导学案数学第八章85851直线与直线平行

8.5空间直线、平面的平行8.5.1直线与直线平行【学习目标】1.理解并掌握基本事实4,会用其解决相关直线与直线平行问题.2.理解等角定理,会用其解决角相等或互补问题.【素养达成】数学抽象、直观想象直观想象、逻辑推理一、基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行.【教材挖掘】(P134)在平面几何中,证明两直线平行的常用结论有哪些?提示:三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等.【版本交融】(人BP97尝试与发现)初中所学的结论“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”,在空间中是否仍成立?初中所学的结论“在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行”,如果去掉条件“在同一平面内”,结论是否仍成立?提示:这两个结论在空间中仍成立.【教材深化】该事实也称平行定理,它给出了空间两条直线平行的依据,说明直线的平行关系具有传递性,也称空间直线可以平移.二、等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.【教材挖掘】(P134)若两个角的两边分别对应平行,且两个角的开口方向相同,那么这两个角的关系是什么?提示:相等.【版本交融】(苏教P170思考)如果∠BAC和∠B1A1C1的边AB∥A1B1,AC∥A1C1,且边AB与A1B1方向相同,而边AC与A1C1方向相反,那么,∠BAC和∠B1A1C1之间有何关系?提示:互补.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)分别与异面直线平行的两条直线也是异面直线.(×)提示:也可能是相交直线.(2)相等或互补的角的两边分别平行.(×)提示:无法判断两条边的位置关系.(3)对于空间直线a,b,c,d,如果a∥b,b∥c,c∥d,那么a∥d.(√)(4)如果两条相交直线与另外两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.(√)类型一空间中直线平行的判定(直观想象)【典例1】如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,A1D1的中点.求证:四边形MNAC为梯形.【证明】如图,连接A1C1,在△A1C1D1中,因为M,N分别是C1D1,A1D1的中点,所以MN是△A1C1D1的中位线,所以MN∥A1C1,MN=12A1C1因为AC∥A1C1,AC=A1C1,所以MN∥AC,且MN=12AC,即MN≠AC所以四边形MNAC为梯形.【总结升华】证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法:三角形中位线、平行四边形的性质等.(2)定义法:用定义证明两条直线平行,一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点.(3)基本事实4:用基本事实4证明a,c两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,由基本事实4即可得到a∥c.【即学即练】(教材P134例1改编)如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,AC⊥BD,求证:四边形EFGH为矩形.【证明】因为E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,所以EH∥BD,FG∥BD,且EH=FG=BD2所以四边形EFGH为平行四边形.又因为AC⊥BD,HG∥AC,EH∥BD,所以EH⊥HG,所以四边形EFGH为矩形.类型二等角定理的应用(直观想象、逻辑推理)【典例2】(教材P135T4改编)如图,已知线段AA1,BB1,CC1交于点O,且OAOA1=OBOB1=OCOC1,求证:△【证明】因为AA1与BB1交于点O.且OAOA1=OBOB1,所以同理A1C1∥AC,B1C1∥BC.又因为A1B1和AB,A1C1和AC方向相反,所以∠BAC=∠B1A1C1,同理∠ABC=∠A1B1C1.所以△ABC∽△A1B1C1.【总结升华】关于等角定理的应用(1)根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行,即先证明线线平行.(2)根据角的两边的方向判定角相等.【即学即练】在正方体ABCDA1B1C1D1中,P,Q,M,N分别为AD,AB,C1D1,B1C1的中点,求证:A1P∥CN,A1Q∥CM,且∠PA1Q=∠MCN.【证明】如图,取A1B1的中点K,连接BK,KM.易知四边形MKBC为平行四边形.所以CM∥BK.又因为A1K∥BQ且A1K=BQ,所以四边形A1KBQ为平行四边形.所以A1