一次方程（组）及其应用（共19题）（解析版）

专题06一次方程（组）及其应用（19题）

一、单选题

[x+y=5

L（2023.北京门头沟.二模）方程组的解为（）

A.[[yx=23x=l

C.

y=4

【答案】A

【分析】将两个方程相加，可消去y,得到X的一元一次方程，从而解得x=2,再将x=2代入①解出y的值,

即得答案.

x+y=5①

【详解】解:

2x-y=1(2)

①+②得：3x=6,

..=2,

把x=2代入①得：y=3,

x=2

方程组的解为:

y=3

故选：A.

【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是消元，常用消元的方法有代入消元法和加减消元法.

2.（2023•北京丰台・二模）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿

子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，索和竿子各几何？（1托为5尺）其大意为：现有一根竿和

一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，那么绳索

和竿各长几尺?设绳索长为无尺，竿长为y尺，根据题意列方程组，正确的是（）

x-y=5（x-y=5_（,

r无-y=5x-y=5

A.1.B.1C.D.

y——x=5-x-y=5[x—2y=5[y—2x=j

、2-2

【答案】A

【分析】设绳索长为无尺，竿长为y尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺”可得方程x-y=5,根据“将

绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺”可得方程y-；x=5,即可列出方程组.

【详解】设绳索长为x尺，竿长为y尺,

根据题意列方程组：

x-y=5

<1J

y—x=5

I2

故选A.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键.

二、填空题

X2，+V—尸—18的解为

3.（2023・北京延庆•统考一模）方程组

【答案】tfx=2l

【分析】把第一个方程整理得到广-x-1,然后利用代入消元法求解即可;

x+y=-1①

【详解】

2x—3y=8②

由①得，y=-x-l③,

③代入②得，2x—3(—x—1)=8,

解得x=l,

把x=l代入③得，y=-l-l=-2,

所以’方程组的解是

fx=l

故答案为：..

[丫=-2

【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，理解方程组中未知数的系数较小时可用代入法是解题的关

键.

4.（2023・北京•统考二模）方程组[2x—/y=4，的解为________.

[x-2y=-l

fx=3

【答案】.

[y=2

【分析】本题运用加减消元法即可求出方程组的解.

2x-y=4①

【详解】解:

x-2y=-1@

①x2-②得3%=9,解得%=3,

把x=3代入①得6-y=4,解得y=2.

x=3

故原方程组的解为

7=2

故答案为一[x=I3

【点睛】本题考查用加减消元法解方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键.

5.（2023・北京朝阳•清华附中校考模拟预测）甲、乙二人分别从相距20Am的A,8两地出发，相向而行.右

上图是小华绘制的甲、乙二人两次运动的情形，设甲的速度是x初V/?,乙的速度是诙加〃7,根据题意可列的

方程组是.

甲走Oih甲走2h乙走2h

的路程的路程相遇的路程

第一次AlA]-]«=B

甲走lh相距11km嘉碧

的路程-------------*-------------的路程一

第二次A（Af工JB

Y

A、B两地相距20km

（2.5x+2y—20—

【答案】n（相应的变形方程组也正确）

【分析】根据“甲走2.5/z的路程加上乙走2/i的路程等于20Am；甲走曲的路程加上11初?再加上乙走17/的路程

等于20Am”列方程组即可.

【详解】由题图可知，甲走2.5/z的路程加上乙走2%的路程等于20%；甲走访的路程加上1Urn再加上乙走阴

的路程等于20初1,

因为甲的速度是xkmJh,乙的速度是ykm/h,

⑵

所以可列方程组为5x+二2y=”20，

[x+y+ll=20

2.5x+2y=20

整理得

x+y=9

故答案为4+[2.y5x+=29y=20（相应—的变—形方程组也正确）・

【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题图，正确找出等量关系是解题关键.

6.（2。23.北京石景山.统考一模）方程组，二二§的解为——

fx=4

【答案】2

b=-3

【分析】根据加减消元法解二元一次方程组的方法即可求解.

\x—y=7①

【详解】解：〈的，

[2x+y=5②

①+②得，3x=12,解得，尤=4,

把x=4代入①得，4-y=7,解得，y=-3,

[x=4

...原方程组的解为

〔丫=-3

【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键.

7.（2021・北京・统考中考真题）某企业有A,8两条加工相同原材料的生产线.在一天内，A生产线共加工。吨

原材料，加工时间为（4。+1）小时；在一天内，8生产线共加工万吨原材料，加工时间为（26+3）小时.第一

天，该企业将5吨原材料分配到A8两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，

则分配到A生产线的吨数与分配到3生产线的吨数的比为.第二天开工前，该企业按第一

天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了加吨原材料，给8生产线分配了"吨原材料.若两

条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则竺的值为.

n

【答案】2：31

【分析】设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到2生产线的吨数为（5.）吨，依题意可得

4x+l=2（5-x）+3,然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为4（2+祖）+1=2（3+力+3,

进而求解即可得出答案.

【详解】解：设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到2生产线的吨数为（5.）吨，依题意可得：

4x+l=2（5—%）+3,解得：x=2,

・•・分配到3生产线的吨数为5-2=3（吨）,

分配到A生产线的吨数与分配到8生产线的吨数的比为2：3；

...第二天开工时，给A生产线分配了（2+祖）吨原材料，给8生产线分配了（3+〃）吨原材料，

;加工时间相同，

4（2++1=2（3+〃）+3,

解得：冽=;”，

.m_1

**7-2；

故答案为2:3,

【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的

应用及比例的基本性质是解题的关键.

8.（2023•北京西城•校考模拟预测）中国古代数学著作《算法统宗》记载了这样一个题目：九百九十文钱,

甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：九百九十文钱共买一

千个苦果和甜果，其中四文钱可买苦果七个，十一文钱可买甜果九个.问苦、甜果各几个？设苦果x个，

甜果y个；则可列方程为.

x+y=1000

【答案】｛411ccc

-X+——V=999

179

【分析】利用总价=单价X数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x,y的二

元一次方程组，此题得解.

【详解】解：二•共买了一千个苦果和甜果，

.*.x+y=1000；

・・,共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，

411

：.-x+—y=999,

79

x+y=1000

・・・可列方程组为411nnn.

179

x+y=1000

故答案为：,411nnn.

179

（X—y=3,

9.（2023・北京•校联考模拟预测）二元一次方程组。[1yl的解为________.

[3x—8y=14

"2

【答案】।

[y=-l

【分析】方程组利用加减消元法求解即可

【详解】解：《\x—二y—日3①4②,

①x8-②得：5x=10,

解得：x=2,

把x=2代入①得：y=T,

[x=2

故方程组的解为「

U=T

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有代入消元法与加减消元法.

\xy=—2,

10.（2023・北京大兴・统考二模）方程组c'「的解是________.

[2x_y=5

%=],

【答案】

y=-3.

【分析】先用加减消元求出X,再用代入消元求出）即可.

x+y=-2®

【详解】由

2x-y=5®

①+②得：3%=3,

解得：x=l,

把X=1代入①得，i+y=-2,

解得：丁=一3,

（X=]

...方程组的解为：。

故填:

【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元是解答此题的

关键.

11.（2023.北京海淀•校考一模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框

架，它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术，其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九

章算术》中记载：“今有五雀、六燕集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，并雀、燕重一

斤，问雀、燕一枚各重几何？

译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻，将1只雀、1只燕交换位

置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤，问雀、燕1只各重多少？”设每只雀重x斤，每只燕中y

斤，可列方程组为.

f5x+6y=1

【答案],0

[4x+y=x+jy

【分析】根据“将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等”可得4x+y=x+5y,根据“5只雀、6只燕重量

为1斤”可得5x+6y=l,联立即可得到方程组.

【详解】解：设每只雀重x斤，每只燕中y斤，

5x+6y=1

可列方程组为:

4x+y=x+5y

5x+6y=1

故答案为:

4x+y=x+5y

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，根据

等量关系列出方程组.

12.（2023•北京顺义・统考一模）某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有

25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案；

如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住

宿方案是•

【答案】二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）；二人间3间，三人间1间，四

人间4间.

【分析】设二人间、三人间分别需要X间，y间,则四人间需要（8-x-y）间，则2x+3y+4（8—x—y）=25,

整理得：2x+y=7,再利用方程的非负整数解可得答案；设住宿总费用为：w元，而y=7-2x,则

w=300x+360y+400(8-%-y)=2920-20x,再利用一次函数的性质解答即可.

【详解】解：设二人间、三人间分别需要x间，y间，则四人间需要（8-x-y）间，则

2x+3y+4（8—x—y）=25,

整理得：2x+y=7,

•••x,y,8-x-y都为非负整数，

...当尤=2时，y=3,8—%—y=3,

；•可行的住宿方案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间；

设住宿总费用为：卬元，而丁=7-2元，贝U

vv=300x+360y+400（8—x—y）

=3200-100.r-40j

=3200-100x-40（7-2x）

=2920-20%,

V-20<0,

...当x最大，放有最小值，

2x+y=l,x,y,8—x-y都为非负整数，

x=3时最大，

此时V=l,8-尤-y=4；

最佳住宿方案为：二人间3间，三人间1间，四人间4间.

故答案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）；二人间3间，三人间1间，四人间4间.

【点睛】本题考查的是二元一次方程的整数解的应用，一次函数的应用，理解题意，构建方程与一次函数

是解本题的关键.

13.（2023•北京西城・北师大实验中学校考模拟预测）小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行.他们按设

计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行18km，小明每小时骑行12km,他们完成全部行程所用的时

间，小明比小华多半小时.设他们这次骑行线路长为xkm,依题意，可列方程为.

xx1

【答案】H-Ii=2

【分析】根据他们完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时的等量关系列方程.

【详解】设他们这次骑行线路长为xkm,则小华完成全部行程的时间为三小时，小明完成全部行程的时间

为三小时,

由题意得二X-X_1

18~2

X£

故答案为:H

182

【点睛】此题考查从实际问题中，掌握行程问题中的路程、速度、时间三者之间的关系是解决问题的关键.

14.（2023・北京・统考一模）某工厂用甲、乙两种原料制作A,B,C三种型号的工艺品，三种型号工艺品

的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下:

工艺品型号含甲种原料的重量/kg含乙种原料的重量/kg工艺品的重量/kg

A347

B325

C235

现要用甲、乙两种原料共31kg,制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个.

（1）若31kg原料恰好全部用完，则制作A型工艺品的个数为个；

（2）若使用甲种原料不超过13kg,同时使用乙种原料最多，则制作方案中A,B,C三种型号的工艺品的

个数依次为.

【答案】31,1,3

【分析】（1）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为尤个，y个，z个，根据题意列出方程组求解即可;

（2）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为。个，。个，c个，根据题意推出CW2,再由使用乙种原料

最多，则A、C的个数要尽可能的多，3的个数要尽可能的少，即可得到c=2,a=2,b=l.

【详解】解：（1）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为x个，y个，z个，

7x+5y+5z=31

由题意得,

x+y+z=5

解得元=3,

...制作A型工艺品的个数为3个，

故答案为：3；

（2）设制作A、B、。三种类型的工艺品分别为〃个，。个，。个,

3(2+3Z?+2c<13

由题意得,

a+b+c=5

3ci+3(5—a—c)+2c413,

c>2,

A2<c<3

:使用乙种原料最多，

•••A、8的个数要尽可能的少，8的个数要尽可能的多，

c=3,a=1,b=l,

故答案为：1,1,3.

【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，不等式和方程相结合的问题，正确理解题意列出对

应的方程和不等式是解题的关键.

15.（2023•北京海淀・清华附中校考一模）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其

中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为无元，足球的单价为y元，

依题意，可列方程组为.

4x+5y=435

【答案】

无一y=3

【分析】根据总费用列出一个方程，根据单价关系列出一个方程，联立方程即可.

【详解】由题意得：4个篮球和5个足球共花费435元，可列方程：4x+5y=435,篮球的单价比足球的单价

f4x+5y=435

多3元，可列方程：x-y=3,联立得■。.

【点睛】本题考查二元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键.

16.（2023•北京西城・北京育才学校校考模拟预测）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过

程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径.某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22

个，搭配为4B,C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱：B

盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3:2；C盒

中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱.则8盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共

个.经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、

迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为元.

【答案】10155

【分析】根据蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷

你音箱，C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱可知8盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你

音箱总数量，再根据B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，可求8盒中多接口优

盘数量.再根据2盒中蓝牙耳机和迷你音响数量比为3:2,可求出8盒中蓝牙耳机和迷你音响的数量.然

后设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为x,»z元，根据A盒成本145元，B盒成本245元，

列方程，进而可求C盒成本.

【详解】解：,••蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1

个迷你音箱，C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱.

盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的数量=22-2_3_1_1-3-2=10（个）.

盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，

.♦•B盒中多接口优盘数量=gxlO=5（个），

蓝牙耳机的数量5x1=3（个），

迷你音响数量=1。-5-3=2（个），

设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为X,»z元，

2尤+3y+z=145①

由题得:

3x+5y+2z=245②

（§）x3—（J）x4得：x+3y+2z=155,

盒的成本为155元.

故答案为：10；155.

【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，解题关键是根据题目信息求出B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、

迷你音箱的数量，并根据题意列方程组.

17.（2023•北京平谷・统考二模）如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A（绣球花）、B（祥

云）两种图案组合而成，因制作工艺不同，A、8两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型

1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为______元；若王先生选定了一个造型1作为中心图

形，6个造型2分别位于中心图形的四周，其余部分用"个造型3填补空缺，若整个画面中，图案8个数不

多于图案A数的2倍，且王先生的整体设计费用不超过500元，写出一个满足条件的"值_____.

造型1造型2造型3

【答案】226（答案不唯一，6,7,8均可）

【分析】设A种图案成本每个x元，B种图案成本每个〉元，根据造型1的成本64元，造型2的成本42

元，列方程组1+，得出“、丁的值，则由造型3的成本为（X+H元；再根据图案B的个数不多于

4+6x3+〃<2(2+6+〃)4

图案A个数的2倍，且整体设计费用不超过500元，列不等式组，求得日，

64+42x6+22n<500

然后由〃为整数，得出〃的值即可.

【详解】解：设A种图案成本每个x元，5种图案成本每个y元，根据题意，得

2%+4y=64x=n

,解得:

x+3y=42y=l0

x+y=12+10=22（元）,

即造型3的成本为22元;

故答案为：22；

4+6x3+n<2(2+6+n)

根据题意得:

64+42x6+22n<500

4

解得：6<H<8—,

,"为整数，

n=6,7,8,

故答案为：6（答案不唯一，6,7,8均可）.

【点睛】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，理解题意，列出方程组与不等式组是解题

的关键.

三、解答题

x—y=2

18.（2023•北京东城