数学探究中考试题及答案

数学探究中考试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题3分，共30分）

1.若函数f(x)=x^2-4x+3的图像开口向上，则其对称轴为：

A.x=-2

B.x=2

C.x=1

D.x=3

2.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的大小为：

A.75°

B.120°

C.135°

D.150°

3.已知等差数列{an}的公差d=2，若a1=3，则数列的第10项an为：

A.19

B.21

C.23

D.25

4.下列哪个函数的图像是一个圆：

A.y=x^2+1

B.y=x^2-1

C.y=x^2+2x+1

D.y=x^2-2x+1

5.若等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则数列的第5项bn为：

A.54

B.48

C.42

D.36

6.在△ABC中，已知AB=AC，且∠B=60°，则△ABC是：

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.梯形

7.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向下，则a的取值范围为：

A.a>0

B.a<0

C.a=0

D.a≠0

8.在△ABC中，若∠A=90°，∠B=30°，则△ABC的面积S为：

A.1/2

B.1

C.√3/2

D.√3

9.已知等差数列{an}的前5项和为35，公差d=3，则数列的首项a1为：

A.1

B.4

C.7

D.10

10.若函数f(x)=2x+1的图像向上平移2个单位，则新函数的解析式为：

A.y=2x+3

B.y=2x+1

C.y=2x-1

D.y=2x-3

二、填空题（每题3分，共30分）

1.若等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则数列的第n项an为______。

2.若等比数列{bn}的首项b1=4，公比q=1/2，则数列的第5项bn为______。

3.若函数f(x)=x^2-4x+3的图像的顶点坐标为______。

4.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则△ABC的面积S为______。

5.若函数f(x)=2x+1的图像向上平移2个单位，则新函数的解析式为______。

6.已知等差数列{an}的前5项和为35，公差d=3，则数列的首项a1为______。

7.在△ABC中，若∠A=90°，∠B=30°，则△ABC的面积S为______。

8.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向下，则a的取值范围为______。

9.若等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则数列的第5项bn为______。

10.在△ABC中，若AB=AC，且∠B=60°，则△ABC是______。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求该数列的前5项和。

2.已知等比数列{bn}的首项b1=4，公比q=1/2，求该数列的第5项bn。

3.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求该函数的图像的顶点坐标。

4.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，求△ABC的面积S。

四、应用题（每题10分，共20分）

1.一个长方形的长是宽的2倍，若长方形的周长为36厘米，求长方形的长和宽。

2.小明骑自行车去图书馆，他以每小时15公里的速度骑行了20分钟，然后以每小时10公里的速度骑行了30分钟，求小明总共骑行了多少公里。

五、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。

2.证明：对于任意的正整数n，有n^3+3n+1是3的倍数。

六、综合题（每题20分，共40分）

1.已知函数f(x)=2x^2-5x+2，求该函数的图像的顶点坐标和与x轴的交点。

2.已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求该数列的前10项和。

试卷答案如下

一、选择题（每题3分，共30分）

1.B.x=2

解析思路：因为函数f(x)=x^2-4x+3可以写成f(x)=(x-2)^2-1，所以顶点坐标为(2,-1)，对称轴为x=2。

2.A.75°

解析思路：三角形内角和为180°，∠A+∠B+∠C=180°，∠A=60°，∠B=45°，所以∠C=180°-60°-45°=75°。

3.B.21

解析思路：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，所以an=3+(10-1)*2=3+9*2=21。

4.D.y=x^2-2x+1

解析思路：圆的方程一般形式为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，其中(h,k)为圆心，r为半径。观察选项，D选项可以写成(y-1)^2=(x-1)^2，符合圆的方程形式。

5.A.54

解析思路：等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，所以bn=2*(1/2)^(5-1)=2*(1/2)^4=2*1/16=54。

6.C.等边三角形

解析思路：由于AB=AC且∠B=60°，根据等边三角形的性质，三角形的三边相等，因此△ABC是等边三角形。

7.B.a<0

解析思路：二次函数的开口方向由二次项系数决定，若a>0，开口向上；若a<0，开口向下。所以a<0时，函数图像开口向下。

8.C.√3/2

解析思路：直角三角形面积公式S=(1/2)*a*b，其中a和b是直角边，对于30°-60°-90°的直角三角形，长边是对边边长的2倍，所以面积S=(1/2)*1*(√3/2)=√3/2。

9.D.10

解析思路：等差数列前n项和公式S_n=n(a1+an)/2，已知S_5=35，d=3，代入公式得到35=5(a1+a5)/2，解得a1+a5=14，由等差数列通项公式得到a1+(a1+4d)=14，解得a1=10。

10.A.y=2x+3

解析思路：向上平移2个单位，即在原函数的基础上y值增加2，所以新函数为f(x)+2。

二、填空题（每题3分，共30分）

1.2n+1

2.2^5/2=32/2=16

3.(2,-1)

4.√3/2*1/2*2*2=√3

5.y=2x+3

6.10

7.√3/2

8.a<0

9.16

10.等边三角形

三、解答题（每题10分，共30分）

1.长方形的长为18厘米，宽为9厘米。

2.小明总共骑行了7.5公里。

3.顶点坐标为(2,-1)，与x轴的交点为(1,0)和(3,0)。

4.△ABC的面积为3√3。

四、应用题（每题10分，共20分）

1.长方形的长为18厘米，宽为9厘米。

2.小明总共骑行了7.5公里。

五、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：连接斜边上的高CD，CD为中线，所以CD=1/2*AB。在直角三角形ABC中，由勾股定理得到AC^2=AB^2-BC^2，因为AB=AC，所以AC^2=AB^2-(1/2*AB)^2=3/4*AB^2，所以AC=√(3/4)*AB=√3/2*AB。所以CD=1/2*AB=AC，得证。

2.证明：对任意的n，有n^3+3n+1=(n+1)^3-(n+1)=(n^3+3n^2+3n+1)-(n+1)=n^3+3n^2+3n-n-1=n^3+3n^2+2n-1=n(n^2+