应用能量观点处理圆周平抛组合模型（原卷版）-2024-2025学年高一物理（人教版必修第二册）

应用能量观点处理圆周平抛组合模型

模型讲解

一、应用动能定理解决多过程问题

对于包含多个运动阶段的复杂运动过程，可以选择分段或全程应用动能定理。

1.分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行

分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，最后联立求解。

2.全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，确定整个过程中合外力做的总功，然

后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。

3.当题目已知量和所求量不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单、更方便。

4.在分段分析时，有些过程可以用牛顿运动定律，也可利用动能定理，动能定理往往比牛顿运动定律解题

更简单方便，我们可优先采用动能定理解决问题。

二、动能定理在平抛、圆周运动中的应用

动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：

(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关

物理量。

(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：

①可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为vmin=0o

②不可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为只有重力提供向心力，mg

加Vmin2I

，Vmin=JgR。

R

案例剖析.

一_一

【模型演练】.(2023下•黑龙江哈尔滨•高一哈九中校考阶段练习)质量为切=1kg的小物块轻轻放在水平匀

速运动的传送带上的尸点，随传送带运动到4点后水平抛出，小物块恰好无碰撞的沿圆弧切线从2点进入

竖直光滑圆弧轨道下滑。B,C为圆弧的两端点，其连线水平，斜面与圆弧轨道在C点相切连接(小物块经

过C点时机械能损失不计)。已知圆弧半径R=1.0m,圆弧对应圆心角6=106。，轨道最低点为。，/点距

水平面的高度/?=0.8m。设小物块首次经过C点时为零时刻，在/=0.8s时刻小物块经过。点，小物块与斜

面间的滑动摩擦因数为〃1=g。(g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8)求：

(1)小物块离开/点的水平初速度%大小；

(2)小物块经过。点时受到轨道的支持力大小;

(3)斜面上CD间的距离。

【答案】(1)3m/s；(2)43N；(3)0.98m

【详解】(1)对小物块，由/到8做平抛运动，则在竖直方向有

v；=2gh

在8点有

0

tan—=

2%

v0=3mzs,vy=4m/s

（2）设小物块到达O点时的速度为v,对小物块，由2到。，根据动能定理有

«7gT?(l-sin37°)-^mv2-g"?v京

而

+Vy=A/32+42m/s=5m/s

VB=

在。点，由牛顿第二定律有

2

N-mg=m~~

联立解得

N=43N

（3）根据牛顿第二定律，小物块上滑过程有

mgsin53°+^mgcos530=max

解得

%=10m/s2

下滑过程有

mgsin53°-^mgcos53°=ma2

解得

2

a2=6m/s

由机械能守恒知

vc=vB=5m/s

小物块由。上升到最高点历时

t1=—=0.5s

由最高点到。点历时

t2=0.8s-0.5s=0.3s

因此可得

SCD=争12g=0.98m

【总结提升】

1.物体做往复运动时，如果用运动学、动力学观点去分析运动过程，会十分烦琐，甚至无法确定往复运动

的具体过程和终态。这时就体现出动能定理的优势了。由于动能定理解题的优越性，求解多过程往复运动

问题时，一般应用动能定理。

2.在有摩擦力做功的往复运动过程中，注意两种力做功的区别：

（1）重力做功只与初、末位置有关，而与路径无关；

（2）滑动摩擦力做功与路径有关，克服摩擦力做的功沙克f=FfS（s为路程）。

综合应用

1.（2023下•浙江温州•高一校考阶段练习）特战队员在进行素质训练时，抓住一端固定在同一水平高度的

不同位置的绳索，从高度一定的平台由水平状态无初速开始下摆，如图所示，在到达竖直状态时放开绳索,

特战队员水平抛出直到落地。不计绳索质量和空气阻力，特战队员可看成质点。下列说法正确的是（）

A.绳索越长，特战队员落地时的水平位移越大

B.绳索越长，特战队员在到达竖直状态时绳索拉力越大

C.绳索越长，特战队员落地时的水平速度越大

D.绳索越长，特战队员落地时的速度越大

【答案】C

【详解】C.运动员由水平状态无初速开始下摆至最低点，根据动能定理有

mgl=；mv2

特战队员落地时的水平速度

v=y/2gi

可知绳索越长，特战队员落地时的水平速度越大，故c正确；

B.特战队员在到达竖直状态时，根据牛顿第二定律有

V2

r-mg=m~

特战队员在到达竖直状态时绳索拉力

F=3mg

故B错误；

A.设平台与地面的高度为特战队员做平抛运动时，水平方向有

2

特战队员落地时的水平位移为

x=vt=2J一尸+HI

根据数学关系可知/=g时，特战队员落地时的水平位移最大，故A错误；

D.运动员由平台运动至地面，根据动能定理有

mgH=；mv'2

可得特战队员落地时的速度为

V'=不2gH

故D错误。

故选C。

2.（多选）（2023上•陕西西安•高一校考阶段练习）如图所示，半圆竖直轨道与水平面平滑连接于2点，半

圆轨道的圆心为。，半径为R,C为其最高点。8。段为双轨道，。点以上只有内轨道，。点与圆心的连线

与水平方向夹角为仇一小球从水平面上的4点以一定的初速度向右运动，能沿圆弧轨道恰好到达C点。

不计一切摩擦。则（）

A.小球到达C点时速度为0

B.小球到达C点后做平抛运动落在地面上

C.小球在/点的初速度为腐

D.若小球到达。点时对内外轨道均无弹力，则sin6=：

【答案】AD

【详解】A.小球恰好过圆弧轨道最高点C,由于下方有支持物，所以过C点时速度为0,故A正确;

B.小球过C点时速度为0,不能做平抛运动，故B错误

C./到C,由机械能守恒定律可得

一加V42=mglR

解得

vA=2荷

故C错误;

D.由。到C根据机械能守恒有

1,

mgR(l-sin0)=—mvD

在。点小球对内外轨道均无弹力，则重力的分力提供向心力，有

mgsin0=m

R

解得

smO=-

3

故D正确。

故选ADo

3.（多选）（2023下•福建莆田•高一统考期末）如图甲，宋人孟元老《东京梦华录》对花样跳水的描述：“又

有两画船，上立秋千，……筋斗掷身入水，谓之水秋千。”某次“水秋千”表演过程如图乙，质量为加的表演

者，以。点为圆心荡到与竖直方向夹角6*=45。的8点时，松手沿切线方向飞出。若在空中经过最高点C时

的速度为v,水秋千绳长为/,/为最低点，表演者可视为质点，整个过程船体静止不动，不计空气阻力和

绳的质量，重力加速度为g。则（）

甲乙

A.表演者在2处重力的瞬时功率为mgv

B.表演者从/运动到3的过程中，处于超重状态

C.表演者在/处受到秋千的作用力大小为手+(3-收)mg

D.若8到水面的高度为CB间高度的4倍，则落水点到B点的水平距离为巫巫

g

【答案】AC

【详解】A.表演者从3运动到C做斜上抛运动，在最高点。时的速度为v,即水平方向的速度始终为v,

而在8点时，速度方向与竖直方向成45。，此时水平速度和竖直速度大小相等，所以在8处重力的瞬时功率

为

P=mgvy=mgv

故A正确；

B.从/运动到2的过程中，表演者既有指向圆心的向心加速度，也有切下斜向右下方的切向加速度，若竖

直方向上加速度的分量向上，则表演者处于超重状态，如果竖直方向上加速度分量向下，则表演者处于失

重状态，故B错误；

C.从/运动到2的过程中，由动能定理可知

-mgl(1-cos夕)=gmvB-gmvA

从8点做斜抛运动，则

vB=V2v

表演者在/处受到秋千的作用力大小为凡则

F-mg=m

则表演者在N处受到秋千的作用力大小为

F=^^+（3-V2）mg

故C正确；

D.由于3到水面的高度为C3间高度的4倍，设C2间高度为人则3到水面的高度为4〃，由于从C点开

始做平抛运动，故

y=h+4h=^gt2

x=vt

从5点运动到最高处，由运动学公式可得

（vgcos夕）2=2gh

解得

2g

CB的水平位移为

,vsin0v2

x=vt=v-R........=—

gg

故落水点到B点的水平距离为

（V5+l）v2

彳总=无+x'=-------------

故D错误。

故选AC。

4.（2024上•浙江•高一期末）极限运动深受大家喜爱，但是过于危险，为了模拟极限运动的情况，物理小组

进行了如图所示的实验，竖直平面内的3圆弧形光滑轨道半径为尺=2m,/端与圆心。等高，4D为与水

平方向成45。角的斜面，8端在。的正上方，一个质量掰=1kg的小球在/点正上方3m处由静止开始释放,

自由下落至/点后进入圆形轨道并恰好能沿圆形轨道到达2点，最后落到斜面上C点，（忽略空气阻力，重

力加速度g取lOm/s。)。求:

(1)小球进入圆轨道/点的瞬间，对轨道的压力大小;

(2)小球从B点运动到C点所用的时间t；

(3)小球平抛过程中距离3C边最远的距离。

【答案】(1)3ON；(2)述s；(3)—m

52

【详解】(1)根据题意，小球从静止自由下落到/点，由机械能守恒定律有

mgh=；mv\

设小球进入圆轨道/点的瞬间，轨道对小球的支持力为国，则有

国=吟

K

联立解得

FN=31ng=3ON

由牛顿第三定律可得，小球进入圆轨道/点的瞬间，对轨道的压力为

M=稣=3ON

(2)根据题意可知，小球恰好能沿圆形轨道到达2点，在8点有

Vg

mg=mj

解得

vB=2^/5m/s

小球从B点运动到C点做平抛运动，则有

x=vt,y=—gt2,tan45°=—

B2x

解得

2V5

t=-----s

5

(3)小球离开8后,当垂直于斜面方向的速度为零时离斜面最远，分解力,如图所示

则有

v=vBcos45°=V10m/s

又有

,V2

g=gcos45°=—g

小球平抛过程中距离8C边最远的距离

,v2V2

5.（2023下•陕西咸阳•高一咸阳市实验中学校考阶段练习）如图所示，某游乐场游乐装置由竖直面内轨道

8CDE组成，左侧为半径A=0.8m的光滑圆弧轨道8C,轨道上端点8和圆心O的连线与水平方向的夹角为

下端点C与粗糙水平轨道CD相切，DE为倾角6=37。的粗糙倾斜轨道，一轻质弹簧上端固定在E点

处的挡板上。现有质量加=0」kg的小滑块P（视为质点）从空中的4点以%=2V2m/s的初速度水平向左抛出，

经过"s后恰好从2点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到C点之后继续沿水平轨道CD滑动,

经过。点后沿倾斜轨道向上运动至尸点（图中未标出），弹簧恰好压缩至最短，已知CD尸=1m,滑块

与轨道CD,DE间的动摩擦因数〃=0.1,各轨道均平滑连接，不计其余阻力，

sin37°=0.6,cos37°=0.8,g=10m/s2□求：

（1）80连线与水平方向的夹角a;

（2）弹簧弹性势能的最大值；

（3）试判断滑块返回时能否从3点离开，若能，求出飞出时对8点的压力大小；若不能，判断滑块最后位

于何处。

【答案】(1)30°;(2)2.02J；(3)能，2.6N

【详解】（1）根据题意可知，滑块从4到5做平抛运动，滑块经过8点时的竖直分速度,

vr=gt=2amJs

滑块恰好从2点进入轨道，由平抛运动的规律有

v0=vBsina=vtana

解得

a=30°,vB=40m/s

(2)根据题意，设CD=DF=L,从8到R由动能定理有

解得

Ep=2.02J

(3)设滑块返回时能上升的高度为〃，由功能关系有

mgLsin0+Ep=jumgLcos0+jumgL+mgh

解得

h=2.44m

BC两点的竖直高度

hBC=R+Rsini=1.2m

因为

2.44m>1.2m

所以滑块返回时能从5点离开，设滑块从8点离开时的速度为以，根据机械能守恒定律有

.\1（2

mgh=mg（R+Rsma）+—mvB

在5点，对滑块，由牛顿第二定律得

，2

LVR

mgsma+FN=m

解得

然=2.6N

由牛顿第三定律可知，滑块飞出时对2点的压力

&=&=2.6N

6.(2024•宁夏石嘴山•高一石嘴山市第三中学校考期中)如图所示，一个质量为0.6kg的小球以某一初速度

从尸点水平抛出，恰好从光滑圆弧N3C的/点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能

损失)。已知圆弧的半径尺=0.3m,0-60°,小球到达/点时的速度巳=6m/s。(|Xg=10m/s2)求：

(1)小球做平抛运动的初速度%;

(2)P点与/点的水平距离和竖直高度；

(3)小球到达圆弧最高点C时对轨道的压力。

【答案】(1)3m/s；(2)1.56m,1.35m；(3)48N,方向竖直向上

【详解】(1)根据题意，小球到/点的速度，如图所示

O

由图可知

v0=vAcos60°=3m/s

(2)由(1)分析可知，小球到/点的竖直分速度为

vy=vAsin60°=36mzs

小球做平抛运动

%=gt

代入数据解得

竖直方向

水平方向

x=vot~1.56m

(3)取”点为重力势能的零点，由机械能守恒定律得

2

—mv/=—mvc+mg（R+Rcos。）

代入数据得

由牛顿第二定律得

=m

Nc+mg~^

代入数据解得

由牛顿第三定律得，小球对轨道的压力大小

N'C=NC=48N

方向竖直向上。

7.（2023下•江西抚州•高一江西省抚州市第一中学校考期中）如图所示，质量为20kg的小孩坐在秋千板上,

小孩离拴绳子的横梁间距离为2m，/和5分别为运动过程中的最低点和最高点，秋千板摆到最低点A时,

速度大小为3m/s。忽略空气阻力和摩擦，小孩可视为质点，取g=10m/s2,求：

（1）/、3两点高度差；

（2）若秋千板的质量是2kg,每根绳的拉力大小的最大值是多少？

【答案】（1）0.45m；（2）159.5N

【详解】（1）根据题意，设/、2两点高度差为〃，小孩由最低点到最高点过程中，由机械能守恒定律有

—mv=mgh

解得

V

h=——=0.45m

（2）将小孩和秋千板视为一个整体，在最低点时速度最大，绳的拉力最大，设每根绳的拉力大小为歹，由

牛顿第二定律有

2尸一（加板+"?）g=（加板+"?）：

其中

£=2m

解得

F=159.5N

8.(2023下•云南保山•高一校考阶段练习)如图所示，轻弹簧的一端与挡板。相连接，弹簧的自然长度为

OA,现用质量为%=0.5kg的小球压缩轻弹簧由静止释放，小球离开弹簧后在水平面上运动由3点进入半径

为R=0.4m的光滑半圆弧轨道，C为半圆弧轨道的最高点，已知水平面。/段光滑，N8段粗糙且长度

2=3m,小球与水平面段的动摩擦因数，=0.2,小球通过最高点C时对轨道的压力恰好为零，不计空气

阻力，重力加速度g=10m/s2；求：

(1)弹簧压缩后具有的弹性势能与及小球落地点距离N点的距离；

(2)若弹簧压缩的形变量相同，要使每次小球都能够进入半圆弧轨道且能沿着轨道返回水平面，则小球质

量应该满足什么条件；

(3)在(2)问中若取质量止1kg小球压缩轻弹簧，则小球被弹开后最终停在何处。

4

【答案】(1)8J,2.2m；(2)0.8kg<m<jkg；(3)距5点1m处

【详解】(1)小球通过最高点C时对轨道的压力恰好为零，在C点

解得

vc=2m/s

平抛后竖直方向

1

2R=y：9

水平方向

项=%%

小球落地点距离4点的距离

t\x-L-x1=2.2m

从/到c根据能量守恒

12c

E-jumgL+2mgR+—mvc=8J

(2)弹簧压缩的形变量相同，则弹性势能相同，每次小球都能够进入半圆弧轨道，则

Ep=jum"gL

解得

=gkg

且能沿着轨道返回水平面，则最高到达圆心等高处，则

Ep=jum'gL+m'gR

解得

m'=0.8kg

所以小球质量

4

0.8kg<m<—kg

(3)质量M=lkg小球压缩轻弹簧，全过程根据能量守恒

Ep="Mgs

解得在AB上的总路程

s=4m

所以小球被弹开后最终停在距2点1m处。

9.(2024下•高一课时练习)如图所示，竖直面内有一以。为圆心的圆形区域，直径45与水平方向的夹角

0=30。。圆的半径为7?；圆周上的/点与圆心。在同一直线上，重力加速度为g,不计空气阻力。

R

(1)若小球从/点平抛，落到半圆上时经历时间为公求小球平抛的初速度;

g

(2)若小球从。点平抛，求小球到达半圆上时的最小动能。

【答案】(1)三业廊或三业廊；(2)^-mgR

【详解】(1)小球做平抛运动，水平方向有

X=V^

竖直方向有

।21"

>=清厂=]R

当竖直下降高度为;R时，根据几何知识可知水平位移为

或X2=(1+

解得小球平抛的初速度为

%=守底或K=F廊

（2）设落点位置水平和竖直方向位移分别为x,y,根据动能定理有

同时有

X=vot'

y=；g尸

根据几何知识有

x2-\-y2=R2

联立解得

或=等尸9

R2

根据数学知识可得当”=一时，动能有最小值，即

y

y=^R

3

时，有

Efanin与mgR

10.（2023下•浙江温州•高一校考阶段练习）如图所示，在高九=30m的光滑水平平台上，质量加=lkg的小

物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存了一定量的弹性势能耳。若打开锁扣K,小物块将以一定的速度匕水

平向右滑下平台做平抛运动，并恰好能从光滑圆弧形轨道2c上2点沿切线方向进入圆弧形轨道.2点的高

度为=15m,圆弧轨道的圆心。与平台等高，轨道最低点C的切线水平，并与地面上动摩擦因数为〃=。.7

的足够长水平粗糙轨道CD平滑连接，小物块沿轨道BCD运动最终在E点（图中未画出）静止，

g=10m/s2o求：

(1)小物块滑下平台的速度匕；

(2)小物块原来压缩弹簧时储存的弹性势能”的大小和C、K两点间的距离。

【答案】(1)10m/s:(2)50J,50m

【详解】(1)设物块从/运动到2的时间为3由于4=30m,%=15m,则

,,12

根据几何关系

RcosNBOC=-h2,R=h[

可得

ZBOC=60°

设小物块平抛运动的水平速度是匕，则

—=tan60°

vi

解得

Vi=10m/s

(2)由能量守恒可得，弹簧压缩时的弹性势能为

1,1,

纥=_机v：_IIO2J=5OJ

p21=2XX

设C、E两点间的距离为乙从N到E的整个过程，根据动能定理得

mghy+—mVj=jumgL

L=50m

11.（2023下•江苏连云港•高一统考期中）如图所示，粗糙水平面PN与竖直面内半径为R=lm的光滑半圆

弧在/点相接，轻弹簧一端与墙壁连接，另一端与可视为质点、质量为加=2kg的小滑块接触但不连接，小

滑块在水平向右的外力作用下静止于尸点，尸点与圆弧最低点/的间距为2a某时刻将小滑块由静止释放,

在弹力作用下物体获得一向左速度后脱离弹簧，它经过N点时的速度内=10m/s。已知小滑块和水平面间的

动摩擦因数〃=0.4,重力加速度g=10m/s2。求：

（1）小滑块在P点时弹簧的弹性势能与；

（2）小滑块到达C点时对圆弧轨道压力尸'的大小；

（3）现将材质及粗糙程度相同的另一滑块£也从P点由静止释放，为使滑块在整个过程中不会从半圆弧轨

道/C中间某个位置脱落，求E的质量〃的取值范围。

【答案】(1)116J；(2)100N；(3)Af>ykg,M<—kg

【详解】（1）小滑块由尸点运动到N点过程中，假设弹簧对小滑块做功忆则由动能定理

W-fimg-2R=-mvA-

根据功能关系可知弹簧的弹性势能

£>116J

（2）小滑块由4点运动到。点过程中，由机械能守恒

ymv/=ymvc^+mg-2R

在。点

V2

&+rng=m-2-

R

解得

F^IOON

根据牛顿第三定律可知小滑块到达。点时对圆弧轨道的压力大小也为100N。

（3）滑块在整个过程中不会从半圆弧轨道/C中间某个位置脱落，共分两种情况：①滑块刚到达8点或未

到达2点时速度已经减为0,则

W-nMg-2R-Mg.R<0

解得

58,

M>—kg

②滑块能到达C点，且速度大于临界速度

vc=y[g^

则

2

W-fiMg-2R-Mg.2R>^Mvc

解得

12.（2023下•安徽合肥•高一合肥八一学校校联考期末）如图所示，一根长£=0.45m的不可伸长轻绳，一端

固定在天花板的。点，另一端系一质量为加=O」kg的小球。现将轻绳拉至水平位置，小球由/点静止释放,

小球运动到最低点8点时，轻绳刚好被拉断，8点下方有一倾角为。=37。的足够长的斜面，小球恰好垂直

打在斜面上C点。(g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8)求:

(1)轻绳被拉断前瞬间的拉力大小？

(2)小球从B点运动到斜面C点的时间？

【答案】(1)3N；(2)0.4s

【详解】(1)小球从/到8运用动能定理

1

r2

mgL=—mvB

解得

vB2gL=3m/s

在2合力提供向心力

厂一加g=T

尸=3N

(2)在。速度可分解为水平方向的分速度

匕=vcsin^=3m/s

vy=vccos0=4m/s

所以

'BC==0・4s

g

13.（2023下•江苏盐城•高一校联考期中）在足够长的光滑平台左端锁定一被压缩的轻质弹簧，一个可视为

质点的质量机=0.04kg的滑块与弹簧接触但不栓接。某一时刻释放弹簧弹出滑块，滑块从平台右端/点水

平飞出，恰能落到8点，刚好无碰撞地沿着倾斜轨道5c滑下。已知42的竖直高度人=0.45m,倾斜轨道3C

长A=2.0m,轨道倾角c=37。，3c通过粗糙水平轨道CO与光滑竖直半圆轨道DE相连，CZ）长s=1.3m,

滑块与BC、CA的动摩擦因数〃=。.5,各部分平滑连接。（g=10m/s2,cos37°=0.8,sin37。=0.6）求：

（1）弹簧处于锁定状态时的弹性势能；

（2）求小球到达。点时的速度大小；

（3）小球从最高点E水平抛出，落在水平轨道的尸点（图中未画出），尸离竖直半圆轨道。点的水平距离

为x,仅改变轨道半径凡当R为何值时x有最大值，最大值为多少。

【答案】⑴0.32J；（2）2如m/s；⑶7?=-m,x=lm

4m

【详解】（1）/到2平抛运动，由平抛运动规律

,I2

h=2gt

Vy=2gh

解得小球从/点飞出落到B点的时间和小球在B点瞬间竖直方向的速度大小

t=0.3s,vv=3m/s

在B点小球刚好无碰撞地沿着倾斜轨道8C滑下，所以

—=tan37°

匕

解得

vA=vx=4m/s

所以由动能定理可得弹簧处于锁定状态时的弹性势能为

11

E=-mv2?=-X0.04X427J=0.32J

P24A2

(2)在8点有

22

vB=Jv；+vj=V4+3m/s=5m/s

B到。由动能定理

1212

(mgsin37°-jumgcos37°)Z-jumgs=—mvD--mvB

解得

vD=2>/5m/s

(3)小球从E点飞出后做平抛运动，竖直方向

1,

2R=Qg*

水平方向

x=VEK

D到E由机械能守恒定律

1212

-mg-27?=—mvE--mvD

得

x=^R-16R2=7-(47?-l)2+l

所以当A=：m时，x有最大值为

14.(2023下•湖南张家界•高一统考期末)如图所示，半径R=0.40m的光滑半圆轨道处于竖直平面内，半圆

与水平地面切于圆的端点工,一小球在水平地面上向左运动到4点后以一定的初速度均冲上半圆环，沿轨

道恰好通过最高点8点，最后小球落在C点。(取重力加速度g=10m/s2)不计空气阻力。求：

(1)小球到达8点的速度方;

(2)A.C间的距离s；

(3)小球过/点的速度为。

【答案】(1)2m/s；(2)0.8m；(3)%=2#mJs

【详解】(1)小球恰好通过最高点8时，根据牛顿第二定律

解得

vB=2m/s

(2)由平抛规律，竖直方向

解得

Z=0.4s

水平方向位移关系

s=v/

解得

s=0.8m/s

(3)小球从/点运动到3点的过程中机械能守恒得

1212

—mv0=—mvB+2mgR

解得

%=2V5m/s

15.(2023下•河南周口•高一校联考期末)某同学设计了一款小游戏，装置如图所示，固定在竖直面内、半

径为R的光滑圆弧轨道所对的圆心角为6=60°,圆弧轨道最低点与水平面相切于/点，质量为m的小

球a放在水平面上的尸点，给小球。一个大小为的水平向右的初速度(g为重力加速度)，小球.沿水

平面向右运动并滑上圆弧轨道，随后从圆弧轨道上的8点抛出，最后落到地面。已知"之间的距离为2R,

不计空气阻力，小球可视为质点，小球a在水平面上受到的阻力为其重力的0.25倍，求：

(1)小球«刚滑上圆弧轨道时对圆弧轨道的压力大小;

(2)小球。从8点抛出后在空中的最小速度；

(3)小球。从8点抛出到落地所用的时间。

【详解】(1)设小球4运动到4点时速度大小为盯，由动能定理有

1212

-0.25mgx2R=—mv{--mv0

解得

%=4^gR

在/点由牛顿第二定律有

机g=*

解得

综=6mg

根据牛顿第三定律可知，小球。对圆弧轨道的压力大小

4="=6mg

(2)设小球。到3点时速度大小为V2，由机械能守恒定律有

1,1,

mgR(l—cos夕)=万mvi-5mvi

解得

v2=2y/gR

小球a从3点抛出后，运动到最高点时速度最小，最小速度为

=v2cos60°=阿

(3)小球a从5点抛出时竖直方向的分速度大小为

vyl=v2sin60°=73g^

设小球。从2点落地时的速度大小为内，根据机械能守恒有

V3=Vj=45gR

落地时小球a竖直方向的分速度大小为

吟2=m一。2cos60/=2y[gR

小球。从8点抛出到落地所用时间

16.（2023下•广东茂名•高一统考期末）如图所示，四分之一光滑圆弧轨道和水平传送带固定在同一竖直平

面内，圆弧轨道半径尺=5.0m,其底端切线水平且通过一段光滑水平轨道与传送带连接，传送带长度为

L=6.4m,离地高度为力=1.25m,沿逆时针方向转动的速度为v=6.0m/s.一质量加=2.0kg的小物块（可

视为质点）从圆弧顶点处由静止释放，物块与传送带间的动摩擦因数〃=05,不计物块经过轨道连接处时

2

的动能损失，且传送带转动轮足够小，g=10m/so

（1）请通过计算判断物块能否到达传送带右端；

（2）若能离开传送带，求物体离开传送带时的速度；

（3）若能离开传送带，求物体落在地面与传送带右端之间的水平距离。

【答案】（1）能；（2）6m/s；（3）3m；

【详解】（1）设物块恰好能到达传送带最右端时的传送带长度为加,则物块从圆弧轨道滑至水平传送带上,

根据机械能守恒定律得

mgR=

解得

v0=10m/s

根据牛顿第二定律得

jLimg=ma

解得

a=5m/s2

物块在传送带上运动速度减小到零的过程中

vo=2aLo

解得

L0=10m>6.4m

物块能到达传送带右端；

(2)物块在传送带上一直向右