线段的数量和位置关系的探究题（原卷版）-2023届中考数学压轴大题专项突破

专题05线段的数量和位置关系的探究题

I题型概述

线段的数量关系一般是指线段的相等、和差关系、乘积关系和比例关系，线段的位置关系

一般是指平行关系、垂直关系和夹角问题。

线段的数量关系和位置关系的探究题，一般通过以下方式求解：

(1)通过证明三角形全等或者三角形相似，再根据全等三角形或相似三角形的性质，得到

线段的数量关系，通过转化可以求解。

(2)通过利用勾股定理和直角三角形的性质，得到线段的数量与位置关系。

(3)通过证明或者构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质和三线合一的性质，得到线段

的数量与位置关系。

(4)通过证明或构造平行四边形或特殊的平行四边形，利用平行四边形或特殊的平行四边

形的性质，得到线段的数量与位置关系。

真题精析

例早1

(2022•辽宁朝阳•统考中考真题)【思维探究】如图1,在四边形A2CZ)中，ZBAD=60°,

ZBCZ)=120°,AB=AD,连接AC.求证：BC+CD=AC.

(1)小明的思路是：延长8到点E,使DE=BC,连接AE.根据/区4。+/2。。=180。，推

得/3+/4。。=180。，从而得到然后证明一.ABC,从而可证8C+CD

=AC,请你帮助小明写出完整的证明过程.

(2)【思维延伸】如图2,四边形ABCD中，ZBAD=ZBCD^90°,AB^AD,连接AC,猜

想BC,CD,AC之间的数量关系，并说明理由.

(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，/BAD=NBCD=90。,AB=AD=^6,AC与8。相

交于点O.若四边形A3。中有一个内角是75。，请直接写出线段的长.

(1)如图1中，延长CZ＞到点E,ftDE=BC,连接AE.证明△AOE之△ABC(SAS),推

出NZME=N5AC,AE=AC,推出△ACE的等边三角形，可得结论；

(2)结论：CB+CD=42AC.如图2中，过点A作于点M,ANLC8交CB的延

长线于点N.证明AAMOg/XANB(AAS),推出。M=RV,AM=AN,证明

Z?ZAACM^RtAACN(HL),推出CM=CN,可得结论；

(3)分两种情形：如图3-1中，当NCZM=75。时，过点。作OPLCB于点P,CQLC。于

点Q.如图3-2中，当/。3。=75。时，分别求解即可.

［答案与解析】

【答案】(1)AC=5C+CD；理由见详解；

⑵CB+CD=6AC；理由见详解；

(3)3百-3或3-百

【详解】(1)证明：如图1中，延长CD到点£,使。£=5C,连接

VZBAD+ZBCD=180°,

：.ZB+ZADC=1SO°9

VZADE+ZAI>C=180o

:.NB=NADE,

在乙ADE和4ABC中，

DA=BA

<ZADE=ZB,

DE=BC

：./\ADE^AABC(SAS),

/.ZDAE=ZBACfAE=AC9

：.ZCAE=ZBAD=6Q09

•••△ACE的等边三角形，

：.CE=AC,

•:CE=DE+CD,

：.AC=BC+CD；

(2)解：结论：CB+CD=^AC.

理由：如图2中，过点A作AMJ_CD于点4N_LCb交。5的延长线于点N.

图2

VZDAB=ZDCB=9Q09

：.ZCZ)A+ZCBA=180°,

VZABN+ZABC=lSO°f

:./D=NABN,

VZAM£>=Z^=90°,AD=AB9

:・4AMD丝AANB(AAS),

:,DM=BN,AM=ANf

VAM±CZ),AMLCM

:.ZACD=ZACB=45°9

：.AC=42CM,

VAC=AC.AM=ANf

：.RtAACM^RtAACN(HL),

：.CM=CN,

：.CB+CD=CN-BN+CM+DM=2CM=&AC；

(3)解：如图3・1中，当NCZM=75。时，过点。作。尸，C5于点P,C0LCD于点。

:.ZCDB=3Q09

,:ZDCB=9Q09

：.CD=y/3CB9

VZDCO=ZBCO=4509OP上CB,OQA.CD,

:.OP=OQ9

Q—CD»OQ八八

・S^OBC_2_CD

SACDOABC.OPBC

2

.ODCDr-

・・-----=-----=75,

OBCB

VAB=AD=76,ZZ)AB=90°,

：•BD=72AD-273,

：.OD=^-=x2y/3=3^3-3.

1+V3

如图3・2中，当NC5D=75。时,

图3—2

同法可证器=!,°D=-^^X2A/3=3->/3,

1+73

综上所述，满足条件的0。的长为36-3或3-6.

总结与点拨

本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的

判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等

三角形解决问题，属于中考压轴题.

例题2

米

（2022•内蒙古鄂尔多斯•统考中考真题）在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,AD是△ABC

的角平分线.

则AE与CF的数量关系是，位置关系是；

(2)如图2,点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE=DF,EA的延长线交CF于点M.

①(1)中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

②连接DM,求NEMO的度数；

③若。M=60,££>=12,求EM的长.

哪转

(1)证明△AOE/ZkCOF(S4S),由全等三角形的性质得出AE=C尸，ZDAE=ZDCF,

由直角三角形的性质证出NEMC=90。，则可得出结论；

(2)①同(1)可证△ADEgZXC。尸(S4S),由全等三角形的性质得出AE=C尸，NE

=ZF,则可得出结论；

②过点。作。G_LAE于点G,于点H,证明△OEG丝△!>尸H(44S),由全等三

角形的性质得出DG=DH,由角平分线的性质可得出答案；

③由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案.

［答案与解析】

【答案】(1)AE=CF,AE±CF

⑵①成立，理由见解析；②45。；③6+66

【详解】(1)：AB=AC,NBAC=9(F,A。是△ABC的角平分线，...AO=3Z>=C。,AO_L3C,

ZADE=ZCZ>F=90°,又；。E=0F,：.AADE^/\CDF(SAS),：.AE^CF,ZDAE

=NZ)CF,•.•NZME+NOEA=90°,二/0叱+/0后4=90°,.•.NEMC=90°,.,.AE"!"。/.故

答案为：AE^CF,AE±CF；

(2)①(1)中的结论还成立，理由：同(1)可证AAOE也△CZJb(SAS),J.AE^CF,

NE=NF,VZF+ZECF=90°,；.NE+NECF=90°,AZEMC=90°,：.AE±CF；②过

点。作OGJ_AE于点G,OHJ_C尸于点H,

•；NE=NF,ZDGE=ZDHF=90°,DE=DF,:.4DEG学4DFH(AAS),：.DG=DH,

又；DGLAE,DH±CF,平分NEMC,又；NEMC=90。，/.ZEMD=|ZEMC=

45°；③•.,NEM0=45°,N£)GM=90°,AZDMG=ZGDM,：.DG=GM,又：DM=6逝

：.DG=GM=6,"：DE=12,：.EG=yjElf+DG2=7122+62=6-43：.EM=GM+EG=

6+66

总结与血

本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判

定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

例学3

(2022•辽宁锦州•中考真题)在.ABC中，AC=3C,点。在线段上，连接8并延长至

点、E,使DE=CD,过点E作交直线48于点?

⑴如图1,若NACB=120。，请用等式表示AC与所的数量关系：.

(2)如图2.若NACB=90。，完成以下问题：

①当点。，点P位于点A的异侧时，请用等式表示AC,AD,。尸之间的数量关系，并说明理

由；

②当点。，点/位于点A的同侧时，若DF=1,A£>=3,请直接写出AC的长.

邮转

(1)过点C作CG_LA5于G,先证明△EOF丝△CZ>G,得到跖=CG,然后等腰三角形

的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案;

（2）①过点C作SLAB于H,与（1）同理，证明AEOF丝然后证明一AS是

等腰直角三角形，即可得到结论；

②过点C作CGLA5于G,与（1）同理，得AEDF冬ACDG,然后得到ACG是等腰直

角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案.

［答案与解析】

【答案】⑴斯=gAC

万

（2）@AD+DF=-ACi②40或2双;

2

【详解】（1）解：过点C作CGLAB于G,如图，

VEFVAB,

:.NEFD=NCGD=9。。,

VZEDF=ZCDG,DE=CD,

二△EO尸丝△COG,

:.EF=CG；

•.•在ABC中，AC=BC,ZACB=120。，

ZA=ZB=^-x(180°-120°)=30°,

ACG=-AC,

2

:.EF=-ACi

2

故答案为：EF=^AC；

(2)解：①过点C作于H,如图,

E图2

与（1）同理，可证

/.DF=DH,

：.AD+DF=AD+DH=AH,

在ABC中，AC^BC,ZACB=90。,

.ABC是等腰直角三角形，

ZC4H=45°,

.LACH是等腰直角三角形，

/.AH=—AC,

2

Ji

：.AD+DF=—AC;

2

②如图，过点C作CGLA3于G,

与（1）同理可证，AEDF妾ACDG,

:.DF=DG=1,

'：AD=3,

当点厂在点4、。之间时，有

AG=l+3=4,

与①同理，可证ACG是等腰直角三角形,

:.AC=应AG=40;

当点。在点A、尸之间时，如图：

二AG=AD-DG=3-1=2,

与①同理，可证ACG是等腰直角三角形，

AAC=A/2AG=2A/2;

综合上述，线段AC的长为4夜或2夜.

总结与四

本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三

角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正

确得到三角形全等.

精(题

1.(2022・辽宁大连•校考模拟)在ABC中，£)在AC上，且ZABD=NC=45。.

图1图2图3

(1)如图1,若AD=4,CD=2,求A3的长度.

(2)如图2,作DEIAB于E,过点E作所〃3c交AC于点尸，作尸于G,探究尸G

与2C的关系，并证明你的结论.

(3汝口图3,作于E,BH//AC,DH//BC,探究EB与E”的数量关系，并证明.

2.(2022・四川南充・南充市实验中学校考模拟)如图，已知点E是射线2C上的一点，以BC、

CE为边作正方形ABCO和正方形CEFG,连接AF,取AF的中点连接DM、MG.

(1)如图1,判断线段DM和MG的数量关系是，位置关系是；

(2)如图2,在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，(1)中的结

论是否成立？说明理由；

(3)已知3c=10,CE=2,正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写

出.。WG的面积.

3.(2022.河南洛阳•统考一模)在ABC中，点G是射线CB上一个动点，延长CA到，

使得AD=CG,过点D作DE〃BC,交BA的延长线于点E,连接交于点?

图1图2

(1)①如图1,当AB=AC=3C时，EF与尸G之间的数量关系是

②如图2,当AB=AC=3,BC=4,点G在射线CB上移动时，EF与尸G之间的数量关系

是否与①中的数量关系相同，若相同，请说明理由；若不相同，请求出新的数量关系;

(2)设一ABC三边的长分别为3C=a,AC=b,AB=c,其中当点G在射线C8

上移动时，请直接写出E尸与FG之间的数量关系.

4.(2022•浙江嘉兴•一模)如图1,已知正方形ABC。和正方形CEFG,点、B、C、£在同一

直线上,

图1图2图3

⑴求图1中反、BG的长(用含机的代数式表示).

(2)如图2,正方形ABC。固定不动，将图1中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转a度

(00<a<90°),试探究AT、3G之间的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,在(2)条件下，当点A,F,E在同一直线上时，连接C/并延长交AD于点H,

若FH=册