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文档简介
第01讲相交线
-•模块导航AT素养目标A
模块一思维导图串知识1、了解无理数和实数的概念。
模块二基础知识全梳理(吃透教材)2、会对实数按照一定标准进行分类
模块三核心考点举一反三3、掌握实数的相关概念,增强学生应用数学的意识
模块四小试牛刀过关测提高学生应用数学的能力。
模块一思维导图串知识
同一平面内-----------
位置关系I-------------------卜相交或平行
—■不重合-----------
对顶角无公共边-----------
两线四角------------------------Y有公共顶点
-----------轴卜角有共边-----------
定义相交成90°
过一点与已知直线垂直在同一平面内有且只有一条
痼|-------------------------------------------------------
-------------1点到直线的线段垂线段最短
同位角"F"形
三线八角内错角"Z"字形
同旁内角"U"字形
6模块二基础知识全梳理-----------------------------
一、相交线
直线的位置关系:在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种:相交或平行.
1.垂线
定义:当两条相交直线所成的四个角中,有一个角是直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做
另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
示例:如图所示,直线AB,CD互相重直,记作:“ABLCD"(或“CDLAB”),读作“AB垂直于CD"(或“CD
垂直于AB”).如果垂是是0,记作“ABLCD,乘足为0”.
c
垂线的性质:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【注意】
1)已知直线的垂线有无数条,但在同一平面内,过一点画已知直线的垂线只能画一条.
2)必须强调在同一平面内,若是在空间中,则经过一点与已知直线垂直的直线有无数条.
垂线段的定义:如图,点P为直线外一点,PO,m,垂足为0,称P0为点P到直线m的垂线段.
垂线段最短定理:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,简称垂线段最短.如图,点P
与直线m上的各点连线中,线段P0最短.
点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
【注意】
1)垂线段是一个几何图形,而点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,容易出现概念混淆的错误;
2)过直线外一点和直线上各点的线段有无数条,但只有一条是垂线段,且垂线段是最短的.
二、相交线中的角
1.对顶角与邻补角
种类图形顶点边的关系大小关系
对顶角有公共一个角的两边分别是另一角的Z1=Z2,Z3=Z4
顶点两边的反向延长线
邻补角有公共两个角有一条公共边,且它们Zl+Z3=180°,Z2+Z3=180°
一X
顶点的另一边互为反向延长线.Zl+Z4=180°,Z2+Z4=180°
【补充说明】
1)对顶角的特征:1)有公共顶点;2)两个角的两边互为反向延长线.
2)若两个角互为对顶角,则它们一定相等,但两个角相等,则它们不一定为对顶角.
2.同位角、内错角、同旁内角
角的名称位置特征基本图形图形结构特征
同位角在截线的同侧,在被截两形如字母“F”
条直线同侧
内错角在截线的两侧,且夹在两形如字母“Z”
条被截直线之间
同旁内角在截线的同侧,在被截两形如字母“U”
条直线之间於
【补充】如图,两条直线a、b被第三条直线c所截,构成8个角,简称为“三线八角”,其中共有4对同
位角,2对内错角,2对同旁内角.
3模块三核心考点举一反三------------------------------
考点一:相交线的相关概念
1.(23-24七年级下•湖南郴州•期末)下列说法不正颂的是()
A.两点之间,线段最短
B.两条直线相交,只有一个交点
C.两直线平行,同旁内角相等
D.过直线外一点与直线上的点所连接的线段中,垂线段最短
【答案】C
【分析】本题考查线段公理,平行线的性质,垂线段最短等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识.根据
线段公理,平行线的性质,垂线段最短等知识一一判断即可.
【详解】解:A、两点之间,线段最短,正确,故本选项不符合题意;
B、两条直线相交,只有一个交点,正确,故本选项不符合题意;
C、两直线平行,同旁内角互补,原说法错误,故本选项符合题意;
D、过直线外一点与直线上的点所连接的线段中,垂线段最短,正确,故本选项不符合题意;
故选:C.
2.(2024七年级上•全国•专题练习)如图,已知。Nia,OM1a,所以。M与。N在同一条直线上的理由是
oa
A.两点确定一条直线
B.经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C.过一点只能作一条垂线
D.垂线段最短
【答案】B
【分析】本题考查了垂线的基本事实,根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键.利用同一平面
内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可.
【详解】解:因为。Nia,OM1a,
所以直线。N与。M重合,
其理由是:同一平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,
故选:B.
3.(23-24七年级下•广东东莞•期中)如图,N1与N2是对顶角的为()
【答案】C
【分析】根据对顶角的定义,两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线,这样的两
个角叫做对顶角,由此对各选项作出判断即可.
本题考查对顶角的定义,解题的关键是理解对顶角的定义.
【详解】解:根据对顶角的定义可知:只有选项C是对顶角,其它都不是.
故选C.
4.(2024七年级上•全国・专题练习)下列说法正确的有()
①对顶角相等;
②互补的两个角是邻补角;
③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;
④若两个角不是对顶角,则这两个角一定不相等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【分析】本题考查的是对顶角、邻补角的概念,熟记它们的概念和性质是解题的关键.
根据对顶角的概念、邻补角的概念判断即可.
【详解】解回①对顶角相等,说法正确;
②互补的两个角不一定是邻补角,本小题说法错误;
③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角,说法正确;
④两个角不是对顶角,这两个角也可能相等,本小题说法错误;
故选EIB.
5.(22-23七年级下•广西南宁•期中)下列各图中,N1与42互为邻补角的是()
【答案】D
【分析】本题主要考查了对顶角.根据对顶角的定义:有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个
角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角,进行判定即可得出答案.
【详解】解:选项A和C中的图形都没有公共顶点,选项B中虽然有公共顶点,但一个角的两边不是另一
个角的两边的反向延长线,故选项A、B和C中的N1与N2不互为邻补角;
根据对顶角的定义即可判断D选项中,/I与N2互为邻补角.
故选:D.
考点二:指出现实问题后的数学依据
6,(24-25九年级上•贵州贵阳•期中)如图,4B,C,6四点在直线Lt,点M在直线汐卜,MC1Z,若AL4=5cm,
【答案】A
【分析】本题主要考查了点到直线的距离,根据垂线的性质:直线外一点到这条直线的垂线段最短,结合
条件进行解答即可,解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质.
【详解】如图所示:
回点M到直线/的距离是垂线段MC的长度,为2cm,
故选:A.
7.(24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期中)如图,欲在河岸4B上某处尸点修建一水泵站,将水引到村庄C处,
可在图中画出CP垂直4B,垂足为P,然后沿CP铺设,则能使铺设的管道长最短,这种设计的依据
是:•
C
4Pli8
【答案】垂线段最短
【分析】本题考查点到直线距离的知识,根据两点之间垂线段最短即可得出答案.
【详解】解:解:已知在河岸4B上某处P点修建一水泵站,将水引到村庄C处,又知直线外一点到该直线
的最短距离是其垂线段,这种设计的依据是:垂线段最短,
故答案为:垂线段最短
8.(22-23七年级下•新疆博尔塔拉•期中)如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印,他的跳远成绩是
线段8N的长度,这样测量的依据是.
【答案】垂线段最短
【分析】本题考查了垂线段最短,理解相关含义是解题关键.
【详解】解:测量的依据是垂线段最短,
故答案为:垂线段最短.
9.(22-23七年级下•北京西城・期末)如图,在三角形2BC中,NC=90。,点B到直线AC的距离是线段的
长,的依据是
A
CD----------------------
【答案】BC垂线段最短
【分析】根据点到直线的距离的定义即可说明B到直线4C的距离是线段是8C;在根据两点之间垂线段最短
即可证明BC<B4.
【详解】幺C=90°,
•••AC1BC,
・••点B到直线4C的距离是线段为BC;
•••两点之间垂线段最短,
BC<BA,
故答案为:BC,垂线段最短.
【点睛】本题考查了点到直线的距离定义及两点之间垂线段最短,熟记知识点是解题的关键.
10.(23-24七年级下•北京•期末)如图,若4811,BC1I,8为垂足,那么A,B,C三点在同一直线上,
其理由是.
Co
1B
【答案】在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】本题考查的是垂线的性质,利用在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答
案.
【详解】解:I3AB1I,BCA.I,B为垂足,
回48,C三点在同一直线上,
理由是:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
故答案为:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
考点三:画垂线
11.(24-25七年级上•全国•课后作业)利用网格画图:
⑴过点C画的垂线,垂足为E;
(2)线段CE的长度是点C到直线的距离;
⑶连接C4CB,在线段C4,CB,CE中,线段最短.
【答案】⑴见详解
(2)48
(3)CE
【分析】本题主要垂线及其做图,点到直线的距离概念,垂线段最短,注意作图的准确性.
(1)根据网格结构的特点,利用直线与网格的夹角的关系找出与力B垂直的格点;
(2)根据点到直线的距离概念回答;
(3)根据垂线段最短直接回答即可.
(2)解:线段CE的长度是点C到直线AB的距离,
故答案为:AB;
(3)解:连接C4CB,在线段中,线段CE最短,
故答案为:CE.
12.(22-23七年级下•辽宁沈阳•阶段练习)如图,点P是乙40B的边0B上的一点.
⑴过点P画。8的垂线,交04于点C;
(2)过点P画。2的垂线段,垂足为H;
⑶点P到直线。力的距离为,线段的长度是点C到直线0B的距离;
【答案】⑴见解析
⑵见解析
⑶PH,PC
【分析】本题主题考查了垂线的作法、点到直线距离的定义等知识点,掌握垂线和垂线段的区别与联系成
为解题的关键.
(1)如图取格点连接PD交。力于点C,直线PD即为所求;
(2)直接根据方格作图即可;
(2)根据点到直线距离解答即可.
【详解】([)解:如图:直线PD即为所求;
(2)解:如图:线段即为所求.
(3)解:点P到直线的距离为PH,线段PC的长度是点C到直线。8的距离.
故答案为:PH,PC.
13.(24-25七年级上,全国•课后作业)如图,已知锐角N40B,画射线。C1。4射线。D1。8,并直接写
出N/10B与NC。。的关系.
【答案】画图见解析;/-AOB=Z_C。。或44。8+4COD=180°
【分析】本题考查了垂线的定义,角的计算,同角的余角相等的性质,难点在于分情况讨论.
分。C、。。在边。4的同侧和异侧分别作出图形,然后分别进行计算即可得解.
【详解】解:画图如图①〜④.^AOB=NC。。或乙4。8+乙COD=180°.
理由如下:如图1,
EIOC1。4,OD1OB,
+Z.BOC=90°,/.COD+Z.BOC=90°,
团4AOB=乙COD;
如图2,回。Cl。/,OD1OB,
D
②
国乙AOC=乙BOD=90°,
^AOB+乙BOC=Z.AOB+Z.AOD=90°,
回乙4。8+(BOC+Z,AOB+Z.AOD=180°,
又团4BOC+UOB+Z,AOC=乙COD,
^AOB+乙COD=180°;
如图3,Z.AOB+乙COD=360°-^AOC-乙BOD=360°-90°-90°=180°;
D
③
如图4,EOC1OA,OD1OB,
SZ.AOB+^AOD=90°,乙COD+4AOD=90°,
加LAOB=/.COD;
综上所述,NAOB=NCOO或N40B+乙COD=180°.
考点四:判断已知图形中邻补角的个数
14.(23-24七年级上•全国•单元测试)如图,直线AB与CD相交于点0,OE是以。为顶点的一条射
线,图中的对顶角和邻补角各有()
c
D
H
A.1对、3对B.2对、4对C.2对、6对D.3对、8对
【答案】C
【分析】本题考查了邻补角与对顶角的定义,根据邻补角与对顶角的定义找出邻补角和对顶角即可求解.掌
握定义是解题的关键.
【详解】解:图中对顶角有:UOD与4BOC,4Aoe与乙BOD,共2对,
邻补角有:Z71。。与N20C,乙AOD与乙BOD,4AOE与乙BOE,4C0E与4。。瓦N80C与N71。。,乙BOC与乙BOD,
共6对,
故选:C.
15.(23-24七年级下•天津河北•期中)如图,直线AB,CD,EF相交于点。.贝吐20。的邻补角是()
A.NB。。和N40CB.NBOE和N40F
C.^DOF^ACOFD.乙BOC
【答案】A
【分析】本题考查了邻补角的概念:只有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两
个角,互为邻补角,根据邻补角的概念解答是解决问题的关键.
【详解】解:根据邻补角的定义可知,乙40。的邻补角是ZB。。和乙40C,
故选:A.
16.(22-23八年级上•黑龙江哈尔滨・周测)如图,点。是直线AB上一点,自点。引射线。C、OD、OE、OF,
图中共有一对邻补角.
【答案】4
【分析】此题考查了邻补角定义:和为180度的两个有公共顶点且有公共边的角是邻补角,根据定义直接
解答.
【详解】解:根据图形可知,
AAOC+乙BOC=180°,UOD+乙BOD=180°,^AOE+乙BOE=180°,AAOF+乙BOF=180°,
故答案为4.
17.(22-23七年级下•河北沧州•阶段练习)如图,直线28、CD相交于点O,^AOF=ADOE.
(2)NCOB的邻补角是;
(3)如果440C=70°,4EOD=32°,那么N80E=.
【答案】2〃。4、乙BOD38。/38度
【分析】根据对顶角的定义及性质、邻补角的定义及性质分析解答即可.
【详解】解:(1)图中的对顶角有乙力。。和NBOD;N力。。和NBOC;共2对,
故答案为:2;
(2)NCOB的令B补角是NC。力、「BOD,
故答案为:力、Z.BOD-,
(3)HZAOC=70°,
0ZBOD=Z.AOC=70°,
0ZFOZ)=32°,
EINBOE=乙BOD-乙EOD=38°,
故答案为:38。.
【点睛】本题考查了对顶角的定义及性质、邻补角的定义,熟练掌握数学基础知识是解题的关键.
考点五:交叉图形中的角度计算
18.(24-25七年级上•吉林长春,阶段练习)如图,直线4B,CD相交于点0,04平分NEOC.
(1)若NEOC=70°,求N8。。的度数;
(2)若NEOC"。。=2:3,求NBOE的度数.
【答案】⑴35。
(2)144°
【分析】本题考查角平分线的定义,对顶角相等,以及邻补角的定义.
(1)由角平分线的定义可求出乙4OC=1NEOC=35。,再根据对顶角相等即可求解;
(2)设NE0C=2x,贝!UE0D=3X,根据NEOC+NE。。=180。,可列出关于x的方程,解出x的值,即
可求出NEOC的大小,进而可求出ABOE的大小.
【详解】(1)解:•・・。4平分4£'。。,
11
AAOC=-^EOC=-x70°=35°,
22
..乙BOD=/.AOC=35°;
(2)解:SZ.EOC-.Z.EOD=2:3,
设NEOC=2x,贝IJNEOD=3%,
回根据题意得2x+3%=180°,
解得:%=36°,
•••4EOC=2x=72°,贝!UE04=36°,
•••4BOE=180°-36°=144°.
19.(24-25七年级上•吉林长春•阶段练习)如图,直线力B,CD相交于点O,OM1AB.
(1)若N1=N2,则42的余角有.
(2)^zl=-^BOC,求NBOD和N40D的度数.
4
【答案】(l)zXOC,乙BOD
⑵乙4。。=120°,乙BOD=60°.
【分析】此题主要考查了垂直的定义,对顶角的性质和邻补角的定义计算,要注意领会由垂直得直角这一
要点.
(1)由垂线的性质求得乙40M=NB。"=90。,然后根据等量代换及余角的定义解答;
(2)根据垂直的定义求得N4CW=Z.BOM=90°,再由=LBOC求得乙BOC=120°,然后根据邻补角
4
定义和对顶角的性质即可求解.
【详解】(1)解:•••OM1AB,41=42,
Z1+/.AOC=42+乙40C=90°,即“ON=90°,
0ZXOC=乙BOD,
N2的余角有:^AOC,乙BOD;
故答案为:^AOC,4B0D;
(2)解:•••OM1AB,
•••^AOM=4BOM=90°,
•••A1=-^BOC,ABOC=ZBOM+Z1,
4
0Z1=30°,
3
•••乙BOC=AAOD=120°,
0ZBOO=180°-4BOC=60°.
20.(23-24七年级上,吉林四平,期末)如图,射线。力的方向是北偏东20。,射线。B的方向是北偏西35。、射
线。。是OB的反向延长线,且射线。4平分NBOC.解答下列各题:
⑴射线OC的方向是;
(2)求NC。。的度数;
⑶若射线OE的方向是东南方向,请直接写出NCOE的度数.
【答案】⑴北偏东75。
(2)zC0Z)=70°
(3)ZCO£=60°
【分析】此题主要考查了方向角的表达,角平分线的定义,邻补角,熟练掌握知识点是解题的关键.
(1)先求出乙4。8=55。,再求得4V0C的度数,即可确定OC的方向;
(2)根据乙4OB=55。,Z.AOC=Z.AOB,得出/.BOC=110°,进而求出NC。。的度数;
(3)根据NAOB=55。,ZXOC=Z.AOB,射线OE平分NCOD,即可求出NCOE=35。再利用N40C=55。求
出答案即可.
【详解】⑴解:如图:
回射线04的方向是北偏东20。,射线。B的方向是北偏西35。
0ZXOB=20°+35°=55°,
回射线。4平分NBOC
EL4OC=/.AOB=55°
0ZjVOC=20°+55°=75°,即射线OC的方向是北偏东75。;
(2)解:回乙4。8=55。,乙4。。=乙4。3,
0ZBOC=110°,
团“。。=180°-乙BOC=180°-2乙4OB=70°;
(3)解:团射线。E的方向是东南方向,
•••乙M0E=45。,
•••NNOC=75°,
NC0M=90°-75°=15°,
ACOE=15°+45°=60°.
21.(24-25七年级上•全国•课后作业)如图,。是直线28上一点,过点。作OC、OD、0E三条射线,。。平
分N40C,^AOE=Z.BOD.
(1)若N40C=60°,则NBOE的度数为;
(2)若NCOE=3乙40C,求NBOE的度数;
⑶在(2)的条件下,若过点O作射线OF使得NEOF=90。,求乙40尸的度数.
【答案】(1)30°;
(2)NBOE的度数为20。;
⑶乙40尸的度数为70。或110。.
【分析】本题考查了角平分线的定义和角的计算,熟练掌握角平分线的定义,并能够根据题目已知条件找
到角度之间的等量关系列出等式是解题的关键.
(1)由条件。。平分乙40c可得乙4。。=30。,再由条件乙40E=可得乙40。=Z80E,通过等量代换
即可得到NBOE的度数;
(2)由条件4c0E=3N40C,并结合(1)的结论=4BOE,可得/COE=64B0E,再利用N40B为
平角找出等量关系列出等式,即可求解N80E的度数;
(3)分射线。/在NCOE的内部及外部两种情况讨论,作出示意图并结合图形先计算N80F的度数,再根据
N40F与NBOF互补的关系即可得解.
【详解】(1)•-0。平分乙40C,
..乙4。。=三乙4。。=30。.
2
•・•乙AOE=Z.AOD+乙DOE,
・•.Z.AOD=Z-AOE-(DOE
同理,乙BOE=(BOD一乙DOE,
Z.AOE=乙BOD,
・•・乙BOE=乙40。=30°.
(2)由题可知,/LBOE=^AOD=-/-AOC,
2
Z.AOC=2/-BOE.
v乙COE=3/-AOC,
•••乙COE=6乙BOE,
由题可知乙4OB为平角,
•••AAOC+乙COE+乙BOE=180°,
即2/BOE+64BOE+乙BOE=180°,
•••乙BOE=20°,
NBOE的度数为20。.
(3)当OF在NCOE内部时,如图①,
贝此8。尸=4EOF+乙BOE=90°+20°=110.
../.AOF=180°-乙BOF=180°-110°=70°;
当OF在NCOE外部时,如图②,
贝此80F=4EOF-乙BOE=90°-20°=70°,
•••^AOF=180°-乙BOF=180°-70°=110°.
综上所述,乙4OF的度数为70。或110。.
22.(24-25七年级上•全国•课后作业)如图,直线4B、CD交于点。,OE、OF分别在N80C、乙20。内部,且
。。平分N80F.
E
(1)乙4。。的对顶角是
(2)若/8。尸=40%乙COE=100°,贝1|乙BOE的度数为;
(3)若。B平分NEOF,^AOC-.^AOF=1:3,求NCOE的度数;
(4)若NAOE=NEOF,Z.BOE=60°,判断。8是否平分/EOF,并说明理由.
【答案】(1)48。。
(2)60°
(3)72°
⑷OB平分NEOF,理由见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义,对顶角的性质,几何中角度的计算,解题的关键是数形结合,
熟练掌握角平分线的定义.
(1)根据对顶角的定义即可解答;
(2)根据角平分线的定义得出NB。。=£FOD=2NBOF=之义40。=20。,再根据NCOE+NBOE+NB。。=
180°,求出结果即可;
(3)由N4OC:Z_4OF=1:3,得至!JNAOF=3/B。。,根据角平分线的定义得出/DOF=根据U0C+
Z.AOF+Z.FOD=180°,求出48。。=36。,根据角平分线的定义得出NBOE=NB。尸=72。,根据NCOE+
/.EOB+/.BOD=180°,求出结果即可;
(4)由N8OE=60。,利用平角的定义得到乙4OE=120。,再根据乙4OE=4EOF,求出/EOF=120。,结
合乙BOE=60°得出结论.
【详解】(1)解:根据题意:N40C的对顶角是NBOD;
⑵解:•••。。平分NBOF,
乙BOD=-2^BOF=20°,
・•・乙BOE=180°-乙BOD-乙COE=180°-20°-100°=60°;
(3)解:乙4OC与乙8。。为对顶角,
•••/-AOC=Z.BOD,
・•.Z.BOD-.Z.AOF=Z.AOC\^AOF=1:3,^Z.AOF=3^BOD.
•・•。。平分48。尸,
・•.Z.DOF=乙BOD,
・•.AAOF+乙DOF+乙BOD=34BOD+乙BOD+乙BOD=180°,
・•・乙BOD=36°,
・•・Z.AOC=乙BOD=36%Z.BOF=2乙BOD=72°.
又•・•。3平分4EOF,
・•・乙BOE=乙BOF=72°,
・•・乙COE=180°-/,AOC-Z.BOE=180°-36°-72°=72°;
(4)解:。8平分NEOF,理由如下:
•・•乙BOE=60°,
・•・AAOE=120°.
Z.AOE=乙EOF,
・•・乙EOF=120°,
・•・乙BOF=乙EOF-乙BOE=120°-60°=60°,
•••乙BOE=Z-BOF,
。3平分NEOF.
23.(23-24七年级上•贵州黔东南•期末)已知:点。为直线48上一点,过点。作射线。C,Z-BOC=110°.
⑵如图2,过点。作射线。D,使NCOD=90。,作乙40c的平分线。M,求NM。。的度数;
(3)如图3,在(2)的条件下,作射线0P,若NBOP与乙40M互余,求NCOP的度数.
【答案】⑴70。
(2)55°
(3)55°或165°
【分析】本题考查了余角和补角,角平分线的定义,数形结合根据射线0P的位置分类讨论是解题关键.
(1)根据平角的定义计算求值即可;
(2)根据余角的定义可得入4OD,根据角平分线的定义可得N40M,再计算角度和即可;
(3)由余角的定义可得4BOP=55。,分射线0P在N80C内部、射线0P在N80C外部两种情况,分别计算角
的差、和即可.
【详解】(1)解:0ZSOC=110°
EIZXOC=180°-NBOC=70°;
(2)解:由(1)得N40C=70°,
EIZCOD=90°,
团乙4。。=/.COD-/.AOC=20°,
OOM是乙40c的平分线,
11
^AOM=-/-AOC=-x70°=35°,
22
团NM。。=/.AOM+Z.AOD=35°+20°=55°;
(3)解:由(2)得乙4OM=35。,
团NBOP与ZJ1OM互余,
EINBOP+AAOM=90°,
E1NBOP=900-Z40M=90°-35°=55°,
①当射线。P在NBOC内部时,如图,
A-
D乙COP=乙BOC-乙BOP=110°-55°=55°;
②当射线。P在NBOC外部时,如图,
PZ.COP=Z.BOC+Z-BOP=110°+55°=165°.
综上所述,NCOP的度数为55。或165。.
考点六:三线八角的识别
24.(23-24七年级下,甘肃陇南•阶段练习)如图,BF,DE相交于点A,BG交BF于点B,交AC于点C.
F
DE
⑴指出DE,BC被BF所截形成的同位角、内错角、同旁内角;
(2)指出。E,8c被AC所截形成的内错角;
⑶指出FB,BC被47所截形成的同旁内角.
【答案】⑴同位角:NF4E和NB;内错角:NB和NDAB;同旁内角:NE4B和NB;
(2)NEAC和NBC4,ND4C和NACG;
(3)z_B4C和NBC4NF4c和N4CG.
【分析】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义:
(1)两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的同侧,并且在第三条直线(截线)的
同旁,则这样一对角叫做同位角.两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,
并且在第三条直线(截线)的两旁,则这样一对角叫做内错角.两条直线被第三条直线所截形成的角中,
若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,则这样一对角叫做同旁内角,据此求解
即可;
(2)根据内错角的定义求解即可;
(3)根据同旁内角的定义求解即可.
【详解】(1)解:同位角:NF4E和NB;内错角:AB和NZMB;同旁内角:NE4B和NB;
(2)解:NE4C和NBC4,ND力C和N4CG都是内错角;
(3)解:NB4C和WBC4NF4C和N4CG都是同旁内角.
25.(23-24七年级上,全国•单元测试)找出图中与N1是同位角、内错角、同旁内角的所有角.
【答案】Z1的同位角:4GDF,A.GEF,乙FBC,乙FCH;N1的内错角:^.MDA,乙NED,^ABP,NHCQ;
41的同旁内角:/.ADF,/.AEF,/.ABF,Z.ACD
【分析】此题主要考查了三线八角,关键是掌握同位角的边构成"F"形,内错角的边构成"Z"形,同旁内
角的边构成"U"形.
根据同位角:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的同侧,并且在第三条直线(截
线)的同旁,则这样一对角叫做同位角.
内错角:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截线)
的两旁,则这样一对角叫做内错角.
同旁内角:两条直线被第三条直线所截形成的角中,若两个角都在两直线的之间,并且在第三条直线(截
线)的同旁,则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可.
【详解】解:41是同位角:乙GDF,乙GEF,4FBC,乙FCH;
N1的内错角:ZMD4,乙NED,AABP,KACQ;
41的同旁内角:^ADF,乙DEF,AABF,^ACD.
26.(23-24七年级下•全国•课后作业)如图,指出图中直线力C,BC被直线DE所截形成的同位角、内错角、
同旁内角.(仅指用数字标出的角)
【答案】见解析
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义,同位角:在两条直线被第三条直线所截的同侧,
被截两直线同侧的两个角称为同位角;内错角:在两条直线被第三条直线所截的两侧,且夹在两条被截直
线之间的一对角称为内错角;同旁内角:在两条直线被第三条直线所截的同旁,被截两直线之间的两个角
称为同旁内角;由此即可得出答案.
【详解】解:由图可得:
同位角:N1与42,N4与N6;
内错角:41与N3,N4与45;
同旁内角:43与N4,41与45.
27.(21-22七年级下•河北石家庄,阶段练习)如图,AB,AC射线与直线EF分别相交于点”,G.按要求完
成下列各小题.
⑴图中共有一对对顶角,一对内错角;
(2)①乙4的同旁内角是二
②NEGC和是由哪两条直线被哪一条直线所截形成的?它们是具有什么位置关系的角?
⑶过点G画射线的垂线,交4B于点并指出哪条线段的长度表示点G至必8的距离.
【答案】(1)4;4
⑵①乙4GF,4AHE;②NEGC和是直线北,4B被直线EF所截形成;同位角
⑶图见解析,GM
【分析】(1)根据对顶角和内错角的定义进行判断即可;
(2)①根据同旁内角的定义,进行判断即可;②根据三线八角的关系,进行判断即可;
(3)根据题意画出垂线即可,根据点到直线的距离为垂线段的长,即可得出结论.
【详解】(1)解:由图可知:41和42,N3和N4,N5和N6,47和N8是对顶角,共4对;/2和乙5,乙4和47,Z1
故答案为:4;4
(2)①由图可知:N4的同旁内角是N4GF,AAHE;
故答案为:乙4GF,UHE;
②NEGC和是直线被直线EF所截形成的同位角;
(3)如图;
E
B
由图可知:线段GM的长即为点G至!MB的距离.
【点睛】本题考查三线八角,对顶角,点到直线的距离.熟练掌握相关定义是解题的关键.
28.(23-24七年级下•全国•课后作业)如图,一个方块从某一个起始角开始,经过若干步跳动后,到达终点
角,跳动时,每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上,例如:从N1跳到终点位置N6的路
径如下:
路径1:N1玲内错角N7好同旁内角N6;
路径2:N1好同旁内角N13-内错角N10-同位角N8f同旁内角N5f同旁内角46.
⑴写出任意一条从起始位置41玲终点位置43的路径;
⑵从起始位置N1依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置42?并写出路径.
【答案】⑴N1玲同旁内角N13玲同位角43(答案不唯一);
(2)能,Z.1玲内错角N4f同位角N7f同旁内角N2(答案不唯一,);
【分析】本题考查内错角,同位角,同旁内角的判断:
(1)根据内错角,同位角,同旁内角直接逐个判断即可得到答案;
(2)根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案;
【详解】(1)解:由题意可得,
41玲同旁内角N13f同位角43(答案不唯一);
(2)解:能,理由如下,
由题意可得,
41f内错角N4f同位角47f同旁内角N2(答案不唯一).
6模块四小试牛刀过关测-------------------------------
1.(2024七年级上,全国•专题练习)如图,直线ZB、CD相交于点0,乙E0D=90°.下列说法不正确的是()
A.Z-AOD=Z-BOCB.Z-AOC=Z-AOE
C.Z.AOE+/LBOD=90°D.^AOD+/-BOD=180°
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角的性质,平角的定义、互余的定义等,由对顶角的性质,平角的定义、互余的
定义逐一判断,即可求解;理解对顶角的性质,平角的定义、互余的定义是解题的关键.
【详解】解:A.-.-NA。。与NBOC是对顶角,
Z.AOD=Z.BOC,结论正确,故不符合题意;
B,由图得〃。C=N40E不一定成立,结论错误,故符合题意;
C.vAEOD=90°,
•••乙COE=90°,
../.AOE+Z.AOC=90°,
•••/.AOC=乙BOD,
^AOE+ABOD=90°,结论正确,故不符合题意;
D.由图得乙4。。+乙BOD=180°,结论正确,故不符合题意;
故选:B.
2.(2024七年级上•全国•专题练习)2024年香洲区举办了第六届风筝节.如图所示的风筝骨架中,与N3构
成同旁内角的是()
A.Z1B.Z.2C.Z4D.Z5
【答案】A
【分析】本题考查的是同旁内角的定义,关键是知道哪两条直线被第三条直线所截.根据同旁内角的定义
解答即可,即两条直线被第三条直线所截,在截线同旁,且在被截线之内的两角.
【详解】解:与N3构成同旁内角的是N1.
故选:A.
3.(24-25七年级上•黑龙江绥化•阶段练习)下面四个图形中,N1与42是对顶角的为()
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角.两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角,根据定义结合图形逐个判断即可.
【详解】解:A、不符合对顶角的定义,故本选项不符合题意;
B、不符合对顶角的定义,故本选项不符合题意;
C、符合对顶角的定义,故本选项符合题意;
D、不符合对顶角的定义,故本选项不符合题意;
故选:C.
4.(2024七年级上•全国•专题练习)点P为直线MN外一点,点4、B、C为直线MN上三点,PA=4cm,PB=
5cm,PC=2cm,则点P到直线MN的距离为()
A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm
【答案】D
【分析】本题考查了点到直线的距离,利用了垂线段最短的性质.根据点到直线的距离是直线外的点与直
线上垂足间的线段的长,再根据垂线段最短,可得答案.
【详解】解:当PCJ_MN时,PC是点P到直线MN的距离,即点P到直线MN的距离2cm,
当PC不垂直直线MN时,点P到直线MN的距离小于PC的长,即点P到直线MN的距离小于2cm,
综上所述:点尸到直线MN的距离不大于2cm,
故选:D.
5.(24-25九年级上•吉林长春•阶段练习)如图在中N2C8=90°,CD1AB,。为垂足,则下列说法中,
错误的是()
A.点B到AC的距离是线段BC的长B.线段CD是4B边上的高
C.线段力C是BC边上的高D.点C到的距离是线段4c的长
【答案】D
【分析】本题主要考查了点到直线的距离,三角形的高,根据点到直线的距离,三角形的高的概念逐项排
除即可,正确理解点到直线的距离,三角形的高是解题的关键.
【详解】A、点B到力C的距离是线段BC的长,原选项说法正确,不符合题意;
B、线段CD是2B边上的高,原选项说法正确,不符合题意;
C、线段力C是BC边上的高,原选项说法正确,不符合题意;
D、点C到4B的距离是线段CD的长,原选项说法不正确,符合题意;
故选:D.
6.(24-25七年级上•河南鹤壁•阶段练习)如图,在所标识的角中,下列说法不正确的是()
A.N1与45是内错角B.43与乙5是对顶角
C.41与44是同位角D.N1与Z.2是同旁内角
【答案】C
【分析】根据内错角,对顶角,同位角,同旁内角的定义解答即可.
【详解】解:A.N1与45是内错角,本选项正确,不符合题意,
B.N3与N5是对顶角,本选项正确,不符合题意,
C.N1与44不是同位角,本选项错误,符合题意,
D.N1与Z.2是同旁内角,本选项正确,不符合题意,
故选:C.
【点睛】本题考查了内错角,对顶角,同位角,同旁内角的定义,正确理解定义是解题的关键.
7.(2024七年级上•全国•专题练习)如图,利用工具测量角,贝吐1的大小为()
A.30°B.60°C.120°D.150°
【答案】A
【分析】本题考查量角器的使用和对顶角的性质,掌握对顶角相等是解题的关键.利用对顶角相等求解,
即可解题.
【详解】解:根据量角器测量的度数为30。,由对顶角相等可得N1=30。.
故选:A.
8.(24-25七年级上•河南南阳,阶段练习)如图,E是直线C4上一点,NFE4=40。,射线EB平分NCEF,GE1EF,
A.10°B.20°C.30°D.40°
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的定义,平角的定义,掌握相关知识点并灵活运用是解题关键.
先根据平角的对应求出NCEF=140°,射线平分NCEF,得出NCEB=乙BEF=jzCEF=70°,再根据GE1
EF,可得NGEB=乙GEF-乙BEF=90°-70°=20°.
【详解】EINFE4=40°,
EIZCFF=180°-/.FEA=140°,
团射线EB平分NCEF,
1
0ZCFB=乙BEF=-ACEF=70°,
2
EIGE1EF,
EINGEB=Z.GEF-乙BEF=90°-70°=20°.
故选:B.
9.(24-25七年级上•云南文山•期中)下列各图中,N1与42是内错角的是()
【答案】A
【分析】本题考查了内错角的判断,熟记内错角的定义是解题的关键.两条直线被第三条直线所截形成的
八个角中,两个角分别在截线的两侧,且在两条直线之间,具有这样位置关系的一对角叫做内错角.
根据内错角的定义可知,内错角是成"Z"字形的两个角,据此逐项分析可得答案.
【详解】解:A.、41与42是内错角,符合题意;
B、41与N2不是内错角,不符合题意;
C、与42不是内错角,不符合题意;
D、41与N2不是内错角,不符合题意;
故选:A.
10.(24-25七年级上•河北衡水•期中)如图,点。在直线力B上,AAOD=22.5。,NBOC=45°,OE平分乙BOC,
则NEOC的补角是()
C
AOB
A./.AOCB.NAOE或NDOB
C.乙4OE或4OB或乙4OC+NDOED.以上都不对
【答案】B
【分析】本题主要考查角平分线的定义、补角的定义及邻补角,熟练掌握角平分线的定义、补角的定义及
邻补角是解题的关键;由题意易得NBOE=乙COE乙BOC=22.5°=U0D,乙4。。+Z.BOD=180°=
^BOE+^AOE,然后问题可求解.
【详解】解:团42。。=22.5°,/.BOC=45°,OE平分NBOC,
0ZBOF=乙COE^-LBOC=22.5°=^AOD,/.AOC=180°-4BOC=135°,
2
团乙AOD+(BOD=180°=乙BOE+^AOE,
团乙EOC+乙BOD=180°=Z-EOC+Z.AOE,
国乙DOE=180°-乙AOD一乙BOE=135°,
团乙AOC+乙DOE=270°,
综上所述:4EOC的补角为4ZOE或乙0。8.
故选B.
11.(22-23七年级上•陕西咸阳•期末)已知0410C,乙4。&乙4OC等于4:5,贝亚80C的度数为.
【答案】18。或162。
【分析】此题主要考查了垂线的定义,角的和差运算.结合图形是做这类题的关键.根据垂直关系知乙4。。=
90°,由乙4。8:乙4。。=4:5,可求乙408=72。,根据乙4OB与乙4OC的位置关系,分类求解即可.
【详解】解:BOA1OC,
团乙4OC=90°,
^\Z.AOB\Z.AOC=4:5,
^AOB=72°.
乙4。区的位置有两种:一种是在乙4OC内,一种是在乙4OC外.
H'B
D
①当在N40C内时,/.BOC=90°-72°=18°;
②当在NZOC夕卜时,NBOC=90°+72°=162°.
故答案为:18。或162。.
12.(2024七年级上•全国•专题练习)如图,若N1=30。/2=110。,贝亚3的同位角的大小是,43的
内错角的大小是,N3的同旁内角的大小是.
【答案】70。70°110°
【分析】本题主要考查内错角、同位角以及同旁内角,观察图形易得N3的同位角、内错角都为42的邻补角,
接下来结合42的度数计算即可;同样由图可得43的同旁内角为42的对顶角,N1与43为对顶角,据此解答.
【详解】解:由图可得N3的同位角、内错角都为42的邻补角,
又42=110°,
则其同位角大小为180。-110°=70°;
43的内错角大小为180。-110°=70°;
乙3的同旁内角为N2的对顶角,则大小为110。;
故答案为:70。;70°;110°.
13.(2024七年级上•全国・专题练习)如图,己知点。是直线48上一点,乙40c=50°,0。平分N40C,NBOE=
90°,请写出下列正确结论的序号.
E
①NBOC=130°;②N4。。=25°;③4BOD=155°;④NCOE=45°.
【答案】①②③
【分析】本题主要考查角平分线,根据角平分线的、邻补角和直角的意义求解可得.
【详解】解:因为乙4。。=50。,所以NBOC=180。一44。。=130。,故①正确;
因为。D平分乙40C,所以乙4。。=|zXOC=25°,故②正确;
因为NB。。=180°-乙4OD=155°,故③正确;
因为NBOE=90。,44。。=50。,所以NCOE=180。一4力。C-NBOE=40。,故④错误。
故答案为:①②③
14.(2024七年级上•全国•专题练习)如图,直线A
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