6.6 培优提升 竖直平面内圆周运动的两种模型及水平面内的临界问题（学生版）2024-2025学年高一物理同步培优讲义（人教版2019必修第二册）

第6.6节培优提升竖直平面内圆周运动的两种模型及水平面内的临界问题学习目标1.建立竖直平面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型，会应用动力学知识分析轻绳和轻杆模型问题。2.会分析水平面内圆周运动的临界问题，找到临界条件，列方程解决。提升1竖直平面内圆周运动的两种模型1.轻绳模型：竖直(光滑)圆弧内侧的圆周运动、水流星的运动等，类似轻绳一端的物体以轻绳另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点无支撑。2.轻杆模型：竖直(光滑)圆管内的圆周运动、小球套在竖直圆环上的运动等，类似轻杆一端的物体以轻杆另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点有支撑。3.两种基本模型的比较项目轻绳模型轻杆模型情景图示最高点受力特征除重力外，物体可能受到向下的弹力除重力，物体可能受到向下或向上的弹力受力示意图力学方程mg＋FN＝meq\f(v2,R)mg±FN＝meq\f(v2,R)临界特征FN＝0，即mg＝meq\f(veq\o\al(2,min),R)，即vmin＝eq\r(gR)v＝0时F向＝0，即FN＝mgv＝eq\r(gR)的意义物体能否过最高点的临界速度FN表现为拉力(压力)还是支持力的临界速度过最高点的条件最高点的速度v≥eq\r(gR)最高点的速度v≥0过最低点受力分析FN－mg＝meq\f(v2,R)轻绳或圆轨道受拉力或压力最大，存在绳断的临界条件FN－mg＝meq\f(v2,R)存在对杆拉力或对管压力的最大值角度1轻绳模型例1如图所示，长度为L＝1.6m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5kg，小球半径不计，g取10m/s2，求：(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；(2)小球通过最高点时的速度大小为8m/s时，轻绳的拉力大小；(3)若轻绳能承受的最大张力为45N，小球速度的最大值。流程法分析绳模型的临界问题训练1火力发电的主要燃料是煤粉，将煤块制成煤粉的机械称为球磨机。球磨机的核心部件是一个半径为R的躺卧圆筒，里面装有小钢球，小钢球与筒壁间的动摩擦因数足够大。圆筒匀速转动时，小钢球被带到一定高度处脱离筒壁，落下后与煤块发生碰撞将煤块击碎。如图所示，当小钢球通过A点时，与圆筒分离，此后小钢球仅在重力作用下到达位置B，AB连线过圆心O，已知重力加速度为g。则圆筒旋转的角速度ω为（）A． B． C． D．训练2如图所示，把一个小球用细线悬挂起来，在甲、乙、丙、丁之间来回摆动，丙的位置最低。不计阻力，则细线承受最大拉力的位置是在（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁角度2轻杆模型例2(多选)如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A.若v0＝eq\r(,gR)，则小球对管内壁无压力B.若v0>eq\r(,gR)，则小球对管内上壁有压力C.若0<v0<eq\r(,gR)，则小球对管内下壁有压力D.不论v0多大，小球对管内下壁都有压力训练1如图所示，长为0.4m的轻质杆OP的P端与质量为0.2kg、可视为质点的小球相连，小球以轻质杆的O端为圆心在竖直平面内做圆周运动。小球通过最高点时的速率为3m/s，重力加速度g取10m/s2，则此时轻杆受到的作用力为（）A．2.5N的拉力 B．2.5N的压力C．4.5N的拉力 D．4.5N的压力训练2如图所示，一小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，轨道半径为R，小球的直径略小于管道的直径，重力加速度为g，则小球（）A．可能做匀速圆周运动B．通过最高点时的最小速度为C．通过最低点时受到的弹力向上D．在运动一周的过程中可能一直受到内侧管壁的弹力例3有一轻质杆长L为0.5m，一端固定一质量m为0.5kg的小球，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动(g＝10m/s2)。(1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度大小；(2)当小球运动到最高点速率分别为1m/s和4m/s时，求小球对杆的作用力；(3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41N，求小球的速度大小。有关小球通过杆的最高点，要抓住两点(1)刚好能过最高点的条件，速度为0(2)通过最高点，小球刚好不受弹力的临界速度为v0＝eq\r(gr)，若速度v>v0，弹力向下，若速度v<v0，弹力向上。训练1(多选)如图，半径为的圆形光滑轨道置于竖直平面内，一金属小环套在轨道上可以自由滑动，已知重力加速度为，下列说法正确的是（

）A．要使小环做完整的圆周运动，小环在最低点的速度应大于B．要使小环做完整的圆周运动，小环在最低点的加速度应大于C．如果小环在最高点时速度大于，则小环受到的弹力方向指向圆形轨道的圆心D．小环运动到最低点时对轨道压力一定大于重力训练2如图所示，半径为的鼓形轮可绕固定的光滑水平轴转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为的A、B、C、D，4个小球，球心与的距离均为2R。现让鼓形轮匀速转动，若某时刻B、D两球所在直杆恰好位于水平方向，小球B的速度大小为，不计空气阻力，重力加速度为，下列说法正确的是（

）A．鼓形轮的角速度为 B．杆对小球C的作用力一定竖直向上C．杆对小球D的作用力为 D．杆对小球A的作用力一定大于mg提升2水平面内圆周运动的临界问题1.常见的临界问题(1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。(2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。(3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。(4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。2.解题关键(1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。(2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。例4如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是()A.A的向心加速度最大B.B和C所受摩擦力大小相等C.当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动D.当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动物体恰好滑动的临界条件是静摩擦力刚好达到最大值，根据牛顿第二定律列方程，求解出相应的临界角速度和线速度。训练1如图为某闯关游戏简化图。一绕过其圆心O的竖直轴顺时针匀速转动的圆形转盘浮在水面上，转盘表面始终保持水平，M为转盘边缘上一点。某时刻，一挑战者从水平跑道边缘点以速度向右跳出，初速度方向平行于方向，且运动轨迹与此时刻在同一竖直平面内，随后参赛者正好落在M点，不计空气阻力。下列说法正确的是（）A．若跳出时刻不变，仅增大，参赛者必定落水B．若跳出时刻不变，仅减小，参赛者一定会落在OM之间C．若跳出时刻不变，仅增大转盘的转速，参赛者不可能落在M点D．若跳出时刻不变，仅减小转盘的转速，参赛者可能落在M点训练2(多选)如图所示，MN为光滑放置的水平圆盘，圆盘的半径为1m，圆盘中心O处有一光滑小孔，穿过小孔的两端各系着一个质量相等的小球A和B，小球A在圆盘面上做匀速圆周运动，关于A、B的运动情况（g取10m/s2）（）A．小球A的运动半径为0.2m时，它的角速度是B．小球A的运动半径为0.2m时，它的角速度是C．当A球的角速度为时，A球的轨迹半径为0.8m，此时B球保持静止D．当A球的角速度为时，A球的轨迹半径为0.4m，此时B球保持静止例5(多选)(2024·济南市高一期末)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块(可视为质点)，当物块到转轴OO′的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为0)。物块和转盘间的最大静摩擦力是物块对转盘压力的μ倍。已知重力加速度为g，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。下列说法正确的是()A.当转盘以角速度eq\r(\f(μg,2r))匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为eq\f(1,2)μmgB.当转盘以角速度eq\r(\f(μg,2r))匀速转动时，细绳的拉力大小为eq\f(1,2)μmgC.当转盘以角速度eq\r(\f(3μg,2r))匀速转动时，物块所受的摩擦力大小为μmgD.当转盘以角速度eq\r(\f(3μg,2r))匀速转动时，细绳的拉力大小为eq\f(1,2)μmg训练1(多选)如图所示，水平转盘上的A、B、C三点处分别有一可视为质点的正方体物块，它们与转盘间的动摩擦因数相同，B、C处物块的质量均为m，A处物块的质量为2m，点A、B到轴O的距离相等且为r，点C到轴O的距离为2r。转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C处的物块都没有发生滑动现象，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（）A．C处物块的向心加速度最小B．B处物块受到的静摩擦力最小C．当转速增大时，最先滑动起来的是C处的物块D．当转速增大时，最先滑动起来的是B处的物块训练2(多选)如图甲所示，水平面内一光滑圆盘可绕经过圆心O的竖直转轴转动。轻杆沿半径方向固定，两端分别在O点和圆盘边缘P点。一质量为2kg的小球（视为质点）和两相同的轻弹簧连接套在轻杆上，两弹簧另外一端分别连接在O、P点，圆盘半径为L，弹簧原长为、劲度系数为k。当圆盘角速度从0缓慢增大的过程中，图像如乙所示，x是小球与初位置的距离，弹簧始终未超过弹性限度，下列说法正确的是（）A．小球动能增加来源于弹簧对它做功B．弹簧的劲度系数k为100N/mC．圆盘半径L为2mD．若去除外端弹簧，此图像斜率不变例6如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r。一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方eq\f(4,3)r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值；(2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。训练1如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台缓慢加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径，离水平地面的高度，物块与转台间的动摩擦因数。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度，求：(1)物块离开转台边缘时转台的角速度；(2)物块落地时速度与水平方向夹角的正切值；(3)物块落地点到转台中心O点的水平距离。训练2(多选)如图所示，两个完全相同的小滑块甲和乙放在水平转盘的同一条半径上，转盘的半径为R，甲到圆心O的距离为，乙到圆心O的距离为，小滑块甲、乙与转盘之间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力且两滑块始终在转盘内。当转盘以角速度ω转动时，下列说法正确的是（）A．相对转盘滑动前，甲、乙所受摩擦力大小与转盘角速度ω成正比B．相对转盘滑动前，同一时刻甲、乙所受静摩擦力大小之比为1:2C．转盘角速度ω为时，滑块甲即将开始滑动D．转盘角速度ω为时，甲、乙所受摩擦力大小相等基础练习1.(轻绳模型)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10m，该同学和秋千踏板的总质量约为50kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为()A.200N B.400NC.600N D.800N2.(轻杆模型)(2024·湖南十校联考)如图所示，轻质细杆OA长为1m，A端固定一个质量为5kg的小球，小球在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率为3m/s，g取10m/s2，细杆受到()A.5N的压力 B.5N的拉力C.95N的压力 D.95N的拉力3.(水平面内圆周运动的临界问题)(2024·福建福州高一期末)如图所示，甲、乙两个物体放在旋转圆台上，它们的质量均为m，它们与圆台之间的动摩擦因数均为μ，甲物体离轴心距离为2R，乙物体离轴心距离为R。若滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度为g，当圆台旋转时，甲、乙两个物体都没有滑动，则下列说法中正确的是()A.乙物体的向心加速度大B.乙物体受到的静摩擦力大C.ω＝eq\r(\f(μg,R))是甲物体开始滑动的临界角速度D.当圆台转速增加时，甲物体先滑动4.如图所示，长为L的轻绳一端固定在O点，另一端系一小球（可视为质点），小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动。已知小球运动过程中轻绳拉力的大小与绳和竖直方向的夹角的关系为为已知的常数，当地重力加速度为，小球的质量为，则小球在最低点和最高点的速度分别为（）A． B．C． D．5．如图所示，一长为的轻杆一端固定在水平转轴上，另一端固定一个质量为的小球，球随轻杆在竖直平面内做角速度为的匀速圆周运动，重力加速度为。当小球运动到水平位置点时，杆对球的作用力为（

）A． B．C． D．对点题组练题组一竖直平面内圆周运动的两种模型1.(多选)在如图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则()A.在最高点A，小球受重力和向心力B.在最高点A，小球受重力和圆弧向下的弹力C.在最高点A，小球的速度为eq\r(gR)D.在最高点A，小球的向心加速度为2g2.如图所示，长为L的轻质细绳一端与质量为m的小球(可视为质点)相连，另一端可绕O点使小球在竖直平面内运动。设小球在最高点的速度为v，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是()A.v最小值可以为0B.若v＝eq\r(gL)，细绳必然对小球有拉力的作用C.若v增大，此时小球所需的向心力将减小D.若v＝eq\r(gL)，当小球运动到最低点的速度为eq\r(5)v时，绳子的拉力是6mg3.如图所示，杂技演员表演“水流星”节目。一根长为L的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，重力加速度为g，则杯子运动到最高点的角速度ω至少为()A.eq\r(\f(g,L)) B.eq\r(\f(2g,L))C.eq\r(\f(5g,L)) D.eq\r(\f(10g,L))4.(2024·四川雅安高一期末)如图所示，质量为m的小球刚好静止在竖直放置的光滑圆管道内的最低点，管道的半径为R(不计内外径之差)，水平线ab过轨道圆心，现给小球一水平向右的初速度，下列说法正确的是()A.若小球刚好能做完整的圆周运动，则它通过最高点时的速度为eq\r(gR)B.若小球刚好能做完整的圆周运动，则它通过最高点时的速度为零C.小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力5.如图所示，某轻杆一端固定一质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，重力加速度为g，以下说法中正确的是()A.小球过最高点时，杆所受的弹力不可以为零B.小球过最高点时，最小速度为eq\r(gR)C.小球过最低点时，杆对球的作用力不一定与小球所受重力方向相反D.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力6.(多选)如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度ω＝eq\r(\f(g,l))的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是()A.小球运动到最高点C时与杆作用力为零B.小球运动到最高点C时球对杆的作用力大小为mgC.小球运动到水平位置A时杆对球的作用力大小为2mgD.小球运动到水平位置A时杆对球的作用力大小为eq\r(2)mg题组二水平面内圆周运动的临界问题7.(多选)如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A.a绳一定受拉力作用B.a绳所受拉力随角速度的增大而增大C.当角速度ω>eq\r(\f(g,ltanθ))时，b绳将出现弹力D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化8.如图所示，在匀速转动的圆盘圆心处通过一个光滑小孔把质量相等(均为m)的两物块用轻绳连接，物块A到转轴的距离为R＝20cm，与圆盘间的动摩擦因数为μ＝0.2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力(已知π2＝g)，则()A.物块A一定会受圆盘的摩擦力B.当转速n＝0.5r/s时，物块A不受摩擦力C.物块A所受摩擦力方向一定与线速度方向在一条直线上D.当圆盘转速n＝1r/s时，物块A所受摩擦力方向沿半径背离圆心综合提升练9.(多选)(2024·甘肃靖远二中高一期中)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示。则()A.小球的质量为eq\f(aR,b)B.当地的重力加速度大小为eq\f(R,b)C.v2＝c时，杆对小球的弹力方向向上D.v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等10.如图所示，水平转盘上的A、B、C三处有三块可视为质点的由同一种材料做成的正方体物块，B、C处物块的质量均为m，A处物块的质量为2m；A、B到轴O的距离均为r，C到轴O的距离为2r，转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C三处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是()A.A处物块的向心加速度最大B.B处物块受到的静摩擦力最小C.当转速增大时，最先滑动起来的是A处的物块D.当转速继续增大时，最后滑动起来的是C处的物块11.(2024·山东淄博高一统考期末)如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块在A点随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ＝60°。已知重力加速度为g，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为Ff＝eq\f(\r(3),3)mg。(1)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时陶罐转动的角速度的大小；(2)小物块在A点随陶罐一起匀速转动，求陶罐转动的角速度的最大值。12.如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为，小球在最高点时的速度大小为，其图像如图乙所示，重力加速度g取，小球可视为质点，不计一切阻力。则下列说法正确的是（）A．小球的质量为2kgB．小球做圆周运动的半径为2.5mC