,解集为1>一3,A正确；

3939

B选项，当。=—8=—时，—x2H—%—3<0,解得x>2或x<l,B正确；

2222

C选项，当。=0/=1时，函数>=%-3的图象与x轴有一个交点，

此时〃+12Q=1〉0,C正确；

D选项，由题意可得两根之积小于0,即史<0,解得。>0,

a

故"关于X的方程+云-3=0有一个正根和一个负根”的充要条件不是a<0,D错误

故选：ABC

U.（23-24高一上•山西太原•阶段练习）已知关于x的方程/+亦+°+3=0,贝U（）.

A.当a=2时，方程有两个不相等的实数根

B.方程无实数根的一个充分条件是-2<。<4

C.方程有两个不相等的负根的充要条件是。>6

D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是。〈-4

【答案】BC

【分析】对于A选项：利用一元二次方程的判别式即可判断；对于B选项：利用一元二次方程无实数根的条件和充

分条件的性质即可判断；对于C,D选项：利用判别式以及韦达定理即可判断；

【详解】对于A选项：当。=2时，x2+2x+5=0,此时A=22-4xlx5=-16＜0,

此时方程没有实数根，故A选项错误；

对于B选项：方程无实数根的充要条件是A=/-4xlx（a+3）＜0,即-2＜。＜6,

所以方程无实数根的一个充分条件是｛。卜2＜。＜6｝的子集，显然-2＜4符合，故B选项正确;

A=Q2-4X1X(Q+3)〉0

对于C选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是玉+工2=一。<0

xx-x2=a+3>0

解得：a＞6,故C选项正确;

A=-4xlx(〃+3)〉0

对于D选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是

再•々=〃+3<0

解得：。＜-3,故D选项错误;

故选：BC.

12.（22-23高一上•江苏南京•期末）设加为实数，已知关于x的方程加/+（机-3卜+1=0,则下列说法正确的是

（）

A.当机=3时，方程的两个实数根之和为0

B.方程无实数根的一个必要条件是相＞1

C.方程有两个不相等的正根的充要条件是0＜加＜1

D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是加＜0

【答案】BCD

【分析】逐项分析每个选项方程根的情况对应的参数冽满足的不等式，解出加的范围，判断正误.

【详解】对于A选项，冽=3时3公+1=0无实根，A错误；

对于B选项，当冽=0时方程有实根，当机时，方程无实根贝U（加-3）2-4加＜0,解得1＜加＜9,一个必要条件是

m＞1,B正确；

3一加1

对于C选项，方程有两个不等正根，则冽。0,A＞0,——＞0,-＞0,解得0＜加＜1；

mm

对于D选项，方程有一个正根和一个负根，则冽w0,—＜0,解得冽＜0,D正确；

m

故选：BCD.

13.（22-23高一上•吉林白城,阶段练习）已知关于x的方程-+（加-3）x+a=0,则下列说法正确的是（）

A.方程有一个正根和一^负根的充要条件是加＜0

B.方程无实数根的一个必要条件是机＞1

C.方程有两个正根的充要条件是0〈机VI

D.当=3时，方程的两个实数根之和为0

【答案】ABC

【分析】利用一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合充要条件的定义逐一判断即可.

【详解】关于x的方程/+（加-3）x+〃?=0中，A=（m-3）2-4〃?=疗一1。加+9,

且两根和为3-优、两根积为心.

\加2_1o加+9＞0

对A,若方程有一个正根一个负根，贝"八，解得冽＜0,故A对；

[m＜0

对B,若方程无实根，贝!）八=加2一1（）加+9＜0,解得1＜加＜9,则其一个必要条件是加＞1,故B对；

m2-10m+9＞0

对C,若方程有两个正根，则3-加＞0,解得0〈冽W1,故C对；

m＞0

对D,当加=3时，方程/+（%-3卜+冽=0可化为/+3=0,显然无实数解，故D错.

故选：ABC.

三、填空题

14.（24-25高三上・北京•阶段练习）已知方程f+（2%-l）x+4-2加=0的两根一个比2大另一个比2小，则实数加

的范围是.

【答案】m＜-3

【分析】根据给定条件，利用一元二次方程实根分布规律列式求解即得.

【详解】^f（x）=x2+（2m-i）x+4-2m,显然二次函数/（x）的图象开口向上，

而〃x）=0的两根一个比2大另一个比2小，则/（2）＜0,

即22+2（2加-1）+4-2加＜0,解得机＜一3,

所以实数小的范围是〃z＜-3.

故答案为：根＜-3

15.（23-24高一上・江苏南京•阶段练习）若下列两个方程：/+4如-4a+3=0,-+2办-2a=0至少有一个方程有

实根，则实数。的取值范围为.

3

【答案】或心0.

2

【分析】求出两个方程有实根时a的取值范围，求并集即可得到答案.

【详解】xZ+4办-4a+3=0有实根，贝U△=16a2-4（一4a+3）N0,

13

解得或。＜一],

x?+2ax-2a=0有实根，贝U△=4a2+8a20,

解得a20或aW-2,

故实数a的取值范围是或或0＜_2}=]404一3或4之0}.

3

故答案为：。4-]或。》0.

16.（23-24高一上•贵州•阶段练习）若关于x的方程/江+2》+2=0至少有一个负实根，则实数掰的取值范围

是.

【答案】（一叱：

【分析】对加=0和加*0分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解.

【详解】当加=0时，方程为2x+2=0,有一个负根,

当加*0时，加x2+2x+2=0为一元二次方程,

关于％的方程加/+2工+2=0至少有一个负根，设根为x1，x2,

当A=4-8加=0时，即加=g■时，方程为:/+2尤+2=0,解得x=-2,满足题意,

当△=4—8机＞0,即加＜工时，且修片0时,

2

7

若有一^负根，贝1|工产2=—＜0,解得机＜0,

m

2

再+"2=---<0

若有两个负根，贝”一2m，解得°<机<；，

xx=—>0-

r2m

综上所述，则实数〃7的取值范围是（-8,1],

故答案为：（-00,1].

17.（23-24高一上,江苏连云港•阶段练习）已知方程/-2如+/-4=0的一个实根小于2,另一个实根大于2,求

实数4的取值范围___________.

【答案】（0,4）

【分析】设〃耳=/-2"+/-4,结合题意，得到〃2）<0,即可求解.

【详解】设/（力=--2狈+。2-4,

因为方程/一2如+/一4=0的一个实根小于2,另一个实根大于2,

则满足/（2）=/-4"0,解得0<°<4,即实数。的取值范围为（0,4）.

故答案为：（0,4）.

18.（23-24高一上•浙江•阶段练习）若关于x的一元二次方程d+（3a-l）x+a+8=O有两个不相等的实根毛,马,且

X,<l,x2>1.则实数a的取值范围为.

【答案】a<-2

【分析】构造函数，利用一元二次方程的实根分布列式求解即得.

【详解】令函数f（x）=x2+（3a-l）x+a+8,依题意，/0）=0的两个不等实根网,々满足再<I,x?>1,

而函数图象开口向上，因此/⑴<0,则『+（3。-l）xl+a+8<0,解得"-2,

所以实数。的取值范围为a<-2.

故答案为：a<-2

19.（2024高一上•浙江宁波•专题练习）对实数加，n.定义运算"区"为：m®n=mn+n.已知关于x的方程

x2（a@x）=.若该方程有两个相等的实数根，则实数。的值是若该方程有两个不等负根，则实数。的取值

范围是—•

【答案】0a>0

【分析】首先化简x<8）S③x）,即可得到方程4（a+lW+4（a+l）x+l=0,再根据计算第一空，由根的

判别式及韦达定理得到不等式组，即可得到第二空.

【详解】因为〃③X=QX+X,

所以工㊈（〃㊈X）=x（8）（〃x+x）=X（QX+X）+（QX+X）=（〃+1）r2+（〃+1）工，

x③（Q（8）X）=-W，以（Q+I）/+^+l^x+—=0,

即4（〃+1）%2+4（Q+1）X+1=0,

4（a+l）w0

若该方程有两个相等的实数根，贝U（、2/、，解得。=0；

A=16（a+1）-16（a+l）=0

4（a+l）^0

若该方程有两个不等负根，贝卜A=16（a+l）2-16（a+l）>0,解得a>0,

1

-z—>0

、4（"+1）

所以实数。的取值范围是。>0.

故答案为：0；。>0

20.（23-24高一上•福建莆田•阶段练习）已知命题P："七eR,关于x的一元二次方程/_2&+加=0有实数根”是

真命题，则实数加的取值范围是.

【答案】m<3

【分析】根据存在性命题为真，知一元二次方程有解，列出不等式即可得解.

【详解】因为七eR,关于x的一元二次方程x2-2Gx+%=0有实数根，

所以公=（一2月）2-4%20,

解得m<3,

故答案为：〃区3

四、解答题

21.（23-24高一下•云南•阶段练习）已知二次函数〃m=/+（2左+5）x+公的解集为

（-00,,+<»）,wx2.

（1）若左=T,求占+%的值;

XxX2

（2）若不<0,受<0,求实数上的取值范围.

【答案】⑴7

（2）（-|,0）U（0,+a3）

【分析】（1）根据题意，转化为网户2是方程/+3x+l=0的两个实数根，结合根与系数的关系，以及

立应=攵土豆凸士，即可求解.

XxX2XxX2

（2）根据题意，转化为方程x?+（2左+5）x+左2=0的两个负实数根，结合一元二次方程根的分布情况，列出不等式

组，即可求解.

【详解】（1）解:当左=一1时，函数〃X）=X2+3X+1,

因为/（x）>0的解集为（-℃,占）11（工2，+00）,且无产X2，

即再户2是方程f+3x+l=o的两个实数根，可得再+%=-3,再%2=1，

贝！jX；+4_（再+了）2—2再入2_（-3）2—2x]_7

、XxX2XxX21

（2）解：因为/（x）>o的解集为（TO,XJU（X2，+°°），且工尸工2，

22

即xpx2是方程x+（2k+5）x+k=0的两个实数根,

又因为不<0,2<0,即方程/+（2左+5）x+/=o的两个负实数根，

A=（2左+5）2-4r>0

贝!|满足〈尤1+X?=-2斤一5<0,解彳导k>—）日"w0,

XxX2=〉0

所以实数%的取值范围为（-"o）U（o,+功.

4

22.（23-24高一上•上海浦东新•阶段练习）已知关于x的一元二次方程辰2-2（3"1）X+9"1=0.

⑴若上述方程的两根都是正数，求实数上的取值范围；

⑵若上述方程的两根恰有一个是正数，且左为整数，如果有直接写出实数左的取值，如果不存在，说明理由.

【答案】⑴左<0

⑵不存在，理由见详解

【分析】（1）根据两根都是正整数得出判别式及根与系数关系列不等式组求解即可；

（2）根据题意分析可知：k<0,结合韦达定理分析判断.

【详解】（1）由题意得4工0,设此方程的两实数根分别为网,马,

1

由4=4（3左一1）9一4左（9左一1）=4（-5左+1）20,解得左《不，

2(31)

由题意得再无2>°，xi+x>0,即~->0,解得左<0.

2k

k<-

5

所以实数左的取值范围左<0.

(2)不存在，理由如下：

1

由(1)可知：A=4(3左一1)9—4左(9左一1)=4(—5左+1)〉0,解得左

9左一1

且左。0,左EZ,贝!J可知左<0,此时石工2二---->0,

k

即Xi，/同号，不合题意，

所以符合条件的左不存在.

23.(23-24高一下•辽宁•期末)已知函数了=2x2-(a+2)x+a,aeR

⑴解关于尤的不等式y<o；

⑵若方程2/-(<2+2)%+”工+1有两个正实数根网户2，求上+上的最小值.

X]x2

【答案】①答案见解析；

(2)6.

【分析】(1)解含参一元二次不等式，即可得答案；

(2)根据方程2/-(a+2)x+a=x+l有两个正实数根内可得相应不等式组，进而表示出乎+宗，采用换元法结

合基本不等式即可求得答案.

【详解】(1)不等式了<0即为2/一(。+2.+。<0:.(2》一。)口一1)<0,

当a<2,即■!<1时，不等式的解集为，

当。=2,即1=1时，不等式的解集为0,

当a〉2,即羡>1时，不等式的解集为，

综上可知：当a<2时，不等式的解集为]xT<x<“，

当a=2时，不等式的解集为0,

当a>2时，不等式的解集为卜l<x<|

（2）方程2*2-（。+2.+〃=*+1有两个正实数根网,》2,

即2/-（a+3）x+a-1=0有两个正实数根xt,x2

A=(a+3)2-8(a-l)>0

Q+3-

故，x1+x2=--->0解得a>\,

Q-]八

X|X2=—~—>。

+x)2-2芯工2_/+2Q+13

所以迤+土=2

再x2XxX2x{x22(a-l)

令i一则故m2A2患t*8

fQ

当且仅当：=°即t=4,"=5时取得等号，

2t

故三+五的最小值为6.

尤］x2

24.（23-24高一上•江苏南通•阶段练习）已知方程/+（2左-l）x+左2=0,且方程有两个大于1的实数根.

（1）求实数人的取值范围；

（2）若存在实数总使（/+l*+5xN0,求实数x的取值集合.

【答案】⑴左<-2

【分析】（1）根据方程两根的分布列出不等式组求解即可；

（2）变换主元，看作关于女的一次函数，利用最大值建立不等式求解即可.

【详解】（1）方程/+（2"l）x+公=0,有两个大于1的实数根%,无2，

2

xx+x2=_?k—1）,西•4-k,

A=（2左一I1—4左2>0

由题意可得（再一1）（乙一1）〉0XyX2一(国+)+1〉0，

（再-1）+（%-1）〉0玉+4—2〉0

即竹+（21）+1>0,解得:<-2,

_（2"1）_2>0

所以实数人的取值范围是左<-2.

（2）因为/+1>0,视为关于左的单调递增的一次函数，

故只需-2（*+1）+5X>0,

即2x~-5x+2=（2x-l）（x-2）<0,

故;<x<2,得实数x的取值集合为.

25.（22-23高一上,全国•单元测试）已知关于x的方/-2x+a=0.当。为何值时,

⑴方程的一个根大于1,另一个根小于1?

（2）方程的一个根大于一1且小于1,另一个根大于2且小于3?

【答案】（1）同。<1}

⑵{止3<a<0}.

【分析】（1）根据方程根的分布，可得不等式，求得答案；

（2）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案；

【详解】（1）二次函数y=f-2x+a的图象是开口向上的抛物线,

故方程/-2x+a=0的一个根大于1,另一个根小于1,

则F-2+a<0,解得”1,所以。的取值范围是{小<1}.

（2）方程--2x+a=0的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3,

作满足题意的二次函数了=/-2x+a的大致图象,

解得-3<a<0.所以。的取值范围是{。/3<a<0}.

26.(23-24高一上•河北沧州•阶段练习)已知命题?：方程/+4x+机-1=0有两个不等的负根；命题4：方程

4x2+4x+加一2=0有实木艮.

⑴若夕为真命题，求加的取值范围；

⑵若。应两命题一真一假，求加的取值范围；

【答案】⑴(1,5)

(2){〃?13(机<5或加V1}.

【分析】(1)根据题意，由二次方程根与系数的关系可得关于加的不等式，解可得答案；

(2)根据题意，求出0为真时用的取值范围，据此分2种情况讨论，求出加的取值范围，综合可得答案

【详解】(1)根据题意，若。为真命题，即方程无2+4x+加-1=0有两个不等的负根；

A=16-4(w-l)>0

必有解可得1〈加<5,

m-1>0

即掰的取值范围为(1,5)；

(2)根据题意，对于4,命题4：方程4x?+4x+加-2=0有实数根,

则有A=16-16(w-2)对，解可得：m<3,

若夕应两命题一真一假，

fl<m<5

若。真g假，必有,，则有3<小<5,

\m>3

\m<1或%>5

若。假0真，必有，则有加W1,

\m<5

综合可得：3<7〃<5或7〃忘1,

故加的取值范围为{"力3＜"7＜5或施Wl}.

27.（23-24高一上•辽宁沈阳•阶段练习）已知关于x的一元二次方程近2一2（3左-l）x+9左-1=0.

（1）若上述方程的两根都是正数，求实数上的取值范围；

（2）若上述方程无正数根，求实数上的取值范围.

【答案】⑴发＜0

⑵得

【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列不等式求解即可得实数后的取值范围;

（2）根据二次方程的根列不等式求解即可得实数上的取值范围.

【详解】（1）关于关于x的一元二次方程丘2一2（3"1）尤+9"1=0有两根，

左w01

可得/、2/、/、，解得人工一，且左w0

A=4（3左一1）一4左（9左一1）=4（—5左+1）205

“0

k1

又两根为正根，所以西+工2＞0，再/＞0，即,2(31)］解得左＜。或人］

k

故实数上的取值范围为左＜0；

（2）由题意可知：k于0,

若A=4（3左-以-轨（9左-1）＜0,解得左〉g,此时无实数根，满足题意;

若A=4（3左一1『一4左（9左一1）20,解得左vg,且左w0,

设此时两实数根分别为M，X,,

解得净斗

则由题意得为＜0,x2<0,

综上：实数上的取值范围为人之，

28.（23-24高一上•吉林长春♦阶段练习）已知a,6eN*,c=l,关于x的方程af+6x+c=0有两个不相等的实根,

且均大于-1小于0,求6的最小值.

【答案】10

【分析】根据一元二次方程根的分布的特征得出d6满足的条件，进而通过取值范围讨论求解即可.

b2

\=b2-4QC>0a<—

4

-1<-—<0b

【详解】由题意得，2a,即a>一

2

a-b+c>0

a+l>b

c>0

因为a,6eN*,

由/>4。24,得623,

9

a<—

4

3_9

若b=3,则a>一即2<a<—,无解;

24

6Z+1>3

a<4

若6=4,则a>2即3<a<4,无解;

a+1>4

25

a<—

4

525

若6=5,则Q>一即4<。<一,贝Ua=5或Q=6,

24

Q+1>5

显然a=5时，Q+b取最小值10,

若b26,由a+l>6,得a+6>26-1211,

所以a+6的最小值为10.

2

29.（23-24高一上•江苏南京•阶段练习）已知命题P：*eR,x-ox+l<0.

⑴若。为真命题，求实数。的取值范围;

⑵命题*关于X的一元二次方程/+（〃-+2=0的一根小于0,另一根大于3,若夕、9至少有一个是真命题,

求实数。的取值范围.

【答案】⑴一2或心2

(2)a<-1或a22

【分析】（1）由题意可得A20,即可解得实数。的取值范围;

（2）求出当命题4为真命题时。的取值范围，然后考虑当夕、1均为假命题时实数。的取值范围，结合补集思想可

求得。、4至少有一个是真命题，实数。的取值范围.

【详解】（1）解：由题意，若夕为真，则A=〃2—420,解得4-2或心2.

（2）解：若9为真，x2+（«-l）x+tz-2=0^>（x+l）（x+«-2）=0,方程两不艮为一1和2—Q,

则由题意得2-4>3,所以

（—2<a<2

当。、4均为假命题时，有｛，可得-l〈a<2.

[a>-1

因此，如果0、《中至少有一个为真时，或aN2.

30.（23-24高一上•辽宁沈阳•阶段练习）已知y*-2h+2了-1.

⑴若关于x的不等式了24左-2的解集为R,求实数后的取值范围；

⑵方程y=0有两个不相等的实数根匹,X2,

①是否存在实数左使x；+x；=3再9-4成立?若存在，求出发的值；若不存在，请说明理由：

②若匹,尤2均大于零，试求左的取值范围.

【答案】⑴

⑵①不存在，理由见解析，②g〈左<1

【分析】（1）根据不等式恒成立，分类讨论，当不等式为二次不等式时转化为判别式AW0求解;

（2）①由根与系数的的关系列出方程求解；②根据两根之积大于。求解即可.

【详解】（1）由左一2可得丘2-2日一24+120,

又不等式解集为R,即分-2日-2左+120恒成立，

当左=0时，原不等式为1*0,满足题意；

当发40时，只需左>0且A=4E?-4左（一2月+1）=12左2-4左V0,

解得0〈人4；.

综上，0<^<!

（2）由题意，丘2_2履+2"1=0两个不相等的实数根为户2，

则A=4左2一4斤（2斤一1）>0,即F—左<0,解得0<女<1,

贝lj再+马=2,-x2=2-—,

2

①若存在k满足条件，则片+*=（再+x2）-2再工2=3再X2-4,

即8=5±％=1°-0，解得左=9，

k2

不满足。〈左＜1,

故不存在左使X；+X；=3XJX2-4成立.

②若为,尤2均大于零，则只需再飞=2-?＞0,

k

解得上＜0或左＞]■，又Q＜k＜1,

所以;〈发＜1.

故人的取值范围为：＜左＜1.

31.（23-24高一上•浙江宁波•阶段练习）已知函数/（》）=/+2（。+2卜+/一1.

（1）/（X）=O有两根网广2，且王＜0＜》2，求实数。的取值范围；

（2）〃X）=O有两根/衣2，且-4＜再＜尤2＜0,求实数a的取值范围.

【答案】①一

⑵一（＜a＜-1

【分析】（1）根据二次函数两根异号可得A＞0且再工2＜0,解不等式即可求得实数。的取值范围;

（2）由两根的分布范围可知A＞0,/（0）＞0,〃-4）＞0,且对称轴在（-4,0）内，解不等式即可求得结果.

【详解】（1）根据题意可知，函数/（工）=/+2（0+2）》+/_1开口向上,

A=4（a+2）2-4（a2-l）＞0

若再＜0＜工2,所以只要2I

再%2=片一1＜0

5

Q＞--

解得4；

—1＜Q＜1

因此可得，实数a的取值范围是

A=4（fl+2）2-4（a2-l）>0

/（0）=（z2-l>0

（2）依题意需满足＜2（a+2）

-4<一一----^<0

2

f（-4）=a2-8a-l>0

解得一＜"T；

即实数a的取值范围是-3<«<-1.

4

32.（23-24高一上•辽宁•阶段练习）已知关于x的方程，+4（加-1b+4/+4=0有实数根，且两根的平方和比两根

之积多84.

（1）求掰的值；

（2）若关于x的方程要三只有一个实数解，求”的值.

4x+m4x-2x

【答案】⑴加=-2

⑵〃=-1或〃=0或〃=3

【分析】（1）由判别式得力的范围，再将韦达定理代入已知关系式求解方程即可；

（2）分式方程有一个实数解转化为二次方程根的情况研究，注意排除使分式无意义的根.

【详解】（1）由关于尤的方程好+4（机-1）》+4/+4=0有实数根，

则A=16（7“一Ip-16（加2+i）zo,即mwo.

设两个实数根为%，根据题意可得x；+%；-%X2=84,

（）

x1+=-4m-1

又由韦达定理知,\2\代入上式得,

=4掰+4

222

即（国+x2）-3x^2=16（m-l）-12（m+1）=84

解得加=10或相=-2.由冽40,贝IJ加=一2.

2xH—4%n—4xW。且%

（2）由⑴得〃一2,则左丁不公Xwg,

2x（2x—1）

即:2x=Z

2x

化简为4*+4》-〃=0.且"0

当A=16+1677=0,

即〃=-1时，方程有唯一解-；，且-；w0,满足题意.

4xn+2mx

则方程只有一个实数解.

4x+m4x2-2x

将x=0,代入4%2+4x—〃=0,得〃=0,

此时，原方程只有一个实数解％=-1.

将x=g，代入它+公一〃=0,得〃=3,

3

此时，原方程只有一个实数解x=-］.

综上所述，

故〃=一1或〃=0或〃=3.

33.（23-24高一上•浙江金华•阶段练习）已知关于x的方程x2+2（m-l）x+2777+6=0,当方程的根满足下列条件时,

求加的取值范围.

⑴有两个实数根，且一个比2大，一个比2小；

⑵至少有一个正根.

【答案】⑴加＜-1

（2）m＜—\

【分析】（1）设/（%）=/+2（加-l）x+2加+6,则由题意可得，求解即可得答案；

（2）采用正难则反的原则再进行分类讨论即可.

［详解］（1）设/（%）=—+2（m-l）x+2m+6,

则由题意可得"2）=6冽+6＜0,解得加＜-1.

（2）关于x的方程*+2（加一l）x+2/+6=0无实数根时，4（m-l）2-4（2m+6）＜0,

解得一1＜加＜5,

关于x的方程/+2（加-l）x+2加+6=0有两个负实数根时，

4（m-l）2-4（2m+6）＞0

＜-2（m-l）＜0,解得加25,

2m+6＞0

所以关于X的方程*+2（加-l）x+2加+6=0无实数根时或有两个负实数根时m＞-l,

可得关于x的方程Y+2（m-l）x+2m+6=0至少有一个正实数根，则m＜-1.

34.（23-24高一上•山东潍坊•阶段练习）关于x的方程办2+、+i=o至少有一个负实根，求〃的取值范围.

【答案】

4

【分析】首先分。=0和。片0两种情况讨论，当a#0时又分为方程有一正根一负根、有两个负实根两种情况，即可

求解

【详解】①当a=0时，解得x=T,满足条件；

②当。彳0时，显然方程没有零根，由A=l-4。20,得

设方程的两个实数根为再J?

A=1-4。>0

若方程有两异号实根，贝”解得Q<0;

xx=—<0

x2a

A=1-4«>0

若方程有两个负的实根，贝！Jxx=—>0,解得。.

{2a

1

X]+%2=--<0

a

综上，若方―=。至少有一个负的实根，则。斗

35.(23-24高一上•安徽淮南•阶段练习)已知二次函数f(x)=x2+(2k+l)x+k2-2J(x)>0的解集为

(-OO,X1