新高考数学模拟卷（二）（学生版+解析）

专题25新高考数学模拟卷（二）

（模拟测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.已知集合A=比>o],B={x|x<4},则（）

A.{x|-l<x<4}B.{x|x<4}C.{x|-l<x<4jD.{工尤4-“

2.已知i为虚数单位，a>beR,复数=〃+则々一历=（）

2-1

A13.13.八31.「3L

A.------1B.—+—iC.-------1D.—+—i

55555555

3.在所在平面内，。是8C延长线上一点且3D=4CD,石是⑷？的中点，设而二九AC=b^贝1丽=

（）

A1-4厂n3-1r

A.—a+—bB.—a+—b

5544

C.~—a+—bD.~—a+—b

6364

4.已知函数/5）=$垣（。苫+夕）]。>0,|夕|<|^的最小正周期为万，若将其图象向右平移个单位长度后关

于y轴对称，则的解析式可能为（）

A./(x)=sinB./(x)=cos

C./(x)=cos/(X)=sin

5.在1,2,…,20这20个正整数中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是（）

21-31

A.—B.—C.—D.一

5719383

6.菠萝眼常有两种剔除法：用图1甲所示的去眼刀逐个挖掉菠萝眼，或者用图1乙所示的三角刀沿着菠萝眼

挖出一条一条的螺旋线•现有一个波萝准备去眼，假设：（1）该菠萝为圆柱体，菠萝有64个菠萝眼，都均匀

的错位排列在侧面上（如图2甲）;（2）若使用去眼刀，则挖出的每一个菠萝眼可看成侧棱为3cm,且侧棱与底

面成60。夹角的正四棱锥;（3）若使用三角刀，可挖出8根螺纹条，其侧面展开图如图2丙所示，设螺纹条上

两个相邻菠萝眼A,8的距离为Mem）.若将8根螺纹条看成8个完全一样的直三棱柱，每个直三棱柱的高为

8/z（cm）,其底面为等腰三角形，该等腰三角形的底边长为L4（cm）,顶角为30。，则当菠萝眼的距离〃接近

于（）cm时，两种刀法留下的菠萝果肉一样多？（参考数据：^«1.7）

A.1.7B.1.8C.1.9D.2.0

7.己知函数的定义域为R,y=/（x）+e，是偶函数，y=〃x）-3/是奇函数，则的最小值为（）

B.2近C.2A/3D.2e

8.已知尸2分别是双曲线C：m一二=1（。＞0,万＞0）的左、右焦点，点尸在双曲线上，PFJPF。,圆。：

ab

x2+y2=^a2+b2）,直线尸B与圆。相交于A,8两点，直线尸尸2与圆。相交于M,N两点.若四边形

的面积为9廿，则C的离心率为（）

2M

5

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分）

9.已知a>0,b>0,且/+8=1,则（）

A.a+y[b<\[2B.-<2a-^<2

2

2

C.log2a+log2yjb>-1D.a—b>—1

10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AAGA中，。为线段8c的中点，尸为线段CG上的动点（含端点）,

则下列结论正确的有（）

9

A.P为中点时，过。，P,。三点的平面截正方体ABCD-ABiGA所得的截面的面积为£

B.存在点P,使得平面。尸。〃平面MC

C.。入「。的最小值为君+忘

D.三棱锥P-G2。外接球表面积最大值为9万

11.已知抛物线C:y2=4%的焦点为p,点M,N为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有

右=与-/（%>1）-直线与准线分别交于A,8两点，则下列说法正确的是（）

A.当八=9时,\MF\=|-R4|B.当=2时,S^MFNS^ABF=4：5

C.当时=2时，|A^:|明=9:5D.当x“=3时，延长NM交准线于C,SMBM：SBF=5：6

12.已知函数,=〃力（％€11）的图象是连续不间断的，函数y=〃x-l）的图象关于点（1,1）对称，在区间

■TTJT

（L+8）上单调递增.若〃加85。+485，-2）+/（^852，）>2对任意。€---恒成立，则下列选项中"的

可能取值有（）

A.272-4B.2-272C.72-2D.72-4

第n卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.某校1000名学生参加数学文化知识竞赛，每名学生的成绩X~N(70,l()2),成绩不低于90分为优秀,

依此估计优秀的学生人数为(结果填整数).

附：若4则尸(〃-CT<J<〃+b)=0.6827,P(〃一2<T<J<〃+2b)=0.9545.

14.幕函数/(x)=/(aeR)满足:任意xeR有x)=〃x),且〃一1)<〃2)<2,请写出符合上述条件

的一个函数〃力=.

15.已知函数4%)=^+7湎1«-/X2-(相+1)工+1,在x=0处取到极小值，则实数机=.

16.设过双曲线C：=-*=1(°>0力>0)左焦点/的直线/与C交于M,N两点，若丽=3两，且

a"0

OM-FN=0(。为坐标原点)，则C的离心率为

四、解答题(本题共6小题，其中17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分。解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.在①4cos?C+4cosAcosB+1=4sinAsinB,②csinB=bcos]c-j,③6+6cosC=G?sinB这三个条件中

任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：

在AABC中，内角A,8,C的对边分别为a,b,c,且满足.

⑴求角C的值；

(2)若AABC的面积为96，点。在边AB上，KAD=2DB,求。的最小值.

18.如图所示，在等边AABC中，AB=6,M,N分别是AB,AC上的点，S.AM=AN=4,E是BC的

中点，AE交MN千点、F.以为折痕把AAMN折起，使点A到达点P的位置(0<NPEE<兀)，连接PB,

PE,PC.

⑴证明：MN工PE；

(2)设点尸在平面43c内的射影为点Q,若二面角尸-的大小为、，求直线QC与平面P3C所成角

的正弦值.

19.近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改

变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不

在网上买菜的市民认定为"不喜欢网上买菜".某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社

区100名市民，得到的统计数据如下表所示：

喜欢网上买菜不喜欢网上买菜合计

年龄不超过45岁的市民401050

年龄超过45岁的市民203050

合计6040100

(1)是否有99.9%的把握认为加社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？

(2)M社区的市民李华周一、周二均在网上买菜，且周一从A,B两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜.

4

如果周一选择A平台买菜，那么周二选择A平台买菜的概率为二；如果周一选择8平台买菜，那么周二选

择8平台买菜的概率为g,求李华周二选择平台3买菜的概率；

(3)用频率估计概率，现从M社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为X,事件

“*=%”的概率为P(*=左)，求使尸(X=左)取得最大值时的左的值.

参考公式：Z2-/x-其中-a+b+c-\-d

(a+bv)(c+d)v(a+c)(b+d)

0.10.050.010.0050.001

即2.7063.8416.6357.87910.828

20.已知数列｛〃〃｝满足。1+3%+3?%-----1~3"一%〃=—；—(HGN*).

(1)求数列｛g｝的通项公式；

71「、7

(2)设a=3向(_4J,数列｛2｝的前〃项和求证：5„<—.

21.如图，过y轴左侧的一点P作两条直线分别与抛物线/=4x交于A,C和8,。四点，并且满足PC=3PA，

PD=3PB.

⑴设CO的中点为证明R0垂直于丁轴・

(2)若尸是双曲线三-丁=1左支上的一点，求AW面积的最小值.

4

22.已知函数/(x)=ex+msinx.

⑴若函数〃尤)在(0,兀)上单调递增，求正实数加的取值范围；

⑵求证：当"2=1时，〃力在(-兀,”)上存在唯一极小值点与,且—l<〃X0)<0.

专题25新高考数学模拟卷（二）

（模拟测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

第I卷（选择题）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.已知集合A=比>o],3={x|x<4},则Bn0A=（）

A.{x|-l<x<4}B.{小<4}C.{x|-l<x<41D.

【答案】C

【分析】求出集合A,利用补集和交集的定义可求得集合

2l>0

【详解】因为A=X布<-1或%>5},故%A={+1<%<5},

x-5

又因为5=国％<4},则3C%A={XH<X<4}.

故选：C.

2.已知i为虚数单位，。、Z?GR,复数上匕=〃+折，则〃一历=（）

2-i

A.—13.-31.

B.-+-icD.—+-i

5555-255

【答案】A

【分析】利用复数的除法以及复数相等求出。、b的值，即可得出结果.

1+i(l+i)(2+i)l+3i1313

【详解】因为。+/=——=)~~。~~(=——=-+-i所以，b=《,

2-i(2-i)(2+i)555

13

因止匕，ci—bi=———i.

故选：A.

3.在△ABC所在平面内，。是5c延长线上一点且4cD,£是⑷？的中点，设荏耘，AC=b^则丽=

()

1431r

A.—a+—brB.—a+—b

5544

54f

C.—@H—bD.——a+—b

6364

【答案】C

【分析】根据给定条件，借助向量的线性运算用通、/表示访即可判断作答.

—.4-.

【详解】在AABC所在平面内，。在5C延长线上，且&)=4CD,则=又£是A5的中点，

所以丽=丽+丽■荏+"配=!而+红(/—通)=工乙+±苗一心=-9万+95.

23232363

故选：C

4.已知函数/(幻=5亩(。犬+。)［。＞0,|初＜|^的最小正周期为"，若将其图象向右平移(个单位长度后关

于y轴对称，则的解析式可能为()

A./(x)=sin^2x-^B./(x)=cos^2x-^

C./(x)=cos^2x+^D./(x)=sin^2x+-^^

【答案】B

【解析】先根据函数图象的平移得到平移后函数图象对应的解析式，再根据其图象关于y轴对称及i。5得

到夕的值，进而可得函数y=/(x)可能的解析式.

【详解】解：由题意知刃='=2.

71

将〃x)=sin(2x+e)的图象向右平移g个单位长度后得到y=siniL-^+cp的图象，

因为其图像关于V轴对称,

所以9一,=彳+左〃■，左eZ.

又⑷苦，

所以?=[•

6

7T

即/(%)=sin(2xH——),

6

故选：B.

【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移、三角函数图象的对称性等，考查数学运算、直观想象、逻辑

推理等核心素养.

5.在12…,20这20个正整数中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是（）

2131

A.—B.—C.—D.一

5719383

【答案】C

【分析】根据题意可得公差dV9,进一步确定满足题意的可能情况数，再由古典概型概率公式计算即可.

【详解】因为三个数成递增等差数列，设为a,a+d,a+2d,

按题意必须满足a+2dW20,d<9,

若给定了d,贝ij。可以取1,2,…,2。一24,

9

故三数成递增等差数列的个数为三（2。-2d）=10x9,

d=\

10x93

所以三数成递增等差数列的概率为，

Lx20JO

故选：C.

6.菠萝眼常有两种剔除法：用图1甲所示的去眼刀逐个挖掉菠萝眼，或者用图1乙所示的三角刀沿着菠萝眼

挖出一条一条的螺旋线•现有一个波萝准备去眼，假设：（1）该菠萝为圆柱体，菠萝有64个菠萝眼，都均匀

的错位排列在侧面上（如图2甲）;（2）若使用去眼刀，则挖出的每一个菠萝眼可看成侧棱为3cm,且侧棱与底

面成60。夹角的正四棱锥;（3）若使用三角刀，可挖出8根螺纹条，其侧面展开图如图2丙所示，设螺纹条上

两个相邻菠萝眼A,8的距离为/z（cm）.若将8根螺纹条看成8个完全一样的直三棱柱，每个直三棱柱的高为

8/7（cm）,其底面为等腰三角形，该等腰三角形的底边长为L4（cm）,顶角为30。，则当菠萝眼的距离九接近

于（）cm时，两种刀法留下的菠萝果肉一样多？（参考数据：有。1.7）

【答案】B

【分析】根据棱锥及棱柱的体积的计算公式即可得到答案.

【详解】欲使留下的果肉一样多，只需两种刀法下削掉的菠萝果肉的体积一样大.

若用去眼刀削菠萝，削掉的每个菠萝眼视为一个正四棱锥，

该锥体的高为3xsin60o=±8,底面对角线长为2x3cos6（T=3,

2

故正四棱锥的体积为工，地

3224

菠萝眼共有64个，故用去眼刀去掉的菠萝果肉的体积为64x为8,

4

若用三角刀削菠萝削掉的每根螺纹条视为一个直三棱柱，

其底面的身为tani5。=tan（45°_30°）=°'xR+6）,

底面积为:xL4x0.7x（2+g）=0.49x（2+g）,

直三棱柱的体积为0・49X（2+6）X8/7,

故用三角刀去掉的菠萝果肉的体积为049x（2+石）x8/zx8,

973

由题可得:0.49xX8/IX8=64X-^

4

973

9x（2V3-3）9x（2xl.7-3）^3.6„1S.

则力二4

0.49x（2+司4x0.491.961.96,

故选：B.

7.己知函数的定义域为R,y=/（x）+e，是偶函数，y=〃x）-3/是奇函数，则的最小值为（）

A.eB.2忘C.2—D.2e

【答案】B

【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数〃尤）的解析式，再利用基本不等式可求得“可的最小值.

【详解】因为函数y=〃x）+e工为偶函数，则〃r）+eT=〃x）+e，，即/⑺―〃一尤）=b—e，,①

又因为函数y=〃尤）一3/为奇函数，则〃一X）—30=一〃尤）+3e=即〃尤）+"r）=3e*+3e「，②

联立①②可得"x)=e*+2eT,

由基本不等式可得/（x）=e*+2e-t>2-Jex-2e-x=242,

当且仅当e、'=2eT时，即当尤=；山2时，等号成立，

故函数/（无）的最小值为20.

故选：B.

8.已知B,尸2分别是双曲线C：岑-普=1（。>°，8>°）的左、右焦点，点P在双曲线上，PFJPF?,圆。：

x2+y2=^a2+b2）,直线尸B与圆O相交于A,B两点，直线PB与圆O相交于M,N两点.若四边形AMBN

的面积为明2,则C的离心率为（）

A.-B.-C.旦D,

4525

【答案】D

2222

【分析】设|尸耳|="，|%|=加,有um=2a,n+m=4c,mn=2b,由弦长公式可得

孙=2,仔）-⑶，网=2佰］-偿，四边形AM2N的面积为扣斗解得°2=#,可

求双曲线的离心率.

【详解】根据对称性不妨设点尸在第一象限，如图所示,

Q

圆0入心彳面+⑹，圆心为0（0,0）,半径为冷，

设|P£|=〃，归局=根，点P在双曲线上，PF1工PF?,则有〃一〃z=2a,/+疗=4。2,可得=

I〃

过。作MN的垂线，垂足为。，。为月外的中点，则|。。|=点「周=5,|MN|=2

同理，|AB|=2,由AB_LM7V,

四边形AMBN的面积为:148HA/N

4

481C[/+/]9c2+祖2〃2=4，Adj=8®,化简得°2=|凡则有。—一〃=#，则c

^6_―1-4-)~T+16

的离心率e=£=^=①

aV55

故选:D

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分）

9.已知a>0,b>0,且q2+b=l,则（）

A.a+y[b<^[2B.；<2〃一砺<2

C.log2a+log2^>-lD.cr-b>-\

【答案】ABD

【分析】对于A利用基本不等式可判断；对于B利用不等式的基本性质以及指数函数的单调性即可判断;

对于C可用特殊值法判断；对于D直接根据不等式的基本性质判断即可.

【详解】">。，b>0,Ka2+Z>«il,:.l=a1+b>2ay/b,

2（°2+匕"（4+振），;.（a+6）<2,

当且仅当°=扬=且取等号，故A正确；

2

■.■a>0,b>0,J^a2+1>=1,

:.0<a<1,0<y[b<1,/.-1<a-~Jb<1,—<2"-柘<2,故B正确；

则4_故D正确；

JRa=,y/b=—,则log。。+logz=-彳<—1,故C错误.

222

故选：ABD.

10.如图，在棱长为2的正方体A3C。-4月0口中，。为线段耳。的中点，尸为线段CC,上的动点（含端点），

则下列结论正确的有（）

9

A.P为中点时，过。，P,。三点的平面截正方体ABCD-A4GA所得的截面的面积为］

B.存在点P,使得平面OPQ〃平面MC

C.DP+PQ的最小值为有+夜

D.三棱锥尸-G2。外接球表面积最大值为9万

【答案】AD

【分析】连接AD，AQ，BC，由三角形中位线性质和正方体性质可知，过。，尸，。三点的截面为梯形

然后计算即可得截面面积，可判断A；假设存在，然后利用面面平行性质定理推得。QIIA4,矛盾，可判

断B；利用侧面展开图可求得DP+PQ最小值，判断C；利用补形法求外接球表面积即可判断D.

【详解】A选项：连接AR4。,瓦C,由三角形中位线性质和正方体性质可知，PQWA.D,且尸。=

所以过。，p,。三点的截面为梯形A。尸

易知AQ=DP=GPQ=0AD=2e，

作尸;/,以，则==半，

所以梯形AQPD的面积5=3(0+2金卜呼=|,A正确;

B选项：若存在点尸，使得平面OPQ〃平面MC,则由平面平面ABC=A与，平面A耳CQA平面

£»「0=。。可知。。||4瓦，显然。Q,A片不平行，故B错误;

C选项：将侧面展开如图，显然当。、P、。三点共线时，。尸+尸。取得最小值，最小值为

J*+DD；=如+2?=屈,C错误；

D选项：由题知，G°，G2，CIP两两垂直，所以三棱锥尸-G2Q外接球，即为以GQ，G2，GP为共顶点的

三条棱的长方体的外接球，记其半径为凡

则2R=QcQ+GD；+CF=J5+C]P2,

3

显然，当点尸与C重合时，R取得最大值;，此时外接球表面积取得最大值4兀改=9兀，D正确.

故选：AD

11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点M,N为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有

只=与-4（/>1）.直线与准线分别交于A,B两点，则下列说法正确的是（）

A.当与=9时,\MF\=|-R4|B.当X”=2时,S^MFNS^ABF=4：5

C.当时=2时，|A斗怛耳=9:5D.当x“=3时，延长M0交准线于：$△.=5：6

【答案】ACD

【分析】易得抛物线的焦点为尸。,0）,准线为x=-1,则4=〜=-1,xl=xN（xM>l）,求出的坐标

s-\FM\\FN\sinZMFN

即可判断A；根据芍血=看-----------------即可判断B；结合B选项即可判断C；结合A选项，求出

3-®-|FA||FB|sinZAFB

MCMFNF

，即可判断

~NC~AFD.

【详解】抛物线的焦点为/(1,0)，准线为产一1,贝1，

由右=*•/（%>1），得就=漏（%>1）,

对于A,当％N=9时，与=3,

则厂两=丁力7=1，=H耳，故A正确；

AF1-（-1）1111

对于B,当无M=2时，可得M（2,20）,N（4,4）,

则“|="Zi=3,回|=19+16=5,

设直线“尸：无=畋+1,把M（2,2挺）代入，可得机=/,；,x=¥y+i,

令％二—1,贝Uy=A（-1,一4右），

同理,

则|FA|=J4+32=6,\FB\=^4+y=y,

因为ZAFB=/MFN,所以sin/AFBusinNMW,

^\FM\\FN\sinZMFN

所以瓷L=V--------------------------=上2=：,故B错误；

4

以ABF^\FA\\FB\sinZAFB6xy

对于C,由B选项知，|AF|:忸典=6:g=9:5,故C正确；

对于D,当如=3时，XN=9,则N（9,6）,

.•.|MC|:|A^C|=（3+1）:（9+1）=2:5,

._2_2

…S^CBM=MSCBN'-S<BM=g^NBM'

由选项A知\MF\-\AF\,:.5AM晒=5AM74,

Ml:阿=（9-1）:=|sAiVBM,

24

S&CBMS&NFAgS/\NBM-WSNBM=5:6,故D正确.

故选：ACD.

【点睛】思路点睛：求三角形面积的比值可转化为边长的比值，进而可转化为相似比问题.

12.已知函数y=〃x)(xeR)的图象是连续不间断的，函数y=1)的图象关于点(1,1)对称，在区间

JTJT

(1,+8)上单调递增.若/(“05。+485。-2)+/(^^052。)>2对任意。£恒成立，则下列选项中加的

可能取值有()

A.2A/2-4B.2-2V2C.y/2-2D.72-4

【答案】BC

【分析】根据函数的对称性和单调性得到函数/(元)为R上单调递增，进而得到mcos6^+4cos6^-2>4cos26),

利用参变分离和。的取值范围求出加的取值范围，进而求解.

【详解】由函数丁=/(%-1)的图象关于点(U)对称且在区间。,+⑹上单调递增可得，函数丁=/(%)(九£2的

图象关于(0,1)对称，函数为R上单调递增，

由/(mcos9+4cos9-2)+/(Tcos29)>2可得,

f(mcos夕+4cos夕一2)+/(Tcos2。)>/(Tcos20)+/(4cos20),

也艮flf(mcos+4cos0-2)>/(4cos20),

贝！J有mcos0+4cos6—2>4cos2夕恒成立，即mcos0>4cos20-4cos，+2

因为，所以cos8£［0,］名］,

当cos6=0时，得到0>-2恒成立；

、［/八_L1田4cos2e+2—4cos68cos?6—4cos6—22.

当cos8wn0n时，则7n有m>--------------------------=--------------------------=o8cos6------------4,

cos0cos0cos0

令cose=『e(0,3，则y=8f1-4,

因为函数y=8—7-4在(0,+s)上单调递增，且/©(。，¥］,

所以％1ax=2e-4，贝ibw>20-4，所以BC适合题意，AD不合题意・

故选：BC.

第n卷(非选择题)

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.某校1000名学生参加数学文化知识竞赛，每名学生的成绩X~N(70,l()2),成绩不低于90分为优秀,

依此估计优秀的学生人数为(结果填整数).

附：若贝!]P(〃-cr<J<〃+cr)=C).6827,P(〃-2cr<J<〃+2cr)=0.9545.

【答案】23(22也可以)

【分析】根据X~N(7O,1()2),得出P(X>90)=尸(X>〃+2b),再乘以总人数得出结果.

【详解】由每名学生的成绩X~N(70,102),得〃=70,b=10,

贝I]尸(X>90)=尸(X>70+20)=P(X>〃+2cr)=；[l-P(〃一2cr</<〃+2b)]

=1(1-0.9545)=0.02275,

则优秀的学生人数为1000x0.02275=22.75«23.

故答案为：23.

14.塞函数/(无)=x"(aeR)满足:任意尤eR有〃—x)=,且〃-L)<〃2)<2,请写出符合上述条件

的一个函数〃x)=.

2

【答案】/(答案不唯一)

2

【分析】取/(尤)=Q，再验证奇偶性和函数值即可.

222

【详解】取〃%)=x§,则定乂域为R,且〃—%)=(—%)§=/=/(%),

2

/(-1)=1-42)=21=返，满足"-l)<"2)<2.

2

故答案为：户.

15.已知函数/(%)=©"+侬血-5%2一(加+1)%+1,在x=0处取到极小值，则实数加=.

【答案】1

【分析】首先求函数的导数，并求函数的多阶导数，并分析求得加的取值.

【详解】/，(x)=ex+mcosx-x-(,7?+l),由题意可知，/(。)=1+m一(〃?+1)=0,

设g(x)=/'(x)，g'(x)=ex-msinx-1,g，⑼=0,

设/z(x)=g'(x),hr(x)=ev-mcosx,h'(0)-1-m,

若砥0)=1—〃z>0,则存在了€(—£,£),使〃(x)>0,

则£,£),〃⑺单调递增,即g'(x)单调递增，又g'(0)=0,

所以xe(-£,o),g,(x)<0,函数g(无)单调递减，

xe(O,£),g,(x)>0,函数g(x)单调递增，

所以%€(—£,£),g(x)>g(o)=o,即尸(X)2O,

那么，xe(Y,£),函数“X)单调递增，在x=0处不能取到极小值，故不成立，

若/0)=1-加<0,则存在了«—£,£),使〃(X)<O,

则xe(-£,£),网力单调递减,即g'(x)单调递减,又/(0)=0,

所以XW(-£,o),g，(x)>0,函数g(x)单调递增，

xe(o,£),g，(x)<0,函数g(x)单调递减，

所以工«—£,£),g(x)<g(o)=o,即r(x)«0,

那么，xe(Y,£),函数“X)单调递减，在x=0处不能取到极小值，故不成立，

所以〃'(0)=1—7*=0,即加=1.

故答案为：1

【点睛】思路点睛：本题表面是一道普通的根据极小值点求参数的取值问题，实际得需要求多阶导数，再

分析出机的取值.

16.设过双曲线C：=1(〃>0乃>0)左焦点厂的直线/与C交于M,N两点，若丽=3两，且

ab

OM-FN=0(。为坐标原点)，则C的离心率为

【答案】不

【分析】利用双曲线的定义结合向量知识建立关于。、c的方程即可求出离心率.

【详解】如图,

设尸为肱V中点，k/,

由两=3两可知|KV|=3f,|MP|=|ZW|=r,

由双曲线的定义可知|峥卜/+2。，|意|=3-2a,

由两■•前=0可知W1FN,

又。为仍中点，M为EP中点，可知。M||PK，则尸鸟，7W,

从而尸鸟为线段MN的垂直平分线，/周=|N闾，即f+2a=3-2a,

所以f=2a,贝IJAMA悠为正三角形，|P周=2四，

在直角△小瑞中，\FP^+\PF^=\FF^,即（4。）〉+（2岛）z=（2c）2,所以e=«.

故答案为：用.

四、解答题（本题共6小题，其中17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分。解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.在①4cos2c+4cosAcosB+1=4sinAsinB,②csinB=bcos[c-j,③6+bcosC=V3csinB这三个条件中

任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：

在AABC中，内角A,B,C的对边分别为。，瓦C,且满足.

（1）求角C的值；

⑵若AABC的面积为96，点。在边A3上，SLAD=2DB,求C£）的最小值.

【答案】（l）C=g

(2)2A/6

【分析】（1）若选①：利用三角恒等变换化简整理得cosC=g,即可得结果；若选②：利用正弦定理结合

两角和差公式运算求解；若选③：利用正弦定理结合辅助角公式运算求解;

(2)利用面积可得必=36,利用向量运算结合基本不等式分析求解.

【详解】(1)若选①：因为4COS2C+4cosAcosB+1=4sinAsinB，

则4cos2。+4(cosAcosB-sinAsinB)+l=4cos2C+4cos(A+1

=4cos2C—4cosC+l=(2cosC-l)2=0,

i

解得cosC=],且。£(0,兀)，所以C=g7r；

若选②：因为csinB=Z?cos(c-t],

由正弦定理可得：sinCsinB=sinBcos,

且5«0,兀)，则sin3w0,

可得sinC=cos1c-二]=，^cosC+'sinC，整理得tanC=G，

I6)22

且c«o，M，所以c=1；

若选③：因为Z?+Z?cosC=V3csinB，

由正弦定理可得sinB+sin反osC=A/3sinCsinB，

且3£(0,JI),则sin_BwO,可得1+cosC二指sinC,

即6sinC-cosC=l,可得s'”]。—2]二；，

且Ce(O,7t),则0-谷(一3当

6I66/

可知=9所以c=9.

663

(2)因为AABC的面积为S4MC=gobsinC=#^aZ?=9若，则H?=36,

uimuuruumuur9uunuur9zuuruir、1uir9

由题意可得：CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-\CB-CA\=-CA+-CB,

33、)33

utm2<1uur2"丫iuur24uur24uiruur144

贝IC。=-CA+-CB=-CA+-CB+-CA-CB=-b2+-a2+-abcosC

133J999999

1421422

=—b92+—a92+—ab>2.1—9b2x—9a2+—ab=—ab=24,

999V9993

14

当且仅当即6=2〃=6近时，等号成立，

|111叫

即卜。卜2太，所以8的最小值26.

18.如图所示，在等边N4BC中，AB=6,M,N分别是AB,AC上的点，且A0=AN=4,E是3C的

中点，AE交MN于点F.以MN为折痕把AAAW折起，使点A到达点P的位置(0<NPEE<7t),连接尸3,

PE,PC.

(1)证明：MN工PE；

2兀

(2)设点尸在平面A3C内的射影为点Q,若二面角尸-MN-3的大小为求直线QC与平面P3C所成角

的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)逆

7

【分析】(1)根据条件得到折叠前MN±AE,折叠后由等腰三角形得到MN±PF,MN±FE,从而证明肱V，

平面PEF,结合线面垂直的性质即可得到MV_LPE；

(2)根据二面角的定义得到二面角尸-MN-8的平面角为NPEE,结合(1)得到平面ABC/平面PFE,

从而可以确定Q的位置，再建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.

【详解】(1)证明：因为AASC是等边三角形，E是BC的中点，

所以AE_LBC,

因为AM=4V=4,所以则MV_LAE,

所以折叠后MV_L尸尸，MN工FE,又PFcFE=F,

所以跖V_L平面PEF,

又PEu平面PFE,

所以MN_LPE.

(2)因为脑V_LP尸，MN工FE,

且尸尸u平面ww,FEu平面ACVB,平面PMNCI平面A£VB=MN,

所以二面角尸-MN-3的平面角为NPEE,

所以NPFE=W，贝=

由（1）知，肱V_L平面尸£尸，肱Vu平面ABC,

所以平面ABC1平面PEF,

又因为平面A5Cc平面PEF=71E,

所以点尸在平面ABC内的射影。在AE上，

在等边AAAW中A"=4V=4,

所以AF=PF=2-\/3，即QF=A/3,PQ=3,EF=y/3,

过F作直线FK〃PQ交PE于点K,

以产为坐标原点，FM,而