一次函数与方程（组）、不等式（3个知识点+5大考点+过关检测）-2025年华东师大版八年级数学寒假提升讲义（含答案）

第15讲一次函数与方程（组）、不等式

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1.利用一次函数的图象求解一元一次方程的解或二元一次方程组的解；

2.利用一次函数的图象求解一元一次不等式的解集或一元一次不等式组的解集.

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知识点3一次方程与一次函数的关系

知识点归纳

知识点02一次不等式与一次函数的关系

一次函数与方程（组）、不

等式考点一：利用一次函数的图象求一元一次方程的解

,考点二：利用两直线的交点与二元一次方程组的解

考点归纳考点三：利用一次函数的图象解二元一次方程组

考点四：利用一次函数的图象求不等式的解集

考点五：利用一次函数的图象求不等式组的解集

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

知识点01一次方程与一次函数的关系

1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0

2）一次函数为：夕=履+6的形式；当》=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解.

了=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解

3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解

方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角

度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.

4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个

试卷第1页，共12页

一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.

5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则

两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组

就无解.

6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反

之也成立.

知识点02一次不等式与一次函数的关系

1）一次不等式可转化为一般式：kx+b＞0（或fcr+b＜0）

2）从函数的角度看，就是寻求使一次函数＞=依+6的值大于（或小于）。的自变量x的取

值范围；

从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所

构成的集合.

3）若两个不等式比较大小，如%＞外，反映在图像上为/的图像在4的图像上面部分x的取

值范围.

。＞模块三核心考点举一反三------------------------------

考点一：利用一次函数的图象求一元一次方程的解

例题：

（24-25八年级上•山西运城・期中）

1.如图，一次函数y=+〃的图象经过，■!，（）卜口（0,2）两点，则关于x的方程"x+〃=0的

（24-25八年级上•广东深圳•期中）

2.一次函数了=履+6的图象交x轴于点4（2,0）,则一元一次方程fcc+b=0的解是

（24-25八年级上•贵州毕节•期中）

试卷第2页，共12页

3.如图，一次函数了=辰+6的图象经过点/（1,5）,则关于。的一元一次方程妨+6=5的解

考点二：利用两直线的交点与二元一次方程组的解

例题：

（23-24八年级上•江西抚州•阶段练习）

fy+x=3fx=4

4.若方程组..，的解为।,则函数y=r+3和y=-2x+7图象的交点为___.

[y+2x=7[y=-i

【变式训练】

（24-25九年级上•山东德州•开学考试）

,、fy=x+l

5.若一次函数＞=x+l与尸21图象的交点是（2,3）,则方程组=的解是-

（2024九年级下•辽宁丹东•学业考试）

6.己知直线了=2x与y=-x+b的交点的坐标为（l,a）,则方程组]+y=6的解是.

（22-23八年级上•内蒙古包头•期末）

\ax-y+b-Qfx=3

7.已知二元一次方程组,的解为0,则函数》=办+6和〉=履的图象

Ikx-y=n\j=-2

的交点坐标为.

考点三：利用一次函数的图象解二元一次方程组

例题：

（24-25九年级上•全国•开学考试）

试卷第3页，共12页

y=ax+b

8.如图，已知函数〉=如+6和》=履的图象交于点p,则二元一次方程组,的解

y=kx

【变式训练】

（23-24八年级下•全国•单元测试）

9.如图，已知一次函数＞=2x+6和〉=依-3（左W0）的图象交于点尸，则二元一次方程组

（24-25九年级上•湖南长沙•开学考试）

10.如图，一次函数了=息-6与一次函数〉=-"a+"的图象相交于点4（2,3）,则关于

[kx-y=b

的方程组的解为__________.

[mx+y=n

（23-24八年级上•河南平顶山・期末）

试卷第4页，共12页

11.如图，一次函数y=-2x和了=辰+6的图象相交于点/（-2,4）,则关于X、y的方程组:

kx-y+b-0

的解是一

2x+y=0

考点四：利用一次函数的图象求不等式的解集

例题：

（22-23八年级下•四川成都•阶段练习）

12.如下图，已知一次函数>=丘+6,观察图象回答下列问题：当___时，kx+b<0.

（2024八年级上•全国•专题练习）

13.如图，点在一次函数）/=履+//£力0）的图象上，则不等式履+6>2的解集

是_________

试卷第5页，共12页

（23-24八年级上•全国,单元测试）

14.如图，一次函数y=k久+6（kH0）的图象与x轴的交点坐标为（-2,0）,则下列说法：

①y随x的增大而减小;②关于x的方程丘+6=0的解为x=-2；③区+6>0的解集是x>-2；

®6<0.其中正确的有.（填序号）

考点五：利用一次函数的图象求不等式组的解集

例题：

（23-24八年级上•安徽马鞍山•期末）

15.如图，直线丁=履+6与直线y=-；x+g交于点/（私2）,则关于x的不等式

辰++：的解集是

22----------

【变式训练】

（24-25九年级上•北京•开学考试）

16.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，直线V=2x-1与直线y=kx+b（k0）

相交于点尸（2,3）.根据图象可知，关于x的不等式2x-l>b+b的解集是.

（24-25九年级上•湖南长沙•期中）

试卷第6页，共12页

17.直线必="与直线%=；x+6在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于x的不等

式办＜；x+b的解集为.

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一、单选题

（24-25八年级上•河南郑州•期中）

18.函数昨M+"的图象如图所示，则方程加x+〃=0的解是（）

（23-24八年级上•福建漳州•期末）

19.若直线＞=3x+a与直线＞=的交点的横坐标为2,则关于x,了的二元一次方程组

y-3x=a

（22-23八年级下•陕西咸阳•期中）

20.如图，直线丁=h+6经过点4（-1,-2）和2（-3,0）,直线y=3x过点A,则不等式

3x＜Ax+6＜0的解集为（）

试卷第7页，共12页

B.-2<x<-1

D.0<x<—1

（24-25八年级上•河南平顶山•阶段练习）

y=kx+b

21.数学课上，老师给出了用图象法解二元一次方程组时所画的图象（如图所

y=mx+n

示），让同学们说一说通过观察图象后自己的发现，则下列说法正确的是（）

x=-l2

①b可能等于3：②《可能等于1；③这个方程组的解为”2；④〃可能等于“

A.①②③④B.①③④C.①②③D.①②④

二、填空题

（24-25九年级上•广东广州•阶段练习）

22.点尸（无,y）在直线y=x+4上，坐标（x,y）是二元一次方程x+y=2的解，则点尸的坐标

是.

（24-25八年级上•安徽蚌埠•期中）

23.如图，一次函数>=狈+6与x轴，y轴分别交于48两点，点3的坐标是（0,2）,则不

等式or+6<2的解集为.

试卷第8页，共12页

（24-25八年级上•山西太原•阶段练习）

一/、（2x—y=0

24.已知直线了=2工与丁=-》+〃交于点1,%,则方程组八的解为

[x+y-〃=O-------

（23-24八年级上•山东荷泽・期末）

[2x—y=-1

25.如图，一次函数了=2x+l的图象与了=去+6的图象相交于点A,则方程组，■,

[KX-y=­b

的解是.

三、解答题

（24-25八年级上•陕西西安•阶段练习）

26.已知一次函数了=办-5与k3丫+万的图象的交点坐标为4（1,_3）.

[ax-y=5

⑴关于X,y的方程组2J的解为；

[3x-y=-b

（2）求a,6的值.

（2024八年级上•安徽•专题练习）

27.如图，已知函数尸2x+人和广办-3的图象交于点P（-2,-5）,根据图象解答下列问题:

⑴求a,b的值；

（2）求出方程2x+6=ax-3的解.

（24-25八年级上•安徽合肥•阶段练习）

28.画出函数夕=-2x+4图象.

试卷第9页，共12页

丁八

6

5

4

3

2

1

>

-6-5-4-3-27。123456x

-1

⑴利用图象求方程-2x+4=0的解；

⑵利用图象求不等式-2x+4<0的解集；

(3)如果y值在-24y<4的范围内，求相应的x的取值范围.

(24-25八年级上•安徽六安•阶段练习)

%=3+”相交于点尸伍,2).

⑴求。的值;

y=x+1

(2)写出方程组的解:

y=mx+n

(3)写出“>%>。时，x的取值范围.

(24-25八年级上•安徽六安•阶段练习)

30.已知函数了=履+6的图象，利用图象回答下列问题:

试卷第10页，共12页

⑴直接写出方程依+6=0的解；

⑵直接写出不等式七+6>0的解集；

(3)若0WyV4,直接写出x的取值范围.

(24-25八年级上•安徽池州•阶段练习)

31.一次函数必=b+方和％=gx+机的图像如图所示，且/(-3,0),8(4,0).

(1)关于x的方程fcr+b=0的解为无=；关于x的不等式gx+m>0的解集为

(2)若不等式|"X+加<立+6的解集是x<-1,求点C的坐标.

(24-25九年级上•全国•课后作业)

32.如图，一次函数>="x+6的图象与无、V轴分别交于民/两点，与正比例函数y=履交

于点尸.

(1)关于x的方程ax+b^0的解是

\y=ax+b

(2)关于x，>的二元一次方程组,的解为,关于x的不等式+6的解集

[y=kx

试卷第11页，共12页

为_______

(3)关于x的不等式ax+b>0的解集为,不等式ax+b<4的解集为

试卷第12页，共12页

【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关

键；根据图象可直接进行求解.

【详解】解：由图象可知：关于X的方程用x+〃=0的解为x=-g；

故答案为x=-g.

2.x=2

【分析】本题主要考查了一次函数了=丘+6与关于X的一元一次方程丘+6=0的解的关

系.一次函数了=息+6与关于x的一元一次方程依+6=0的解是一次函数了=米+6的图象

与无轴交点的横坐标，据此即可得出本题答案.

【详解】解：••・由一次函数了=区+6的图象交x轴于点42,0）,

二关于x的一元一次方程入+6=0的解就是x=2.

故答案为：x=2.

3.Q=1

【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图像是解题的关

键.根据人+6=5的解就是函数昨米+6与直线>=5的交点即可得到答案.

【详解】解：一次函数>=履+6的图象经过点/（1,5）,

故关于a的一元一次方程ka+b=5的解为a=l,

故答案为：a=l.

4.（4,-1）

【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点的横纵坐标即为对应的

二元一次方程组的解，即可得出结果.

fy+x=3fx=4

【详解】解：••・方程组•0，的解为,,

[y+2x=7[y=-\

・•・函数y=-x+3和y=-2x+7图象的交点为（4,-1）；

故答案为：

[x=2

答案第1页，共13页

【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组.直接根据一次函数和二元一次方程组的关

系求解.

【详解】解：：一次函数/=*+1与少=2尸1图象的交点的坐标是（2,3）,

y=x+1

・••方程组的解为

y=2x-l

x=2

故答案为:

>=3

6.

【分析】本题考查了根据两直线的交点求二元一次方程组的解，一次函数图象上的点的坐标

特征，先求出两直线的交点坐标，从而即可得出答案.

【详解】•.,直线V=2x与y=-x+b的交点的坐标为（1,a）,

・••把（1,。）代入JV=2x中，可得a=2,

2x-y=0x=\

・••方程组■人的解是

x+y=b,=2

[x=\

故答案为：

[y=2

7.（3,-2）

【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，熟练掌握交点坐标为方程组的解

[ax-y+b=Ofx=3

是解题的关键.由二元一次方程组，"八的解为'，得出二元一次方程组

[Kx-y=（）[y=-2

[y=ax+b[x=3

■,的解为c，从而可得出交点坐标.

[y=kx[y=-2

[ax-y-\-b=0fx=3

【详解】解：二元一次方程组,-c的解为,,

[kx-y=\）[y=_2

[y=ax+bfx=3

即的解为c，

[y=k7x[y=-2

函数〉="+6和^=履的图象的交点坐标为（3,-2）,

答案第2页，共13页

故答案为：(3,-2).

【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程(组)与一

次函数的关系.由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此所求方程组

的解就是两个一次函数图象的交点的横纵坐标.

【详解】解：由图知：函数＞=ax+6和歹=船的图象交于点尸(-4,-2),

则》=一4,)=-2同时满足两个函数的解析式，

fx=-4[y=ax+b

・•.。是二元一次方程组,的解.

[y=-2[y=kx

fx=-4

故答案为：一

U=-2

9-〔fIx=4

【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数%=%x+4，

fy—k[X+h

y2=k2x+b2,其图象的交点坐标(“)中x,歹的值是方程组厂/：的解.

[y=k2x+b2

[2x-y=-bfx=4

【详解】解：由图象可知，二元一次方程组，-。的解是

[kx-y=3[y=-o

x=4

故答案为:

y=-6

【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点坐标即为两个函数解析

式组成的二元一次方程组的解，即可得出结果.

【详解】解：由图象可知，关于％J的方程组

故答案为:

答案第3页，共13页

x=-2

11.

y=4

【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图

象法解一元一次方程是解题的关键.一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解.

【详解】解：,•・一次函数了=-2%和了=h+6的图象相交于点”(-2,4),

kx-y+b=

2x1…0的解为x=-2

y=4

故答案为：■”.

［了=4

12.x<2.5

【分析】本题考查从图像获取信息的能力，根据一次函数近+6<0得出函数位于7轴下方时

x的取值范围求解即可.理解题意并合理利用图像是关键.

【详解】解：根据图像可知：当x<2.5时，kx+b<0,

故答案为：x<2.5.

13.x<-l

【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次

函数》=办+6的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确

定直线丁=履+6在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.观察函数图象

即可求解.

【详解】解：由图象可得：当x<T时，kx+b>2,

所以不等式丘+6>2的解集为x<-l,

故答案为：x<-l.

14.①②④

【分析】根据一次函数y=k£+6(kH0),得到图象分布在第四、三、二象限，与y轴交于

负半轴，与x轴交点坐标为(-2,0),夕随x的增大而减小，当x<-2时，y>0,判断即可.

本题考查了一次函数的性质应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键.

【详解】解：由图可得一次函数y=kx+b(k40),与y轴交于负半轴，与x轴交点坐标为

(-2,0),在图象在第四、三、二象限，y随x的增大而减小，

关于x的方程履+6=0的解为尤=-2

答案第4页，共13页

根据题意，当x<-2时，y>0.

故①②④正确；

③错误，

故答案为：①②④.

15.x<l##l>x

【分析】本题考查了一次函数图象与不等式的解集，合理分析图象是解题的关键.

根据图象分析解答即可.

【详解】解：•.依+64-gx+g根据图象进行对比可得：x<m,

y=2代入y=_；x+|■可得：2=一；x加+g,

.,.把X=m

解得：状=1,

.t•X<1,

故答案为：X<1.

16.x>2##2<x

【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是关键.当函数y=2x-l的图象

位于函数了=h+可左丁0）的图象上方时，满足2x-l>Ax+b,再结合图象可得答案.

【详解】解：由图象知，当x>2时，函数歹=2尤-1的图象位于函数>=入+6（4NO）的图象

上方，

所以关于x的不等式2x-l>履+6的解集是无>2.

故答案为：x>2.

17.x>—2

【分析】本题考查了一次函数与不等式.数形结合是解题的关键.

根据不等式的解集为直线必=ax在直线y2=^x+b下方部分所对应的x的取值范围，数形结

合作答即可.

【详解】解：由题意知，不等式办<；》+6的解集为x>-2,

故答案为：x>-2.

18.A

【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，学会利用一次函数图象解一元一次方

答案第5页，共13页

程是解题的关键.由图象可知，>=必+〃与X轴交于点(1,0),再结合方程加x+〃=O即可

得出结论.

【详解】解：由图象可知，了=蛆+"与x轴交于点(1,0),

当尤=1时，函数〉=sx+〃的值为0,

即方程加x+〃=0的解是x=l.

故选：A.

19.D

【分析】本题考查了利用一次函数图象交点解二元一次方程组，由已知条件求得图象的交点

坐标为(2,-1),由图象交点坐标与对应方程组解的关系即可求解；理解“函数图象交点的坐

标是对应方程组的解.”是解题的关键.

【详解】解：当x=2时，

1、，

y=--x2=-l,

二交点为

[x=2

..•方程组的解为,.

[y=-i

故选：D.

20.A

【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合运用.首先根据题意可知不等式

3x<fcc+6<0的解集为相当于直线>=3x在直线)=依+6的下方且都在x轴的下方所对应

的x的取值范围，据此进一步分析求解即可.

【详解】解：由题意可得：直线)=区+6与直线>=3x相交于点力,

.•・不等式3x<kx+b<0的解集为相当于直线y=3x在直线y=kx+b的下方且都在x轴的下方

所对应的x的取值范围，

观察图象可知，当-3<x<T时，直线y=3x在直线了=履+6的下方且都在x轴的下方，

二不等式3x<Ax+6<0的解集为：-3<x<-l,

故选：A.

21.C

【分析】此题考查了图象法解二元一次方程组，一次函数的图像与性质，熟知根据图象交点

答案第6页，共13页

即可得到方程组的解是解题的关键.根据一次函数图象的交点为方程组的解可判断③；根

据其中一条直线与〉轴的交点是(0,3),可判断①；当6=3时，将4-1,2)代入y=6+3求

出3可判断②；根据一次函数的图象与性质求出〃的取值情况，可判断④.

/\fx=-1

【详解】解：由图象可知，两条直线的交点为4-1,2),则该方程组的解为、,故③

(y=2

正确；

•.・其中一条直线与了轴的交点是(0,3),

.••6可能等于3,故①正确；

当b=3时，第一个方程为了=丘+3,将/(-1,2)代入得:-左+3=2,

解得：左=1,故②正确；

当y=mx+"的图像过/(-1,2)和(2,0)时，将/(-1,2)和(2,0)代入得：

-m+n=2

2m+n=0'

\2

m=——

解得：4，

n=­

[3

n=—4,

3

^y=mx+n的图像过Z(-l,2)和(0,3)时,n=3,

，〃可能等于:或3,故④错误；

,正确的是①②③，

故选：C.

22.(-1,3)

【分析】本题考查了利用解二元一次方程组求直线交点坐标，联立直线的解析式和二元一次

方程求出方程组的解，即可求解;理解二元一次方程组求直线交点坐标的关系是解题的关键.

【详解】解：联立直线的解析式和二元一次方程得，

y=x+4

x+y=2'

答案第7页，共13页

fx=—1

解得：,，

[y=3

•­.尸（T3）；

故答案：（T,3）.

23.x>0

【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是数形结合；由图象知，位于直线尤=2

下方的一次函数图象，图象上点的纵坐标均小于2,则可得不等式的解集.

【详解】解：由图象知，位于直线x=2下方的一次函数图象，图象上点的纵坐标均小于2,

此时对应的自变量为正数，即不等式办+6<2的解集为x>0；

故答案为：x>0.

[x=1

24..

[v=2

【分析】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在

函数的图象上的点，就一定满足函数解析式.函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程

组的解.把交点坐标代入两函数解析式求解得到加、"的值，再根据方程组的解即为交点坐

标解答.

【详解】解：•.•直线了=2x与〉=r+〃交于点（1,加），

fm=2

解得

2x-y=02x-y=0fx=1

•••方程组即为的解为,

x+y-n=0x+y-3=0卜=2

故答案为/fx=12

x=l

25.

)=3

【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数

图象的交点坐标.先求点A的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解.

答案第8页，共13页

【详解】解：y=3代入了=2x+l得2x+l=3,

解得x=1,

所以A点坐标为(1,3),

2x—y=—1

方程组,人的解就是一次函数V=2x+1的图象与〉=丘+6的图象交点A的坐标,

Kx-y=-b

2x-y=-1的解二

所以方程组

kx-y=-b

X=1

故答案为:

>=3

x=1

26.(1)

,=一3

(2)a=2,b=—6

【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的

关键.

(1)根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可；

=1

(2)将。代入方程组，求解即可;

[y=-3

【详解】(1)•.一次函数昨"-5与y=3x+6的图象的交点坐标为4(1,-3),

ax-y=5X=1

・••方程组二,人的解是

3x-y=-b，=-3

x=112-(-3)=5

(2)将代入方程组，得

，=-33x1-(-3)=-6

解得。=2,6=-6.

27.⑴a=1,b——1

(2)x=-2

【分析】本题考查了一次函数的交点问题，掌握相关结论即可.

(1)分别将尸(-2,-5)代入y=2x+b和y="-3即可求解；

(2)方程2x+6=ax-3的解表示函数y=2x+6和y=ax-3的图象的交点横坐标，据此即

可求解；

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【详解】(1)解：将尸(-2,-5)代入函数y=2x+6,得-5=2x(-2)+b,

解得6=-1,

将尸(-2,-5)代入函数丁="-3,得一5=-2°-3,解得。=1；

(2)解：根据图象可得方程2x+6=ax-3的解是无=-2.

28.(l)x=2

(2)x>2

(3)0<x<3

【分析】本题考查一次函数图象与性质、一次函数与不等式、一次函数与一元一次方程的解,

熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键.

(1)利用一次函数图象的特殊点作图即可，根据一次函数与x轴的交点求得方程的解；

(2)根据了4。时，一次函数图象位于x轴的下方，即可求得不等式的解集；

(3)根据一次函数的图象即可求得x的取值范围.

【详解】(1)解：当x=0时，y=4,当y=0时，x=2,

.-.^(0,4),5(2,0),

(2)解：当xN2时，^<0,所以不等式-2x+4V0的解集为xN2；

(3)解：了值在-2Wy<4的范围内，相应的x的取值范围是0<xV3.

29.⑴。=1

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(2)x=l,y=2

(3)l<x<4

【分析】本题主要考查了求一次函数图象上的点的坐标，一次函数与二元一次方程组，数形

结合思想，对于(1),将点32)代入y=x+l可得答案；

对于(2),根据两条直线的交点即为对应方程组的解解答；

对于(3),观察图象，从交点向右，且在x轴上方，即符合题意.

【详解】(1)•••点(生2)在直线x=x+l上，

•••a+1=2,

解得a=1;

(2)观察图象可知,

y=x+lX=1

方程组的解是

y=mx+n