向量线性运算及三大定理与四心归类（15题型提分练）原卷版-2025年高考数学

向量线性运算及三大定理与四心归类（15题型提分练）

更盘点•直击春考

目录

题型一：线性运算：等分点型......................................................................1

题型二：线性运算：四边形等分点型................................................................3

题型三：线性运算：基底非同一起点................................................................4

题型四：三大定理：奔驰定理......................................................................6

题型五：三大定理：极化恒等式....................................................................8

题型六：三大定理：等和线基础....................................................................9

题型七：等和线三角换元型.......................................................................10

题型八：等和线系数不是1构造型.................................................................11

题型九：等和线均值型...........................................................................12

题型十：等和线二次型...........................................................................12

题型十一：等和线系数差型.......................................................................13

题型十二：四心向量：外心.......................................................................14

题型十三：四心向量：内心.......................................................................15

题型十四：四心向量：垂心.......................................................................15

题型十五：四心向量：重心.......................................................................16

兴突围・福睚蝗分

题型一：线性运算：等分点型

指I点I迷I津

线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线/上三点片、R、P,且满足丽=彳9（24-1）,在直线/外

任取一点O,设函=心OP^b,^OP=^L=-^—a+—b.

1+41+A1+A

重要结论：若直线/上三点6、鸟、P,。为直线/外任一点，

贝（］丽=4丽+〃砒o=

>

证明：OP=OPl+PJ^OPl-AB1P=O^+l}P,贝!］丽一砒=几"+亏=(1+㈤亏,

丽-漉丽+4漉5+花

贝丽=诬+月？=硫+

1+A1+21+21+A1+2

1.（23-24•河北唐山•阶段练习）如图,△4BC中，。为边的中点，E为4。的中点，则砺=（）

C

A.--AB+-ACB.-AB--AC

4444

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

2.（23-24四川乐山•阶段练习）如图,己知点G是△N8C的重心，过点G作直线分别与48,NC两边交于

M，N两点，设而=彘，赤=1>AC,则x+9y的最小值为（）

A

516

A.—B.4C.—D.3

23

3.（23-24•陕西渭南•阶段练习）如图，在ZUBC中，己知而二；岚，尸为近上一点，且满足

—»——►4——►

CP=7"C/+§CB,则实数加的值为（）

A

BDC

1

A.1B.2C心D.-

3332

jr

4.（23-24天津•阶段练习）如图，在A/BC中，ZBAC=-,AD=2DB，尸为C。上一点，且

AP=^AC+AAB,若元=3,同=4,则五小友的值为

（）

C

ADB

771313

AB.一C.——D.—

-761212

5.（23-24甘肃临夏•阶段练习）如图，在△45。中，点。是5C的中点，AC=3MC=4NC分别连接

MO、N。并延长，与边48的延长线分别交于尸，。两点，^AB=-2aPQ,贝!（)

C.-2D.-1

题型二：线性运算：四边形等分点型

指I点I迷I津

四边形基底线性运算，可以用基底推导，也可以通过特殊化构造坐标系设点计算

1.（23-24•江苏苏州•阶段练习）在平行四边形中，E,尸分别在边ND,CD上，4E=3ED,

DF=FC,反与BE相交于点G,记前,BA^b，则善=（）

2.（23-24山西•阶段练习）如图，在正方形488中，CE=2DE,E5和/C相交于点G,且尸为/G上一点

—.——31

（不包括端点），若BF=ABE+〃BA,则7+一的最小值为（）

XJLI

DEC

c.8+V5D.15

3.（23-24宁夏银川•）如图所示的矩形4BCQ中，E,尸满足赤=反，CF=2FD,G为石尸的中点，若

AG=AAB+〃AD,则丸〃的值为（）

23

A.-B.一C.一D.2

234

4.（23-24陕西咸阳）如图所示，在正方形/5CD中，E为4g的中点,厂为的中点，若

()

5_

A.——B.cD.

4~4-I4

5.（23-24新疆乌鲁木齐•模拟）如图，在平行四边形N8CD中，AE=^AD,BF=^BC,CE与。尸交于点

。.设75=1,AD=b，若/。=而+〃3,则〃-4=()

113

A.—B.—C.—D.—

17171717

题型三：线性运算：基底非同一起点

指I点I迷I津

向量共线定理和向量基本定理

①向量共线定理（两个向量之间的关系）：向量g与非零向量£共线的充要条件是有且只有一个实数2,使得

b=Aa-

瞥形式：独直线4上三点A、B、1,。为直线/外任一点，有且只有一个实数2,使得：

OP=（1-A）-OA+A-OB.

特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意"£工6"，否则之可能不存在，也可能

有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量

共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不

重合.

②于面中量基本定理（平面内三个向量之间关系）：

若［、£是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量2,有且只有一对实数4、4,使

a=4q+4e,.

特别提醒：不共线的向量［、］叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

基底的不唯一性：只要两个向要不芒线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量

£都可被这个平面的一组基底［、乙线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.

2.（23-24浙江•阶段练习）已知六边形NBCDEF为正六边形，且％=晨BD^b，以下不正确的是（）

AB

2-1r—,,11f

DE=——a+—bB.BC=-a+-b

3333

2-2—►24-

AF=——a+—brD.BE=——a+-b

3333

3.（23-24重庆巴南•阶段练习）如图，矩形/8CD中，点E是线段上靠近A的三等分点，点尸是线段3c

的中点，则诙=（）

AEB

DC

8—►5—►io—►5—►

A.-DF——ACB.-DF--AC

9999

8—►5—►10—►5—►

C.——DF+-ACD.--DF+-AC

9999

4.（23-24高三河南•阶段练习）已知为等边三角形，分别以C4,C3为边作正六边形，如图所示,

贝IJ（）

DG,、

EABH

__.9__k7_►

A.EF=-AD+4GHB.EF=-AD+3GH

22

_—，a—，.

C.EF=5AD+4GHD.EF=-AD+3GH

5.（22-23甘肃天水,阶段练习）如图，四边形/5C。是平行四边形,点£,尸分别为CD,/。的中点，若以向

量灰,而为基底表示向量，则下列结论正确的是（）

A.AD=-AE--RFB.AD=--AE--m

5555

——-2—-4—>——2--4—（•

C.AB=-AE——BFD.AB=-AE+-BF

5555

题型四：三大定理：奔驰定理

指I点I迷I津

。为AASC内一*点，axPA+Z)xPB+cxPC=0，则^^依。：^APAC:^\PAB=b：c,

叱：ci9ai9ai

^\ABCCl+b+cSMBCCl+b+cSNBCCl+b+c

结论1：对于A48c内的任意一点p,若"BC、"CA、APZ5的面积分别为邑、S§、Sc,贝!!：

SA^PA+SDRPB+SCrPC=O.

即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.

结论2：对于ZU8C平面色的任意二省P,若在f在ZU8C的外部，并且在NE/C的内部或其对顶角的内部所

在区域时，则有-S“BC-PA+S好AC-PB+SPAB-PC=Q.

结论3：对于A48c内的任意一点P,若％方+4旃+4定=0,则AP8C、NPCA.AP48的面积之比为

即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三色形哽之比笔于权系数之比.

结论4：对于AA8C所在平面内不在三角形边上的任一点P,4方+4丽+4卮=。，则"BC、NPCA、APAB

的面积分别为图:田:冈•

即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零,则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.

各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.

xnOA+sOB-^tOC=0

L(23-24甘肃)"奔驰定理"因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具

体内容是：已知M是△NBC内一点，ABMC,AAMC,A/MB的面积分别为邑，SB,Sc,且

S-疝+Sg•荻+/•就=。.若M为AABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0,贝lJcos//Affl=()

BC

A.一逅RV6V6

366

2.（23-24河北）平面向量中有一个非常优美的结论：已知。为△/BC内的一点，BOC,AAOC,KAOB

的面积分别为，，SB，SC,则邑•方+SB•9+S0•双=0.因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔

驰定理已知。为"gC的内心，三个角对应的边分别为/6,c,已知a=3,6=2百，c=5,则丽.就=

（）

A.273-8B.-2C.76-7D.3亚-9

3.（2024上海•专题练习）"奔驰定理"因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结

论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知”是△NBC

内一点，△BMC,△/祢。，△/班的面积分别为S«,SR,$一S.SA-MA+SB-MB+Sc-MC=0.以下命题错误

的是（）

A.若S/£=1：1：1，则V为A/MC的重心

B.若“为△/8C的内心，则3C.&3+4C.标+/台.标=6

C.若4/。=45。,448。=60。，/为△4BC的外心，则,：:%=K:2:1

D.若M为△4BC的垂心，3MA+4MB+5MC=0,贝UcosN/MB=-"

6

4.（2023高三河南南阳•阶段练习）奔驰定理：已知。是ZL4BC内的一点，ABOC,SAOC,MOB的面积分

别为,，sB,sc,贝IJSJE+SB•赤+品・双=6."奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这

个定理对应的图形与“奔驰"轿车（Mercedesbenz）的log。很相似，故形象地称其为"奔驰定理"若。是锐角

44BC内的一点，A,B,C是/4BC的三个内角，且点O满足刀.砺=砺.我=反.力，则必有（）

B.cosA-OA+cosB-OB+cosC-OC=0

C.tanA-OA+tan5-OB+tanC-OC-6

D.sm2A-04+sin2B-OB+sin2C-OC=0

5.（2022・安徽•三模）平面上有△/BC及其内一点O,构成如图所示图形，若将△。/3,AOBC,A。力的

面积分别记作sb,则有关系式a+S广9+&.云=6.因图形和奔驰车的/og。很相似，常把

上述结论称为“奔驰定理已知△4BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,若满足

。•况+6・赤+c・双=6，贝U。为△/8€?的（）

题型五：三大定理：极化恒等式

r---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

"旨I点I迷I津

；设。，A是平面内的两个向量，则有小［苴m+彳-@一斤］

①几何解释1（平行四边形模型）以N3,ND为一组邻边构造平行四边形/BCD,AB=a,AD=b，则

~AC=a+brBD=b-a，由@Z=；［（/+B）2—（2一*）?］,^AB-Al5=^AC2-BD2^.

\即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的

4

②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由

22222222

AB-Al5=^AC-BD）^^1AB-AD=^AC-BD）=^4AM-4BM）,^AB-AD=AM-BM

；该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型.

1.（2023•全国•统考高考真题）正方形/BCD的边长是2,E是4B的中点，则反.而=（）

A.yf5B.3C.2#>D.5

2.（江苏•高考真题）如图，在AA8C中，。是8c的中点，瓦尸是4。上的两个三等分点，BA-G4=4>

BF-CF=-1,则就.方的值是.

A

3.如图，在AABC中,已知AB=4,AC=6,ZBAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,

且在=2AD,%=3近,若/为DE的中点，则BF-DE的值为

4.（23-24高三・湖南长沙•阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的"和对角

线"与"差对角线"平方差的四分之一，即如图所示，前我们称为极化恒等式.已知在

03c中，M是2C中点，AM=3,3c=10,则益.*=（）

A.-16B.16C.-8D.8

5.（21-22•重庆沙坪坝•阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线"

与“差对角线"平方差的四分之一.即如图所示：7g=：（口万『-|就。，我们称为极化恒等式.在△）中，M

是8c中点，AM=3,8c=10,则刀.刀=（）

A.32B.-32C.16D.-16

题型六：三大定理：等和线基础

：指！点j।津

形如0P=XO4+〃05（4〃eR）,求几+〃值或者范围，其中可以理解对应系数如几+〃=h彳+卜〃，称之

为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得

1.（2023•江西吉安•高三统考阶段练习）如图，半径为6的扇形N08的圆心角为120。，点C在弧48上,

且/。。8=30。，若0^=20^+〃&，则2+〃=.

2.（2023春•浙江温州•校考开学考试）两个单位向量次，砺且NNO8=120°,C点在弧48上动，若

OC=xOA+yOB,（x,yeR），则x+了的取值范围是

3.正六边形/8COE尸中，令血=£,方=方，P是△<?£）£■内含边界的动点（如图），AP=xa+yb,则x+y

的最大值是（）

A.1B.3C.4D.5

4.已知。是A48c的外心，ZC=45°,贝！]反=心刀+〃砺则加+"的取值范围是

A.|^—V2,V2JB.[-C,l）C.[-1]D.^1,^2J

JT

5.已知在中，A=->AB=3,AC=4,P为2c上任意一点（含2,C）,以尸为圆心，1为半径

作圆，。为圆上任意一点，设而=x：而+了就，则x+了的最大值为

题型七：等和线三角换元型

指I点I迷I津

如果点在圆上运动，则可以借助圆的参数方程（或者三角换元），用向量的坐标运算求

解

1.（2023•全国•高一假期作业）如图，扇形的半径为1,且方.砺=0，点C在弧48上运动，若

A._#>B.V5C.1D.2

2.（2023春•湖北湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）如图，扇形的半径为1,且次.赤=0,点C在

弧48上运动，若反=+y砺，则2x+y的最小值是（）

A.-V5B.V5C.1D.2

3.（2023春•重庆万州•万州外国语学校天子湖校区校考阶段练习）如图，在半径为1的圆。中，点48为

圆。上的定点，且4405=60。，点C为圆上的一个动点，若历=》应+）砺，则2x+（g+l）y的取值范围

是.

4.在直角梯形.48CD中，AB1AD,AD//BC,AB=BC=2AD=2,E,尸分别为BC,C。的中点，以A为圆心，

为半径的圆交4B于G,点尸在而上运动（如图）.若不=彳赤+〃而，其中则22+〃的最

大值是.

夕

4GB

5.已知正三角形Z3C的边长为2,。是边2C的中点，动点P满足|历区1,且万=》刀+了就，其中

x+y>l,则2x+y的最大值为.

题型八：等和线系数不是1构造型

指I点I迷I津

形如OP=204+〃OB（九〃eR）,求m'+t〃值或者范围,一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构

造三角函数辅助角形式求最值

1.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆。，尸为圆。上任一点，若石一万+y就，则2无+2y的最大

值为（）

2.（23-24•安徽芜湖•阶段练习）如图，已知点G是。5c的重心，过点G作直线分别与/C两边交于

M,N两点，设为7=xM，AN^yAC,则x+4y的最小值为（）

3.（2023•全国•高三专题练习）已知。是AA8C内一点，且次+赤+女=0，点〃在AO8C内（不含边

界)，若痂=4次+〃/，则2+2〃的取值范围是

4.(20-21•福建•阶段练习)已知平行四边形N5CD中，点、E,尸分别在边/反么。上，连接EF交ZC于点

且满足丽=4或，而=3而，而=彳益+〃而，贝!|52+g〃=()

A.-B.1C.—D.—3

22

题型九：等和线均值型

指I点I迷I津

利用向量基底理论，求出“和定”或者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围

基本不等式：—；

2

(1)基本不等式成立的条件：a>0,fr>0；

(2)(2)等号成立的条件：当且仅当丘瓦

⑶基本不等式的变形：

_a-\-b

①a+b》2序(，常用于求和的最小值；②g—t2,常用于求积的最大值；

2

1.(2023春,四川眉山校考阶段练习)已知点G是。5c的重心，过点G作直线分别与/8,/C两边相交于

点”，N两点(点A/,N与点-C不重合)，设正MAC=yAN,则3+W的最小值为一

2.(2023春•重庆•校联考阶段练习)在。3C中，点。满足丽=2022皮，过点。的直线交线段48于点

M、交线段/C的延长线于点N,记初=1，AN=yAC，贝U2023x+病y的最小值为.

3.（2023春•山东荷泽统考模拟）在A/BC中，点。是线段8c上的点，且满足口1=3］砺过点。的直线

12

分别交直线/8/。于点E,尸，且刀=加荏，就=〃万，其中%>0且〃>0,若一+—的最小值为.

mn

4.（2023・全国•高三专题练习）已知4、B、尸是直线/上三个相异的点，平面内的点若正实数工、»满

—.―.—.11

^4OP=2xOA+yOB,则一+一的最小值为_____.

xy

5.（23-24高三•天津武清•阶段练习）在中，BD=^BC,£是线段上的动点（与端点不重合），设

臣=》百+久瓦则过亚至的最小值是（）

xy

A.10B.4C.7D.13

题型十：等和线二次型

指1点J当I津

形如°P=〃eR）,求关于“与〃二次型值或者范围，有如下思维：

（1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题；

（2）得到关于九〃的不等式中没有外〃，所以取/=2+〃，建立九〃之间的关系;

（3）用判别式求得》的范围，化简所求式子至二次函数的形式；

（4）根据二次函数的最值及/的范围求出最值.

1.（23-24•陕西西安•阶段练习）点。是。5c所在平面内一点，^OA+OB+OC^QjM^xAB^AN^yAC,

MO=XON>则刈的最小值为（）

124

A.-B.1C.-D.-

239

2.（2019秋・江苏苏州•校考阶段练习）如图，在正方形Z3CD中，£为的中点，P是以A为圆心，AB

为半径的圆弧上的任意一点，设％=亦抖〃不，则〃2-3,的最小值为.

3.（2024高三•全国・专题练习）已知i^ABC的边2c的中点为。，点E在“BC所在平面内，且丽=3CE-2CA，

^AC=xAB+y'BE,则9=（）

A.5B.10C.20D.30

2

4.（2022•全国•高三专题练习）已知4昆尸为双曲线/-2=1上不同三点，且满足强+丽=2丽（。为坐

4

2

标原点），直线尸4%的斜率记为”,〃，则川+土的最小值为

4

A.8B.4C.2D.1

5.（2023•全国,高三专题练习）如图，在AA8C中，M为边3C上不同于B,C的任意一点，点N满足

AN=2NM.若丽=xAB+yAC，贝f+9/的最小值为.

题型十一：等和线系数差型

指I点I迷I津

形如。尸=X0"+〃°2（4〃eR）,求"'一"值或者范围，有如下思维：

1.如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。

2.可以借助等和线，找到'+〃=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值

1.（四川资阳•统考一模）如图，在直角梯形48CD中，AB±AD,AB//DC,48=2,4D=DC=1,图中

圆弧所在圆的圆心为点C,半径为：，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动.若方=x^+y元，其

中x,y&R,则4x-y的最大值为

A.3-—B.3+—

42

C.2D.3+—

2

2.（安徽合肥•统考一模）已知向量花、/、少满足同=4,茂/=2,伍-力•伍-口=0,若对于每一个确定的反团

的最大值和最小值分别为加、〃，则对于任意的加-〃的最小值为（）

579

A.3B.—C.-D.—

222

3.在\ABC中，点G满足GA+GB+GC=O.若存在点0,使得OG=ABC（2>0）,且以=mOB+nOC（nm>0）,

则加的取值范围是_.

4.（22-23高三•河北唐山•阶段练习）如图，在“BC中，。是线段2c上的一点，且数=4而，过点。的

直线分别交直线48，/C于点M,N,若砺=4海，而=〃就（2>0,〃>0）,则〃的最小值是

4

()

2>/3-4口2百+4「26『n2V3+2

3333

题型十二：四心向量：外心

指I点I迷I津一一一

四心的向量统一形式：设X是“3C内一点且加为++0/=6；

若X为外心，则加：几：p=sin2A:sinIB:sin2C；

1.（2023春•江苏无锡•锡东高中校考阶段练习）在“8C中，AB=1,AC=3,S△的=乎，角A是锐角,

。为“8C的外心，若丽=m.而+n.灰,其中加,力耳0,1],则点P的轨迹所对应图形的面积是.

2.（2023春•广东佛山•南海中学校考阶段练习）如图，。为的外心，AB=6,AC=2,-A4c为钝角，

M是边8c的中点，则而.而=.

3.（2023春•吉林长春•东北师大附中校考阶段练习）已知点。是△ZBC的外心，48=4,AC=2,乙BAC为

钝角，M是边8c的中点，则为心刀=.

4.（2023春•江西宜春・江西省清江中学校考阶段练习）设。为。3c的外心a,b,c分别为角4B,C的对

边，若b=3,c=5,贝加灰=.

5.（2023春•辽宁•葫芦岛第一高级中学校联考阶段练习）已知。为。3C的外心，a,b,c分别为内角A,

B,C的对边，且c?=2/3-6）,则与.前的取值范围是.

题型十三：四心向量：内心

指I点I迷I津________

四心的向量统一形式：设X是“BC内一点且机元4+〃XB+pXC=6；

若X为内心，则机："：p=a:6:c；

1.（2022春•甘肃兰州•兰州市第二中学校考模拟）在面上有及内一点。满足关系式：

SAOBC•夕+SA.C•砺+S△物T区=0即称为经典的“奔驰定理"，若"8C的三边为。，b,c,现有

a-OA+b-OB+c-OC^O,则。为“3C的一心.

2.（2023浙江•模拟预测）己知Rt△48c中，AB=3,AC=4,BC=5,/是“8C的内心，尸是“8C内部（不

含边界）的动点，若石=4万+〃刀（九〃eR）,则彳+〃的取值范围是（）

3.（2022•贵州安顺•统考模拟预测）已知。是平面上的一个定点，/、氏C是平面上不共线的三点，动点P满

/_、

足。尸+2（2eR）,则点尸的轨迹一定经过“8C的（）

A.重心B.外心C.内心D,垂心

4.（2023•全国・专题练习）已知“8C所在的平面上的动点P满足万=|布|三+|就|赤，则直线4P一定经

过"3C的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

5.（2023春•全国•专题练习）已知-15C,/是其内心，内角42,C所对的边分别a/,c,贝I］（）

—■cABbAC

A.AI=~（AB+AC）Bo.AI=------+-------

aa

——bABcACc—cABbAC

c.AI=----------+-----------D.AI=------+-------

a+b+ca+b+ca+ba+c

题型十四：四心向量：垂心

指I点I迷I津一一一

四心的向量统一形式：设X是^ABC内一点且mXA+nXB+pXC=0；

若X为垂心，则加：〃：p=tan4:tan5:tanC.

1.（2023•全国•高三专题练习）奔驰定理：已知。是。2C内的一点，若BOC、"。。、”03的面积分别

记为岳、邑、邑，则S/E+S?・赤+S3・反=6."奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理

对应的图形与“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为"奔驰定理”.如图，已知。是"BC的垂心，且

C

-I