一次函数的图象与性质-2025年浙教版九年级中考数学一轮复习讲义

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第三单元函数及其图象

《第10讲一次函数的图象与性质》

【知识梳理】

1.一次函数与正比例函数的概念

一般地，函数7=履十仇左，6都是常数，且厚0）叫做一次函数.当6=0时,丁=h+6就成

为y=kx,叫做正比例函数,常数左叫做比例『教.

2.一次函数的图象与性质

（1）一次函数的图象:一次函数丁=日+伙片0）的图象是经过点（0,b灯点（J,0）的一

条直线.正比例函数y=fcc（厚0）的图象是经过点（0,0）和点（1,k）的一条直线.

（2）一次函数的性质：

函数常数取值大致图象经过的象限性质

iy随x的增

k>0第一、三象F艮

y—kx大而增大

（摩0）y随x的增

k<0第二、四象F艮

大而减小

k>0,

第一、二、三象F艮

b>0dy随x的增

k>0,大而增大

第一、三、四象F艮

y=kx+bb<0J

（厚0）k<0,

第一、二、四象F艮

b>0y随x的增

k<0,大而减小

第二、三、四象F艮

b<0b

（3）拓展:已知直线h:y=kix-\-bi,Ir.y=k2x-\-b2,若k\=kr/^）且b\^bi,则两直线平行;若ki,ki

=-L则两直线垂直.

3.一次函数与一次方程（组）、一次不等式（组）

（1）方程kx+b=G的解是直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标.

⑵方程组[，=七"十瓦'的解是直线y=kix+bi与y=kvc+bi的交点的坐标.

{y=k2x+b2

（3）一元一次不等式（组）的解可由一次函数的图象观察得出.

【考题探究】

类型一一次函数的图象与性质

【例1][2023•临沂]对于某个一次函数丁=履+仅厚0）,根据两位同学的对话得出的结论,

错误的是（C

例1图

A.k>0B.kb<0

C.k+b>0D.左=一戈

【解析】•.,一次函数/到0）的图象不经过第二象F艮,

fc>0.

•.•曲教图象经过点（2,0）,：.0=2k+b,

：.k=~-2b,b<0,

：.kb<0,左+8=，>V0.故选C.

变式1—1[2024•山西]已知点A（xi,州），Bg竺）都在正比例函数y=3x的图象上，若xi

<X2,则yi与>2的大小关系是（B）

A.yi>>2B.ji<y2

C.yi=yiD.yiN”

变式1—2[2024•自贡]一次函数y=（3根+l）x—2的值随x的增大而增大，请写出一个满足

条件的m的值1（答嗓不唯一）.

【解析】•.,y=（3»i+l）x—2的值随x的增大而增大,

1

/.3zn+l>0,工ni可以为1.

变式1一3［2024,通辽］如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与y=左2%+历(其

中左次iRO,ki,k2,bi,历为常数)的图象分别为直线/1,/2.下列结论正确的是(A)

变式1—3图

A.Z?I+Z?2>0B力也>0

C.左1+左2VoD.kik2<0

【解析】由图象可得，仇=2,岳=—L怎>0,近>0,

・・.历+。2>0,bib2V0,1+42>0,左次2>0.

类型二用待定系数法求一次函数的表达式

【例2］［一题多解］［2023•杭州］在“探索一次函数丁=履+6的系数匕6与图象的关系”的

活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点:A(0,2),BQ,3),C(3,1).同学们画出了经过这

三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式yi=kix+bi,y2=kix+b2,

y3=fcu+Z?3.分别计算上i+bi,ki+bi,依+63的值，其中最大的值等于5.

iC

I

例2图

【解析】方法一:设直线A5的函数表达式为》=怎*+仇，将点4(0，2),B(2,3)代人,

(瓦=2,k=-,

得斛得12

(2/q+瓦=3,(瓦=2,

.•.依+岳=|.

设直线AC的函数表达式为［2=后x+历，将点4(0,2),C(3,1)代人,

历=2,k2=一［，

得

3k2+匕2=1，力2=2,

：.k2+bi=^.

设直线BC的函数表达式为］3=左设+方3,

将点5(2,3),C(3,1)代人,

2k3+63=3,&=一2,

得解得

3/c3+b3=l,力3=7,

•.依+岳=5,

'.ki+bi，依+历，43+分3的值中最大的值等于5.

方法二:在图中分别作出直线A5,BC,AC和直线x=L易知直线5c与直线x=l的交点(1,

5)位置最高，故岛+岳，42+历，43+九的值中最大的值等于5.

变式2—1如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0,2),点A(4,2).以点P为旋转中心,

把点A按逆时针方向旋转60°,得点B.在M(—y,0),A/2(-V3,—1),〃3(1,4),M4(2

葭)四个点中，直线P3经过的点是(B)

A.MiB.M2

C.M3DM

【解析】VAA(4,2),1(0,2),

轴，PA=4.

由旋转，得NAP6=60。，PB=PA=4.

如答图，过点5作BC±y轴于点、C,则ZBPC=3Q°,

变式2—1答图

：.BC=2,PC=2V3,AAB(2,2+2V3).

由点尸，5的士标得，直线P5的函数表达式为y="\/Wx+2.

当*=一子时，y=-1+2=1,

AAM1(-y,0)不在直线尸5上；

当x=_B时，y=-3+2=-1,

AAM2(-V3,—1)在直线Pb上；

当x-1时，y=V^+2,

/.AM3(l,4)不在直线上；

当x=2时，y=2V^+2,

二点网2,芳)不在直线尸5上.

综上所述，直线尸5经过的点是腔.

变式2—2[2024•苏州]直线/i：y=x—1与x轴相交于点A,将直线/i绕点A逆时针旋转15°,

得到直线/2,则直线办对应的函数表达式为尸岛一百.

【解析】如答图，将x=0代入y=x-19得y=-1,

・••点6(0,-1).

变式2—2答图

将y=0代-y=x—1,得x=L

Z.AA(l,0),：.OA=OB=1,

：.NOBA=NOA5=45。.

由旋转可知，ZBAC=15°,

:.ZOAC=450+15°=60°.

nr

在中，

Rt^AOCtanZOAC^—OA,

：.OC=y/3,

则点C的金标为(0,-V3).

设直线，2的曲数表达式为y=kx~\~b,

(k-\-b=0,f/c=V3,

则《「解得广

lb=—V3,kb=—>/3,

直线，2的四数表达式为j=V3x—V3.

类型三一次函数与一次方程(组)、一次不等式(组)

【例3】已知一次函数y=3x—1与丁=履(左是常数，片0)的图象的交点坐标为(1,2),则方程

(口

组3x—7y=l,的-解“是_(x=l,

{.kx—y=0ly=2

变式3[2024•广东]已知不等式乙+6<0的解是x<2,则一次函数丁=履+》的图象可以是

类型四一次函数的图象与坐标轴所围图形的面积问题

【例4][2024•凉山州]如图，一次函数丁=区+优原0)的图象经过A(3,6),B(0,3)两点,

交x轴于点C,

【解析】:一次函数)=履+办的图象经过4(3,6),B(0,3)两点,

3/c+b=6,k=l,

解得

力=3,b=3,

・二一次函数的表达式为y=x+3.

当y=0时，x=-3,

••・点。(-3,0),

•••S/kAoc=£X3X6=9.

变式4直线丁=丘+6经过点A(—5,0),B(—l,4).

(1)求直线A3的函数表达式.

(2)求直线CE-.y=-2x—4与直线AB及y轴所围图形的面积.

解:(1)把点A(—5,0),6(—1,4)的生标分别代入y=fcr+Z>,

f—5/c+£>=0,(k=l,

得解得

1―/c+i>=4,(5=5,

直线AB的函数表达式为y=x+5.

(2)对于四数y=x+5,取x=0,得y=5,得到点(0,5);

对于四教y=-2x—4,取x=0,得y=-4,得到点(0,-4).

fy=x+5,f%=-3,

嵌立《解得

iy=-2x—4,ly=2,

直线A5与直线CE的交点生标为(一3,2),

直线CE与直线A5及)轴所圉图形是以(0,5),(0,-4),(一3,2)为顶点的三角形，其面

尔*X[5-(-4)]X|-3|=y.

类型五一次函数的综合

[例5][2023•温州]如图，在平面直角坐标系中，点A(2,m)在直线y=2x-|±,过点A

的直线交y轴于点3(0,3).

(1)求m的值和直线AB的函数表达式.

⑵若点P。，券)在线段A3上，点QQ—1,*)在直线尸2L|上，求yi—*的最大值.

解:⑴把点4(2,而)代入y=2x—|,得zn=|.

设直线A5的函数表达式为y=Ax+Z>,把点A(2,g),5(0,3)代入，得

2/c+b=-,k=—~,

2解得4

b=3,Z)=3,

-2

/.直线AB的函数表达式为y=--x+3.

4

⑵•.•点P(t,以)在线段A5上，点Q(t~1,户)在直线j=2x-j±,

,2CQ

.•.yi=—/+3(0W/W2),y2=2(t—l)—-=2t—-,

4NN

J2=—|z+3—(2t—0=

•.,一1<0,.'.yi-)2的值随/的增大而减小,

1c.

，当，=0时，以一［2取最大值万.

变式5［2024•北京］在平面直角坐标系x°y中，函数丁=履+。(后0)与y=—日+3的图象相

交于点(2,1).

(1)求左，6的值.

(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数丁=依+》的值，也大于

函数y=—h+3的值，请直接写出冽的取值范围.

解:(1)二•直线y=一依：+3过点(2,1),

：.-2k+3=l,斛得左=1.

将点(2,1)代入y=x+〃，<2+6=1,

将得b=~l.

(2)如答图，

变式5答图

【课后作业】

1.[2023•新疆]一次函数y=x+l的图象不经过（D）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.[2023•上海]下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（B）

A.y=6xB.y=~6x

C.y=-D.L?

X

3.[2024•德阳]正比例函数丁=日（后0）的图象如图所示，则左的值可能是（A）

2

C.-1D--

3

4.如图，直角坐标系中有矩形A03C,其中点A（—2,0）,3（0,1）,。是原点.若正比例函数y

=履（厚0）的图象经过点C,则左的值为（A）

力卜

Cl---------------B

A0x

第4题图

1cl

AA.1-B.-

22

C.-2D.2

5.[2023•陕西]在同一平面直角坐标系中，函数y=以和为常数，。＜0）的图象可

能是（D）

B

6.[2024•上海]若正比例函数y=Ax(®0)的图象经过点(7,—13),则y的值随x的增大而」

小(填“增大”或“减小”).

7.[2024•扬州]如图，已知一次函数>=履+。(*0)的图象分别与x轴、y轴相交于A,3两点.

若。4=2,OB=1,则关于x的方程」+力=0的解为x=-2

8.在同一平面直角坐标系中，直线y=—x+4与y=2x+机相交于点P(3,n),则关于x,y的

x+y-4=0,…力生x=3,

方程组的解为.

.2%—y+m=0y=i

9.[2023•苏州]已知一次函数丁=履+6的图象经过点(1,3),(-1,2),则0=一6.

3=k+b,

【解析】将点(1,3),(-1,2)代入y=fcc+上得

2=-k-\-b,

：.k2-b2=(k+b^k-b)=-(k+b)(-k+b)=-3X2=-6.

10已知一次函数(际0)的图象经过(0,2),(1,3)两点.

(1)求左,6的值.

(2)若该函数的图象与x轴的交点为A(a,0),求a的值.

解:(1)把点(0,2),(1,3)的金标代入

2=b,k=l,

得解得

3=k.-\-b,,b=2.

(2)由(1),得y=x+2.

令y=0,得x=—2,：.a=-2.

11.已知(XI,yi),(X2,丁2),(X3,中)为直线y=-2x+3上的三个点，且X1<X2<X3,则下列判

断中，正确的是(D)

A.若xiX2>0,则yiys>0

B.若xiX3<0,贝！J丁1”〉0

C.若X2X3>0,则丁1丁3>0

D.若X2X3<0,则yiy2>0

【解析】在y=-2x+3中，y随X的增大而城小，当y=0时，x=1.5.

V（xi，yi）,（X2，?2），。3，）3）为直线y=-2x+3上的三个点，且

•二若％1X2>O，则%1，%2同号，但不能确定的正负，A不符合题意.

若X1X3VO，则X1V0,%3>0，但不能确定力32的正负，B不符合题意.

若22X3>0，则X2,23同号，但不能确定”y3的正负，C不符合题意.

若X2X3<0,则Xl<X2<0,X3>0,Ajl>j2>0,

*••D符合题意.

12.[2023•南充]如图，直线y=丘一2左+3（%为常数，左V0）与％,y轴分别相交于点A,B,则

总+总的值是.

第12题图

【解析】在y=H-24+3中,

2"—?

令x=0,则y=-2左+3;令y=0,则x=1—,

K,

.•.点A的金标为（片，0）,点5的金标为（0,—2左+3）,

：・OA=^AOB=-2k+3,

k

.2_|_3_2_|_3

•.04丁082k—3-2fc+3

k

2k_3

2k—32k—3

2/c—3

2k—3

=1.

13.如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中.若过原点的直线/将图形分成

面积相等的两部分，则直线/的函数表达式为上总

【解析】设直线，与图形上边界的交点生标为(a,3),

1in

则由题意，得了•3—1=4,解得。=石.

设直线，的函数表达式为y=kx,

109

则3=左・云，斛得左=而，

9

•••直线/的曲教表达式为y=-x.

14.如图，在平面直角坐标系中，以原点。为圆心，3为半径作圆，直线y=mx—机+2与。。

相交于A,3两点，则43的最小长度是4.

【解析】•.,直线y=»zx—»z+2=7〃(x—1)+2,

,直线必过点C(L2),

二最短的弦AB是过点。且与OC垂直的弦.

如答图，连结。C,过点C(L2)^AB±OC,文。。于点A,B,连结。5,则A5=25C.

第14题答图

VAC(l,2),；.OC=花.

TO。的半径为3,：.OB=3,

：.BC=32-(V5)2=2,：.AB=2BC=4,

即AB的最小长度为4.

15.如图所示为一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数.下面表格中的数据是通过该

函数求值机”得到的几组x与y的对应值.

输入X一6-4-202・・・

输出y…一6-22616・・・

根据以上信息，解答下列问题：

(1)当输入的x值为1时，输出的y值为8.

(2)求比6的值.

(3)当输出的y值为0时，求输入的x值.

/输Ax/

/输出y/

第15题图

解:(2)把点(一2,2),(0,6)的生标分别代入

(2=—2k+b,(k=2,

得斛得

(6=5,(,b=6.

(3)令y=0,由y=8x,得0=8x,

，x=0Vl(舍去).

由y=2x+6,得0=2x+6,.,.x=-3V1,•••当输出的y值为0时，输入的x值为-3.

16.如图，在直角坐标系中，点A(2,附在直线y=2x—3上，过点A的直线交y轴于点3(0,

3).

(1)求m的值和直线AB的函数表达式.

⑵若点P(f,yi)在线段A3上，点0(7+1,券)在直线y=2x—3上，判断2刀十”的值是否随/

的变化而变化，若不变，求出这个值;若变化，求出它的取值范围.