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文档简介
专题06一次方程(组)及其应用(19题)
一、单选题
[x+y=5
L(2023.北京门头沟.二模)方程组的解为()
A.[[yx=23x=l
C.
y=4
【答案】A
【分析】将两个方程相加,可消去y,得到X的一元一次方程,从而解得x=2,再将x=2代入①解出y的值,
即得答案.
x+y=5①
【详解】解:
2x-y=1(2)
①+②得:3x=6,
..=2,
把x=2代入①得:y=3,
x=2
方程组的解为:
y=3
故选:A.
【点睛】本题考查解二元一次方程组,解题的关键是消元,常用消元的方法有代入消元法和加减消元法.
2.(2023•北京丰台・二模)我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题:一支竿子一条索,索比竿
子长一托,对折索子来量竿,却比竿子短一托,索和竿子各几何?(1托为5尺)其大意为:现有一根竿和
一条绳索,如果用绳索去量竿,绳索比竿长5尺,如果将绳索对折后再去量竿,就比竿短5尺,那么绳索
和竿各长几尺?设绳索长为无尺,竿长为y尺,根据题意列方程组,正确的是()
x-y=5(x-y=5_(,
r无-y=5x-y=5
A.1.B.1C.D.
y——x=5-x-y=5[x—2y=5[y—2x=j
、2-2
【答案】A
【分析】设绳索长为无尺,竿长为y尺,根据“用绳索去量竿,绳索比竿长5尺”可得方程x-y=5,根据“将
绳索对折后再去量竿,就比竿短5尺”可得方程y-;x=5,即可列出方程组.
【详解】设绳索长为x尺,竿长为y尺,
根据题意列方程组:
x-y=5
<1J
y—x=5
I2
故选A.
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用,正确理解题意列出方程组是解题的关键.
二、填空题
X2,+V—尸—18的解为
3.(2023・北京延庆•统考一模)方程组
【答案】tfx=2l
【分析】把第一个方程整理得到广-x-1,然后利用代入消元法求解即可;
x+y=-1①
【详解】
2x—3y=8②
由①得,y=-x-l③,
③代入②得,2x—3(—x—1)=8,
解得x=l,
把x=l代入③得,y=-l-l=-2,
所以’方程组的解是
fx=l
故答案为:..
[丫=-2
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法,理解方程组中未知数的系数较小时可用代入法是解题的关
键.
4.(2023・北京•统考二模)方程组[2x—/y=4,的解为________.
[x-2y=-l
fx=3
【答案】.
[y=2
【分析】本题运用加减消元法即可求出方程组的解.
2x-y=4①
【详解】解:
x-2y=-1@
①x2-②得3%=9,解得%=3,
把x=3代入①得6-y=4,解得y=2.
x=3
故原方程组的解为
7=2
故答案为一[x=I3
【点睛】本题考查用加减消元法解方程组,熟练掌握加减消元法是解题的关键.
5.(2023・北京朝阳•清华附中校考模拟预测)甲、乙二人分别从相距20Am的A,8两地出发,相向而行.右
上图是小华绘制的甲、乙二人两次运动的情形,设甲的速度是x初V/?,乙的速度是诙加〃7,根据题意可列的
方程组是.
甲走Oih甲走2h乙走2h
的路程的路程相遇的路程
第一次AlA]-]«=B
甲走lh相距11km嘉碧
的路程-------------*-------------的路程一
第二次A(Af工JB
Y
A、B两地相距20km
(2.5x+2y—20—
【答案】n(相应的变形方程组也正确)
【分析】根据“甲走2.5/z的路程加上乙走2/i的路程等于20Am;甲走曲的路程加上11初?再加上乙走17/的路程
等于20Am”列方程组即可.
【详解】由题图可知,甲走2.5/z的路程加上乙走2%的路程等于20%;甲走访的路程加上1Urn再加上乙走阴
的路程等于20初1,
因为甲的速度是xkmJh,乙的速度是ykm/h,
⑵
所以可列方程组为5x+二2y=”20,
[x+y+ll=20
2.5x+2y=20
整理得
x+y=9
故答案为4+[2.y5x+=29y=20(相应—的变—形方程组也正确)・
【点睛】本题考查了列二元一次方程组,理解题图,正确找出等量关系是解题关键.
6.(2。23.北京石景山.统考一模)方程组,二二§的解为——
fx=4
【答案】2
b=-3
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组的方法即可求解.
\x—y=7①
【详解】解:〈的,
[2x+y=5②
①+②得,3x=12,解得,尤=4,
把x=4代入①得,4-y=7,解得,y=-3,
[x=4
...原方程组的解为
〔丫=-3
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组,掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键.
7.(2021・北京・统考中考真题)某企业有A,8两条加工相同原材料的生产线.在一天内,A生产线共加工。吨
原材料,加工时间为(4。+1)小时;在一天内,8生产线共加工万吨原材料,加工时间为(26+3)小时.第一
天,该企业将5吨原材料分配到A8两条生产线,两条生产线都在一天内完成了加工,且加工时间相同,
则分配到A生产线的吨数与分配到3生产线的吨数的比为.第二天开工前,该企业按第一
天的分配结果分配了5吨原材料后,又给A生产线分配了加吨原材料,给8生产线分配了"吨原材料.若两
条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料,且加工时间相同,则竺的值为.
n
【答案】2:31
【分析】设分配到A生产线的吨数为x吨,则分配到2生产线的吨数为(5.)吨,依题意可得
4x+l=2(5-x)+3,然后求解即可,由题意可得第二天开工时,由上一问可得方程为4(2+祖)+1=2(3+力+3,
进而求解即可得出答案.
【详解】解:设分配到A生产线的吨数为x吨,则分配到2生产线的吨数为(5.)吨,依题意可得:
4x+l=2(5—%)+3,解得:x=2,
・•・分配到3生产线的吨数为5-2=3(吨),
分配到A生产线的吨数与分配到8生产线的吨数的比为2:3;
...第二天开工时,给A生产线分配了(2+祖)吨原材料,给8生产线分配了(3+〃)吨原材料,
;加工时间相同,
4(2++1=2(3+〃)+3,
解得:冽=;”,
.m_1
**7-2;
故答案为2:3,
【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质,熟练掌握一元一次方程的
应用及比例的基本性质是解题的关键.
8.(2023•北京西城•校考模拟预测)中国古代数学著作《算法统宗》记载了这样一个题目:九百九十文钱,
甜果苦果买一千,四文钱买苦果七,十一文钱九个甜,甜苦两果各几个?其大意是:九百九十文钱共买一
千个苦果和甜果,其中四文钱可买苦果七个,十一文钱可买甜果九个.问苦、甜果各几个?设苦果x个,
甜果y个;则可列方程为.
x+y=1000
【答案】{411ccc
-X+——V=999
179
【分析】利用总价=单价X数量,结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果,即可得出关于x,y的二
元一次方程组,此题得解.
【详解】解:二•共买了一千个苦果和甜果,
.*.x+y=1000;
・・,共花费九百九十九文钱,且四文钱可以买苦果七个,十一文钱可以买甜果九个,
411
:.-x+—y=999,
79
x+y=1000
・・・可列方程组为411nnn.
179
x+y=1000
故答案为:,411nnn.
179
(X—y=3,
9.(2023・北京•校联考模拟预测)二元一次方程组。[1yl的解为________.
[3x—8y=14
"2
【答案】।
[y=-l
【分析】方程组利用加减消元法求解即可
【详解】解:《\x—二y—日3①4②,
①x8-②得:5x=10,
解得:x=2,
把x=2代入①得:y=T,
[x=2
故方程组的解为「
U=T
【点睛】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有代入消元法与加减消元法.
\xy=—2,
10.(2023・北京大兴・统考二模)方程组c'「的解是________.
[2x_y=5
%=],
【答案】
y=-3.
【分析】先用加减消元求出X,再用代入消元求出)即可.
x+y=-2®
【详解】由
2x-y=5®
①+②得:3%=3,
解得:x=l,
把X=1代入①得,i+y=-2,
解得:丁=一3,
(X=]
...方程组的解为:。
故填:
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组,熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元是解答此题的
关键.
11.(2023.北京海淀•校考一模)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框
架,它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术,其中,方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九
章算术》中记载:“今有五雀、六燕集称之衡,雀俱重,燕俱轻,一雀一燕交而处,衡适平,并雀、燕重一
斤,问雀、燕一枚各重几何?
译文:“今有5只雀、6只燕,分别聚集而用衡器称之,聚在一起的雀重,燕轻,将1只雀、1只燕交换位
置而放,重量相等,5只雀、6只燕重量为1斤,问雀、燕1只各重多少?”设每只雀重x斤,每只燕中y
斤,可列方程组为.
f5x+6y=1
【答案],0
[4x+y=x+jy
【分析】根据“将1只雀、1只燕交换位置而放,重量相等”可得4x+y=x+5y,根据“5只雀、6只燕重量
为1斤”可得5x+6y=l,联立即可得到方程组.
【详解】解:设每只雀重x斤,每只燕中y斤,
5x+6y=1
可列方程组为:
4x+y=x+5y
5x+6y=1
故答案为:
4x+y=x+5y
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用,解题的关键是正确理解题意,找出等量关系,根据
等量关系列出方程组.
12.(2023•北京顺义・统考一模)某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿,某旅游团有
25位女士游客准备同时住这三种客房共8间,如果每间客房都要住满,请写出一种住宿方案;
如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间,则最优惠的住
宿方案是•
【答案】二人间2间,三人间3间,四人间3间(答案不唯一);二人间3间,三人间1间,四
人间4间.
【分析】设二人间、三人间分别需要X间,y间,则四人间需要(8-x-y)间,则2x+3y+4(8—x—y)=25,
整理得:2x+y=7,再利用方程的非负整数解可得答案;设住宿总费用为:w元,而y=7-2x,则
w=300x+360y+400(8-%-y)=2920-20x,再利用一次函数的性质解答即可.
【详解】解:设二人间、三人间分别需要x间,y间,则四人间需要(8-x-y)间,则
2x+3y+4(8—x—y)=25,
整理得:2x+y=7,
•••x,y,8-x-y都为非负整数,
...当尤=2时,y=3,8—%—y=3,
;•可行的住宿方案为:二人间2间,三人间3间,四人间3间;
设住宿总费用为:卬元,而丁=7-2元,贝U
vv=300x+360y+400(8—x—y)
=3200-100.r-40j
=3200-100x-40(7-2x)
=2920-20%,
V-20<0,
...当x最大,放有最小值,
2x+y=l,x,y,8—x-y都为非负整数,
x=3时最大,
此时V=l,8-尤-y=4;
最佳住宿方案为:二人间3间,三人间1间,四人间4间.
故答案为:二人间2间,三人间3间,四人间3间(答案不唯一);二人间3间,三人间1间,四人间4间.
【点睛】本题考查的是二元一次方程的整数解的应用,一次函数的应用,理解题意,构建方程与一次函数
是解本题的关键.
13.(2023•北京西城・北师大实验中学校考模拟预测)小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行.他们按设
计好的同一条线路同时出发,小华每小时骑行18km,小明每小时骑行12km,他们完成全部行程所用的时
间,小明比小华多半小时.设他们这次骑行线路长为xkm,依题意,可列方程为.
xx1
【答案】H-Ii=2
【分析】根据他们完成全部行程所用的时间,小明比小华多半小时的等量关系列方程.
【详解】设他们这次骑行线路长为xkm,则小华完成全部行程的时间为三小时,小明完成全部行程的时间
为三小时,
由题意得二X-X_1
18~2
X£
故答案为:H
182
【点睛】此题考查从实际问题中,掌握行程问题中的路程、速度、时间三者之间的关系是解决问题的关键.
14.(2023・北京・统考一模)某工厂用甲、乙两种原料制作A,B,C三种型号的工艺品,三种型号工艺品
的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下:
工艺品型号含甲种原料的重量/kg含乙种原料的重量/kg工艺品的重量/kg
A347
B325
C235
现要用甲、乙两种原料共31kg,制作5个工艺品,且每种型号至少制作1个.
(1)若31kg原料恰好全部用完,则制作A型工艺品的个数为个;
(2)若使用甲种原料不超过13kg,同时使用乙种原料最多,则制作方案中A,B,C三种型号的工艺品的
个数依次为.
【答案】31,1,3
【分析】(1)设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为尤个,y个,z个,根据题意列出方程组求解即可;
(2)设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为。个,。个,c个,根据题意推出CW2,再由使用乙种原料
最多,则A、C的个数要尽可能的多,3的个数要尽可能的少,即可得到c=2,a=2,b=l.
【详解】解:(1)设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为x个,y个,z个,
7x+5y+5z=31
由题意得,
x+y+z=5
解得元=3,
...制作A型工艺品的个数为3个,
故答案为:3;
(2)设制作A、B、。三种类型的工艺品分别为〃个,。个,。个,
3(2+3Z?+2c<13
由题意得,
a+b+c=5
3ci+3(5—a—c)+2c413,
c>2,
A2<c<3
:使用乙种原料最多,
•••A、8的个数要尽可能的少,8的个数要尽可能的多,
c=3,a=1,b=l,
故答案为:1,1,3.
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用,不等式和方程相结合的问题,正确理解题意列出对
应的方程和不等式是解题的关键.
15.(2023•北京海淀・清华附中校考一模)某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了435元,其
中篮球的单价比足球的单价多3元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为无元,足球的单价为y元,
依题意,可列方程组为.
4x+5y=435
【答案】
无一y=3
【分析】根据总费用列出一个方程,根据单价关系列出一个方程,联立方程即可.
【详解】由题意得:4个篮球和5个足球共花费435元,可列方程:4x+5y=435,篮球的单价比足球的单价
f4x+5y=435
多3元,可列方程:x-y=3,联立得■。.
【点睛】本题考查二元一次方程的应用,根据题意列出方程是关键.
16.(2023•北京西城・北京育才学校校考模拟预测)盲盒为消费市场注入了活力,既能够营造消费者购物过
程中的趣味体验,也为商家实现销售额提升拓展了途径.某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22
个,搭配为4B,C三种盲盒各一个,其中A盒中有2个蓝牙耳机,3个多接口优盘,1个迷你音箱:B
盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量,蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3:2;C盒
中有1个蓝牙耳机,3个多接口优盘,2个迷你音箱.则8盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共
个.经核算,A盒的成本为145元,B盒的成本为245元(每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、
迷你音箱的成本之和),则C盒的成本为元.
【答案】10155
【分析】根据蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个,A盒中有2个蓝牙耳机,3个多接口优盘,1个迷
你音箱,C盒中有1个蓝牙耳机,3个多接口优盘,2个迷你音箱可知8盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你
音箱总数量,再根据B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量,可求8盒中多接口优
盘数量.再根据2盒中蓝牙耳机和迷你音响数量比为3:2,可求出8盒中蓝牙耳机和迷你音响的数量.然
后设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为x,»z元,根据A盒成本145元,B盒成本245元,
列方程,进而可求C盒成本.
【详解】解:,••蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个,A盒中有2个蓝牙耳机,3个多接口优盘,1
个迷你音箱,C盒中有1个蓝牙耳机,3个多接口优盘,2个迷你音箱.
盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的数量=22-2_3_1_1-3-2=10(个).
盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量,
.♦•B盒中多接口优盘数量=gxlO=5(个),
蓝牙耳机的数量5x1=3(个),
迷你音响数量=1。-5-3=2(个),
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为X,»z元,
2尤+3y+z=145①
由题得:
3x+5y+2z=245②
(§)x3—(J)x4得:x+3y+2z=155,
盒的成本为155元.
故答案为:10;155.
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用,解题关键是根据题目信息求出B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、
迷你音箱的数量,并根据题意列方程组.
17.(2023•北京平谷・统考二模)如图所示,某工厂生产镂空的铝板雕花造型,造型由A(绣球花)、B(祥
云)两种图案组合而成,因制作工艺不同,A、8两种图案成本不同,厂家提供了如下几种设计造型,造型
1的成本64元,造型2的成本42元,则造型3的成本为______元;若王先生选定了一个造型1作为中心图
形,6个造型2分别位于中心图形的四周,其余部分用"个造型3填补空缺,若整个画面中,图案8个数不
多于图案A数的2倍,且王先生的整体设计费用不超过500元,写出一个满足条件的"值_____.
造型1造型2造型3
【答案】226(答案不唯一,6,7,8均可)
【分析】设A种图案成本每个x元,B种图案成本每个〉元,根据造型1的成本64元,造型2的成本42
元,列方程组1+,得出“、丁的值,则由造型3的成本为(X+H元;再根据图案B的个数不多于
4+6x3+〃<2(2+6+〃)4
图案A个数的2倍,且整体设计费用不超过500元,列不等式组,求得日,
64+42x6+22n<500
然后由〃为整数,得出〃的值即可.
【详解】解:设A种图案成本每个x元,5种图案成本每个y元,根据题意,得
2%+4y=64x=n
,解得:
x+3y=42y=l0
x+y=12+10=22(元),
即造型3的成本为22元;
故答案为:22;
4+6x3+n<2(2+6+n)
根据题意得:
64+42x6+22n<500
4
解得:6<H<8—,
,"为整数,
n=6,7,8,
故答案为:6(答案不唯一,6,7,8均可).
【点睛】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用,理解题意,列出方程组与不等式组是解题
的关键.
三、解答题
x—y=2
18.(2023•北京东城
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