压轴小题导数技巧：多元变量（多参）-高考数学一轮复习热点题型专项训练

专题3-4导数技巧：多元变量（多参）

目录

【题型一】多元（多参）：放缩型.........................................................1

【题型二】多元（多参）：方程与函数.....................................................2

【题型三】多元（多参：极值点偏移型....................................................2

【题型四】多元（多参）：零点多项式.....................................................3

【题型五】多元（多参）：凸凹翻转型.....................................................4

【题型六】多元（多参）：讨论最值型.....................................................5

【题型七】多元（多参）：换元型（比值换元）............................................5

【题型八】多元（多参）：切线放缩......................................................6

【题型九】多元（多参）：绝对值型max{min}或min{max}...................................6

二、真题再现...........................................................................7

三、模拟检测...........................................................................8

热点题型归纳

【题型一】多元（多参）：放缩型

【典例分析】

A-1

（2022•全国通二专题练习）设左，beR,若关于1的不等式1）+%〈近+b在（L+00）上恒成立，则~；--

k-1

的最小值是（）

A.—e1B.-----C.—不D.—e—1

e+1e

【提分秘籍】

基本规律

本题型最早源于新课标2012年导数压轴大题，处理有两个关键步骤

1.含参式子求最值

2.二次构造时，不完全是“恒成立”型，而是“存在型”

【变式演练】

1.（2022・全国•高三专题练习）已知函数""'5"+苫，若xeR时，恒有r（x）之3_?+6+6,则"+"

的最大值为

A.&B.,C.|D.e

2.（2022.全国•高三专题练习）已知函数/（x）=ln%g（x）=（a-e）x+b.若不等式/（x）Wg（x）对

A

也£（0,+8）恒成立，则士的最小值是（）

a

A.-----B.—C.—eD.e

2ee

（2019•湖北模拟）已知不等式x-31nx+Gmlnx+n（m,n^R,且n#-3）对任意实数x恒成立，则m+3

的最大值为

A、-21n2B、-ln2C、l-ln2D、2-ln2

【题型二】多元（多参）：方程与函数

【典例分析】

（2022・全国•高三专题练习）已知。，6分别满足“eJe?,Z?（ln/?-l）=e3,则。b=

【提分秘籍】

基本规律

利用方程或者不等式，进行“二次构造”求导求最值

【变式演练】

1.若关于X的不等式」竺二＞2"一在［1,+8）上恒成立，则-的最大值为__________.

1+lnx2m

2.（2022・湖北•孝昌县第一高级中学三模）若对于任意的尤，。«0,舟）.不等式*+.2a、恒成立，贝Ub

的取值范围为.

f（x）—YYUCH-（YYI〉0M〉0）

3.（2022.天津津衡高级中学有限公司高三阶段练习）已知函数依’的定义域为

m2+1n2+1

（0,+oo）,若X=1时，“X）取得最小值，则/+2+〃f+2的取值范围是.

【题型三】多元（多参：极值点偏移型

【典例分析】

（2022.全国•高三专题练习）已知方程«.*=1有两个不同的实数根%，巧（占<多），则下列不等式不成

立的是（）

211

A.玉,%>eB.%]+%2>2eC.玉一k<eT—D.x?—k>e——

【提分秘籍】

基本规律

1.极值点偏移小题是属于“大题”题型。

2.如果只是做小题，可以考虑画出草图，粗略的可以判断真假.

一般思路

1.求出函数人无）的极值点与；

2.构造一元差函数"（X）=f（x0+x）-f（x0-x）；

3.确定函数尸（%）的单调性；

4.结合尸（°）=°,判断尸（X）的符号，从而确定了（/+x）、/低。一的的大小关系

【变式演练】

1.（2019・辽宁•高三期中（文））已知函数〃“）=”一依有两个零点*4，占<%,则下面说法不E项的

是（）

A.芯+%>2B.西龙2v1

C.a<eD.有极小值点%,且玉+%<2苫0

2.（2022•全国•高三专题练习）已知/（无）=尤"*（无€氏），若x产电，且/（%）=/（尤2）,则王+%与2的关系

为

A.Xj+x2>2B.%!+x2>2C.玉+9<2D.大小不确定

3.（2022•全国•高三专题练习）若f（x）=lnx-依有两个不同零点冷三，且"〔Vx?，贝M的取值范围是

.（其中In2名0.69」。0.36）

e

【题型四】多元（多参）：零点多项式

【典例分析】

（2021•全国•模拟预测）已知函数/«=—^7,g（x）=--2x-a,若方程/（x）=g（x）有4个不同的实根引，

I%—11—1

巧，％3，乂（不〈九2<曰<九4），则。（%+%4一w）的取值范围是.

【提分秘籍】

基本规律

数形结合，利用导数画图时，要注意水平渐线与竖直渐近线

【变式演练】

e2x,x<Q

1.（2021・全国•高三专题练习（文））已知/'（%）=%3+2尤，g（尤）=<1,若函数y=/（g（x））+机（机

lnx+—,x>0

I2

为实数）有两个不同的零点巧，且可<当，则X2-X］的最小值为.

2

2.(2021.江苏.高三开学考试)己知函数/■(x)=x+ln(x-l),g(x)=xlnx,若/(%)=1+21nf,g(x2)=t,

则(占尤2-尤2乂型的最小值为.

x-a,x<0,

3.（2022.浙江•高三专题练习）设函数〃x）=已知占<%,且/（占）=〃%），若马-%的最小值

Inx,x>0,

为L则。的值为.

e

【题型五】多元（多参）：凸凹翻转型

【典例分析】

（2023•江苏・南京市中华中学高三阶段练习）已知实数%,）满足ln（4x+3y-6）-*尸2»3x+2y-6,则

尤+>的值为

A.2B.1C.0D.-1

【提分秘籍】

基本规律

凸凹翻转型常见思路，如下图

转化为两个函数的最值问题是关键，是难题

【变式演练】

1.已知函数/（x）=e*（|lnx|-〃z）-x有两个零点，则机的取值范围为（）

A.（一e,+oo）B.（-i,+oo）C.D.（0,+<»）

e

安徽省六安市第一中学、合肥八中、阜阳一中三校2019-2020学年高三上学期10月联考数学（文）试题

2.已知实数x,y满足ln(4x+3y—6)-ef-223x+2y-6,贝！|x+y的值为

A.2B.1C.0D.-1

3.已知大于1的正数,，6满足则正整数”的最大值为（）

A.7B.8C.9D.11

【题型六】多元（多参）：讨论最值型

【典例分析】

（2021・浙江・丽水外国语实验学校高三期末）已知〃，beR,满足於+=之2/-〃对任意xeR恒成立,

e

当2a+b取到最小值时，储+5=.

【提分秘籍】

基本规律

较复杂的分类讨论

【变式演练】

f（x\=--—（ae/?）,xe（0,+oo）

1.（2020.安徽省涡阳第一中学高三阶段练习（文））已知函数''"x'若存在实

数"犷使得“X）对的解集恰为E”］，则。的取值范围是.

2.（2021・四川省高县中学校高三阶段练习（文））若不等式（加+法+1卜，＜1对一切xeR恒成立，其中

为自然对数的底数，则a+6的取值范围是.

方Clh

3.设a,〃是正实数，函数〃x）=xliw,g（%）=-§+L.若存在尤0e-,b,使/'（动"人）成立，则，

的取值范围为.

浙江省金华市浙江师大附属东阳花园外国语学校2020-2021学年高三上学期期中数学试题

【题型七】多元（多参）：换元型（比值换元）

【典例分析】

已知函数F（x）=21n尤-2-ax有两个不同的零点为玉，马，若ln«匹”加恒成立，则实数加的最大值为

【提分秘籍】

基本规律

1.主要是比值代换。

2.整体代换。

【变式演练】

1.（2022•全国•高三专题练习）已知存在占，3€（0,+8）,若要使等式2为=4（尤2-2%）（111占-111工2）成立

（e=2.71828…），则实数4的可能的取值是（）

A.—B.-C.—D.0

2eee

b

2.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=lnx-依2+fct,当x>0,f（x）4O恒成立，则一的最大值

为.

2

l-x

3.（2022・全国•高三专题练习）已知x>0,y>0,x3+y3=x-y,则一二的最小值是.

y

【题型八】多元（多参）：切线放缩

【典例分析】

（2022・全国•高三专题练习）已知若关于％的不等式2%-aln尤+a-Z?N0恒成立，则成的最大值

为.

【提分秘籍】

基本规律

一般能切线放缩的，多是简单的凸函数或者凹函数

【变式演练】

1.（2020・四川•二模（理））若关于x的不等式InxV工尤,一及+1恒成立，则ab的最大值是.

a

b

2.（018・江苏南京•高三期中）存在左>0,6>。使质-2A+》21nx对任意的x>0恒成立，则丁的最小值为

[n丫+]h

3.（2020・全国•高三专题练习（文））若关于x的不等式上依恒成立，则巴的最小值是.

xa

【题型九】多元（多参）：绝对值型max{min}或min{max}

【典例分析】

（2020•浙江杭州三模）已知函数〃x）+|3x-6|（a,6eR）.当xe[0,2],/（x）的最大值为M（a,b）,

则M（a,A）的最小值为

【变式演练】

1.（2020・江苏・扬州中学高三阶段练习）设函数/（刈=卜3-办-目，xe[-l,l],其中a,6eR.若/（尤）4加恒

成立，则当/取得最小值时，的值为.

2.（2018•浙江•高三阶段练习）设函数/。）=:+办+6,若对任意的实数。和实数6,总存在%e[L3],

使得fM>m,则实数机的最大值是

3.（2022・全国•高三专题练习）已知函数/（犬）=工尤2+%-。（犬+111幻，1<—<x<—,记为

222

g（x）="（尤）-6]的最大值，则M（a,b）的最小值为.

期小真题再现

1.（全国•高考真题（文））已知函数f（x）=》3+办2+法+0,下列结论中错误的是

A.3%eR,f（Xo）=O

B.函数y=f（x）的图像是中心对称图形

C.若看是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-00,%）单调递减

D.若看是f（x）的极值点,则广（%）=0

2.（2021.全国•高考真题（理））设OHO,若x=a为函数〃》）=°@-a）2（了-6）的极大值点，则（）

A.a<bB.a>bC.abv/D.abxi2

3.（安徽•高考真题（文））函数/（X）=依3+法2+泣+1的图象如图所示，则下列结论成立的是（)

a>0,b<0,c<0,d>0

4>0,/?>0,c>0,d<0

4.（福建•高考真题（文））若a>0,b>0,且函数f（x）=4x3-ax?-2bx+2在x=l处有极值，则ab的最

大值等于

A.2B.3C.6D.9

5.(天津•高考真题(文))设函数/(刈=/+%—2,g(x)=lnx+Y—3若实数〃为满足/(。)=0,g3)=0则

A.g(a)<0<f(b)B./3)<0<g(〃)

C.0<g(a)</(/?)D./3)<g(a)<0

6.(安徽・高考真题(理))函数/(%)=火力(1-x)”在区间(0,1)上的图像如图所示，则m,n的值可能是

A.m=l,n=lB.m=l,n=2

C.m=2,n=lD.m=3,n=1

b

7.(2022•全国•高考真题(理))当九=1时，函数/(x)=〃lnx+—取得最大值—2,则/⑵二()

x

A.—1B.—C.—D.1

22

工模妈检测，

6-3

1.(2020•浙江・台州市新桥中学高三阶段练习)已知不等式小。-1)-(0+2»工3-2恒成立，则——的最

(7+2

小值为.

h27

2.(2022.全国•高三专题练习)已知logb-31oga=m(m为常数)，二的最大值为二，则加=

abee

3.已知函数/'(了)=二/,,若/(菁)=/(尤2),且占<三,关于下列命题：

(f)；(2)〃龙2)>〃-x)；(3)/(占)>/(-芭)；(4)/(%2)>/(-无2)•正确的个数为

A.1个B.2个C.3个D.4个

黑龙江省大庆市大庆实验中学2018届高三上学期期初考试数学(文)试题

乙无<°