数学物理方程与特殊函数-华中科技大学1典型方程与定解条件

一、基本物理定律与经典方程建立二、各种定解条件数学描述三、偏微分方程定解问题基本概念数学物理方程定解问题提法泛定方程（传输方程、波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程等）定解问题：定解条件（初始条件，边界条件）四、两个自变量二阶线性偏微分方程分类数学物理方程与特殊函数第一章一些经典方程和定解条件推导3/16/20251第1页条件：均匀柔软不可拉伸细弦，在平衡位置附近作微小横振动。不受外力影响。1.1.1牛顿运动定律与弦振动方程研究对象：弦线上某点在t时刻沿纵向位移。一、基本物理定律与经典方程建立3/16/20252第2页弦振动相关模拟3/16/20253第3页波传输相关模拟3/16/20254第4页弦振动相关模拟3/16/20255第5页简化假设：(2)横向振幅极小，张力与水平方向夹角很小。(1)弦是柔软，弦上任意一点张力沿弦切线方向。牛顿运动定律：横向：纵向：其中：其中：3/16/20256第6页其中：………一维波动方程令：------非齐次方程自由项--齐次方程忽略重力作用：3/16/20257第7页从麦克斯韦方程出发：在没有场源自由空间：例1时变电磁场与三维波动方程3/16/20258第8页对第一方程两边取旋度，依据矢量运算：由此得：得：即：同理可得：——电场三维波动方程——磁场三维波动方程3/16/20259第9页1.1.2能量守恒与热传导方程热传导现象中所要研究物理量是温度。热传导现象：当导热介质中各点温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。热场温度与那些量相关呢？比如，手握铁棒放在炉火烧，火中一端温度高，手握一端温度低，这说明温度分布与位置相关；同时，手握一端也会慢慢变烫，即温度分布与时间相关。给定一空间内物体，设其上点在时刻t温度为,研究温度运动规律。3/16/202510第10页1.1.2能量守恒与热传导方程傅立叶试验定律是傅立叶在1822年出版著作《热解析理论》中提出。傅立叶是导热理论奠基人，他经过试验，分析和总结了物体内导热规律，建立了傅立叶试验定律，从而揭示了导热热流与局部温度梯度间内在联络。热场2、傅里叶(Fourier)热传导定律(试验定律):

1、热量守恒定律:温度改变吸收热量经过边界流入热量热源放出热量两个物理定律3/16/202511第11页1.1.2能量守恒与热传导方程依据傅立叶试验定律，在dt时间内从dS流入V热量为：从时刻t1到t2经过S流入V热量为高斯公式(矢量散度体积分等于该矢量沿着该体积面积分)傅立叶试验定律：在任意时刻，各向同性连续介质内任意位置处热流密度在数值上与该点温度梯度成正比，而方向相反，即热场其中k为导热系数，公式中负号表示热量传递方向与温度梯度方向相反。3/16/202512第12页热场流入热量造成V内温度发生改变

,温度发生改变需要热量为：由热量守恒定律得：由及任意性知由此得到热传导方程：它反应了导热物体内能量守恒关系。3/16/202513第13页热场假如物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程为热扩散系数。对均匀且各向同性物体，即物体热物性参数均为常数，则有对应地，称(1)为齐次热传导方程。称f为非齐次项(自由项)。3/16/202514第14页质量守恒与扩散方程

1858年,菲克(Fick)参考了傅里叶于1822年建立导热方程,取得了描述物质从高浓度区向低浓度区迁移定量公式:菲克第一定律。假设有一单相固溶体,横截面积为A,浓度C不均匀,在dt时间内,沿法向经过点x处截面A所迁移物质量与该处浓度梯度成正比：由扩散通量定义:单位时间内经过单位横截面粒子数，有菲克第一定律

（1）

式中J称为扩散通量.惯用单位是g/(cm2.s)或mol/(cm2.s)；是同一时刻沿轴浓度梯度；D是百分比系数，称为扩散系数。

3/16/202515第15页质量守恒与扩散方程扩散过程扩散通量J方向与浓度降低方向一致3/16/202516第16页如图所表示，在扩散方向上取体积元和分别表示流入和流出体积元扩散通量，则在Δt时间内，体积元中扩散物质积累量为扩散流经过微小体积情况质量守恒与扩散方程即扩散物质浓度满足扩散方程：而于是3/16/202517第17页质量守恒与扩散方程假如扩散系数为常数，则上式可写成普通称以下两式为菲克第二定律：1.1.3静电位势与拉普拉斯方程电势u

确定所要研究物理量：依据物理规律建立微分方程：对方程进行化简：拉普拉斯方程

泊松方程3/16/202518第18页1.1.4质量守恒与连续性方程所要研究物理量：时刻t流体在位置M(x,y,z)处密度假设流体在无源区域内流动，流速为在dt时间内从dS流入V质量为：从时刻t1到t2经过S流入V质量为高斯公式（矢量散度体积分等于该矢量沿着该体积面积分）3/16/202519第19页由区域和时间段任意性以及被积函数连续性，得到连续性方程

假如流速为常向量，则得到传输方程

假如流体不可压缩，即流体密度为常数，则有流入质量造成V内浓度发生改变

从而，V内质量增量满足

即3/16/202520第20页同一类物理现象中，各个详细问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反应了详细问题特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一详细物理现象初始状态条件。边界条件：能够用来说明某一详细物理现象边界上约束情况条件。其它条件：能够用来说明某一详细物理现象情况条件。初始时刻温度分布：B、热传导方程初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程初始条件不含初始条件，只含边界条件条件A、波动方程初始条件1、初始条件——描述系统初始状态系统各点初位移系统各点初速度二、各种定解条件数学描述3/16/202521第21页(2)自由端：x=a

端既不固定，又不受位移方向力作用。2、边界条件——描述系统在边界上情况A、波动方程边界条件(1)固定端：对于两端固定弦横振动，其为：或：(3)弹性支撑端：在x=a端受到弹性系数为k弹簧支撑。或:第一类边界条件Dirichlet边界条件第二类边界条件Neumann边界条件第三类边界条件Robin边界条件或：3/16/202522第22页B、热传导方程边界条件(1)给定温度在边界上值(S为给定区域v边界)(2)绝热状态(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体经过边界上单位面积流到周围介质热量跟物体表面和外面温差成正比。交换系数；周围介质温度,C、拉普拉斯方程边界条件第一类边界条件Dirichlet边界条件第二类边界条件Neumann边界条件第三类边界条件Robin边界条件3/16/202523第23页1、定解问题三、偏微分方程定解问题基本概念(1)初值问题：只有初始条件，没有边界条件定解问题；(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件定解问题；(3)混合问题(初边值问题)：现有初始条件，也有边界条件定解问题。把某种物理现象满足偏微分方程和其对应定解条件结合在一起，就组成了一个定解问题。2、定解问题适定性

解存在性：定解问题是否有解；解唯一性：是否只有一解；解稳定性：定解条件微小变动时，解是否有对应微小变动。3/16/202524第24页(5)按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程3、微分方程普通分类

(1)按自变量个数，分为二元和多元方程；(3)按方程中未知函数导数最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程；(2)按未知函数及其导数幂次，分为线性微分方程和非线性微分方程；(4)按未知函数及其导数系数是否改变分为常系数和变系数微分方程；比如，两自变量一阶偏微分方程可写作：判断以下方程类型思索3/16/202525第25页线性方程解含有叠加特征4、叠加原理

叠加原理物理意义：几个不一样原因综合所产生效果等于这些不一样原因单独产生效果累加。（以热传导方程为例）叠加原理I设是下面方程解：在G内收敛而且对t可逐项求导一次，对x可逐项求导两次，则和函数在G内依然是（1）解.若级数也就是说，假如是（1）解，则其无限线性组合也是解。3/16/202526第26页叠加原理II3/16/202527第27页叠加原理III设是下面方程解：若在积分号下对t求导一次，对x可求导两次，则在G上是以下方程解：3/16/202528第28页叠加原理IV3/16/202529第29页5、微分方程解

古典解：假如将某个函数u代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，且方程中出现偏导数都连续，则这个连续函数就是该偏微分方程古典解。通解：含有相互独立任意常数个数与偏微分方程阶数相同解。特解：经过定解条件确定了解中任意常数后得到解。形式解：未经过严格数学理论验证解为形式解。6、求解方法分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法3/16/202530第30页四、两个自变量二阶线性偏微分方程分类两个自变量二阶线性偏微分方程普通形式(1)其中，都是区域上实函数，并假定它们是连续可微。

若在区域上某点处满足，则(1)在点处是双曲型；，则(1)在点处是抛物型；，则(1)在点处是椭圆型.假如方程(1)在所讨论区域内每点都是双曲型(抛物型或椭圆型),则称方程在区域内也是双曲型(抛物型或椭圆型)。

3/16/202531第31页假如一个方程在区域Ω中一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分界面上表现为抛物型，那么，这么方程在区域Ω中称为混合型。比如方程：轻易看出，假如点(x0,y0)上方程表现为双曲型或椭圆型，那么一定存在该点一个邻域，使方程在这个邻域内是双曲型或椭圆型。但假如这个点上方程表现为抛物型，则不一定存在一个邻域，使方程在这个邻域内表现为抛物型。3/16/202532第32页

按照偏微分方程分类方法，很轻易看出一维弦振动方程是双曲型，一维热传导方程是抛物型，二维拉普拉斯方程是椭圆型。以上三种方程描述自然现象本质不一样，其解性质也各异。这也从侧面说明了对二阶线性偏微分方程所进行分类是有其深刻原因。比如，空气动力学中，对于