相交线（知识串讲考点提升过关检测）-2025年人教版七年级数学寒假自学提升讲义

第01讲相交线

-•模块导航AT素养目标A

模块一思维导图串知识1、了解无理数和实数的概念。

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2、会对实数按照一定标准进行分类

模块三核心考点举一反三3、掌握实数的相关概念，增强学生应用数学的意识

模块四小试牛刀过关测提高学生应用数学的能力。

模块一思维导图串知识

同一平面内-----------

位置关系I-------------------卜相交或平行

—■不重合-----------

对顶角无公共边-----------

两线四角------------------------Y有公共顶点

-----------轴卜角有共边-----------

定义相交成90°

过一点与已知直线垂直在同一平面内有且只有一条

痼|-------------------------------------------------------

-------------1点到直线的线段垂线段最短

同位角"F"形

三线八角内错角"Z"字形

同旁内角"U"字形

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

一、相交线

直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.

1.垂线

定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做

另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

示例：如图所示，直线AB,CD互相重直，记作：“ABLCD"（或“CDLAB”），读作“AB垂直于CD"（或“CD

垂直于AB”）.如果垂是是0,记作“ABLCD,乘足为0”.

c

垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

【注意】

1）已知直线的垂线有无数条，但在同一平面内，过一点画已知直线的垂线只能画一条.

2）必须强调在同一平面内，若是在空间中，则经过一点与已知直线垂直的直线有无数条.

垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,PO，m,垂足为0,称P0为点P到直线m的垂线段.

垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P

与直线m上的各点连线中，线段P0最短.

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

【注意】

1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误;

2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的.

二、相交线中的角

1.对顶角与邻补角

种类图形顶点边的关系大小关系

对顶角有公共一个角的两边分别是另一角的Z1=Z2,Z3=Z4

顶点两边的反向延长线

邻补角有公共两个角有一条公共边，且它们Zl+Z3=180°,Z2+Z3=180°

一X

顶点的另一边互为反向延长线.Zl+Z4=180°,Z2+Z4=180°

【补充说明】

1）对顶角的特征：1）有公共顶点；2）两个角的两边互为反向延长线.

2）若两个角互为对顶角，则它们一定相等，但两个角相等，则它们不一定为对顶角.

2.同位角、内错角、同旁内角

角的名称位置特征基本图形图形结构特征

同位角在截线的同侧，在被截两形如字母“F”

条直线同侧

内错角在截线的两侧，且夹在两形如字母“Z”

条被截直线之间

同旁内角在截线的同侧，在被截两形如字母“U”

条直线之间於

【补充】如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同

位角，2对内错角，2对同旁内角.

3模块三核心考点举一反三------------------------------

考点一：相交线的相关概念

1.（23-24七年级下•湖南郴州•期末）下列说法不正颂的是（）

A.两点之间，线段最短

B.两条直线相交，只有一个交点

C.两直线平行，同旁内角相等

D.过直线外一点与直线上的点所连接的线段中，垂线段最短

【答案】C

【分析】本题考查线段公理，平行线的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.根据

线段公理，平行线的性质，垂线段最短等知识一一判断即可.

【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，故本选项不符合题意；

B、两条直线相交，只有一个交点，正确，故本选项不符合题意；

C、两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，故本选项符合题意；

D、过直线外一点与直线上的点所连接的线段中，垂线段最短，正确，故本选项不符合题意；

故选：C.

2.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，已知。Nia,OM1a,所以。M与。N在同一条直线上的理由是

oa

A.两点确定一条直线

B.经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线

C.过一点只能作一条垂线

D.垂线段最短

【答案】B

【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键.利用同一平面

内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可.

【详解】解：因为。Nia,OM1a,

所以直线。N与。M重合，

其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，

故选：B.

3.（23-24七年级下•广东东莞•期中）如图，N1与N2是对顶角的为（）

【答案】C

【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两

个角叫做对顶角，由此对各选项作出判断即可.

本题考查对顶角的定义，解题的关键是理解对顶角的定义.

【详解】解：根据对顶角的定义可知：只有选项C是对顶角，其它都不是.

故选C.

4.（2024七年级上•全国・专题练习）下列说法正确的有（）

①对顶角相等；

②互补的两个角是邻补角；

③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；

④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，熟记它们的概念和性质是解题的关键.

根据对顶角的概念、邻补角的概念判断即可.

【详解】解回①对顶角相等，说法正确；

②互补的两个角不一定是邻补角，本小题说法错误；

③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，说法正确；

④两个角不是对顶角，这两个角也可能相等，本小题说法错误；

故选EIB.

5.（22-23七年级下•广西南宁•期中）下列各图中，N1与42互为邻补角的是（）

【答案】D

【分析】本题主要考查了对顶角.根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个

角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，进行判定即可得出答案.

【详解】解：选项A和C中的图形都没有公共顶点，选项B中虽然有公共顶点，但一个角的两边不是另一

个角的两边的反向延长线，故选项A、B和C中的N1与N2不互为邻补角；

根据对顶角的定义即可判断D选项中，/I与N2互为邻补角.

故选：D.

考点二：指出现实问题后的数学依据

6,（24-25九年级上•贵州贵阳•期中）如图,4B,C,6四点在直线Lt,点M在直线汐卜,MC1Z,若AL4=5cm,

【答案】A

【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合

条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质.

【详解】如图所示:

回点M到直线/的距离是垂线段MC的长度，为2cm,

故选：A.

7.（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期中）如图，欲在河岸4B上某处尸点修建一水泵站，将水引到村庄C处,

可在图中画出CP垂直4B,垂足为P,然后沿CP铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据

是：•

C

4Pli8

【答案】垂线段最短

【分析】本题考查点到直线距离的知识，根据两点之间垂线段最短即可得出答案.

【详解】解：解：已知在河岸4B上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，又知直线外一点到该直线

的最短距离是其垂线段，这种设计的依据是：垂线段最短，

故答案为：垂线段最短

8.（22-23七年级下•新疆博尔塔拉•期中）如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是

线段8N的长度，这样测量的依据是.

【答案】垂线段最短

【分析】本题考查了垂线段最短，理解相关含义是解题关键.

【详解】解：测量的依据是垂线段最短，

故答案为：垂线段最短.

9.（22-23七年级下•北京西城・期末）如图，在三角形2BC中，NC=90。，点B到直线AC的距离是线段的

长，的依据是

A

CD----------------------

【答案】BC垂线段最短

【分析】根据点到直线的距离的定义即可说明B到直线4C的距离是线段是8C；在根据两点之间垂线段最短

即可证明BC<B4.

【详解】幺C=90°,

•••AC1BC,

・••点B到直线4C的距离是线段为BC；

•••两点之间垂线段最短，

BC<BA,

故答案为：BC,垂线段最短.

【点睛】本题考查了点到直线的距离定义及两点之间垂线段最短，熟记知识点是解题的关键.

10.（23-24七年级下•北京•期末）如图，若4811,BC1I,8为垂足，那么A,B,C三点在同一直线上，

其理由是.

Co

1B

【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答

案.

【详解】解:I3AB1I,BCA.I,B为垂足，

回48,C三点在同一直线上，

理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

考点三：画垂线

11.（24-25七年级上•全国•课后作业）利用网格画图：

⑴过点C画的垂线，垂足为E；

（2）线段CE的长度是点C到直线的距离;

⑶连接C4CB,在线段C4,CB,CE中，线段最短.

【答案】⑴见详解

(2)48

(3)CE

【分析】本题主要垂线及其做图，点到直线的距离概念，垂线段最短，注意作图的准确性.

(1)根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与力B垂直的格点；

(2)根据点到直线的距离概念回答；

(3)根据垂线段最短直接回答即可.

(2)解：线段CE的长度是点C到直线AB的距离，

故答案为：AB；

(3)解：连接C4CB,在线段中，线段CE最短,

故答案为：CE.

12.(22-23七年级下•辽宁沈阳•阶段练习)如图，点P是乙40B的边0B上的一点.

⑴过点P画。8的垂线，交04于点C；

(2)过点P画。2的垂线段，垂足为H；

⑶点P到直线。力的距离为,线段的长度是点C到直线0B的距离;

【答案】⑴见解析

⑵见解析

⑶PH,PC

【分析】本题主题考查了垂线的作法、点到直线距离的定义等知识点，掌握垂线和垂线段的区别与联系成

为解题的关键.

（1）如图取格点连接PD交。力于点C,直线PD即为所求；

（2）直接根据方格作图即可；

（2）根据点到直线距离解答即可.

【详解】（［）解：如图：直线PD即为所求；

（2）解：如图：线段即为所求.

（3）解：点P到直线的距离为PH,线段PC的长度是点C到直线。8的距离.

故答案为：PH,PC.

13.（24-25七年级上,全国•课后作业）如图，已知锐角N40B,画射线。C1。4射线。D1。8,并直接写

出N/10B与NC。。的关系.

【答案】画图见解析；/-AOB=Z_C。。或44。8+4COD=180°

【分析】本题考查了垂线的定义，角的计算，同角的余角相等的性质，难点在于分情况讨论.

分。C、。。在边。4的同侧和异侧分别作出图形，然后分别进行计算即可得解.

【详解】解：画图如图①〜④.^AOB=NC。。或乙4。8+乙COD=180°.

理由如下：如图1,

EIOC1。4,OD1OB,

+Z.BOC=90°,/.COD+Z.BOC=90°,

团4AOB=乙COD；

如图2,回。Cl。/,OD1OB,

D

②

国乙AOC=乙BOD=90°,

^AOB+乙BOC=Z.AOB+Z.AOD=90°,

回乙4。8+(BOC+Z,AOB+Z.AOD=180°,

又团4BOC+UOB+Z,AOC=乙COD,

^AOB+乙COD=180°；

如图3,Z.AOB+乙COD=360°-^AOC-乙BOD=360°-90°-90°=180°；

D

③

如图4,EOC1OA,OD1OB,

SZ.AOB+^AOD=90°,乙COD+4AOD=90°,

加LAOB=/.COD；

综上所述，NAOB=NCOO或N40B+乙COD=180°.

考点四：判断已知图形中邻补角的个数

14.（23-24七年级上•全国•单元测试）如图，直线AB与CD相交于点0,OE是以。为顶点的一条射

线，图中的对顶角和邻补角各有（）

c

D

H

A.1对、3对B.2对、4对C.2对、6对D.3对、8对

【答案】C

【分析】本题考查了邻补角与对顶角的定义，根据邻补角与对顶角的定义找出邻补角和对顶角即可求解.掌

握定义是解题的关键.

【详解】解：图中对顶角有：UOD与4BOC,4Aoe与乙BOD,共2对，

邻补角有：Z71。。与N20C,乙AOD与乙BOD,4AOE与乙BOE,4C0E与4。。瓦N80C与N71。。，乙BOC与乙BOD,

共6对，

故选：C.

15.（23-24七年级下•天津河北•期中）如图，直线AB,CD,EF相交于点。.贝吐20。的邻补角是（）

A.NB。。和N40CB.NBOE和N40F

C.^DOF^ACOFD.乙BOC

【答案】A

【分析】本题考查了邻补角的概念：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两

个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键.

【详解】解：根据邻补角的定义可知，乙40。的邻补角是ZB。。和乙40C,

故选：A.

16.（22-23八年级上•黑龙江哈尔滨・周测）如图，点。是直线AB上一点，自点。引射线。C、OD、OE、OF,

图中共有一对邻补角.

【答案】4

【分析】此题考查了邻补角定义：和为180度的两个有公共顶点且有公共边的角是邻补角，根据定义直接

解答.

【详解】解：根据图形可知，

AAOC+乙BOC=180°,UOD+乙BOD=180°,^AOE+乙BOE=180°,AAOF+乙BOF=180°,

故答案为4.

17.(22-23七年级下•河北沧州•阶段练习)如图，直线28、CD相交于点O,^AOF=ADOE.

(2)NCOB的邻补角是；

(3)如果440C=70°,4EOD=32°,那么N80E=.

【答案】2〃。4、乙BOD38。/38度

【分析】根据对顶角的定义及性质、邻补角的定义及性质分析解答即可.

【详解】解：(1)图中的对顶角有乙力。。和NBOD；N力。。和NBOC；共2对，

故答案为：2；

(2)NCOB的令B补角是NC。力、「BOD,

故答案为：力、Z.BOD-,

(3)HZAOC=70°,

0ZBOD=Z.AOC=70°,

0ZFOZ)=32°,

EINBOE=乙BOD-乙EOD=38°,

故答案为：38。.

【点睛】本题考查了对顶角的定义及性质、邻补角的定义，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.

考点五：交叉图形中的角度计算

18.(24-25七年级上•吉林长春,阶段练习)如图，直线4B,CD相交于点0,04平分NEOC.

(1)若NEOC=70°,求N8。。的度数；

(2)若NEOC"。。=2:3,求NBOE的度数.

【答案】⑴35。

(2)144°

【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，以及邻补角的定义.

(1)由角平分线的定义可求出乙4OC=1NEOC=35。，再根据对顶角相等即可求解；

(2)设NE0C=2x,贝！UE0D=3X,根据NEOC+NE。。=180。，可列出关于x的方程，解出x的值，即

可求出NEOC的大小，进而可求出ABOE的大小.

【详解】(1)解：•・・。4平分4£'。。，

11

AAOC=-^EOC=-x70°=35°,

22

.­.乙BOD=/.AOC=35°；

(2)解：SZ.EOC-.Z.EOD=2:3,

设NEOC=2x,贝IJNEOD=3%,

回根据题意得2x+3%=180°,

解得：%=36°,

•••4EOC=2x=72°,贝!UE04=36°,

•••4BOE=180°-36°=144°.

19.(24-25七年级上•吉林长春•阶段练习)如图，直线力B,CD相交于点O,OM1AB.

(1)若N1=N2,则42的余角有.

(2)^zl=-^BOC,求NBOD和N40D的度数.

4

【答案】(l)zXOC,乙BOD

⑵乙4。。=120°,乙BOD=60°.

【分析】此题主要考查了垂直的定义，对顶角的性质和邻补角的定义计算，要注意领会由垂直得直角这一

要点.

(1)由垂线的性质求得乙40M=NB。"=90。，然后根据等量代换及余角的定义解答；

(2)根据垂直的定义求得N4CW=Z.BOM=90°,再由=LBOC求得乙BOC=120°,然后根据邻补角

4

定义和对顶角的性质即可求解.

【详解】(1)解：•••OM1AB,41=42,

Z1+/.AOC=42+乙40C=90°,即“ON=90°,

0ZXOC=乙BOD,

N2的余角有：^AOC,乙BOD；

故答案为：^AOC,4B0D；

(2)解：•••OM1AB,

•••^AOM=4BOM=90°,

•••A1=-^BOC,ABOC=ZBOM+Z1,

4

0Z1=30°,

3

•••乙BOC=AAOD=120°,

0ZBOO=180°-4BOC=60°.

20.(23-24七年级上,吉林四平,期末)如图，射线。力的方向是北偏东20。，射线。B的方向是北偏西35。、射

线。。是OB的反向延长线，且射线。4平分NBOC.解答下列各题：

⑴射线OC的方向是；

(2)求NC。。的度数；

⑶若射线OE的方向是东南方向，请直接写出NCOE的度数.

【答案】⑴北偏东75。

(2)zC0Z)=70°

(3)ZCO£=60°

【分析】此题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键.

(1)先求出乙4。8=55。，再求得4V0C的度数，即可确定OC的方向；

(2)根据乙4OB=55。，Z.AOC=Z.AOB,得出/.BOC=110°,进而求出NC。。的度数；

(3)根据NAOB=55。，ZXOC=Z.AOB,射线OE平分NCOD,即可求出NCOE=35。再利用N40C=55。求

出答案即可.

【详解】⑴解：如图：

回射线04的方向是北偏东20。，射线。B的方向是北偏西35。

0ZXOB=20°+35°=55°,

回射线。4平分NBOC

EL4OC=/.AOB=55°

0ZjVOC=20°+55°=75°,即射线OC的方向是北偏东75。；

(2)解：回乙4。8=55。，乙4。。=乙4。3,

0ZBOC=110°,

团“。。=180°-乙BOC=180°-2乙4OB=70°；

(3)解：团射线。E的方向是东南方向，

•••乙M0E=45。，

•••NNOC=75°,

NC0M=90°-75°=15°,

ACOE=15°+45°=60°.

21.(24-25七年级上•全国•课后作业)如图，。是直线28上一点，过点。作OC、OD、0E三条射线，。。平

分N40C,^AOE=Z.BOD.

(1)若N40C=60°,则NBOE的度数为；

(2)若NCOE=3乙40C,求NBOE的度数；

⑶在(2)的条件下，若过点O作射线OF使得NEOF=90。，求乙40尸的度数.

【答案】(1)30°；

(2)NBOE的度数为20。；

⑶乙40尸的度数为70。或110。.

【分析】本题考查了角平分线的定义和角的计算，熟练掌握角平分线的定义，并能够根据题目已知条件找

到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键.

(1)由条件。。平分乙40c可得乙4。。=30。，再由条件乙40E=可得乙40。=Z80E,通过等量代换

即可得到NBOE的度数；

(2)由条件4c0E=3N40C,并结合(1)的结论=4BOE,可得/COE=64B0E,再利用N40B为

平角找出等量关系列出等式，即可求解N80E的度数；

(3)分射线。/在NCOE的内部及外部两种情况讨论，作出示意图并结合图形先计算N80F的度数，再根据

N40F与NBOF互补的关系即可得解.

【详解】(1)­•-0。平分乙40C,

.­.乙4。。=三乙4。。=30。.

2

•・•乙AOE=Z.AOD+乙DOE,

・•.Z.AOD=Z-AOE-(DOE

同理，乙BOE=(BOD一乙DOE,

Z.AOE=乙BOD,

・•・乙BOE=乙40。=30°.

(2)由题可知，/LBOE=^AOD=-/-AOC,

2

Z.AOC=2/-BOE.

v乙COE=3/-AOC,

•••乙COE=6乙BOE,

由题可知乙4OB为平角，

•••AAOC+乙COE+乙BOE=180°,

即2/BOE+64BOE+乙BOE=180°,

•••乙BOE=20°,

NBOE的度数为20。.

(3)当OF在NCOE内部时，如图①，

贝此8。尸=4EOF+乙BOE=90°+20°=110.

.­./.AOF=180°-乙BOF=180°-110°=70°；

当OF在NCOE外部时，如图②，

贝此80F=4EOF-乙BOE=90°-20°=70°,

•••^AOF=180°-乙BOF=180°-70°=110°.

综上所述，乙4OF的度数为70。或110。.

22.(24-25七年级上•全国•课后作业)如图，直线4B、CD交于点。，OE、OF分别在N80C、乙20。内部，且

。。平分N80F.

E

(1)乙4。。的对顶角是

(2)若/8。尸=40%乙COE=100°,贝1|乙BOE的度数为；

(3)若。B平分NEOF,^AOC-.^AOF=1:3,求NCOE的度数；

(4)若NAOE=NEOF,Z.BOE=60°,判断。8是否平分/EOF,并说明理由.

【答案】(1)48。。

(2)60°

(3)72°

⑷OB平分NEOF,理由见解析

【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，几何中角度的计算，解题的关键是数形结合，

熟练掌握角平分线的定义.

(1)根据对顶角的定义即可解答；

(2)根据角平分线的定义得出NB。。=£FOD=2NBOF=之义40。=20。，再根据NCOE+NBOE+NB。。=

180°,求出结果即可；

(3)由N4OC:Z_4OF=1:3,得至！JNAOF=3/B。。，根据角平分线的定义得出/DOF=根据U0C+

Z.AOF+Z.FOD=180°,求出48。。=36。，根据角平分线的定义得出NBOE=NB。尸=72。，根据NCOE+

/.EOB+/.BOD=180°,求出结果即可；

(4)由N8OE=60。，利用平角的定义得到乙4OE=120。，再根据乙4OE=4EOF,求出/EOF=120。，结

合乙BOE=60°得出结论.

【详解】(1)解：根据题意：N40C的对顶角是NBOD；

⑵解：•••。。平分NBOF,

乙BOD=-2^BOF=20°,

・•・乙BOE=180°-乙BOD-乙COE=180°-20°-100°=60°；

(3)解：乙4OC与乙8。。为对顶角，

•••/-AOC=Z.BOD,

・•.Z.BOD-.Z.AOF=Z.AOC\^AOF=1:3,^Z.AOF=3^BOD.

•・•。。平分48。尸,

・•.Z.DOF=乙BOD,

・•.AAOF+乙DOF+乙BOD=34BOD+乙BOD+乙BOD=180°,

・•・乙BOD=36°,

・•・Z.AOC=乙BOD=36%Z.BOF=2乙BOD=72°.

又•・•。3平分4EOF,

・•・乙BOE=乙BOF=72°,

・•・乙COE=180°-/,AOC-Z.BOE=180°-36°-72°=72°；

(4)解：。8平分NEOF,理由如下：

•・•乙BOE=60°,

・•・AAOE=120°.

Z.AOE=乙EOF,

・•・乙EOF=120°,

・•・乙BOF=乙EOF-乙BOE=120°-60°=60°,

•••乙BOE=Z-BOF,

。3平分NEOF.

23.（23-24七年级上•贵州黔东南•期末）已知：点。为直线48上一点，过点。作射线。C,Z-BOC=110°.

⑵如图2,过点。作射线。D,使NCOD=90。，作乙40c的平分线。M,求NM。。的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，作射线0P,若NBOP与乙40M互余，求NCOP的度数.

【答案】⑴70。

(2)55°

(3)55°或165°

【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，数形结合根据射线0P的位置分类讨论是解题关键.

(1)根据平角的定义计算求值即可；

(2)根据余角的定义可得入4OD,根据角平分线的定义可得N40M,再计算角度和即可；

(3)由余角的定义可得4BOP=55。，分射线0P在N80C内部、射线0P在N80C外部两种情况，分别计算角

的差、和即可.

【详解】(1)解：0ZSOC=110°

EIZXOC=180°-NBOC=70°；

(2)解：由(1)得N40C=70°,

EIZCOD=90°,

团乙4。。=/.COD-/.AOC=20°,

OOM是乙40c的平分线，

11

^AOM=-/-AOC=-x70°=35°,

22

团NM。。=/.AOM+Z.AOD=35°+20°=55°；

（3）解：由（2）得乙4OM=35。，

团NBOP与ZJ1OM互余，

EINBOP+AAOM=90°,

E1NBOP=900-Z40M=90°-35°=55°,

①当射线。P在NBOC内部时，如图,

A-

D乙COP=乙BOC-乙BOP=110°-55°=55°；

②当射线。P在NBOC外部时，如图,

PZ.COP=Z.BOC+Z-BOP=110°+55°=165°.

综上所述，NCOP的度数为55。或165。.

考点六：三线八角的识别

24.（23-24七年级下,甘肃陇南•阶段练习）如图，BF,DE相交于点A,BG交BF于点B,交AC于点C.

F

DE

⑴指出DE,BC被BF所截形成的同位角、内错角、同旁内角；

（2）指出。E,8c被AC所截形成的内错角；

⑶指出FB,BC被47所截形成的同旁内角.

【答案】⑴同位角：NF4E和NB；内错角：NB和NDAB；同旁内角：NE4B和NB；

（2）NEAC和NBC4,ND4C和NACG；

（3）z_B4C和NBC4NF4c和N4CG.

【分析】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义：

（1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的

同旁，则这样一对角叫做同位角.两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，

并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角.两条直线被第三条直线所截形成的角中，

若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解

即可；

（2）根据内错角的定义求解即可；

（3）根据同旁内角的定义求解即可.

【详解】（1）解：同位角：NF4E和NB；内错角：AB和NZMB；同旁内角：NE4B和NB；

（2）解：NE4C和NBC4,ND力C和N4CG都是内错角；

（3）解：NB4C和WBC4NF4C和N4CG都是同旁内角.

25.（23-24七年级上,全国•单元测试）找出图中与N1是同位角、内错角、同旁内角的所有角.

【答案】Z1的同位角：4GDF,A.GEF,乙FBC,乙FCH；N1的内错角：^.MDA,乙NED,^ABP,NHCQ；

41的同旁内角：/.ADF,/.AEF,/.ABF,Z.ACD

【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成"F"形，内错角的边构成"Z"形，同旁内

角的边构成"U"形.

根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截

线）的同旁，则这样一对角叫做同位角.

内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）

的两旁，则这样一对角叫做内错角.

同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截

线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可.

【详解】解：41是同位角：乙GDF,乙GEF,4FBC,乙FCH；

N1的内错角：ZMD4,乙NED,AABP,KACQ；

41的同旁内角：^ADF,乙DEF,AABF,^ACD.

26.（23-24七年级下•全国•课后作业）如图，指出图中直线力C,BC被直线DE所截形成的同位角、内错角、

同旁内角.（仅指用数字标出的角）

【答案】见解析

【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，同位角：在两条直线被第三条直线所截的同侧，

被截两直线同侧的两个角称为同位角；内错角：在两条直线被第三条直线所截的两侧，且夹在两条被截直

线之间的一对角称为内错角；同旁内角：在两条直线被第三条直线所截的同旁，被截两直线之间的两个角

称为同旁内角；由此即可得出答案.

【详解】解：由图可得：

同位角：N1与42,N4与N6;

内错角：41与N3,N4与45;

同旁内角：43与N4,41与45.

27.（21-22七年级下•河北石家庄,阶段练习）如图，AB,AC射线与直线EF分别相交于点”，G.按要求完

成下列各小题.

⑴图中共有一对对顶角，一对内错角；

（2）①乙4的同旁内角是二

②NEGC和是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是具有什么位置关系的角？

⑶过点G画射线的垂线，交4B于点并指出哪条线段的长度表示点G至必8的距离.

【答案】（1）4；4

⑵①乙4GF,4AHE；②NEGC和是直线北，4B被直线EF所截形成；同位角

⑶图见解析，GM

【分析】（1）根据对顶角和内错角的定义进行判断即可；

（2）①根据同旁内角的定义，进行判断即可；②根据三线八角的关系，进行判断即可；

（3）根据题意画出垂线即可，根据点到直线的距离为垂线段的长，即可得出结论.

【详解】（1）解：由图可知:41和42,N3和N4,N5和N6,47和N8是对顶角，共4对；/2和乙5,乙4和47,Z1

故答案为：4；4

（2）①由图可知：N4的同旁内角是N4GF,AAHE；

故答案为：乙4GF,UHE；

②NEGC和是直线被直线EF所截形成的同位角;

（3）如图；

E

B

由图可知：线段GM的长即为点G至!MB的距离.

【点睛】本题考查三线八角，对顶角，点到直线的距离.熟练掌握相关定义是解题的关键.

28.（23-24七年级下•全国•课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点

角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从N1跳到终点位置N6的路

径如下：

路径1：N1玲内错角N7好同旁内角N6；

路径2：N1好同旁内角N13-内错角N10-同位角N8f同旁内角N5f同旁内角46.

⑴写出任意一条从起始位置41玲终点位置43的路径；

⑵从起始位置N1依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置42?并写出路径.

【答案】⑴N1玲同旁内角N13玲同位角43（答案不唯一）；

（2）能，Z.1玲内错角N4f同位角N7f同旁内角N2（答案不唯一,）;

【分析】本题考查内错角，同位角，同旁内角的判断：

（1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案；

（2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案；

【详解】（1）解：由题意可得，

41玲同旁内角N13f同位角43（答案不唯一）；

（2）解：能，理由如下，

由题意可得，

41f内错角N4f同位角47f同旁内角N2（答案不唯一）.

6模块四小试牛刀过关测-------------------------------

1.（2024七年级上,全国•专题练习）如图，直线ZB、CD相交于点0,乙E0D=90°.下列说法不正确的是（）

A.Z-AOD=Z-BOCB.Z-AOC=Z-AOE

C.Z.AOE+/LBOD=90°D.^AOD+/-BOD=180°

【答案】B

【分析】本题考查了对顶角的性质，平角的定义、互余的定义等，由对顶角的性质，平角的定义、互余的

定义逐一判断，即可求解；理解对顶角的性质，平角的定义、互余的定义是解题的关键.

【详解】解：A.-.-NA。。与NBOC是对顶角，

Z.AOD=Z.BOC,结论正确，故不符合题意；

B,由图得〃。C=N40E不一定成立，结论错误，故符合题意；

C.vAEOD=90°,

•••乙COE=90°,

.­./.AOE+Z.AOC=90°,

•••/.AOC=乙BOD,

^AOE+ABOD=90°,结论正确，故不符合题意；

D.由图得乙4。。+乙BOD=180°,结论正确，故不符合题意；

故选：B.

2.（2024七年级上•全国•专题练习）2024年香洲区举办了第六届风筝节.如图所示的风筝骨架中，与N3构

成同旁内角的是（）

A.Z1B.Z.2C.Z4D.Z5

【答案】A

【分析】本题考查的是同旁内角的定义，关键是知道哪两条直线被第三条直线所截.根据同旁内角的定义

解答即可，即两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角.

【详解】解：与N3构成同旁内角的是N1.

故选：A.

3.（24-25七年级上•黑龙江绥化•阶段练习）下面四个图形中，N1与42是对顶角的为（）

【答案】C

【分析】本题考查了对顶角.两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角，根据定义结合图形逐个判断即可.

【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；

B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；

C、符合对顶角的定义，故本选项符合题意；

D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意；

故选：C.

4.（2024七年级上•全国•专题练习）点P为直线MN外一点，点4、B、C为直线MN上三点，PA=4cm,PB=

5cm,PC=2cm,则点P到直线MN的距离为（）

A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm

【答案】D

【分析】本题考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质.根据点到直线的距离是直线外的点与直

线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案.

【详解】解：当PCJ_MN时，PC是点P到直线MN的距离，即点P到直线MN的距离2cm,

当PC不垂直直线MN时，点P到直线MN的距离小于PC的长，即点P到直线MN的距离小于2cm,

综上所述：点尸到直线MN的距离不大于2cm,

故选：D.

5.（24-25九年级上•吉林长春•阶段练习）如图在中N2C8=90°,CD1AB,。为垂足，则下列说法中，

错误的是（）

A.点B到AC的距离是线段BC的长B.线段CD是4B边上的高

C.线段力C是BC边上的高D.点C到的距离是线段4c的长

【答案】D

【分析】本题主要考查了点到直线的距离，三角形的高，根据点到直线的距离，三角形的高的概念逐项排

除即可，正确理解点到直线的距离，三角形的高是解题的关键.

【详解】A、点B到力C的距离是线段BC的长，原选项说法正确，不符合题意；

B、线段CD是2B边上的高，原选项说法正确，不符合题意；

C、线段力C是BC边上的高，原选项说法正确，不符合题意；

D、点C到4B的距离是线段CD的长，原选项说法不正确，符合题意；

故选：D.

6.（24-25七年级上•河南鹤壁•阶段练习）如图，在所标识的角中，下列说法不正确的是（）

A.N1与45是内错角B.43与乙5是对顶角

C.41与44是同位角D.N1与Z.2是同旁内角

【答案】C

【分析】根据内错角，对顶角，同位角，同旁内角的定义解答即可.

【详解】解：A.N1与45是内错角，本选项正确，不符合题意，

B.N3与N5是对顶角，本选项正确，不符合题意，

C.N1与44不是同位角，本选项错误，符合题意，

D.N1与Z.2是同旁内角，本选项正确，不符合题意，

故选：C.

【点睛】本题考查了内错角，对顶角，同位角，同旁内角的定义，正确理解定义是解题的关键.

7.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，利用工具测量角，贝吐1的大小为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【分析】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键.利用对顶角相等求解,

即可解题.

【详解】解：根据量角器测量的度数为30。，由对顶角相等可得N1=30。.

故选：A.

8.（24-25七年级上•河南南阳,阶段练习）如图,E是直线C4上一点,NFE4=40。,射线EB平分NCEF,GE1EF,

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B

【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的定义，掌握相关知识点并灵活运用是解题关键.

先根据平角的对应求出NCEF=140°,射线平分NCEF,得出NCEB=乙BEF=jzCEF=70°,再根据GE1

EF,可得NGEB=乙GEF-乙BEF=90°-70°=20°.

【详解】EINFE4=40°,

EIZCFF=180°-/.FEA=140°,

团射线EB平分NCEF,

1

0ZCFB=乙BEF=-ACEF=70°,

2

EIGE1EF,

EINGEB=Z.GEF-乙BEF=90°-70°=20°.

故选：B.

9.（24-25七年级上•云南文山•期中）下列各图中，N1与42是内错角的是（）

【答案】A

【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键.两条直线被第三条直线所截形成的

八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.

根据内错角的定义可知，内错角是成"Z"字形的两个角，据此逐项分析可得答案.

【详解】解：A.、41与42是内错角，符合题意；

B、41与N2不是内错角，不符合题意；

C、与42不是内错角，不符合题意；

D、41与N2不是内错角，不符合题意；

故选：A.

10.（24-25七年级上•河北衡水•期中）如图，点。在直线力B上，AAOD=22.5。，NBOC=45°,OE平分乙BOC,

则NEOC的补角是（）

C

AOB

A./.AOCB.NAOE或NDOB

C.乙4OE或4OB或乙4OC+NDOED.以上都不对

【答案】B

【分析】本题主要考查角平分线的定义、补角的定义及邻补角，熟练掌握角平分线的定义、补角的定义及

邻补角是解题的关键；由题意易得NBOE=乙COE乙BOC=22.5°=U0D,乙4。。+Z.BOD=180°=

^BOE+^AOE,然后问题可求解.

【详解】解：团42。。=22.5°,/.BOC=45°,OE平分NBOC,

0ZBOF=乙COE^-LBOC=22.5°=^AOD,/.AOC=180°-4BOC=135°,

2

团乙AOD+（BOD=180°=乙BOE+^AOE,

团乙EOC+乙BOD=180°=Z-EOC+Z.AOE,

国乙DOE=180°-乙AOD一乙BOE=135°,

团乙AOC+乙DOE=270°,

综上所述：4EOC的补角为4ZOE或乙0。8.

故选B.

11.（22-23七年级上•陕西咸阳•期末）已知0410C,乙4。&乙4OC等于4:5,贝亚80C的度数为.

【答案】18。或162。

【分析】此题主要考查了垂线的定义，角的和差运算.结合图形是做这类题的关键.根据垂直关系知乙4。。=

90°,由乙4。8:乙4。。=4:5,可求乙408=72。，根据乙4OB与乙4OC的位置关系，分类求解即可.

【详解】解：BOA1OC,

团乙4OC=90°,

^\Z.AOB\Z.AOC=4:5,

^AOB=72°.

乙4。区的位置有两种：一种是在乙4OC内，一种是在乙4OC外.

H'B

D

①当在N40C内时，/.BOC=90°-72°=18°；

②当在NZOC夕卜时，NBOC=90°+72°=162°.

故答案为：18。或162。.

12.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，若N1=30。/2=110。，贝亚3的同位角的大小是,43的

内错角的大小是，N3的同旁内角的大小是.

【答案】70。70°110°

【分析】本题主要考查内错角、同位角以及同旁内角，观察图形易得N3的同位角、内错角都为42的邻补角，

接下来结合42的度数计算即可；同样由图可得43的同旁内角为42的对顶角，N1与43为对顶角，据此解答.

【详解】解：由图可得N3的同位角、内错角都为42的邻补角，

又42=110°,

则其同位角大小为180。-110°=70°；

43的内错角大小为180。-110°=70°；

乙3的同旁内角为N2的对顶角，则大小为110。；

故答案为：70。；70°；110°.

13.（2024七年级上•全国・专题练习）如图，己知点。是直线48上一点，乙40c=50°,0。平分N40C,NBOE=

90°,请写出下列正确结论的序号.

E

①NBOC=130°；②N4。。=25°；③4BOD=155°；④NCOE=45°.

【答案】①②③

【分析】本题主要考查角平分线，根据角平分线的、邻补角和直角的意义求解可得.

【详解】解：因为乙4。。=50。，所以NBOC=180。一44。。=130。，故①正确；

因为。D平分乙40C,所以乙4。。=|zXOC=25°,故②正确；

因为NB。。=180°-乙4OD=155°,故③正确；

因为NBOE=90。,44。。=50。，所以NCOE=180。一4力。C-NBOE=40。，故④错误。

故答案为：①②③

14.（2024七年级上•全国•专题练习）如图，直线A