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文档简介
专题05线段的数量和位置关系的探究题
I题型概述
线段的数量关系一般是指线段的相等、和差关系、乘积关系和比例关系,线段的位置关系
一般是指平行关系、垂直关系和夹角问题。
线段的数量关系和位置关系的探究题,一般通过以下方式求解:
(1)通过证明三角形全等或者三角形相似,再根据全等三角形或相似三角形的性质,得到
线段的数量关系,通过转化可以求解。
(2)通过利用勾股定理和直角三角形的性质,得到线段的数量与位置关系。
(3)通过证明或者构造等腰三角形,利用等腰三角形的性质和三线合一的性质,得到线段
的数量与位置关系。
(4)通过证明或构造平行四边形或特殊的平行四边形,利用平行四边形或特殊的平行四边
形的性质,得到线段的数量与位置关系。
真题精析
例早1
(2022•辽宁朝阳•统考中考真题)【思维探究】如图1,在四边形A2CZ)中,ZBAD=60°,
ZBCZ)=120°,AB=AD,连接AC.求证:BC+CD=AC.
(1)小明的思路是:延长8到点E,使DE=BC,连接AE.根据/区4。+/2。。=180。,推
得/3+/4。。=180。,从而得到然后证明一.ABC,从而可证8C+CD
=AC,请你帮助小明写出完整的证明过程.
(2)【思维延伸】如图2,四边形ABCD中,ZBAD=ZBCD^90°,AB^AD,连接AC,猜
想BC,CD,AC之间的数量关系,并说明理由.
(3)【思维拓展】在四边形ABCD中,/BAD=NBCD=90。,AB=AD=^6,AC与8。相
交于点O.若四边形A3。中有一个内角是75。,请直接写出线段的长.
(1)如图1中,延长CZ>到点E,ftDE=BC,连接AE.证明△AOE之△ABC(SAS),推
出NZME=N5AC,AE=AC,推出△ACE的等边三角形,可得结论;
(2)结论:CB+CD=42AC.如图2中,过点A作于点M,ANLC8交CB的延
长线于点N.证明AAMOg/XANB(AAS),推出。M=RV,AM=AN,证明
Z?ZAACM^RtAACN(HL),推出CM=CN,可得结论;
(3)分两种情形:如图3-1中,当NCZM=75。时,过点。作OPLCB于点P,CQLC。于
点Q.如图3-2中,当/。3。=75。时,分别求解即可.
[答案与解析】
【答案】(1)AC=5C+CD;理由见详解;
⑵CB+CD=6AC;理由见详解;
(3)3百-3或3-百
【详解】(1)证明:如图1中,延长CD到点£,使。£=5C,连接
VZBAD+ZBCD=180°,
:.ZB+ZADC=1SO°9
VZADE+ZAI>C=180o
:.NB=NADE,
在乙ADE和4ABC中,
DA=BA
<ZADE=ZB,
DE=BC
:./\ADE^AABC(SAS),
/.ZDAE=ZBACfAE=AC9
:.ZCAE=ZBAD=6Q09
•••△ACE的等边三角形,
:.CE=AC,
•:CE=DE+CD,
:.AC=BC+CD;
(2)解:结论:CB+CD=^AC.
理由:如图2中,过点A作AMJ_CD于点4N_LCb交。5的延长线于点N.
图2
VZDAB=ZDCB=9Q09
:.ZCZ)A+ZCBA=180°,
VZABN+ZABC=lSO°f
:./D=NABN,
VZAM£>=Z^=90°,AD=AB9
:・4AMD丝AANB(AAS),
:,DM=BN,AM=ANf
VAM±CZ),AMLCM
:.ZACD=ZACB=45°9
:.AC=42CM,
VAC=AC.AM=ANf
:.RtAACM^RtAACN(HL),
:.CM=CN,
:.CB+CD=CN-BN+CM+DM=2CM=&AC;
(3)解:如图3・1中,当NCZM=75。时,过点。作。尸,C5于点P,C0LCD于点。
:.ZCDB=3Q09
,:ZDCB=9Q09
:.CD=y/3CB9
VZDCO=ZBCO=4509OP上CB,OQA.CD,
:.OP=OQ9
Q—CD»OQ八八
・S^OBC_2_CD
SACDOABC.OPBC
2
.ODCDr-
・・-----=-----=75,
OBCB
VAB=AD=76,ZZ)AB=90°,
:•BD=72AD-273,
:.OD=^-=x2y/3=3^3-3.
1+V3
如图3・2中,当NC5D=75。时,
图3—2
同法可证器=!,°D=-^^X2A/3=3->/3,
1+73
综上所述,满足条件的0。的长为36-3或3-6.
总结与点拨
本题属于四边形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,解直角三角形,等边三角形的
判定和性质,角平分线的性质定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等
三角形解决问题,属于中考压轴题.
例题2
米
(2022•内蒙古鄂尔多斯•统考中考真题)在AABC中,AB=AC,ZBAC=90°,AD是△ABC
的角平分线.
则AE与CF的数量关系是,位置关系是;
(2)如图2,点E、F分别在DB和DA的延长线上,且DE=DF,EA的延长线交CF于点M.
①(1)中的结论还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;
②连接DM,求NEMO的度数;
③若。M=60,££>=12,求EM的长.
哪转
(1)证明△AOE/ZkCOF(S4S),由全等三角形的性质得出AE=C尸,ZDAE=ZDCF,
由直角三角形的性质证出NEMC=90。,则可得出结论;
(2)①同(1)可证△ADEgZXC。尸(S4S),由全等三角形的性质得出AE=C尸,NE
=ZF,则可得出结论;
②过点。作。G_LAE于点G,于点H,证明△OEG丝△!>尸H(44S),由全等三
角形的性质得出DG=DH,由角平分线的性质可得出答案;
③由等腰直角三角形的性质求出GM的长,由勾股定理求出EG的长,则可得出答案.
[答案与解析】
【答案】(1)AE=CF,AE±CF
⑵①成立,理由见解析;②45。;③6+66
【详解】(1):AB=AC,NBAC=9(F,A。是△ABC的角平分线,...AO=3Z>=C。,AO_L3C,
ZADE=ZCZ>F=90°,又;。E=0F,:.AADE^/\CDF(SAS),:.AE^CF,ZDAE
=NZ)CF,•.•NZME+NOEA=90°,二/0叱+/0后4=90°,.•.NEMC=90°,.,.AE"!"。/.故
答案为:AE^CF,AE±CF;
(2)①(1)中的结论还成立,理由:同(1)可证AAOE也△CZJb(SAS),J.AE^CF,
NE=NF,VZF+ZECF=90°,;.NE+NECF=90°,AZEMC=90°,:.AE±CF;②过
点。作OGJ_AE于点G,OHJ_C尸于点H,
•;NE=NF,ZDGE=ZDHF=90°,DE=DF,:.4DEG学4DFH(AAS),:.DG=DH,
又;DGLAE,DH±CF,平分NEMC,又;NEMC=90。,/.ZEMD=|ZEMC=
45°;③•.,NEM0=45°,N£)GM=90°,AZDMG=ZGDM,:.DG=GM,又:DM=6逝
:.DG=GM=6,":DE=12,:.EG=yjElf+DG2=7122+62=6-43:.EM=GM+EG=
6+66
总结与血
本题是三角形综合题,考查了等腰直角三角形的性质,角平分线的性质,全等三角形的判
定与性质,勾股定理,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
例学3
(2022•辽宁锦州•中考真题)在.ABC中,AC=3C,点。在线段上,连接8并延长至
点、E,使DE=CD,过点E作交直线48于点?
⑴如图1,若NACB=120。,请用等式表示AC与所的数量关系:.
(2)如图2.若NACB=90。,完成以下问题:
①当点。,点P位于点A的异侧时,请用等式表示AC,AD,。尸之间的数量关系,并说明理
由;
②当点。,点/位于点A的同侧时,若DF=1,A£>=3,请直接写出AC的长.
邮转
(1)过点C作CG_LA5于G,先证明△EOF丝△CZ>G,得到跖=CG,然后等腰三角形
的性质和含30度直角三角形的性质,即可求出答案;
(2)①过点C作SLAB于H,与(1)同理,证明AEOF丝然后证明一AS是
等腰直角三角形,即可得到结论;
②过点C作CGLA5于G,与(1)同理,得AEDF冬ACDG,然后得到ACG是等腰直
角三角形,利用勾股定理解直角三角形,即可求出答案.
[答案与解析】
【答案】⑴斯=gAC
万
(2)@AD+DF=-ACi②40或2双;
2
【详解】(1)解:过点C作CGLAB于G,如图,
VEFVAB,
:.NEFD=NCGD=9。。,
VZEDF=ZCDG,DE=CD,
二△EO尸丝△COG,
:.EF=CG;
•.•在ABC中,AC=BC,ZACB=120。,
ZA=ZB=^-x(180°-120°)=30°,
ACG=-AC,
2
:.EF=-ACi
2
故答案为:EF=^AC;
(2)解:①过点C作于H,如图,
E图2
与(1)同理,可证
/.DF=DH,
:.AD+DF=AD+DH=AH,
在ABC中,AC^BC,ZACB=90。,
.ABC是等腰直角三角形,
ZC4H=45°,
.LACH是等腰直角三角形,
/.AH=—AC,
2
Ji
:.AD+DF=—AC;
2
②如图,过点C作CGLA3于G,
与(1)同理可证,AEDF妾ACDG,
:.DF=DG=1,
':AD=3,
当点厂在点4、。之间时,有
AG=l+3=4,
与①同理,可证ACG是等腰直角三角形,
:.AC=应AG=40;
当点。在点A、尸之间时,如图:
二AG=AD-DG=3-1=2,
与①同理,可证ACG是等腰直角三角形,
AAC=A/2AG=2A/2;
综合上述,线段AC的长为4夜或2夜.
总结与四
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理解直角三
角形,三角形的内角和定理,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确的作出辅助线,正
确得到三角形全等.
精(题
1.(2022・辽宁大连•校考模拟)在ABC中,£)在AC上,且ZABD=NC=45。.
图1图2图3
(1)如图1,若AD=4,CD=2,求A3的长度.
(2)如图2,作DEIAB于E,过点E作所〃3c交AC于点尸,作尸于G,探究尸G
与2C的关系,并证明你的结论.
(3汝口图3,作于E,BH//AC,DH//BC,探究EB与E”的数量关系,并证明.
2.(2022・四川南充・南充市实验中学校考模拟)如图,已知点E是射线2C上的一点,以BC、
CE为边作正方形ABCO和正方形CEFG,连接AF,取AF的中点连接DM、MG.
(1)如图1,判断线段DM和MG的数量关系是,位置关系是;
(2)如图2,在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中,其他条件不变,(1)中的结
论是否成立?说明理由;
(3)已知3c=10,CE=2,正方形CEFG绕点C旋转的过程中,当A、F、E共线时,直接写
出.。WG的面积.
3.(2022.河南洛阳•统考一模)在ABC中,点G是射线CB上一个动点,延长CA到,
使得AD=CG,过点D作DE〃BC,交BA的延长线于点E,连接交于点?
图1图2
(1)①如图1,当AB=AC=3C时,EF与尸G之间的数量关系是
②如图2,当AB=AC=3,BC=4,点G在射线CB上移动时,EF与尸G之间的数量关系
是否与①中的数量关系相同,若相同,请说明理由;若不相同,请求出新的数量关系;
(2)设一ABC三边的长分别为3C=a,AC=b,AB=c,其中当点G在射线C8
上移动时,请直接写出E尸与FG之间的数量关系.
4.(2022•浙江嘉兴•一模)如图1,已知正方形ABC。和正方形CEFG,点、B、C、£在同一
直线上,
图1图2图3
⑴求图1中反、BG的长(用含机的代数式表示).
(2)如图2,正方形ABC。固定不动,将图1中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转a度
(00<a<90°),试探究AT、3G之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,在(2)条件下,当点A,F,E在同一直线上时,连接C/并延长交AD于点H,
若FH=册
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