向量模、夹角与坐标运算-高考数学一轮复习热点题型专项训练

专题5.1向量模、夹角投影与坐标运算

目录

一、热点题型归纳

【题型一】向量夹角1：坐标运算........................................................1

【题型二】向量夹角2：夹角锐钝........................................................2

【题型三】向量夹角3：模..............................................................3

【题型四】向量夹角4：复合型向量夹角..................................................4

【题型五】投影........................................................................5

【题型六】模与数量积..................................................................6

【题型七】范围最值....................................................................7

二、真题再现...........................................................................7

三、模拟检测..........................................................................9

综述：

1.模公式：____

\a\=\]a-a=y/x2+y2

\a\=^

|ma+rib|=+nb)1—yjm2\a|2+2mna*b+n2\b^

2.平面向量数量积公式：

(1)a-b=\a\\b\cos9o

(2)d-b=xrx2+71720

主要应用以下几个方面：

求向量的夹角，(此时五不往往用坐标形式求解)；

(1)cosO=\a\-\b\

(2)求投影，5在3上的投影是鬻

\b\

(3)五是向量垂直，则五不=0;(4)求向量6五+九3的模(平方后需求五・3).

热点题型归纳

【题型一】向量夹角1:坐标运算

【典例分析】

(2022•福建南平•高三期末)设向量々=(2,0),B=则Z与刃的夹角等于(

7157r

A.D.

7c-7~6

【提分秘籍】

基本规律

两个非零向量3、B的夹角：已知非零向量£与记况=£、OB=b,则NAO3=。叫做

一与B的夹角.

说明：

①当6=0时，Z与否同向；

②当6=万时，Z与另反向；

■JT11

③当8=5时，Z与B垂直，记4,6；

【变式演练】

1.(2021•吉林白山•高三期末(文))若向量入=(1,-1)与向量加=(-1,3)的夹角为凡贝|sin6=()

A.立B.mC.正D.或

3365

2.(2022•全国•高三专题练习)已知2=(1,0,1),4=(尤,1,-2),且ZZ=-3,则向量£与3的夹角为()

A.生B.2C.工D.2

6336

3.(2023•全国•高三专题练习)已知向量Z=(G』)，向量Z-B=(K+L6+1),则Z与5的夹角大小为

()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【题型二】向量夹角2：夹角锐钝

【典例分析】

(2023•全国•高三专题练习)若£=(x,2)1=(-3,5),且£与石的夹角是钝角，则实数x的取值范围是()

A.(―8与10

B.—00,——

3_

C.(?,+◎10

D.——,+00

3

【提分秘籍】

基本规律

用坐标或者数量积求解夹角锐钝时，要注意向量共线（同向或者反向）

【变式演练】

1.（2023・全国•高三专题练习）已知2=（1,-2）,3=（1"）,且Z与B的夹角。为锐角，则实数N的取值范围

是（）

A.B.［一叫电,+1C,OD.（田,-2）«2,口

11

2.（2022•安徽・巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量。=（1,-2）,5=（1,2）,贝广几＜手'是"日与B的夹

角为锐角''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2022•全国•高三专题练习）已知向量Z=（X,3X）,B=（-2X,1）,若2与分的夹角为钝角，则尤的取值范围

是（）

A.［。，|［B.1|,+4C.（f。）唱+"D.~厂加6皿［|，+］

【题型三】向量夹角3：模

【典例分析】工工

（2022.江苏.南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）若非零向量另满足口=收，,+2万），6,则向量£

与五的夹角为（）

【提分秘籍】

基本规律

而上向7

|ma+nb\=yl(ma+nb)1=yjm2\a+2mna*b+〃？|B/

【变式演练】

1.（2022•浙江•高三开学考试）已知向量2B满足|a1=2,出|=3,旧-2司=2小则乙与分的夹角为（)

2.（2023.全国•高三专题练习）已知非零向量正满足同=2忖,且（£-可1否，则」与分的夹角为（）

3.（2023・全国•高三专题练习）已知单位向量Z，石满足卜-0=6|£+0,贝心与万的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【题型四】向量夹角4：复合型向量夹角

【典例分析】

（2022•安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量原5满足-5|=2同，则”5与4的夹

角为（）

【提分秘籍】

基本规律

实际教学中，许多学生对于复合型向量求夹角，容易混淆不清，可以直接把复合向量设为新向量来代

入公式求解。

【变式演练】

1.（2022.河北邯郸.二模）若向量Z，B满足|Z|=2,忖=2若，且2％=3,则向量5与1-£夹角的余弦值

为（）.

A6R26「703屈

A.--D.------C.------nD,-----------

291620

2.（2022.全国•高三专题练习）己知非零向量a、5满足无B=0伍+5）.（万-5）=0,则向量方与向量a-方

夹角的余弦值为（）

A.-立B.0

2

3.（2022.辽宁锦州.一模）若月口-@=2同，则向量”5与方的夹角为（）

【题型五】投影

【典例分析】

已知向量五在向量B方向上的投影为-1,向量B在向量五方向上的投影为-右且历|=1,则忻+2b\=()

A.2V3B.4C.2D.12

河南省林州市第一中学2019-2020学年高三5月月考数学试题

【提分秘籍】

基本规律

I.”在。方向上的投影为：lalcos3=端

2.向量B在£方向上的投影：设。为人坂的夹角，则W-os。为否在％方向上的投影.

B)04

投影也是一个数量，不是向量.当。为锐角时投影为正值；当。为钝角时投影为负值；当。为直角时投

影为0；当6=0。时投影为|司；当。=180。时投影为一网.

【变式演练】

1.已知向量。3的夹角为120。，且1|=2利=3,则向量2:+3君在向量工+加方向上的投影为

()

.8736A/135n19属

A.------B.--------C.------D.---------

1313613

/rr1

2.已知向量a,。的夹角为:，且同=4,(-a+6).(2a-3Z,)=12,则向量8在向量a方向上的投影

是(

A.V2B.3C.472D.

3.已知向量4，3满足|£|=5,眄一可=6,怩+可=4,则向量B在向量五上的投影为

【题型六】模与数量积

【典例分析】

若向量14=1,W=2,卜—0=2,贝!),+石|=.

河北省唐山市第十二高级中学2019-2020学年高三下学期期末数学试题

【提分秘籍】

基本规律

平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量Z与它们的夹角是。，则数量叫)与

B的数量积，记作24,即有商石=同同♦—6(0«”欠).

规定0与任何向量的数量积为0.

说明：两个向量的数量积与向量同实数积的区别：

⑴两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos6的符号所决定.

(2)两个向量的数量积称为内积，写成£石，书写时注意符号“♦”在向量运算中不是乘号，既不能省略,

也不能用“x”代替.

(3)(a+by=ap2+2a-b+b2,(a+b)-(a—b)=a-b-

(4)在实数中，若awO,S.ab=0,则8=0,

但是在向量中，若且7坂=0，不能推出石=6,,其中cos6=0.

⑸已知实数〃、b、c(6#0),贝！J"=Ana=c,但是向量2%=不能推出Z="，

如图：商啰=忖•同-cos尸=忻卜|研，

⑹在实数中有5•沙C=e(6c),但是在向量中(£$)."=£.(讥£),

【变式演练】

1.若等边4A8C的边长为3,平面内一点M满足俞=［荏+之方，则俞•丽的值为()

A.2B.-----C.—D.—2

22

2.在△A8C中，AB=4,ZABC=30°,。是边3c上的一点，且=AD-AC,则通•通

的值为A.0B.4C.8D.-4

3.已知向量队6满足同=1,ab=-l,则小（2-6）=

A.4B.3C.2D.0

【题型七】范围最值

【典例分析】

已知向量方、6的夹角为e,\a+b\=6,卜-可=2忖则0的取值范围是（）

入入7171c171c1八八2jC

A.o<o<—B.—<e<—c.—<e<—D.o<o<——

332623

【变式演练】

1.（2022•浙江・乐清市知临中学模拟预测）平面向量漏满足|£-'=3,|£|=25|,则与2夹角最大值

时|Z|为（）

A.&B.0C.2&D.2百

2.已知向量;行满足：|「|=13,巧|=1,日-53在12,则各在"上的投影长度的取值范围是（）

1515

A.[0.—]B.[0.—]C.[―.1]D.[―,1]

13131313

3.已知向量友与电的夹角为3,|e7|=1,|^|=V2,若应7+行与3瓦+/1石的夹角为锐角，则实数4的取值

4

范围是（）

—

A—5V13-5+—13、

A,（z-----，------）B.（苫"-B）U（-百，带马

v227

-5—V13x/—5+V13

C.（一8,-^―）U（,+8）D.（-8,U,百）U（遮,+8）

2

北工真题再现

1.（•陕西・高考真题（文））已知向量1（1,机），b=（m,2）,若£/灰，则实数相等于（）

A.—^2B.y/2

C.一&或0D.0

r

2.（2022・全国•高考真题（文））已知向量。=（2,1）,6=（-2,4）,

A.2B.3C.4D.5

3.（•山东・高考真题）已知向量Z=（cos|j,sin巨，B=[cosjsi。],那么2.方等于（）

A.gB.且C.1D.0

22

4.（•山东•高考真题）已知点尸（〃4-2）在函数片题广的图象上，点A的坐标是（4,3）,那么网的值是

（）

A.MB.2A/10C.6正D.572

5.（2020・山东•高考真题）已知点4（4,3）,3（工2）,点P在函数产好_4A3图象的对称轴上，若丽,而，

则点尸的坐标是（）

A.（2,-6）或（2,1）B.（一2,-6）或（一2,1）

C.（2,6）或（2,-1）D.（-2,6）或（一2,-1）

6.（2022•全国•高考真题（理））已知向量满足1口=1,出|=6,|£-2加=3,则>7（）

A.-2B.-1C.1D.2

7.（2022•全国•高考真题）已知向量Z=（3,4）[=（1,O）,2=£+正，若<£,">=<&£>,则（）

A.—6B.-5C.5D.6

8.（2022・北京・高考真题）在△ABC中，AC=3,BC=4,NC=90。.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1,

则丽・丽的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.M,6]

9.（2022・全国•高考真题（文））已知向量々=（肛3）石=（1,机+1）.若0心则机=.

10.（2021•全国・高考真题）已知向量2+万+"=6，同=1,回=同=2,2'b+b-c+c-a=•

11.（2022.全国.高考真题（理））设向量入办的夹角的余弦值为:，且同=1用=3,则■+=

12.（2020.浙江.高考真题）设[，可为单位向量，满足|27-互区a=e[+e^,刃=34+《,设Z,B的

夹角为6,则cos?6>的最小值为.

13.（2021・浙江・高考真题）已知平面向量2,反",（2/0）满足忖=1,根=2,4石=0,（4-@・°=0.记向量之在

[是方向上的投影分别为x,y,在"方向上的投影为z,则V+V+z?的最小值为.

14.（2021・北京・高考真题）已知向量落瓦在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长

为1，则

（a+b）-c=；a-b=•

Tr

卷模拟检测

1.（2022•江苏・金陵中学模拟预测）已知向量方=（cosO,sin。），^=（0,-1）,北呜），则向量@与向量5的

夹角为（）

JTJT

A.TI—3B.----0C.3D.—F0

22

2.（2023•全国•高三专题练习）已知向量力=（2,3）,5=（%