线段中的四类动态模型解读与提分训练-2025年人教版七年级数学寒假分层作业

专题07线段中的四类动态模型

线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，

和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（与中点、和差倍分结合的动点问题；定值

问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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例题讲模型］

-------------------------1........................................................................................................................................................1

模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型.................................................1

模型2.线段上动点问题中的定值模型..........................................................5

模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型.............................................8

模型4.阅读理解型（新定义）模型...........................................................12

习题练模型］

.......................................................................................................................................................17

例题讲模型］

模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型

模型解读

1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用,

常设未知数列方程。

2、线段的动态模型解题步骤：

1）设入未知量r表示动点运动的距离；2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；

3）根据题设条件建立方程求解；4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。

模型运用

例1.（23-24七年级上.陕西西安•期末）如图，已知线段AB=20cm,点尸以每秒1cm的速度从A点沿A8向

8点运动，经过1秒后点。以每秒2cm的速度从3点沿54向A点运动，当点。到达点A时，P、。同时停

止运动，设点尸运动的时间为，秒.

,产弋______,

APQB

1I

AB

备用图1

A备用图2B

⑴当f=4时，求线段PQ的长度；（2）当f为何值时，线段尸。的长为4cm?

（3）当f为何值时，使得点Q恰好是A、B、尸中两点为端点的线段的中点？

【答案】（l）PQ=10cm⑵当/为6或g时，线段PQ的长4cm；

（3）当/为6,口或1时，使得点。恰好是A、B、尸中两点为端点的线段的中点.

【分析】本题考查的是线段的和差运算，一元一次方程的应用，理解题意，清晰的分类讨论是解本题关键.

（1）先求解当f=4时，AP=4cm,BQ=6cm,再利用线段的和差运算即可得到答案；⑵利用线段的和

差关系建立方程求解即可；（3）分三种情况：当点。为A8的中点时，当点。为尸3的中点时，当点。为好

的中点时，建立方程求解即可.

【详解】（1）解：当t=4时，AP=4cm,8。=（4一l）x2=6（cm）,

PQ=AB-AP-BQ=20-4-6=10（cm）.

（2）由题意AP=r,BQ=2（t—l^,

当点尸在点。左侧时，PQ=AB-AP-BQ=20-t-2（t-i）=4,解得r=6；

当点P在点。右侧时，PQ=AP+BQ-AB=t+2（t-^-20=4,解得仁g.

综上所述，当，为6或,时，线段PQ的长4cm.

（3）当点。为AB的中点时，Be=2（r-l）=1AB=1x20=10,解得t=6；

11194

当点。为尸2的中点时，BQ=2（r-l）=-BP=-（AB-AP）=-（20-r）,解得/=彳；

当点。为AP的中点时，AP=t=2AQ=2（AB-BQ）=2\_20-2（t-l^,解得

综上所述，当t为6,胃或子时，使得点。恰好是A、B、P中两点为端点的线段的中点.

例2.（24-25七年级上•河北衡水・期中）如图，已知数轴上A,8两点所表示的数分别为-2和8.

___III»

AOB

（1）若点A,B分别以每秒1和3个单位长度的速度向左移动，直接写出移动多少秒时，A,B两点的距离恰

好为8?（2）若尸为射线54上的一点（点尸不与A,B两点重合），M为丛的中点，N为依的中点，当点尸

在射线54上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改

变，请说明理由.（3）在第（2）问的条件下，点P所表示的数是多少时，PN=3PM1

【答案】（1）当移动1秒或9秒时，A,8两点的距离恰好为8

（2）线段的长度不发生变化，其值为5,理由见详解（3）点尸所表示的数为;或-7,PN=3PM

【分析】（1）设A、B两点移动的时间为看，然后根据题意可分当点2在点A的右侧和左侧进行分类求解即

可；（2）此题可分两种情况讨论，即分=和=两种情况求得的长即可得到答

案；（3）分当点尸在A、3两点之间运动和点尸在点A的左侧运动两种情况求得AP的长，从而求得点尸所

表示的数.

【详解】（1）解:设A、8两点移动的时间为fs,由题意可知自后点在数轴上所表示的数分别为-2-/,8-3乙

当点8在点A的右侧时，贝U有8—3r-（—2-。=8,解得：?=1；

当点8在点A的左侧时，则有-2-/-（8-3。=8,解得：『=9；

综上所述：当移动1秒或9秒时，A,8两点的距离恰好为8；

（2）解：线段"N的长度不发生变化，其值为5.

;加为久的中点，N为PB的中点，：,MP=-AP,NP=-BP,

22

分下面两种情况：①当点P在A、B两点之间运动时（如图）.

-AOM_P_N_B>

111

MN=MP+NP=-AP+-BP=-AB=5；

222

②当点尸在点A的左侧运动时（如图）.

PMAONB

111

MN=NP—MP=-BP——AP=-AB=5.

222

综上所述，线段"N的长度不发生变化，其值为5.

（3）解：当点尸在A、B两点之间运动时RV=3PM,

VMP=-AP,NP=-BP,/.AP=-BP,

223

X-.-AP+BP=10,解得：AP=-AB=I-,此时点尸所表示的数为L

422

当点尸在点A的左侧运动时PN=3PM,同理得：AP=^BP,

BP-AP^10,解得：AP=-AB=5.此时点尸所表示的数为—7.

2

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及数轴的知识，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就

是把“数，，和“形，，结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注

意培养数形结合的数学思想.

例3.（23-24七年级上.天津和平・期末）已知：如图1,M是定长线段48上一定点，C、。两点分别从

5出发以lcm/s、3cm/s的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，。在线段3”上）

«<——

।1।।।

ACMDB

图1

AMB

图2

（1）若AB=llcm,当点C、D运动了1s,求AC+MD的值；（2）若点C、D运动时，总有MD=3AC,求AM:3M

2MN

的值；（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，&AN—BN=MN,直接写出三二的值.

3AB

19

【答案】（l）7cm（2）l:3（3）§或w

【分析】本题主要考查了线段的和差问题和两点间的距离的计算，（1）计算出CM和3。的长，进而可得出

答案；（2）由AC=A〃-CM,MD=8M-5r>,MD=3AC结合（1）问便可解答；

（3）由AN>3N,分两种情况讨论：①点N在线段A3上时，②点N在的延长线上时；结合图形计算

出线段的长度关系即可求解；

【详解】（1）解：当点C、D运动了1s时，CM=1cm,BD=3cm,

AB=11cm,CM=lcm,BD=3cm,AC+MD=AB-CM-BD=ll-l-3=lcm.

（2）解：设运动时间为r,则CM=t,3£>=3f,•/AC=AM-1,MD=BM-3t,

又2WD=3AC,:.BM-3t=3AM-3t,BM=3AM,：.AM:BM^1:3；

(3)解：由(2)可得：BM=3AM,VBM^AB-AM,AB-AM=3AM,:.AM=AB,

点N在线段AB上时，如图，

IIII

AMNB

VAN-BN=MN,AN-AM=MN,：.BN=AM=-ABf:.MN=-AB,即^^=」.

423AB3

当点N在线段A5的延长线上时，如图，

।।।।

AMBN

MN2MN2

VAN-BN=MN,AN-AM=MN,.,.MN=AB,A—=1,即34=工

AB3AB3

综上所述，筌2MN的值为1:或2;.

3AB33

【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答.

模型2.线段上动点问题中的定值模型

模型运用

例1.(24-25七年级上•广东•假期作业)在数轴上点A,B,C所表示的数分别是-2,6,x(x>-2).

(1)求AB的长；(2)若点。是的中点，用含x的代数式表示。的长；(3)若点A以每秒5个单位的速度向

左运动，同时，点B以每秒20个单位的速度向右运动，点C从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，

记03的中点为E,AC的中点为F，试通过计算说明丝产的结果是定值.

【答案】(1)8⑵当-2<xV2时，CD=2-x；当x>2时，CD=x-2.(3)是定值，理由见解析

【分析】本题考查列代数式及数轴，熟知数轴上两点之间距离的计算公式是解题的关键.

(1)根据数轴上两点之间距离的计算公式即可解决问题.

(2)对点C与点。的位置进行分类讨论即可解决问题.

(3)设运动时间为用含有/的代数式分别表示出OC及所的长即可解决问题.

【详解】(1)解：因为点A,3所表示的数分别是-2,6,所以43=6-(-2)=8.

(2)解：因为点。是A3的中点，所以音^=2,则点。表示的数是2.

当-2<xV2时，CD=2—x.当x>2时，CD=x-2.

(3)解：设运动的时间为/,则点C运动后对应点所表示的数为"点A运动后对应点所表示的数为-2-57,

点B运动后对应点所表示的数为6+20f,

因为的中点为E,所以点E所表示的数为3+10J

因为AC中点为尸，所以点尸所表示的数为-1-23

所以AB=6+20f_（-2-57）=8+25，，OC=t,EF=4+12t,所以="25—=2.

EF4+12?

例2.（23-24七年级上•湖北武汉•期末）如图（1）所示，已知直线/上有E,/两点，EF=15cm,有一根木

棒A8放在直线/上，将木棒沿直线/左右水平移动.当点8与尸重合时，点A刚好落在点8移动前的位置,

当点A与E重合时，点B刚好落在点A移动前的位置.

I（（D）（5）

~~EABFC_EAF

图⑴图⑵

（1）直接写出木棒A3的长；（2）木棒AB在射线所上移动的过程中，当=时，求AE的长；

（3）另一根木棒C。长为3cm,A3和CD在直线/上的位置如图（2）所示，其中点。与E重合，点8与尸重

合.木棒A5以3个单位长度/秒的速度向左移动，木棒。以2个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出

发，设运动时间为/秒，若式子AD+3C的值为定值，请直接写出此时f的取值范围，并写出这个定值.

【答案】（^l）5cm；（2）8cm或/~cm；（3）2<?<—,定值为8cm.

【分析】（1）根据题意可得A3的长等于硬的三分之一，即可求解；

（2）设AE=xcm,分点B在点尸左侧和右侧两种情况列方程求解即可；（3）由式子AD+3C的值为定值

可判断出木棒CD和木棒AB重叠，分别求出点E与点A重合和点E与点尸重合的时间，即可求出/的取值范

围，由木棒CD和木棒A8重叠可得AD+3C的值为定值即为AB+CD的值；本题考查了一元一次方程的应

用，根据题意，找到等量关系，并运用分类讨论的方法分别列出方程是解题的关键.

【详解】（1）解：由题意可得，AB=|£F=|xl5=5cm；

（2）解：设AE=xcm,当点8在点尸左侧时，的=15—x—5=10-x,

；AE=4BF,：.x=4（10-x）,解得x=8,AAE=8cm：

当点3在点下右侧时，BF=5-（15-x）=x-10,

/、4040

*.*AE=4BF,x=10）,解得x=/.AE=-^-cm；

40

AE1的长为8cm或cm；

（3）解：由题意可得，当木棒8和木棒AB重叠时，式子AD+3c的值为定值,

定值即为AB+CD=5+3=8cm,

当点E与点A重合时，2r+3r=15-5,解得f=2；

当点E与点尸重合时，2r+3r=15+3,解得f=w；

.•.当24区不时，式子AD+3C的值为定值，定值为8cm.

例3.（2024七年级上•重庆・专题练习）如图①，已知线段AB=〃z,CD=n,线段CO在射线AB上运动（点

A在点B的左侧，点C在点。的左侧），且|利-14|+（7-〃）2=0

AB~

图①

ABCD~

图②

（1）若BC=4,求的长.（2）当C。在线段的延长线上时，如图②所示，若点MN分别是线段AD,BC

的中点，求的长.（3）当C。运动到某一时刻，使得点。与点2重合时，若点尸是线段45延长线上任意

一点，请判断f是否为定值,并说明理由.

7

【答案】（1）17或25⑵万⑶是，见解析

【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解

决问题的关键.先根据非负数的性质求出加=14,〃=7,则AB=14,CD=T.

⑴若3C=4,则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则&）=CQ-BC=3,根据">=AB+8D可

得AD的长；②当点C在点8的右侧时，根据AD=AB+3C+C£>可得AD的长；

11

（2）设BC=a,贝UAD=AB+3C+CD=21+a,根据线段中点定义得，AM=-AD=-（21+a）,

BN=-BC=-a,JMH^BM=AM-AB=-（a-l）,由此可得M2V的长；

222V7

（3）设PB=t,根据点。与点2重合，点C在点。的左侧得点C在线段钻上，再根据点尸在线段A3的

延长线上画出图形，结合图形得以=14+1,PC=7+心则R4+EB=2（7+t）,据此可得出结论.

【详解】⑴解：，•1〃?T4|20,（7-n）2>0,|m-14|+（7-n）2=0,

.二机—14=0,7—〃=0,解得：m=14,〃=7,/.AB=m=14,CD=〃=7,

若5c=4,则有以下两种情况，①当点C在点3的左侧时，如图1①所示:

AC~B^

图1-©

•.•AB=14,CD=7,BC=4,BD=CD-BC=7-4=3,..AD=AB+BD=14+3=17；

②当点C在点B的右侧时，如图1②所示：

AB~CD~

图1-@

vAB=14,CD=7,3C=4,..AD=AB+3C+CD=14+4+7=25；

综上所述：线段AO的长为17或25.

(2)解：设BC=a,如图2所示：

ABMNCD~

图2

:.AD=AB+BC+CD=\4+a+l=21+a,:点M,N分别是线段A£),BC的中点，

:.AM=-AD=-(2\+a),BN=-BC=-a,：.BM=AM-AB=-(21+«)-14=-(fl-7),

222222

ii7

：.MN=BN-BM=-a——(a-7]=~；

22VJ2

pA_i_PR

(3)解：pg为定值，理由如下：设尸3=乙

•••点。与点B重合，点C在点。的左侧，.•.点C在线段AB上，

又•.•点P在线段的延长线上，如图3所示：

ACB(D)P~

图3

?.PA=AB+PD=14+t,PC=CD+PB=l+t,：.PA+PB=14+t+t=2(l+t),

PA+PBPA+PB

-----------=2.为定值.

PCPC

模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型

模型运用

例1.（2023•江苏南通•七年级月考）如图,数轴上点A,C对应的实数分别为-4和4,线段AC=8cm,AB=2cm,

CD=4cm,若线段AB以3cm/秒的速度向右匀速运动，同时线段8以1cm/秒的速度向左匀速运动.

111■»

AB0CD

（1）问运动多少秒时BC=2cm?（2）线段AB与线段8从开始相遇到完全离开共经过多长时间?

（3）尸是线段AB上一点，当B点运动到线段。上时，是否存在关系式如-AP=3PC.若存在，求线段尸£（

的长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）1秒或2秒；（2）1.5秒；（3）存在，3.5或5.

【分析】（1）分点8在点C的左边和点8在点C的右边两种情况讨论；

（2）所走路程为这两条线段的和，用路程，速度，时间之间的关系可求解；

（3）随着点8的运动，分别讨论当点2和点C重合、点C在点A和3之间及点A与点C重合时的情况.

【详解】（1）设运动f秒时2c为2单位长度，

①当点8在点C的左边时，由题意得：3t+2+t=6,解得：7=1；

②当点B在点C的右边时，由题意得：3t—2+t=6,解得：t=2.

综合①②得：当运动1秒或2秒时BC=2；

（2）•；AB=2,点A在数轴上表示的数是7,点C在数轴上表示的数是4,

BC=6,而6+（3+1）=1.5（秒），，线段A3与线段CZ）运动1.5秒后相遇，

又AB+CD=2+4=6,6+（3+1）=1.5（秒），

线段A3与线段C。从开始相遇到完全离开共经过L5秒长时间；

（3）存在3O-AP=3PC,设运动时间为f秒，

①当，=（4+2）+（3+1）=1.5时，点8和点C重合，BD=CD=4,

•・•点P在线段A8上，0<PC<2,APA+3PC^PA+PB+2PC^AB+2PC^2+2PC,

.,.当PC=1时，BD=AP+3PC,BPBD-AP=3PC；此时PD=5,

②当1.5<f<2.5时，点C在点A和点B之间，0<PC<2,

当点P在线段BC上时，

BD=CD-BC=4-BC,AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC,

；.4—BC=2-BC+4PC,PC=0.5,BD=AP+3PC,故PD=3.5时，BD—AP=3PC,

③当f=2.5时，点A与点C重合，0<PCV2,

BD=CD-AB=2,AP+3PC=4PC,■-4PC=2,■-PC=0.5,

BD=AP+3PC,故3D—AP=3PC,此时正£>=3.5,

综上，线段尸。的长为3.5或5.

【点睛】本题以线段和差为题考查了一次方程的应用；读懂题意，分类列方程解决问题是解题的关键.

例2.（23-24七年级上•江苏泰州・期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完

美结合.已知结论：数轴上点43表示的数分别为久b,则43两点之间的距离AB=|a-W；线段A3的

中点表示的数为管.

【知识运用】（1）点A3表示的数分别为久b,若。与-"互为倒数，，与-7互为相反数.则A、2两点

之间的距离为；线段A3的中点表示的数为.

【拓展迁移】（2）在（1）的条件下，动点尸从点A出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，动点。从

点B出发以每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，点M是线段尸。的中点.

①点"表示的数是（用含/的代数式表示）；

②在运动过程中，点A、P、。中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间入

③线段尸Q、3的长度随时间/的变化而变化，当点。在点尸左侧时，是否存在常数机，使〃zPQ+AM为定

值？若存在，求常数加及该定值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴12；1；（2）①1-4於②1.5或亍；③存在，加=-2,此时定值加PQ+A〃=18.

【分析】（1）根据题意，求出。、6,再根据结论解答即可求解；

（2）①根据题意，表示出/秒后点P、。表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可；

②根据线段中点计算公式分三种情况解答即可求解；

③根据两点之间的距离公式求出PQ、AM,得到根PQ+A〃=（2%+4"-12"-6,当2m+4=0时即可求出

常数加的值，进而求出定值.

【详解】解：（1）与-（互为倒数，6与-7互为相反数，

a--5,6=7,AB=|-5-7|=12；

线段48的中点表示的数为三吆=1；故答案为：12；1；

（2）①f秒后，点P表示的数为-5-3入点。表示的数为7-5/,

•.•点M是线段PQ的中点，...点M表示的数是；〃=1-今,故答案为：1-书；

②当点P为4Q中点时，则2（-5-3。=7-5-5,解得/=-12,不合，舍去；

当点A为尸、。中点时，则2x（—5）=—5—3t+7—5t,解得r=L5；

当点。为尸、A中点时，贝42x（7—5。=一5—3/5,解得，=今；...运动时间I的值为1.5或一：

③当点。在点尸左侧时，尸。=-5-3/-（7-5。=2/-12,⑷W=-5-（l-4。=4/一6,

/.mPQ+AM=m（2r-12）+4r-6=（27〃+4）r-12〃?-6,

当2〃z+4=0时，/.m=-2,止匕时，定值”?PQ+AM=-12x(-2)—6=18.

【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段中点计算公式，掌握两点间的距离计算公式和线

段中点计算公式是解题的关键.

例3.(2024•广西桂林•七年级期末)如图，在直线A8上，线段AB=24,动点P从A出发，以每秒2个单

位长度的速度在直线上运动.M为AP的中点，N为8尸的中点，设点尸的运动时间为f秒.

AMPNB

-AB

(1)若点P在线段AB上的运动，当正知=10时，PN=；(2)若点尸在射线A2上的运动，当PM=2PN

时，求点尸的运动时间f的值；(3)当点尸在线段A8的反向延长线上运动时，线段48、PM、PN有怎样的

数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由.

【答案】(1)PN=2(2)8或24(3)PN-PM=：A3,见解析

【分析】(1)根据题中条件直接计算即可求解；

(2)分点尸在线段43上运动和线段A3的延长线上运动进行讨论，从而求解；

(3)先将尸m和PN表示出来，再求出线段A3、PM、PN之间的数量关系.

(1)解：：M为AP的中点，PM=10,：.AP=20,

•..线段AB=24,N为8尸的中点，；.PN=(24-20)+2=2.故答案是：2；

(2)解：①当点P在线段A8上，PM=2PN时，如图，

~~AMP_NB

•：PM^AM=^AP^t,PN=BN=；BP=g(AB—AP)=12—t,：.t=2(12-t),解得：r=8.

②当点尸在线段48的延长线上，PM=2PN时，如图，

~AMBNP

,：PM=AM=^AP=t,PN=BN=3BP=；(AP-AB)=t-12,.•"=2«—12),解得：r=24.

综上所述，当尸加时，点尸的运动时间r的值为8或24.

(3)解：当点P在线段A8的反向延长线上时，PN-PM=-AB,

2

PM__ANB-

PM^AM=-AP,PN^BN^-BP=-(AP+AB)^-AP+-AB,

22222

/.PN-PM=-AP+-AB--AP=-AB.

2222

【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键.

模型4.阅读理解型(新定义)模型

模型运用

例1.(24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)【新知理解】如图①，点C在线段48上，图中共有三条线

段AB、AC和3C,若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段A3的“巧点”.

(1)线段的中点这条线段的“巧点”(填“是”或“不是”)；

(2)若AB=12cm,点C是线段的巧点，则AC最长为cm；

【解决问题】(3)如图②，已知AB=12cm,动点尸从点A出发，以2cm/s的速度沿A8向点B匀速移动；

点。从点8出发，以lcm/s的速度沿54向点A匀速移动，点尸、。同时出发，当其中一点到达终点时，运动

停止，设移动的时间为〃s).当/为何值时，尸为A、。的巧点？说明理由.

AcB

图①

।__।

AB

图②

।__।

AB

图②备用图

।_____।

AB

图②备用图

【答案】(1)是；(2)8；(3)当/为3s或了s或ys时，尸为A、。的巧点

【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用.

(1)根据“巧点”的定义解答即可；

2

(2)点C为线段AB的巧点，则AC最长时，满足AC=23C,即AC=]AB,即可求解;

⑶根据“巧点”的定义，分为”=2P。或尸0=24尸或AP=PQ,三种情况，分别计算即可求解.

【详解】（1）解：•••点C在线段A8上，点C为线段的中点，

，AB=2AC,.•.点C是线段AB的的“巧点”，故答案为：是.

（2）解：点C在线段AB上，点C为线段A3的巧点，.•.则AC最长时，满足AC=23C,

2

BPAC=—AB,AC=8cm,故答案为:8.

（3）解：f秒后，AP=2t>=12—t,PQ=AQ—AP=12—t—2t=12—3t,

,:P为A、。的巧点；.AP=2PQ或尸Q=2AP,或AP=PQ,

当AP=2PQ时，2?=2（12-3/）,解得：t=3,

12

当尸0=2"时，12-3r=2x2/,解得：t若,

12

当AP=P。时，12-3f=2f,解得：t=—,

...当f为3s或112s或12时，p为A、。的巧点.

AT

例2.（23-24七年级上.江苏泰州・期末）【概念学习】点C在线段A8上，若警=%则称〃是点C在线段A3

AB

上的“分点值”，记作（A-8）c=a.例如，如图1,若婴=：，则点C在线段上的“分点值”是。，记作

AB33

（A^B）c=|；若器=g，则嘿=|，故点O在线段48上的“分点值”是|，记作（Af町

I-------1----------1---------------1illII

ACDBACPDB

图1图2

【理解与应用】（1）已知点C在线段48上.若AB=9,AC=4.5,贝。；

2

若3C=6,（A^B）c=-,则AB=.

（2）如图2,线段AB=24cm,尸是线段AB上一点，C、。两点分别从点P、8出发以lcm/s,2cm/s的速

度同时向点A运动，运动的时间为犯，当其中一点到达点A时，两点都停止运动.

①若点。在尸3上运动时，总有PD=2AC,求出（A->3）p的值；

17

②若（A-则当/为何值时，（A-P）c+（Pf

③若/=7s时，CD=1cm,则（AfB）p=.

1i?3

【答案】⑴万；18（2）①§；②/=3s；③］或1

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段的数量关系，解题关键在于理解新定义，根据新定义列出

方程即可.（1）根据新定义，列出式子即可.（2）①设PC=7,BD=2t,表示出AC,列式子求解.

②根据定义，（A-P）c+（P-2）。=不+=，表示出AC，尸。即可求解.③分两种情况进行讨论，一个

cuAPPB

是当C在。的左侧时，一个当C在。的右侧时，根据新定义列出式子，进行求解.

451

【详解】（1）解：若AB=9,AC=4.5,贝=嚓=三=

'/cAB92

7AC?

若3C=6,（A-8）C=4,贝U（A-B）C=菽=4，

JAoJ

VBC=6,AC+BC=AB：.AB-AC=6.

,：2AB=3AC：.AB=18.故答案为：-；18；

2

(2)①尸C=f,BD=2t.VPD=2AC,：.AC+PC+PD+BD=AC+t+2AC+2t=24.

APAC+PC8—/+♦1

：.AC=8-/..

AB24243

Ap1

AP=6,则尸B=AB-AP=24-6=18.

AC=6-t,PD=PB—BD=18—2t,

A_C_________P__]D__________7_____.ACPD6-t18-2/1.c

・.・(AfP)c+(Pf5)。一।一=,故/=3s；

APPB6APPB6186

③,.r=7.APC=7,BD=14.分两种情况:

当c在。的左侧时,

ACDPB

VCD=1,：.PD=6.：.BP=BD-PD=8.

A尸2

可知，AP=AB-BP=\6,贝l](A-8]=7=彳；

AB3

当c在。的右侧时，

IIIII

ADCPB

AD=AB-BD=24-14=10.AP=AD+DC+PC=W+1+7=18,

Apa7T.23

则（4.3）,=笠=J；综上所述，或:；故答案为：!■或

例3.（23-24七年级上.江苏无锡.阶段练习）如图1,数轴上48两点表示的数分别是-1和3,将这两点在

数轴上以相同的速度同时相向运动，若A,8分别到达M,N两点（我们用表示以点A、点2为端点的

线段的长，MN、加2代表示的含义以此类推），且满足=（左为正整数），我们称AB两点完成了一

次“准相向运动”.如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达加2，%两点，且满足

MN=kM2N2（左为正整数）我们称48两点完成了二次“准相向运动”….

,,，士4f，T，%，十」,%N>

-5-4-3-2-1012345-5-4-3-2-101234567

图1图2

⑴若A,2两点完成了一次“准相向运动”.①当人=2时，M,N两点表示的数分别为、；

②当上为任意正整数时，求M,N两点表示的数；（2）如图2所示，若A,B两点完成了两次“准相向运动”，

并分别到达加2，乂两点，若左不变，求M?，M两点所表示的数（用含左的式子表示）；

（3）若A,8两点完成了〃次“准相向运动”，并分别到达两点，当左=2时是否存在点加“，使其表示的

数为65?如果存在，求完成的次数〃和此时点M所表示的数；如果不存在，说明理由.

【答案】（1）①5,-3；②M点为2A+1,N点、为l-2k

（2）M为（1一2严），％为（1+2%2）（3）存在，〃为5,2为一63

【分析】（1）①由题意可得AM=3N,从而得到4V=,再由MV=2AB,可得MN=2义4=8,N4==2,

即可求解；②根据ACV=fc4B,可得MN=4k,NA=BM=k-l,即可.

（2）由（1）中②可得两点的值，再进行一次“准相向运动”计算，根据点和N?也关于4B中点1对

称，且左值不变即可求解.⑶根据题意可得MN=2MTN.T=2（2M_2N"_2）=-2"AB=2"X4=2"+2,根

据4V=3”,可得点加"，2到AB的中点的距离相等，从而表达出对应M"和N”的值，从特殊取值过程

中，研究w和点以及乂点的关系，总结出一般规律进行解题.

【详解】（1）解：①「A点和2点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同，

/.AM=BN.：.AM-AB=BN-AB.：.AN=BM.

•..数轴上A,2两点表示的数分别是-1和3,二AB=4,

又,：MN=2AB,MN=2x4=8,NA=BM=（8-4）^2=2,

.•・M点为5,N点为-3,故答案为：5,-3.

②；A点和3点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同，

AM=BN.：.AM-AB=BN-AB.：.AN=BM.

•••数轴上A,2两点表示的数分别是-1和3,

AB=4,且力B中点所对应的数为1,

又♦.•4V=3M,中点所对应的数也为1,

,:MN=kAB,:.MN=4k,NA=BM=（4k-4）^2=k-l,

・，・A/点为（％—l）x2+3,即2k+1,N点为—1—（左—1）x2,即1-2左;

（2）解：由（1）中②可得M点为（2左+1）,N点为（1-2左），心点和生也关于脑V中点1对称，

2

[MV]=（2左+1）—（1—2左）=4左.|Af2A^2|=kx.4k=4k,

22

：.\^A=2k.：.M2^j（l-2k）,M为（1+2/）.

（3）解：存在，理由：：左=2,A,8两点完成了〃次“准相向运动”，

；•MA=2盟1TM-=2（2%％）=…2®AB=2®X4="

•..数轴上A,8两点表示的数分别是-1和3,A3的中点所表示的数为1,

点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同，

:.AM=BN.：.AM-AB=BN-AB.：.AN=BM,：.悬M”,到A3的中点的距离相等，

当〃为1时，根据（1）得：此时监点为5,做为一3,

当〃为2时，场为—3-4=一7,M为5+4=9,

当”为3时，％为5+4+8=17,%为—3-4—8=—15,

当"为4时，加4为一3—4-8—16=—31,为5+4++8+16=33,

以此类推发现w为奇数时，为正数，而正数的规律是5+22+23+24+.........+2”，

45+22+23+24+---+2"=5,•*.2S=23+24+……+2"包，

/.2S-S=S=2"+1-22,AM„=2n+1-22+5=2"+1+l..

当M“表示的数为65时，2向+1=65,解得：〃=5.

又：用5和N,关